人教A版高中数学选修一圆锥曲线专题训练一
人教A版高中数学选修一第三章《圆锥曲线的方程》提高训练 (1)(含答案解析)
14．(多选)已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（）
A． B．
C． D．
三、填空题
15．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点 与双曲线 的左焦点重合，若两曲线相交于 ， 两点，且线段 的中点是点 ，则该双曲线的离心率等于______.
3．椭圆 的左、右焦点分别为 ，过焦点 的倾பைடு நூலகம்角为 直线交椭圆于 两点，弦长 ，若三角形 的内切圆的面积为 ，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
4．已知直线 垂直于抛物线 的对称轴，与E交于点A，B（点A在第一象限），过点A且斜率为 的直线与E交于另一点C，若 ，则p=（ ）
A． B．
C． D．
5．已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）
A． B．
C． D．
6．已知椭圆C： 的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为 ，当 时，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆C：x2＋ ＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两点，B为上顶点．若BM＝BN，则椭圆C的离心率的取值范围是（）
33．设椭圆 的的焦点为 是C上的动点，直线 经过椭圆的一个焦点， 的周长为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求 的最小值和最大值．
34．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过 和 两点；
（2）过点 ，且与椭圆 有相同的焦点．
35．已知动点 到直线 的距离与到定点 的距离的差为 ．动点 的轨迹设为曲线 ．
高中数学人教A版选修1-1第2章圆锥曲线与方程课后练习及解析
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段
2．椭圆1x62 ＋y72＝1 的左右焦点为 F1，F2，一直线过 F1 交椭圆于 A、B 两点，则△ABF2 的
周长为( )
A．32
B．16
C．8
D．4
3．椭圆 2x2＋3y2＝1 的焦点坐标是( )
A.0，±
6 6
B．(0，±1)
C．(±1,0)
D.± 66，0
4．方程|a|x－2 1＋a＋y2 3＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是(
)
A．(－3，－1) C．(1，＋∞)
B．(－3，－2) D．(－3,1)
5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点25，－32，则该椭圆的方程是( )
A.y82＋x42＝1
B.1y02 ＋x62＝1
C.y42＋x82＝1
D.y62＋1x02 ＝1
6．设 F1、F2 是椭圆1x62 ＋1y22 ＝1 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 P 到两个焦点的距离之
11．已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
最新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试卷(答案解析)
一、填空题1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为______．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C 的离心率1,23e ⎛∈⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________. 3．设点P 为椭圆22:14924x y C +=上一点，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且12PF F △的重心为G ，如果1212||,||,||PF PF F F 成等差数列，那么12GF F △的面积为___.4．已知椭圆22:143x y C +=过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（点A 位于x 轴上方），若2AF FB =，则直线l 的斜率k 的值为__________．5．已知点P 为抛物线C ：24y x =上的动点，抛物线C 的焦点为F ，且点()3,1A ，则PA PF +的最小值为_______．6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e A B =、分别是椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上的一点，直线PA PB 、的倾斜角分别为αβ、，满足tan tan 1αβ+=，则直线PA 的斜率为__________.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点.过点F 的直线240x y +-=与椭圆的交点为Q (点Q 在x 轴上方)，且||||OF OQ =，则椭圆C 的离心率为_____.8．已知F 为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若3AB FA =，则此双曲线的离心率为________.9．已知1F ､2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.10．设12,F F 分别是椭圆22=1169x y +的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y轴上，则12||||PF PF =______. 11．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l：10x -=与C 交于P 、Q (P 在x 轴上方)两点，若PF FQ λ=，则实数λ的值为_______12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222AF F C =，则椭圆的离心率为__________.13．已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1yx k交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 二、解答题14．已知m R ∈，且0m >，设p ：()00,x ∃∈+∞，()()2012x m m =--；q ：方程2213x y m m +=-表示双曲线. （1）若p q ∧为真，求m 的取值范围；（2）判断04m <<是q 的什么条件，并说明理由.15．在①01PF x =+，②0022y x ==，③PF x ⊥轴时，2PF =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答．问题：已知抛物线2:3(0)C y px p =>的焦点为F ，点()00,P x y 在抛物线C 上，且______，（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若直线:20l x y --=与抛物线C 交于A ，B 两点，求ABF 的面积．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:21F x y -+=，动圆M 与直线:1l x =-相切且与圆F 外切．（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知()2,0A -，曲线C 上一点P满足PA ，求PAF ∠的大小．17．对于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，有如下性质：若点()00,P x y 是椭圆外一点，PA ，PB 是椭圆的两条切线，则切点A ，B 所在直线的方程是00221x x y ya b+=，可利用此结论解答下列问题．已知椭圆C ：22143x y +=和点(4,)()P t t R ∈，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是A ，B ，记点A ，B 到直线PO （O 是坐标原点）的距离是1d ，2d ．（1）当3t =时，求线段AB 的长； （2）求12||AB d d +的最大值． 18．已知椭圆M ：22213x y a +=()0a >的一个焦点为()1,0F -，左右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点． （Ⅰ）求椭圆M 方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记△ABD 与△ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．19．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>6，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若不过点()0,1A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且椭圆上的点到焦点的最长距离为12+（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P 的直线l (不过原点O )与椭圆C 交于两点A ､B ，M 为线段AB 的中点. （i ）证明：直线OM 与l 的斜率乘积为定值； （ii ）求OAB 面积的最大值及此时l 的斜率.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点33,P ⎭在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求1F AB 面积的最大值.22．已知圆22:(2)1M x y +-=，动圆P 与圆M 外切，且与直线1y =-相切． （1）求动圆圆心P 的轨迹C 的方程．（2）若直线:2l y kx =+与曲线C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作曲线C 的切线，交于点Q ．证明：Q 在一定直线上．23．已知圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，过(,0)(02)A n n <<的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，当1n =，l x ⊥轴时，||PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若l 不垂直于坐标轴，且在x 轴上存在一点(,0)B m ，使得PBA QBA ∠=∠成立，求m 的取值范围．24．已知椭圆M 的焦点与双曲线N ：22197x y -=的顶点重合，且椭圆M 短轴的端点到双曲线N 渐近线的距离为3． （1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，若弦AB 中点为()2,1，求直线l 的方程． 25．求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心为坐标原点焦距为6，实轴长为4；（2）焦点在x 轴上，中心为坐标原点，渐近线方程为y x =±，且过点(1)-.26．已知曲线()()222240.a x by b a b R Γ--+-=∈：，下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.①若42a b ==，，写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程､顶点坐标､焦点坐标､及x y 、的取值范围；②若32a b ==，，写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程；③若3a =，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b 如何变化，这两点都不在曲线Γ上.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】作出图形设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为计算出再利用椭圆的定义可得出关于的等式进而可求得椭圆的离心率的值【详解】如下图所示设椭圆的左右焦点分别为设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为则由勾股定理可【分析】作出图形，设过椭圆右焦点2F且垂直于长轴的弦为AB，计算出1AF，再利用椭圆的定义可得出关于a、c的等式，进而可求得椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示，设椭圆()222210x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为1F、2F，设过椭圆右焦点2F且垂直于长轴的弦为AB，则2AB c=，212AF AB c==，由勾股定理可得2212125AF AF F F c=+=，由椭圆的定义可得122AF AF a+=52c c a+=，所以，该椭圆的离心率为()()251512515151cea====++-.51-.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.2．【分析】用分离常数法求得函数的对称中心代入椭圆方程得的关系变形后得然后由的范围得出的范围【详解】因为可化为所以曲线的对称中心为把代入方程得整理得因为所以从而故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求椭解析：21109⎛⎝⎭【分析】用分离常数法求得函数的对称中心，代入椭圆方程得,a b 的关系，变形后得221911a e=+-，然后由e 的范围得出2a 的范围． 【详解】因为31x y x =-可化为111393y x =+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以曲线31x y x =-的对称中心为11,33⎛⎫⎪⎝⎭，把11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程22221x y a b +=，得2211199a b +=，整理得22222221911a c a a c e-==+--.因为1,23e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2759,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而2,93a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：93⎛ ⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长a 与离心率e 的关系式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用222b a c =-进行转化是是解题的基本方法．3．8【分析】根据条件计算出可以判断△PF1F2是直角三角形即可计算出△PF1F2的面积由△PF1F2的重心为点G 可知△PF1F2的面积是的面积的3倍即可求解【详解】∵P 为椭圆C ：上一点且又且又∴易知△解析：8 【分析】根据条件计算出1212,,PF PF F F ，可以判断△PF 1F 2是直角三角形，即可计算出△PF 1F 2的面积，由△PF 1F 2的重心为点G 可知△PF 1F 2的面积是12GF F △的面积的3倍，即可求解. 【详解】∵P 为椭圆C ：2214924x y +=上一点，且1212||,||,||PF PF F F1122||||2||PF F F PF ∴+=，又210c ==,12||102||PF PF ∴+=且12214PF PF a +==126,8PF PF ∴==，又1210F F =，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，12121242PF F S PF PF =⋅=， ∵△PF 1F 2的重心为点G ， ∴12123PF F GF F S S =△△，∴12GF F △的面积为8. 故答案为：8 【点睛】关键点点睛：该题主要根据条件及椭圆的定义联立方程求出12,PF PF ，证明△PF 1F 2是直角三角形，求出面积后利用重心的性质可求12GF F △的面积，属于中档题.4．【分析】由题可得联立直线与椭圆利用韦达定理建立关系即可求出【详解】由题点A 位于轴上方且则直线l 的斜率存在且不为0设则可得设直线l 方程为联立直线与椭圆可得解得则直线的斜率为故答案为：【点睛】方法点睛：解析：2±【分析】由题可得122y y -=，联立直线与椭圆，利用韦达定理建立关系即可求出. 【详解】由题，点A 位于x 轴上方且2AF FB =，则直线l 的斜率存在且不为0，()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ，则可得122y y -=，设直线l 方程为1x ty =+，联立直线与椭圆221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得()2234690t y ty ++-=， 122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，2222269,23434t y y t t -∴=-=++，2226923434t t t -⎛⎫∴-= ⎪++⎝⎭，解得t =则直线的斜率为2±.故答案为：. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.5．4【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取得最小进而可推断出当三点共线时最小答案可得【详解】抛物线的准线为设点在准线上的射影为如图则根据抛物线的定义可知要求取得最小值即解析：4 【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =进而把问题转化为求||||PA PD +取得最小，进而可推断出当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，答案可得． 【详解】抛物线2:4C y x =的准线为1x =-． 设点P 在准线上的射影为D ，如图，则根据抛物线的定义可知||||PF PD =，要求||||PA PF +取得最小值，即求||||PA PD +取得最小． 当D ，P ，A 三点共线时，||||PA PD +最小，为3(1)4--=． 故答案为：4． 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时||||PA PD +最小，是解题的关键．6．或【分析】设出点坐标求得的表达式求得代入直线的斜率公式可得答案【详解】依题意设则即化简得由于是椭圆的左右顶点所以所以所以所以或所以当时当时所以直线的斜率为或故答案为：或【点睛】本小题主要考查椭圆的几2+112- 【分析】设出P 点坐标，求得tan +tan αβ的表达式，求得00x y ，，代入直线的斜率公式可得答案. 【详解】依题意2311,,22c b b a b a a a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭.设()()000,0P x y x ≠，则2200221x y a b +=，即22002214x y a a+=，化简得222004y x a -=-. 由于,A B 是椭圆的左右顶点，所以()(),0,,0A a B a -，所以tan +tan αβ0000+y y x a x a =+-0000022200022142x y x y xx ay y ===-=--，所以002x y =-，所以00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当004x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，tanα002y x a ===+，当0024x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，0012y x a -===+，所以直线PA的斜率为2或，故答案为：2或12. 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，直线的斜率公式，关键在于求得点P 的坐标，属于中档题.7．【分析】转化条件为设点列方程可得点结合椭圆定义可得再由离心率的公式即可得解【详解】因为点在直线上所以椭圆左焦点设点则解得或（舍去）所以点所以即所以椭圆的离心率故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的解析：3【分析】转化条件为()2,0F ，设点(),24Q x x -+，列方程可得点68,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合椭圆定义可得a ，再由离心率的公式即可得解. 【详解】因为点F 在直线240x y +-=上，所以()2,0F ，椭圆左焦点()12,0F -，设点(),24Q x x -+，则2OQ OF ===，解得65x =或2x =（舍去）， 所以点68,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以125a QF QF =+==，即5a =，所以椭圆的离心率c e a ===故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求出点Q 的坐标，再结合椭圆的定义、离心率公式即可得解.8．【分析】首先根据题意得到直线的方程为与双曲线的渐近线联立得到再根据得到从而得到【详解】由得直线的方程为根据题意知直线与渐近线相交联立得消去得由得所以即整理得则故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的离解析：43【分析】首先根据题意得到直线AF 的方程为by x b c=+，与双曲线的渐近线联立得到=-B ac x c a ，再根据3AB FA =得到34c a =，从而得到43e =. 【详解】 由(),0F c -，()0,A b ，得直线AF 的方程为by x b c=+ 根据题意知，直线AF 与渐近线by x a=相交， 联立得b y x b cb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 得，=-B ac x c a . 由3AB FA =，得()(),3,-=B B x y b c b ， 所以3=B x c ，即3=-acc c a，整理得34c a =，则43c e a ==. 故答案为：43【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查学生的计算能力，属于中档题.9．【分析】根据题意作出图示求解出的长度然后根据椭圆的定义得到之间的关系即可求解出离心率【详解】如图因为为正三角形所以所以是直角三角形因为所以所以所以因为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查根据几何关系 解析：31-【分析】根据题意作出图示，求解出12,PF PF 的长度，然后根据椭圆的定义得到,a c 之间的关系即可求解出离心率. 【详解】如图，因为2POF 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形. 因为2160PF F ∠=，21||2F F c =，所以2||PF c =，所以22212122122cos60PF PF F F PF F F =+-⋅⋅︒，所以13PF c =， 因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a +=， 即3131ca ，所以31e =-.故答案为：31-.【点睛】本题考查根据几何关系以及椭圆的定义求解椭圆的离心率，难度一般.求解离心率的问题，如果涉及到特殊几何图形，一定要注意借助图形本身的性质去求解问题.10．【分析】先设P 点中点再求焦点再根据线段的中点在轴上求出P 点坐标再利用焦半径公式即可得的长则可解【详解】设中点由题意得由线段的中点在轴上则有代入中得P 点坐标为或根据焦半径公式可得∴故答案为：【点睛】考解析：239【分析】先设P 点，中点，再求焦点12,F F ,再根据线段1PF 的中点在y 轴上，求出P 点坐标，再利用焦半径公式即可得12||,||PF PF 的长,则12||||PF PF 可解. 【详解】设(,)p p P x y ，中点(0,)m n .由题意得12(F F ，4a =，e =由线段1PF 的中点在y 轴上，则有02p x +=，p x =22=1169x y +中得P 点坐标为9()4或9()4-根据焦半径公式可得，12239||,||44PF PF ==， ∴12||23||9PF PF =. 故答案为：239. 【点睛】考查椭圆的焦半径公式, 解题关键要求出P 点坐标.11．【分析】先求出再求出和最后建立方程求即可【详解】解：由题意联立方程组解得或因为P 在x 轴上方所以因为抛物线C 的方程为所以所以因为所以解得：故答案为：【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系抛物线的几何性解析：5+【分析】先求出(5P +、(526,Q -、(1,0)F，再求出(4PF =---和(4FQ =-，最后建立方程求λ即可.【详解】解：由题意联立方程组2410y x x ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，解得5x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩5x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩因为P 在x轴上方，所以(5P +、(5Q -, 因为抛物线C 的方程为24y x =，所以(1,0)F ，所以(426,PF =---，(4FQ =- 因为PF FQ λ=，所以(4(4λ---=-，解得：2223526 2223λ--==+-，故答案为：526+【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质、利用共线向量求参数，是中档题12．【分析】过点作轴垂直为由三角形相似得到点的坐标代入椭圆方程变形求椭圆的离心率【详解】设过点作轴垂直为代入椭圆方程得解得：故答案为：【点睛】本题考查椭圆的性质重点考查数形结合分析问题的能力本题的关键是解析：5【分析】过点C作CD x⊥轴，垂直为D，由三角形相似得到点C的坐标，代入椭圆方程，变形求椭圆的离心率.【详解】()1,0F c-，()2,0F c设2,bA ca⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点C作CD x⊥轴，垂直为D，122Rt AF F Rt CDF,22112212DF F CCDAF F F AF∴===，22,2bC ca⎛⎫∴-⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222222222441144c b c a ca a a a-+=⇒+=，解得：5cea==.5【点睛】本题考查椭圆的性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是利用三角形相似求得点C的坐标，属于中档题型.13．【分析】由题意联立方程组可得由中点的性质可得化简后利用即可得解【详解】由题意双曲线的两条渐近线为则同理联立为的中点即整理得故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解考查了直线交点的问题和【分析】由题意联立方程组可得A am x ka b -=+、B amx b ka=-、21N km x k =-，由中点的性质可得2A B N x x x +=，化简后利用e =即可得解. 【详解】由题意双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，则A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩，同理B am x b ka =-， 联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩， N 为AB 的中点，∴2A B N x x x +=，即221am am mkb ka b ka k -+=+--， 整理得221b a =，∴e ==. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了直线交点的问题和运算能力，属于中档题.二、解答题14．（1）()()0,12,3m ∈⋃；（2）04m <<是q 的必要不充分条件；答案见解析. 【分析】（1）分别求出命题,p q 为真时参数m 的范围，求出它们的交集可得； （2）根据集合的包含关系可得． 【详解】解：（1）若p 为真，则()()0120m m m >⎧⎨-->⎩，即01m <<或2m >.若q 为真，则(3)0m m -<，即03m <<. ∴当p q ∧为真时，()()0,12,3m ∈⋃. （2）易知()()0,30,4，故04m <<是q 的必要不充分条件. 【点睛】结论点睛：本题考查由复合命题的真假求参数范围，考查充分必要条件的判断，需要掌握复合命题的真值表，充分必要条件与集合包含之间的关系． 命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则 （1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆； （2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．15．（1）任选一个条件，抛物线方程都为24y x =；（2） 【分析】（1）选①：由抛物线的性质可得02pPF x =+，即可求出p ；选②：由题将点P 代入抛物线即可求出p ；选③：由题可得222p pPF p =+==； （2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出AB ，利用点到直线距离公式求出高，即可得出面积. 【详解】解：（1）若选①：由抛物线的性质可得02p PF x =+ 因为01PF x =+，所以0012px x +=+，解得2p =． 故抛物线C 的标准方程为24y x =． 若选②：因为0022y x ==所以002,1y x ==，因为点()00,P x y 在抛物线C 上，所以2002y px =，即24p =，解得2p =， 故抛物线C 的标准方程为24y x =． 若选③：因为PF x ⊥轴，所以22p pPF p =+=， 因为2PF =，所以2p =．故抛物线C 的标准方程为24y x =．（2）设()()1122,,,A x y B x y 由（1）可知(1,0)F ．联立2204x y y x--=⎧⎨=⎩，整理得2480y y --=，则1212124,8,y y y y y y +==--===故12AB y y =-==因为点F 到直线l 的距离d ==，所以ABF 的面积为11222AB d ⋅=⨯= 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.16．（1）28y x =；（2）π4PAF ∠=． 【分析】（1）方法一，利用直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系，转化为抛物线的定义求曲线方程；方法二，利用等量关系，直接建立关于(),x y 的方程；（2）方法一，利用条件求点P 的坐标，再求PA k ；方法二，利用抛物线的定义，转化PF 为点P 到准线的距离，利用几何关系求PAF ∠的大小. 【详解】解：（1）设(),M x y ，圆M 的半径为r ． 由题意知，1MF r =+，M 到直线l 的距离为r ． 方法一：点M 到点()2,0F 的距离等于M 到定直线2x =-的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以()2,0F 为焦点，2x =-为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为28y x =． 方法二：因为1MF r ==+，1x r +=，1x >-，2x =+，化简得28y x =，故曲线C 的方程为28y x =．（2）方法一：设()00,P x y，由PA ，得()()22220000222x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，又2008y x =，解得02x =，故()42,P ±，所以1PA k =±，从而π4PAF ∠=． 方法二：过点P 向直线2x =-作垂线，垂足为Q ． 由抛物线定义知，PQPF =，所以PA =，在APQ 中，因为π2PQA ∠=，所以sin PQ QAP PA ∠==， 从而π4QAP ∠=，故π4PAF ∠=． 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法. 17．（1）247；（2）12． 【分析】（1）由已知结论求出直线AB 的方程，联立方程，得韦达定理，利用弦长公式即可求得AB 的长；（2）将12||AB d d +表示为关于t 的函数，再利用换元法与分离常数法两种方法分别求出最值. 【详解】 （1）解当3t =时，直线AB 方程为1x y +=，联立，得27880x x --=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1287x x +=，1287x x =-．则1224||7AB x =-==． （2）解直线AB ：13t x y +=，即13tx y =-+，直线OP ：4t y x =． 设()11,A x y ，()22,B x y，则12||AB y y =-，12d d +===记12||AB m d d=+，则12||AB m d d ==+，接下来介绍求最值的不同方法． 法1：常规换元法 令212s t =+，12s ≥，则222222(3)(4)12121114949112244848s s s s m s s s s s -++-⎛⎫===-++=--+≤ ⎪⎝⎭m ≤，当24s 即t =±12||AB d d +的最大值是12．法2：分离常数法422242422514412414424144t t t m t t t t ++==+++++，显然0t =时不取得最大值， 则222149111444824m t t=+≤+=++，m ≤ 当t =±12||AB d d +． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）247；（Ⅲ）12||S S -【分析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得结果； （Ⅱ）联立直线与椭圆，根据弦长公式可求得结果；（Ⅲ）设直线l ：1x ty =-(0)t ≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立直线l 与椭圆M 的方程，利用韦达定理求出12y y +，12||S S -=212||34t t +，变形后利用基本不等式可求得最大值.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的焦点为()1,0F -，所以1c =且23b =，所以222314a b c =+=+=，所以椭圆M 方程为22143x y +=.（Ⅱ）因为直线l 的倾斜角为45，所以斜率为1，直线l 的方程为1y x =+，联立221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得27880x x +-=，设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 则1287x x +=-，1287x x =-，所以||CD =247=. （Ⅲ）由（Ⅰ）知(2,0),(2,0)A B -，设直线l ：1x ty =-(0)t ≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22(34)690t y ty +--=，则122634ty y t +=+，123934y y t =-+0<，所以12,y y 异号， 所以121211|||4||4|||22S S y y -=⨯-⨯⨯122||||||y y =-122||y y =+212||34t t =+ 1243||||t t =+≤==当且仅当||3t =时，等号成立.所以12||S S -. 【点睛】关键点点睛：第（Ⅲ）问中将三角形面积用,C D 两点的纵坐标表示，并利用韦达定理和基本不等式解决是解题关键.19．（1）2213x y +=；（2）证明见解析；定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）运用离心率公式和基本量a ，b ，c 的关系，以及点满足椭圆方程，解方程可得椭圆方程；（2）由已知可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠，与椭圆方程联立，整理得()()222136310kxktx t +++-=.由0AP AQ ⋅=，利用根与系数的关系求得t值，从而可证明直线l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【详解】（1）解：椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得c e a ==，222a c b -=，且2291144a b +=，解得a =1b =，c =则椭圆方程为2213x y +=.（2）证明：由0AP AQ ⋅=，可知AP AQ ⊥，从而直线l 与x 轴不垂直， 故可设直线l 的方程为()1y kx t t =+≠，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222136310k x ktx t +++-=. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122613kt x x k -+=+，()21223113t x x k-=+，()* 由()()222(6)413310kt k t∆=-+⨯->，得2231k t >-，由0AP AQ ⋅=，得()()1122,1,1AP AQ x y x y ⋅=-⋅-()()2212121(1)(1)0k x x k t x x t =++-++-=，将()*代入，得12t =-， 所以直线l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合，及定点问题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用. (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20．（1）2212x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）OAB面积的最大值是2，此时l的斜率为2±. 【分析】（1）根据离心率为22，且椭圆上的点到焦点的最长距离为12+，由1222a cca⎧+=+⎪⎨=⎪⎩求解.（2）（i）设直线l为：2y kx=+，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得M的坐标，进而求得OMk验证即可.（ii）由（i）求得弦长AB和点O到直线l的距离，由三角形面积公式12OABS d AB=⨯⨯求解.【详解】（1）由题意得122a cca⎧+=+⎪⎨=⎪⎩，解得21ac⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴22a=，2221b a c=-=，∴椭圆C的方程为2212xy+=.（2）（i）设直线l为：2y kx=+，1122(,),(,),(,)M MA x yB x y M x y，由题意得22212y kxxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴22(12)860k x kx+++=，∴28(23)0k∆=->，即232k>由韦达定理得：22121286,1212kx x x xk k-+==++∴2412Mkxk=-+，22212M My kxk=+=+∴12MOMMykx k==-，，∴12OMk k⋅=-∴直线OM与l的斜率乘积为定值（ii）由（i）可知：12AB x=-==，又点O到直线l的距离d=∴1122OABS d AB=⨯⨯==t=，则0t>，∴24442OABSt tt==≤=++，当且仅当2t=时等号成立，此时2k=±，且满足0∆>，∴OAB面积的最大值是2，此时l的斜率为2±【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．21．（1）22143x y+=；（2）最大值为3.【分析】（1）根据离心率为12以及过定点P⎭，列方程即可得解；（2）设()11,A x y，()22,B x y，根据题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为1x my=+和22143x y+=联立可得()2234690m y my++-=，结合韦达定理带入面积公式，即可得解.【详解】（1）依题意有22222123314caa b ca b⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得2,1.abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C的方程为22143x y+=.（2）设()11,A x y，()22,B x y，根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-= ()()22636340m m ∆=++>，m ∈R ，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， ∴112212121234F ABS F F y y y y m =-=-==+△，令t =，则1t ≥，∴121241313F AB t S t t t==++△.令()13f t t t=+，则当1t ≥时，()f t 单调递增， ∴()()413f t f ≥=，13F AB S ≤△，即当1t =，0m =时，1F ABS 的最大值为3.【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了椭圆中面积的最值问题，考查了韦达定理的应用，有一定的计算量，属于中档题. 本题的关键有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间关系的桥梁，是解决直线和圆锥曲线问题的最重要的方法；（2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的基础. 22．（1）28x y =，（2）证明见解析 【分析】（1）由题意可得P 到直线2y =-的距离等于P 到()0,2M 的距离，则由抛物线的定义可求得点P 的轨迹C 的方程；（2）设211,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,8x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()00,Q x y ，直线与抛物线联立方程组，消去y ，再利用根据与系数的关系可得128x x k +=，1216x x =-，再利用导数求出切线AQ ，BQ 的方程，从而可得12028x x y ==- 【详解】（1）解：设P 到直线1y =-的距离为d ， 则1d PM =-，所以P 到直线2y =-的距离等于P 到()0,2M 的距离， 由抛物线的定义可知，P 的轨迹C 的方程为28x y =.（2）证明：设211,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,8x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()00,Q x y ，联立方程组28,2,x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得28160x kx --=，则128x x k +=，1216x x =-，264640k ∆=+>.由28x y =，得28x y =，所以4x y '=，所以切线AQ 的方程为21148x x y x =-，①同理切线BQ 的方程为22248x x y x =-，②由①2x ⨯-②1x ⨯，得12028x x y ==-， 所以点Q 在直线上2y =-. 【点睛】关键点点睛：此题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出切线AQ 的方程为21148x x y x =-，切线BQ 的方程为22248x x y x =-，从而可求出其交点从坐标，考查计算能力，属于中档题23．（1）2214x y +=；（2）(2,)+∞．【分析】（1）根据条件构建方程求解即可（2）设直线l 的方程为()y k x n =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得221224414k n x x k -=+，2122814k nx x k +=+，然后由PBA QBA ∠=∠，得0PB QBk k +=，即12120y y x m x m+=--，即()12122()20x x m n x x mn -+++=，然后得出4m n=即可. 【详解】解：（1）椭圆的半焦距为c．根据题意，得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，21b =． 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）由l 不垂直于坐标轴知，直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为()y k x n =-，0k ≠联立2214()x y y k x n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得()22222148440k x k nx k n +-+-=．设()11,P x y ，()22,Q x y ，易知12x x ≠，且12,x x 均不等于m ．由根与系数的关系，得221224414k n x x k -=+，2122814k nx x k+=+． 由PBA QBA ∠=∠， 得0PB QB k k +=，所以12120y y x m x m+=--． 所以()()()1221121202()20y x m y x m x x m n x x mn -+-=⇔-+++=，所以222224482()201414k n k nm n mn k k-⨯-++=++整理可得4mn =，即4m n =． 因为02n <<，所以(2,)m ∈+∞．【点睛】关键点点睛：解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出12x x +，12x x ，由PBA QBA ∠=∠， 得0PB QB k k +=，然后表示出0PB QB k k +=得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．24．（1）2212516x y +=；（2）3225890x y +-=．【分析】（1）由题可得22a b 9-=3=，求出,a b 即得椭圆方程； （2）利用点差法可求直线斜率，即可得出直线方程. 【详解】（1）设椭圆M 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则22a b 9-=，。
新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试题(答案解析)(2)
一、填空题1．已知A 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点，O 为坐标原点，若直线:2l x c =上存在点P 使得45APO ∠=︒，则椭圆离心率的最大值为__________.2．已知动圆M 过定点()30A -,，并且内切于定圆()22:364B x y -+=，则动圆圆心M 的轨迹方程._______ 3．已知动圆Q 与圆()221:49C x y ++=外切，与圆()222:49C x y +-=内切，则动圆圆心Q 的轨迹方程为__________．4．设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF +的最大值为________．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点为F ，定点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭和动点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭满足：2POF QOF ∠=∠，且POF 是底边长为3C 的标准方程为__________.6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与方向向量为(6,6)k =的直线交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(4,1)，则该双曲线的渐近线方程是_______.7．设12,F F 分别是椭圆22=1169x y +的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y轴上，则12||||PF PF =______. 8．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P使12PF e PF =，则该椭圆的离心率e 的取值范围是______.9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222AF F C =，则椭圆的离心率为__________. 10．已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1yx k交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____.11．已知椭圆的对称轴为坐标轴，两个焦点坐标分别为()()0,2,0,2-，且过点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆的标准方程为____________. 12．设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，()0,2A -，()0,2B ，延长AD 至点P ，使得PD BD =，则点P 的轨迹方程为______.13．已知抛物线方程为24y x =-，直线l 的方程为240x y +-=，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，点A 到直线l 的距离为n ，则m n +的最小值为______. 二、解答题14．已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点33,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且它的一个焦点在直线220x y ++=.（1）求椭圆G 的方程；（2）设直线y x m =+与椭圆G 相交于不同的两点,M N ，且()0,1B -，是否存在实数m ，使得BM BN =?若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由.15．已知抛物线2:y 2)3(0C px p <<=，其焦点为F ，点3(),2Q m 在抛物线C 上，且|QF |=4，过点(4,0)的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，连结OA ，OB ． （1）求抛物线C 的方程； （2）证明：OA OB ⊥．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2，点P 是椭圆上的动点，且12PF F △的面积的最大值为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且l 与直线2x =-相交于Q ．点T 是x 轴上一点，若总有0PT QT ⋅=，求T 点坐标．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，其左，右焦点分别是12,F F ，椭圆上的4个点,,,A B M N 满足：直线AB 过左焦点1F ，直线AM 过坐标原点O ，直线AN的斜率为32-，且2ABF 的周长为8 （1）求椭圆C 的方程． （2）求AMN 面积的最大值18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为e = （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在斜率为1-的直线l 与椭圆C 相交于两点M ，N 使得11FM F N =（1F 为椭圆的左焦点）?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，过右焦点2F 且斜率为1的直线l 与圆()()222221x y -+-=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）1F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上的一点，若12120PF F ∠=︒，求12PF F △的面积.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(0,A ，且椭圆C 的右顶点B 到直线0x y ++=的距离为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点()20P ，且与直线AB 平行的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，求OMN 的面积(O 为坐标原点)．21．已知抛物线C 的准线方程为14x =-.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点(,0)P t 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过原点O ，求证：t 为常数，并求出此常数.22．已知P 是圆22:4O x y +=上一动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足12DM DP =． （1）求动点M 的轨迹曲线C 的方程；（2）若点)N t 在曲线C 上，求12F NF △的面积．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1,2⎛ ⎝⎭，左、右焦点分别1F 、2F ，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两点，求2MN OQ的值．24．已知命题p ：()()22210t a t a a t --+-<∈R ，命题q ：方程()22113x y t t t+=∈+-R 表示焦点在x 轴上的椭圆. （1）若10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.25．已知椭圆22221(0)x y E a b a b+=>>：的左右焦点分别是1F 和2F ，离心率为13，以P 在椭圆E 上，且12PF F △的面积的最大值为 （1）求椭圆E 的方程；（2）已知直线:2(0)l y kx k =+≠与椭圆E 交于不同的两点,M N ，若x 轴上存在点G ，使得GM GN =，求点G 的横坐标的取值范围.26．已知直线l 与抛物线()2:20C y px p =>交于A ，B 两点，且点()2,4-在C 上.()1求C 的方程；()2若l 的斜率为3，且过点()1,1，求AB .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】设则利用直线倾斜角及两角差的正切可得在上有解该分式方程可转化为一元二次方程利用判别式可得的不等式从而可求离心率的最大值【详解】设右焦点为则故因为直线上存在点P 使得故在上有解即在上有解所以即故解析：14【分析】设()2,P c t ，则利用直线,AP OP 倾斜角及两角差的正切可得()2122att c c a =++在R 上有解，该分式方程可转化为一元二次方程，利用判别式可得,a c 的不等式，从而可求离心率的最大值. 【详解】设()2,P c t ，右焦点为F ， 则tan 2t PAO c a ∠=+，tan 2tPOF c∠=， 故()()2222tan 22122t tat c c a APO t t c c a c c a -+∠==++++，因为直线:2l x c =上存在点P 使得45APO ∠=︒，故()2122att c c a =++在R 上有解即()2220t at c c a -++=在R 上有解， 所以()2820a c c a -+≥即216810e e +-≤，故104e <≤... 【点睛】方法点睛：离心率的取值范围的计算，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组，有时也可以根据题设条件构建关于,,a b c 的等量关系，可根据方程有解得到基本量的不等式．2．【分析】由圆的标准方程有圆心为半径为8根据圆内切于定圆且过定点即有即知轨迹为椭圆写出轨迹方程即可【详解】由圆方程知：圆的圆心为半径为8∵圆过定点且内切于圆若设圆的圆心为∴由题意知：而故可知在以为焦点解析：221167x y += 【分析】由圆的标准方程有圆心为(3,0)B ，半径为8，根据圆M 内切于定圆B 且过定点()30A -,，即有||||8AM BM +=，||6AB =即知M 轨迹为椭圆，写出轨迹方程即可.【详解】由圆方程知：圆B 的圆心为(3,0)B ，半径为8，∵圆M 过定点()30A -,且内切于圆B ，若设圆M 的圆心为(,)M x y ， ∴由题意知：||||8AM BM +=，而||6AB =，故可知M 在以,A B 为焦点的椭圆上，∴2224,c 3,b 7a a c ===-=，即圆心M 的轨迹方程：221167x y +=.【点睛】关键点点睛：根据动圆过定点且与另一圆内切，即两圆圆心的距离加上动圆到定点的距离为定值，又两圆心距离为定值，即可知动圆圆心轨迹.3．【分析】根据题意和双曲线的定义得到动圆圆心Q 的轨迹是以为焦点的双曲线的上支求得的值即可求得轨迹方程【详解】设动圆Q 的半径为因为动圆Q 与圆外切与圆内切可得所以由双曲线的定义可得动圆圆心Q 的轨迹是以为焦解析：221(0)97y x y -=>【分析】根据题意和双曲线的定义，得到动圆圆心Q 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的上支，求得,,a b c 的值，即可求得轨迹方程. 【详解】设动圆Q 的半径为R ， 因为动圆Q 与圆()221:49C xy ++=外切，与圆()222:49C x y +-=内切，可得123,3QC R QC R =+=-，所以121268QC QC C C -=<=， 由双曲线的定义，可得动圆圆心Q 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的上支， 其中26,28a c ==，解得3,4a c ==， 又由2221697b c a =-=-=，所以动圆圆心Q 的轨迹方程为221(0)97y x y -=>.故答案为：221(0)97y x y -=>.【点睛】求曲线的轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系式或0(),F x y =，直接化简求解； 待定系数法：已知所求曲线的类型，先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定稀释；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方法；代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，将00,x y 代入已知曲线求解.4．15【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题然后求解最值即可【详解】由椭圆方程可得：由椭圆的定义可得：则的最大值为15故答案为：15【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质等价转化的数学思解析：15 【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可.【详解】由椭圆方程可得：5,4,3a b c ===，12(3,0),(3,0)F F ∴-， 由椭圆的定义可得：12210PF PF a +==，()1222||||210||101015PM PF PM a PF PM PF MF ∴+=+-=+-≤+=+=，则1||PM PF +的最大值为15. 故答案为：15. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．【分析】根据题意可以判断点在渐近线点在渐近线根据渐近线关于坐标轴对称可得由是底边长为的等腰三角形可得在中由正弦定理可得：结合即可求出和的值进而求得双曲线的标准方程【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程解析：221412x y -= 【分析】根据题意可以判断点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在渐近线2:bl y x a =-，点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭在渐近线1:bl y x a =，根据渐近线关于坐标轴对称可得3QOF π∠=，b a=POF是底边长为6OFP OPF π∠=∠=，PF =，在POF 中，由正弦定理可得：4c =，结合222c a b =+，即可求出a 和b 的值，进而求得双曲线C 的标准方程. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 所以点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在渐近线2:bl y x a =-， 点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭在渐近线1:bl y x a =，设1:b l y x a =的倾斜角为α，则2:bl y x a=-的倾斜角为2α， 所以1l 平分∠POF ，且2ααπ+=，解得3πα=，即直线1l 的斜率是：tan 33b a π==23POF π∠=，因为POF 是底边长为3 所以6OFP OPF π∠=∠=，43PF =，在POF 中，由正弦定理可得：2sinsin 63OFPF ππ=，即43132c =，解得：4c =， 由22234ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得223a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的标准方程为221412x y -=，故答案为：221412x y -=【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能判断P 和Q 两点在双曲线的渐近线上，求出3QOF π∠=，b a =23POF π∠=，判断出PF =，在POF 中可以求出4OF c ==，即可得出a 和b 的值.6．【分析】设代入到双曲线的方程中运用点差法可求得可得答案【详解】设则且因为线段的中点为所以由题意可得直线的斜率为1所以即故双曲线的渐近线方程为故答案为：【点睛】本题考查点差法的运用之得双曲线的渐近线方解析：12y x =±【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入到双曲线的方程中，运用点差法可求得12b a =，可得答案. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，因为线段AB 的中点为(4,1)，所以()()2221212221214b x x y y b x x a y y a+-==-+， 由题意可得直线AB 的斜率为1，所以2241b a=，即12b a =，故双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故答案为：12y x =±. 【点睛】本题考查点差法的运用之得双曲线的渐近线方程，属于中档题.7．【分析】先设P 点中点再求焦点再根据线段的中点在轴上求出P 点坐标再利用焦半径公式即可得的长则可解【详解】设中点由题意得由线段的中点在轴上则有代入中得P 点坐标为或根据焦半径公式可得∴故答案为：【点睛】考 解析：239【分析】先设P 点，中点，再求焦点12,F F ,再根据线段1PF 的中点在y 轴上，求出P 点坐标，再利用焦半径公式即可得12||,||PF PF 的长,则12||||PF PF 可解.【详解】设(,)p p P x y ，中点(0,)m n .由题意得12(F F ，4a =，e =由线段1PF 的中点在y 轴上，则有02p x +=，p x =22=1169x y +中得P 点坐标为9()4或9()4-根据焦半径公式可得，12239||,||44PF PF ==， ∴12||23||9PF PF =. 故答案为：239. 【点睛】考查椭圆的焦半径公式, 解题关键要求出P 点坐标.8．【分析】由椭圆的定义可得解得由椭圆的性质可得解不等式求得离心率的取值范围【详解】设点的横坐标为则由椭圆的定义可得由题意可得则该椭圆的离心率的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义以及简单性质解析：)1,1【分析】由椭圆的定义可得22()()a a e x e e x c c +=⨯-，解得(1)c a x e e -=+，由椭圆的性质可得(1)c aaa e e --+，解不等式求得离心率e 的取值范围．【详解】设点P 的横坐标为x ，12PF e PF =，则由椭圆的定义可得22()()a a e x e e x c c +=⨯-，(1)c a x e e -∴=+，由题意可得(1)c a a a e e --+， 111(1)e e e -∴-+，∴2211e e e e e e⎧--⎨-+⎩，∴11e<， 则该椭圆的离心率e 的取值范围是1，1)， 故答案为：1，1)． 【点睛】本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得22()()a a e x e e x c c+=⨯-，是解题的关键．9．【分析】过点作轴垂直为由三角形相似得到点的坐标代入椭圆方程变形求椭圆的离心率【详解】设过点作轴垂直为代入椭圆方程得解得：故答案为：【点睛】本题考查椭圆的性质重点考查数形结合分析问题的能力本题的关键是 解析：5【分析】过点C 作CD x ⊥轴，垂直为D ，由三角形相似得到点C 的坐标，代入椭圆方程，变形求椭圆的离心率. 【详解】()1,0F c -，()2,0F c 设2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点C 作CD x ⊥轴，垂直为D ，122Rt AF F Rt CDF ,22112212DF F C CD AF F F AF ∴===， 22,2b C c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222222222441144c b c a c a a a a -+=⇒+=， 解得：5c e a ==.5【点睛】本题考查椭圆的性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是利用三角形相似求得点C 的坐标，属于中档题型.10．【分析】由题意联立方程组可得由中点的性质可得化简后利用即可得解【详解】由题意双曲线的两条渐近线为则同理联立为的中点即整理得故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解考查了直线交点的问题和【分析】由题意联立方程组可得A am x ka b -=+、B amx b ka=-、21N km x k =-，由中点的性质可得2A B N x x x +=，化简后利用e =即可得解. 【详解】由题意双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，则A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩，同理B am x b ka =-， 联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩，N 为AB 的中点，∴2A B N x x x +=，即221am am mkb ka b ka k -+=+--， 整理得221b a =，∴e ==. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了直线交点的问题和运算能力，属于中档题.11．【分析】由题意可设椭圆方程为且利用椭圆定义及两点间的距离公式求得结合隐含条件求得则可求出椭圆方程【详解】解：由题意可设椭圆方程为且由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点距离之和等于得则则椭圆方程为：故答案为解析：221106y x +=【分析】由题意可设椭圆方程为22221,(0)x y a b b a+=>>，且2c =，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得a ，结合隐含条件求得b ，则可求出椭圆方程． 【详解】解：由题意可设椭圆方程为22221,(0)x y a b b a+=>>，且2c =，由椭圆的定义，椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于2a ． 222235352()(2)()(2)2102222a ∴=-+++-+-=，得10a =，则226b a c =-=，则椭圆方程为：221106y x +=．故答案为：221106y x +=.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了利用椭圆定义求椭圆的标准方程，属于基础题．12．【分析】由已知可得为椭圆两焦点再由已知结合椭圆定义可得点的轨迹是以为圆心以为半径的圆写出圆的标准方程得答案【详解】如图由椭圆方程得所以则为椭圆两焦点所以由于则所以点的轨迹是以为圆心以为半径的圆其方程 解析：()22220x y ++=【分析】由已知可得，(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点，再由已知结合椭圆定义可得点P 的轨迹是以A 为圆心，以25为半径的圆，写出圆的标准方程得答案． 【详解】 如图，由椭圆方程2215y x +=，得25a =，21b =，所以222c a b =-=，则(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点， 所以||||25DA DB a +== 由于||||PD BD =，则||||||||||5PA PD DA BD DA =+=+=所以点P 的轨迹是以A 为圆心，以2522(2)20x y ++=． 故答案为：22(2)20x y ++=．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，运用了椭圆的标准方程、椭圆定义和焦点坐标，同时考查数学转化思想方法，是中档题．13．【分析】过点作直线的垂线垂足为过点作准线的垂线垂足为交轴于点根据抛物线的定义可知所以过点作直线的垂线垂足为当点在与抛物线的交点时最小从而可求出答案【详解】如图焦点为抛物线的准线方程为过点作直线的垂线1 【分析】过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+，所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，从而可求出答案. 【详解】如图，焦点为()1,0F -，抛物线的准线方程为1x =， 过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，则AH n =，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，则AB m =，1AC m =+， 根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+， 所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，则1FH ==,当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，为15FH =，此时，m n +取得最小值15-.1.【点睛】本题考查抛物线的性质，考查点到直线距离公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、解答题14．（1）2213x y +=；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）由直线方程求得焦点坐标，结合点的坐标可列出关于,a b 的方程组，解之可得； （2）直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后，由判别式大于0得m 的范围，设交点坐标()()1122,,,M x y N x y ，应用韦达定理得1212,x x x x +，从而可得中点坐标，若存在，则利用等腰三角形性质，得垂直，从而由向量数量积为0求出m ，若m 满足判别式大于0，说明存在，不满足说明不存在． 【详解】（1）在220x y ++=中，令0y = 得2x c =-=-所以224a b -=又过点3322P ⎛ ⎝⎭所以2222223314ab a b ⎧⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨+=⎪⎪-=⎩解得2231a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆G 的方程为2213x y +=；（2）由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪++⎩得()2246310x mx m ++-=所以()2223648104m m m ∆=-->⇒< 设()()1122,,,M x y N x y则()1221232314m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩设,M N 的中点为(),p p P x y 则3,44p p p m mx y x m =-=+= 若BM BN =，则MN BP ⊥，则0MN BP ⋅= 又()30,1,,144m m B BP ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭所以()3,11,1044m m ⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭解得2m = 所以与24m <矛盾所以不存在实数m ，使得BM BN =． 【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中的存在性问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，直线方程与椭圆方程联立方程组后消元应用韦达定理得1212,x x x x +，然后把这个结论代入题中其他条件去证明、去求参数．在在性问题一般都是假设存在，按照存在的性质求解，如果能求出相应参数值，说明存在，求不出说明不存在． 15．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上，焦半径的长|QF |=4，列方程求p ，写出抛物线方程；（2）讨论直线l 斜率的存在性，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，结合向量数量积的坐标表示有0OA OB ⋅=，则OA OB ⊥即得证.【详解】解：（1）由(,Q m 在抛物线C 上可得，212pm =， 由4QF =可得，42pm +=， ∵03p <<， ∴2p =，3m =． 抛物线的方程为24y x =．（2）当直线l 的斜率不存在时，方程为4x =，易求得()4,4A -，()4,4B(4,4)OA =-，(4,4)OB =，16160OA OB ⋅=-=,此时OA OB ⊥成立．当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()4y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由24(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得24160ky y k --=，216640k ∆=+>，124y y k +=，1216y y =-，2121212121()1616016OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=-=此时OA OB ⊥成立， 综上可得，OA OB ⊥． 【点睛】关键点点睛：由抛物线过点，已知焦半径长并结合抛物线定义列方程组求参数，写出抛物线方程；利用向量垂直的坐标表示12120OA OB x x y y ⋅=+=即可证OA OB ⊥.16．（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）点T 的坐标为(1,0)-．【分析】（Ⅰ）根据题意得出222121222c b c a b c ⎧⋅⋅=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解出,a b 即可得出椭圆方程；（Ⅱ）设出直线方程，联立直线与椭圆，利用0∆=得出2221m k =+，表示出21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,2)Q m k --，再利用0PT QT ⋅=即可得出. 【详解】解：（Ⅰ）依题意得222121222c b c a b c ⎧⋅⋅=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为2212x y +=．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，l 与直线2x =-无交点，不符合题意， 故直线l 的斜率一定存在，设其方程为y kx m =+，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214220k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，所以()()22221681210k m m k ∆=--+=，化简得2221m k =+， 所以214242=-=-+P km k k x m ，2-=Pk x m ，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为直线l 与直线2x =-相交于Q ，所以(2,2)Q m k --，设(),0T t ， 所以22(2)10k k TP TQ t t m m ⎛⎫⋅=----+-= ⎪⎝⎭， 即21(1)0k t t m ⎛⎫+++=⎪⎝⎭对任意的k ，m 恒成立， 所以10t +=，即1t =-，所以点T 的坐标为(1,0)-． 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.17．（1）22143x y +=；（2）【分析】（1）根据2ABF 的周长为8，解得2a =，再由离心率为12求解. ()2设直线3:2AN y x t =-+，与椭圆方程联立，由弦长公式求得AN ，点O 到直线AN 的距离，然后根据直线AM 过坐标原点，由2AMNAONSS=求解.【详解】()1由椭圆的定义知48,2a a ==，12c a =，1c ∴=，从而2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.()2如图所示：设直线3:2AN y x t =-+， 代入椭圆方程223412x y +=， 化简得：223330x tx t -+-=， 设()()1122,,,A x y N x y ， 由()23120t ∆=->，得212t <，且()2312914t AN -=+ 而点O 到直线AN 的距离914t d =+，且直线AM 过坐标原点，()23129214914AMNAONt t SS-∴==++， ()()2222121222333t t t t +--=≤=当且仅当2212t t =- ， 即26t =时取等号，AMN ∴面积的最大值为3【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦长公式为；AB==k为直线斜率)．18．（1）22162x y+=；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）由离心率得2223c a=，由面积可得2ab=，结合222a b c=+即可求出,a b，得出椭圆方程；（2）设出直线方程y x t=-+，联立直线与椭圆，利用判别式可得t-<<由11FM F N=可求得4t=-，即可判断.【详解】（1）由cea==2223c a=，又因为四个顶点围成的四边形的面积为2ab=，由222a b c=+，得a=b=故椭圆C的方程为：22162x y+=（2）不存在符合题意的直线.假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为y x t=-+，由22162x yy x t⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得223()60x x t+-+-=，即2246360x tx t-+-=，由()222(6)163612960t t t∆=---=-+>，解得t-<<设11(,)M x y，22(,)N x y，则1232tx x+=，212364tx x-=，由于11||||F M F N=，设线段MN的中点为E，则1F E MN⊥，故111F EMNkk=-=，又1(2,0)F-，1212,22x x y yE++⎛⎫⎪⎝⎭，即3,44t tE⎛⎫⎪⎝⎭，所以141324F E t k t ==+，解得4t =-.当4t =-时，不满足t -<， 所以不存在满足条件的直线l . 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.19．（1）2212x y +=；（2【分析】（1）运用椭圆的离心率和a ，b ，c 的关系，设出直线l 的方程，由直线和圆相切的条件，解方程可得c ，即可得到椭圆方程； （2）在12PF F 中，运用余弦定理和椭圆的定义，解方程可得1||PF ，运用三角形的面积公式，计算可得所求值．【详解】 解：（1）2c a =，可得a =，所以2222b a c c =-=， 所以椭圆C 的方程可化为222212x y c c+=.过椭圆的右焦点且斜率为1的直线方程为y x c =-， 此直线与圆()()222221x y -+-=相切，=，解得1c =， 所求椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）在12PF F △中，设1||PF m =，2||PF n =，m n +=，12||2F F ， 由余弦定理得，22422cos120n m m =+-⨯︒，2242n m m =++，因为n m =代入上式解得m =所以12PF F △面积1211sin120222S m F F =︒==故12PF F △的面积为7【点睛】方法点睛：对于椭圆和双曲线的问题，看到焦半径要马上联想到椭圆双曲线的定义，利用其定义解题，必要时需借助正弦余弦定理求解.20．（1）22182x y +=；（2【分析】（1）根据点(0,A得b =B到直线0x y ++=的距离为4得a =（2）求出直线l 的方程，与椭圆方程联立，设()11,M x y ，()22,N x y ，求出12||y y -，利用1212111222S OP y OP y OP y y =+=⨯⨯-可求出面积. 【详解】（1）由题得b =因为椭圆C 的右顶点(,0)B a到直线0x y ++=的距离为4．4=，解得a =故椭圆C 的标准方程为22182x y +=．（2）由题意知1(0,2AB A B k ∴= 所以直线l 的方程为220x y --=联立22220182x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22210y y +-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则121y y +=-，1212y y =- 从而12y y -===故OMN的面积1212111122222S OP y OP y OP y y =+=⨯⨯-=⨯． 【点睛】关键点点睛：将OMN 的面积化为OMP 和ONP △的面积之和，再利用12||y y -进行计算时解题关键.21．（1）2y x =；（2）证明见解析，1,0t t ==. 【分析】（1）由准线方程为14x =- 求得12p =，得解抛物线C 的方程（2）设过P 的直线l 方程为：x my t =+（m R ∈），联解后，利用原点O 落在以AB 为直径的圆上得0OA OB ⋅= 得到12120x x y y +=得解 【详解】（1）由准线方程为14x =-可设抛物线C 的方程22(0)y px p =>求得12p =故所求的抛物线C 的方程为：2y x =（2）依题意可设过P 的直线l 方程为：x my t =+（m R ∈）， 设1122(,),(,)A x y B x y由2x my t y x=+⎧⎨=⎩得：2y my t =+ 依题意可知0∆>，且12y y t =-原点O 落在以AB 为直径的圆上令0OA OB ⋅=即()22212121212t 0x x y y y y y y t +=+=--=解得：1,0t t ==即t 为常数，∴ 原题得证 【点睛】本题利用0OA OB ⋅=得到12120x x y y +=是解题关键.22．（1）2214x y +=；（2）2【分析】（1）设(),M x y ，利用已知条件得到(),2P x y ，代入圆的方程整理即可得出结果；（2）由（1）得12F F =)N t 在曲线C 上，可得2t =，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）设(),M x y ，则(),0D x ， 由12DM DP =， 知(),2P x y ，因为点P 在圆224x y +=上， 所以2244x y +=，故动点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=；（2）由（1）得曲线C 的方程为：2214x y +=，得122F F c ====又点)N t 在曲线C 上，得2214t t +=⇒=所以121211222F NF S F F t ==⨯=所以12F NF △【点睛】方法总结：求点的轨迹方程的方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）代入法；（4）参数法.23．（1）22142x y +=；（Ⅱ）1.【分析】（Ⅰ）由椭圆的四个顶点围成的菱形的面积得到2ab =⎛ ⎝⎭，列出另一方程，求解，即可得出结果；（Ⅱ）设直线:OQ x my =，则直线:MN x my =+，分别联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，以及弦长公式，求出2OQ 和MN ，即可求出结果. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的四个顶点围成的菱形面积为2ab =又椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以221123a b +=，由2213122a b ab ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2242a b ⎧=⎨=⎩，因此椭圆C 的方程为22142x y +=；（Ⅱ）由22142x y +=可得其右焦点为)2F ，设直线:OQ x my =，则直线:MN x my =+，联立直线22142x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222224242Q Q mx m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 所以()222222224144222Q Qm m OQ x y m m m +=+=+=+++； 设()11,M x y 、()22,N x y ，由22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，整理得()22220m y ++-=，则122122222y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=-⎪+⎩， 因此()22412m MN m +===+， 所以21MN OQ=.【点睛】 思路点睛：求解椭圆中的弦长问题时，一般先设直线与椭圆的两交点坐标，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理与弦长公式求解. 24．（1）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）[]2,3 【分析】（1）首先求命题p 为真命题时，求t 的取值范围，再根据题意转化为()10,1,2a a ⎛⎫⊆- ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围；（2）求命题q 为真命题时t 的取值范围，再转化为真命题时求a 的取值范围.【详解】（1）()()()2221010t a t a a t a t a --+-<⇔---<⎡⎤⎣⎦，解得：1a t a -<< ，即不等式的解集是()1,a a -， 由题意可知()10,1,2a a ⎛⎫⊆- ⎪⎝⎭，所以1012a a -≤⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：112a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）方程()22113x y t t t+=∈+-R 表示焦点在x 轴的椭圆， 103013t t t t +>⎧⎪∴->⎨⎪+>-⎩，解得：13t <<，即()1,3t ∈， 若p 是q 的充分不必要条件， 则()1,a a - ()1,3，113a a -≥⎧∴⎨≤⎩，解得23a ≤≤， ∴实数a 的取值范围是[]2,3【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．25．（1）22198x y ；（2）2001212⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦，. 【分析】（1）先判断P 在短轴端点时，12PF F △的面积最大，得到bc =13c e a ==，222+=a b c ，即解得参数a ，b ，得到方程； （2）先联立方程得到中点坐标()00,E x y ，再利用已知条件得到GE MN ⊥，设点G 坐标(),0G m ，得到m ，k 的关系，讨论m 的取值范围，即得结果.【详解】解：（1）依题意，显然当P 在短轴端点时，12PF F △的面积最大为122c b ⨯⨯=bc =13c e a ==，222+=a b c ，解得2229,8,1a b c ===， 故椭圆E 的方程为22198x y ；（2）联立方程组222198y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()228936360k x x ++-=，因为直线l 恒过定点(0,2)，故直线与椭圆必有两个交点，设()()1122,,,M x y N x y ， 则1223689k x x k -+=+，设,M N 中点为()00,E x y ，则120218289x x k x k +-==+，002218162=28989k y kx k k k-=+⋅+=++，,GM GN GE MN =∴⊥，设(),0G m ，则22161891889GEk k k k m k+==---+，化简得2228899k m k k k --==++. 当0k >时89k k +≥89=k k 时，即k =0m ≤<； 当0k <时89k k +≤--89=k k 时，即3k =-时等号成立，故012m <≤；综上，点G 的横坐标的取值范围为2001212⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦，. 【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围． 26．()128y x =；()29【分析】。
人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试卷(含答案解析)(1)
一、填空题1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为______．2．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交椭圆C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点，若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.3．与双曲线22142x y -=有相同的渐近线，且过点(2,1)P 的双曲线标准方程为__________.4．设直线l :1y x =+与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，与x 轴相交于左焦点F ，且3AF FB =，则椭圆的离心率e =_________5．设1F ､2F 分别是椭圆2214xy +=的左､右焦点，若椭圆上存在一点P ，使2()OP OF +⋅20PF =(O 为坐标原点)，则△12F PF 的面积是___________6．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，根据图上尺寸， 溢流孔ABC 所在抛物线的方程为_________， 溢流孔与桥拱交点A 的横坐标．．．为 ___________ .7．椭圆2214x y +=的右焦点为F ，以点F 为焦点的抛物线的标准方程是___________.8．设12,F F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积等于__________．9．已知椭圆的方程为2212516x y +=，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 点的坐标为(2,1)，P 为椭圆上一点，则2||||PA PF +的最大值是___________.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.11．设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则下列结论①42OM ON +；②O 到直线MN 的距离不大于2；③直线MN 过抛物线2y x =的焦点；④MN 为直径的圆的面积大于4π，不正确的有__12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P使12PF e PF =，则该椭圆的离心率e 的取值范围是______.13．已知抛物线方程为24y x =-，直线l 的方程为240x y +-=，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，点A 到直线l 的距离为n ，则m n +的最小值为______.二、解答题14．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的一个焦点为1(1,0)F -，上顶点到这个焦点的距离为2.（1）求椭圆C 的标准方程（2）若点T 在圆222x y +=上，点A 为椭圆的右顶点，是否存在过点A 的直线l 交椭圆C 于B （异于点A ），使得14()7OT OA OB =+成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.15．已知A ，B 分别为椭圆2222:+=1(>>0)x y E a b a b的左右项点，G 为E 的上顶点，直线AG ，BG 的斜率之积为34-，且点3(1,)2P 在椭圆上． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(1,0)F 的直线l 交椭圆E 于C ，D 两点，交直线=4x 点Q ．设直线,,PC PD PQ的斜率分别为123,,.k k k 问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在求λ的值；若不存在，说明理由．16．已知椭圆E 中心为坐标原点，一个焦点为()1,0且与直线y x =+有公共点. （1）求椭圆E 长轴最短时的标准方程；（2）在（1）的条件下，若椭圆E 上存在不同两点关于直线4y x m =+对称，求实数m 的取值范围.17．已知()2,0A -，()2,0B ，直线AM ，BM 相交于点M .且它们的斜率之积是3. （1）求点M 的轨迹C 的方程.（2）过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点,P Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由.18．在①01PF x =+，②0022y x ==，③PF x ⊥轴时，2PF =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答．问题：已知抛物线2:3(0)C y px p =>的焦点为F ，点()00,P x y 在抛物线C 上，且______，（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若直线:20l x y --=与抛物线C 交于A ，B 两点，求ABF 的面积．19．已知集合(){}22|4300A x x ax a a =-+<>，集合B ={a 方程221382x y a a+=--表示圆锥曲线C }（1）若圆锥曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数a 的取值范围；（2）若圆锥曲线C 表示双曲线，且A 是B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20．已知命题:p 方程22113x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 关于x 的不等式22230x mx m +++>恒成立；（1）若命题q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题.求实数m 的取值范围.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点231,E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1A ，2A 为椭圆的左右顶点，且直线1A E ，2A E 的斜率的乘积为23-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQMN的最小值.22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，过右焦点2F 且斜率为1的直线l 与圆()()222221x y -+-=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）1F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上的一点，若12120PF F ∠=︒，求12PF F △的面积.23．已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(0,．（1）求椭圆方程；（2）已知1F 、2F 为椭圆的上、下两个焦点，AB 是过焦点1F 的一条动弦，求2ABF 面积的最大值．24．（1）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距为x =±，求椭圆1C 的方程；（2）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有2个公共交点，求双曲线2C 的方程.25．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的上、下焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求1F AB 的内切圆的半径的最大值．26．已知椭圆C ：22142x y +=.（1）求椭圆的离心率.（2）已知点A 是椭圆C 的左顶点，过点A 作斜率为1的直线m ，求直线m 与椭圆C 的另一个交点B 的坐标.（3）已知点(M ，P 是椭圆C 上的动点，求PM 的最大值及相应点P 的坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】作出图形设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为计算出再利用椭圆的定义可得出关于的等式进而可求得椭圆的离心率的值【详解】如下图所示设椭圆的左右焦点分别为设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为则由勾股定理可解析：512- 【分析】作出图形，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB，计算出1AF ，再利用椭圆的定义可得出关于a 、c 的等式，进而可求得椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，则2AB c =，212AF AB c ==， 由勾股定理可得2212125AF AF F F c =+=，由椭圆的定义可得122AF AF a +=52c c a +=，所以，该椭圆的离心率为()()25151515151c e a -====++-. 故答案为：512. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.2．【分析】求出直线的方程利用点到直线的距离与半通径的关系列出不等式求解即可【详解】解：直线的方程为：椭圆的右焦点过椭圆的右焦点作轴的垂线交于两点直线过的左焦点和上顶点若以为直径的圆与存在公共点可得：可解析：0,5⎛ ⎝⎦【分析】求出直线l 的方程，利用点到直线的距离与半通径的关系，列出不等式，求解即可． 【详解】解：直线l 的方程为：1x yc b+=-，椭圆的右焦点(,0)c ， 过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，2b a可得：2b c ，即2224a c c -，即：215e，(0,1)e ∈， 解得：50e<．故答案为：⎛ ⎝⎦． 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3．【分析】设双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为把点代入求出得解【详解】设双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为把点代入得：∴所求双曲线方程为故答案为:【点睛】本题考查双曲线方程的求法考查双曲线的性质等基础解析：2212x y -=【分析】设双曲线22142x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为2242x y λ-=，0λ≠（），把点(2,1)P 代入，求出λ得解．【详解】设双曲线22142x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为2242x y λ-=0λ≠（）把点(2,1)P 代入，得：12λ=∴所求双曲线方程为2222114222x y x y -=⇒-=．故答案为:2212x y -=【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】设联立方程组可得由可得进而可得再由椭圆的焦点坐标可得即可得解【详解】设将直线:代入椭圆方程消去x 化简得所以又所以所以所以化简得又直线:过椭圆的左焦点所以所以所以或（舍去）所以椭圆离心率故答案解析：2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组可得12y y +、12y y ，由3AF FB =可得123y y =-，进而可得()()2222240a ab a b +-+=，再由椭圆的焦点坐标可得a ，即可得解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l :1y x =+代入椭圆方程，消去x 化简得222222()2(1)0a b y b y b a +-+-=，所以222121222222(1),b b a y y y y a b a b-+==++， 又3AF FB =，所以123y y =-，所以222222b y a b -=+，222222(1)3b a y a b --=+，所以22222222(1)3b b a a b a b ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭，化简得()()2222240a a b a b +-+=， 又直线l :1y x =+过椭圆C 的左焦点F ， 所以()1,0F -，所以2221a b c -==， 所以22a =或21a =（舍去），所以a =2c e a ==.故答案为：2 2.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化3AF FB=为123y y=-，再结合韦达定理即可得解. 5．1【分析】记的中点为根据向量数量积为得到与的位置关系再结合三角形中位线以及直角三角形中的勾股定理求解出的值则面积可求【详解】如图所示：记的中点为因为所以所以因为为的中点所以所以所以所以所以故答案为：解析：1【分析】记2PF的中点为M，根据向量数量积为0得到OM与2PF的位置关系，再结合三角形中位线以及直角三角形中的勾股定理求解出12PF PF⋅的值，则12F PF△面积可求.【详解】如图所示：记2PF的中点为M，因为22()0OP OF PF+⋅=，所以220OM PF⋅=，所以2OM PF⊥，因为,O M为122,F F PF的中点，所以1//OM PF，所以12PF PF⊥，所以2221212121224PF PF F FPF PF a⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，所以()()22212121222PF PF PF PFPF PF+-+⋅==，所以121212F PFPF PFS==，故答案为：1.【点睛】关键点点睛：圆锥曲线中的向量平行或垂直问题，一方面可以转化为线段或直线的位置关系，另一方面还可以通过坐标形式表示出对应的位置关系.6．【分析】根据题意设桥拱所在抛物线的方程为溢流孔ABC所在方程为运用待定系数法求得可得右边第二个溢流孔所在方程联立抛物线方程可得所求【详解】设桥拱所在抛物线方程由图可知曲线经过代入方程解得：所以桥拱所 解析：()236145x y -=-14013【分析】根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为22x py =-，溢流孔ABC 所在方程为()21:142(0)C x p y p ''-=->，运用待定系数法，求得p ，p '，可得右边第二个溢流孔所在方程，联立抛物线方程，可得所求. 【详解】设桥拱所在抛物线方程22x py =-，由图可知，曲线经过()20,5-，代入方程()22025p =-⨯-，解得：40p =，所以桥拱所在抛物线方程280x y =-； 四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看， 设第一个抛物线()21:142C x p y '-=-，由图抛物线1C 经过点()20,5A -，则()()2201425p '-=-⨯-，解得185p '=， 所以()2136:145C x y -=-， 点A 即桥拱所在抛物线280x y =-与()2136:145C x y -=-的交点坐标， 设(),,714A x y x <<由()228036145714x y x y x ⎧=-⎪⎪-=-⎨⎪<<⎪⎩，解得：14013x = 所以点A 的横坐标为14013. 故答案为：()236145x y -=-；14013【点睛】关键点点睛：此题考查根据实际意义求抛物线方程和交点坐标，关键在于合理建立模型正确求解，根据待定系数法，及平移抛物线后方程的形式即可.7．【分析】根据椭圆的方程求得焦点的坐标得到抛物线的焦点坐标求得的值即可求得抛物线的标准方程【详解】由题意椭圆可得则所以椭圆的右焦点为即抛物线的焦点坐标为设抛物线的标准方程为可得即所以抛物线的标准方程为解析：2y =【分析】根据椭圆的方程求得焦点F 的坐标，得到抛物线的焦点坐标，求得p 的值，即可求得抛物线的标准方程. 【详解】由题意，椭圆2214x y +=，可得224,1a b ==，则c ==所以椭圆的右焦点为F，即抛物线的焦点坐标为F ， 设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，可得2p=，即p =所以抛物线的标准方程为2y =.故答案为：2y =. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质的应用，以及抛物线的标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，以及抛物线的标准方程的形式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.8．12【分析】通过双曲线的定义可先求出的长度从而利用余弦定理求得于是可利用面积公式求得答案【详解】由于因此故由于即而所以所以因此【点睛】本题主要考查双曲线定义余弦定理面积公式的综合应用意在考查学生的分解析：12 【分析】通过双曲线的定义可先求出12PF PF ，的长度，从而利用余弦定理求得12cos F PF ∠，于是可利用面积公式求得答案. 【详解】由于22154x y -=，因此a =3c =，故12|26|=F F c =，由于12:2:1PF PF =即12=2PF PF，而122PF PF a -==1PF，2PF ，222121212124cos 25PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，所以123sin 5F PF ∠=，因此1212121||||sin 122PF F S PF PF F PF ∆=∠=. 【点睛】 本题主要考查双曲线定义，余弦定理，面积公式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度中等.9．【分析】本题先根据已知求出再求最后转化即可解题【详解】解：∵椭圆的方程为∴则∵∴∵∴故答案为：【点睛】本题考查椭圆上点到焦点与定点距离的和的最值椭圆的标准方程求是中档题解析：10+【分析】本题先根据已知求出2a 、c ，再求1||AF 、12||||10PF PF +=，最后转化2||||PA PF +即可解题. 【详解】解：∵椭圆的方程为2212516x y +=，∴225a =，2229c a b =-=，则210a =，3c =， ∵(2,1)A ，1(3,0)F -，∴1||AF ==∵12||||210PF PF a +==，∴211||||10||||10||10PA PF PA PF AF +=+-≤+=故答案为：10+【点睛】本题考查椭圆上点到焦点与定点距离的和的最值、椭圆的标准方程求a ，b ，c ，是中档题.10．【分析】设则推出由双曲线的定义得再在和应用余弦定理得进而得答案【详解】解：设则∴由双曲线的定义得此时在和应用余弦定理得：；所以即故所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用是基本知识的考查【分析】设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，推出22QF m =，由双曲线的定义得14QF a m a⎧=⎨=⎩，再在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得2225243a c a -=，进而得答案. 【详解】解：设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，∴22QF m =，由双曲线的定义，得12112122422PF PF m aQF a m a QF QF QF m a ⎧-==⎧=⎪⇒⎨⎨=-=-=⎩⎪⎩， 此时，在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得：2222221112116992cos 22433QF PQ PF a a a FQF QF PQa a +-+-∠===⨯⨯2222222212121221216445cos 22424QF QF F F a a c a c FQF QF QF a a a+-+--∠===⨯⨯；所以2225243a c a -=，即2237c a =，故2273c a =，所以c e a ==．. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．11．①③④【分析】当直线的斜率不存在时根据斜率公式即可求得的方程当斜率存在时设直线的方程代入抛物线方程利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得直线恒过定点然后判断出以为直径的圆的面积再根据抛物线几何性质求得解析：①③④ 【分析】当直线MN 的斜率不存在时，根据斜率公式，即可求得MN 的方程，当斜率存在时，设直线MN 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得直线MN 恒过定点，然后判断出OM ON +=<||MN =，以MN 为直径的圆的面积2π，再根据抛物线几何性质求得焦点坐标求得答案． 【详解】当直线MN 的斜率不存在时，设200(,)M y y ，200(,)N y y -，因为斜率之积为12-，所以20112y -=-，即202y =， 所以MN 的直线方程为2x =；当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，联立2y kx my x=+⎧⎨=⎩， 可得20ky y m -+=．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则12m y y k =，2122m x x k=，所以12121·2OM ON y y k k k x x m ===-，即2m k =-． 所以直线方程为2(2)y kx k k x =-=-．则直线MN 过定点(2,0)．则O 到直线MN 的距离不大于2．故②正确． 当MN 的直线方程为2x =时，(2,M N，此时OM ON +=<①错误；当MN 的直线方程为2x =时，(2,M N，此时||MN =MN 为直径的圆的面积2π，故④错误；抛物线2y x =的焦点是1(,0)4，故③错误； 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率公式的应用以及直线恒过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题．12．【分析】由椭圆的定义可得解得由椭圆的性质可得解不等式求得离心率的取值范围【详解】设点的横坐标为则由椭圆的定义可得由题意可得则该椭圆的离心率的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义以及简单性质解析：)1,1【分析】由椭圆的定义可得22()()a a e x e e x c c +=⨯-，解得(1)c a x e e -=+，由椭圆的性质可得(1)c aaa e e --+，解不等式求得离心率e 的取值范围．【详解】设点P 的横坐标为x ，12PF e PF =，则由椭圆的定义可得22()()a a e x e e x c c +=⨯-，(1)c a x e e -∴=+，由题意可得(1)c aaa e e --+， 111(1)e e e -∴-+，∴2211e e e e e e⎧--⎨-+⎩，∴11e <，则该椭圆的离心率e 的取值范围是1，1)，故答案为：1，1)． 【点睛】本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得22()()a a e x e e x c c+=⨯-，是解题的关键．13．【分析】过点作直线的垂线垂足为过点作准线的垂线垂足为交轴于点根据抛物线的定义可知所以过点作直线的垂线垂足为当点在与抛物线的交点时最小从而可求出答案【详解】如图焦点为抛物线的准线方程为过点作直线的垂线解析：15-【分析】过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+，所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，从而可求出答案. 【详解】如图，焦点为()1,0F -，抛物线的准线方程为1x =， 过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，则AH n =，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，则AB m =，1AC m =+， 根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+， 所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，则124655FH --==, 当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，为1655FH =， 此时，m n +取得最小值651-. 故答案为：651-.【点睛】本题考查抛物线的性质，考查点到直线距离公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、解答题14．（1）221 43x y+=；（2）存在满足条件的直线l，方程为3(2)2y x=±- .【分析】（1）求出,,a b c后可得椭圆方程.（2）设直线l的方程为(2)y k x=-，联立直线方程和椭圆方程后可用k表示B，从而可用k表示T，利用T在圆上可求k的值，从而得到所求的直线方程.【详解】解：（1）由椭圆的一个焦点为1(1,0)F-知：1c=，因为上顶点到这个焦点的距离为2，故2a=，所以3b=，∴所求椭圆C的标准方程为22143x y+=；（Ⅱ）假设存在过点A的直线l符合题意，则结合图形易判断直线l的斜率必存在，于是可设直线l的方程为(2)y k x=-，由22143(2)x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2222341616120k x k x k+-+-= .（*）∵点A 是直线l 与椭圆C 的一个交点，则2A x =，∴22161234A B k x x k -⋅=+，∴228634B k x k -=+，∴21234Bk y k =-+， 即点2228612,3434k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，(2,0)OA =， ∴2221612,3434k k OA OB k k ⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭， 即222141612,3434k k OT k k ⎫=-⎪++⎝⎭∵点T 在圆222x y +=上.∴2222221612273434k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 化简得42488210k k --=，解得234k =，∴，2k =±， 经检验知，此时（*）对应的判别式0∆>，满足题意， 故存在满足条件的直线l ，其方程为(2)2y x =±-. 【点睛】方法点睛：（1）求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定；（2）直线与椭圆的位置关系中，如果动直线与椭圆交于交于一个定点，那么可以用动直线的斜率表示另一个交点，从而可简化运算.15．（1）22143x y +=；（2）存在实数2λ=.【分析】（1）由椭圆方程确定A ，B ，G 的坐标，再由已知条件有22191344AG BG a b k k +⎧⋅=-⎪⎪⎨=⎪⎪⎩即可求得2a ，2b ，写出椭圆E 的方程；（2）由题意有直线l 的方程为(1)y k x =-，联立椭圆方程、设11(,)C x y ，22(,)D x y ，()4,3Q k ，结合根与系数关系有12x x +，12x x ⋅，由斜率的两点公式可证1232k k k +=，即可确定λ的值； 【详解】解：（1）由题意，(),0A a -，(),0B a ，()0,G b ，22341914AG BG a b b b k k a a ⎧⋅=⋅=-⎪⎪-⎨+=⎪⎪⎩，解得24a =，23b =， 故椭圆E 的方程为：22143x y +=．（2）存在实数2λ=满足题意；由（1）知椭圆E 的方程：2234120x y +-=，直线l 的方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程并整理，得2223484120()k x k x k +-+-=，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，()4,3Q k 则有2122834kx x k +=+，212241234k x x k-⋅=+， ()()121212121233331122221111y y k x k x k k x x x x ------+=+=+----22122212122282233342241282()12131234k x x k k k k k x x x x k k-+-+=-⋅=-⋅-⋅-++-+-+22222386822412834k k k k k k--=-⋅--++21k =-， 3332222141k k k -=⋅=--，即1232k k k +=， 故存在实数2λ=满足题意． 【点睛】关键点点睛：由直线斜率关系，椭圆过定点，应用待定系数法求2a ，2b ，写出椭圆E 的方程；根据直线与椭圆关系，联立方程由根与系数关系有12x x +，12x x ⋅，再由斜率的两点公式确定123,,k k k 的数量关系.16．（1）22143x y +=；（2）⎛ ⎝⎭. 【分析】（1）首先利用对称性作点1(1,0)F -关于直线y x =+的对称点()'1,F x y ，由对称性可知11PF PF '=，利用公式'12122||||||||a PFPF PF PF =+=+，求长轴的最小值； （2）首先设椭圆上存在111(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线4y x m =+对称，则直线AB 方程为14y x n =-+，直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系和对称关系，列式求m 的取值范围. 【详解】（1）由已知椭圆焦点1(1,0)F -，2(1,0)F ， 设点P 是椭圆E与直线y x =+ 求得1(1,0)F -关于直线y x =的对称点()'1,F x y ，则12211y x y x -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩，解得：1x y ==，即()11F ',124F F '==则椭圆长轴长''1212122||||||||||4a PF PF PF PF F F =+=+≥=，∴椭圆长轴最短时方程为：22143x y +=（2）设椭圆上111(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线4y x m =+对称， 则,A B 在与直线4y x m =+垂直的直线上，设为14y x n =-+， 由2214143y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：221324(3)04x nx n -+-= 令0∆>，则2413n <① 又12813nx x +=，,A B 中点412(,)1313n n ，代入4y x m =+有： 413n m=，代入①解得：1313m -<<故m 的取值范围是：⎛ ⎝⎭. 【点睛】思路点睛：本题第一问考查与直线有关的对称问题，当点P 在直线上运动，求点P 到两个定点的距离的最值，需注意，两定点在直线的异侧，求和的最小值，两定点在直线的同侧，求差的最大值，如果不是这样，需用对称性，进行转化.17．（1）221(2)412x y x -=≠±；（2）不能，理由见解析.【分析】（1）设出点(),M x y ，利用斜率之积即可求出轨迹方程； （2）设出()()1122,,,P x y Q x y ，利用点差法可求出. 【详解】（1）设(),M x y ，2x ≠±，02AM y k x -=+，02BM y k x -=-， 3AMBM k k ⋅=，即00322y y x x --⋅=+-，整理得：()223122x y x -=≠±，即轨迹C 方程为：221(2)412x y x -=≠±；（2）显然直线m 的斜率存在，设为k ，设()()1122,,,P x y Q x y ，则2211222214121412x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式相减得()()()()121212120412x x x x y y y y -+-+-=，整理可得121212123y y x xx x y y -+=⨯-+， N 是线段PQ 的中点，∴12124326y y x x -=⨯=-，即2k =， 故直线m 的方程为()322y x -=-，即210x y --=，将直线代入双曲线可得24130x x -+=，()244130∆=--⨯<，此时直线与双曲线不相交.故不能作出这样的直线. 【点睛】方法点睛：解决中点弦问题的两种方法：（1）根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.18．（1）任选一个条件，抛物线方程都为24y x =；（2） 【分析】（1）选①：由抛物线的性质可得02pPF x =+，即可求出p ；选②：由题将点P 代入抛物线即可求出p ；选③：由题可得222p pPF p =+==； （2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出AB ，利用点到直线距离公式求出高，即可得出面积.【详解】解：（1）若选①：由抛物线的性质可得02p PF x =+ 因为01PF x =+，所以0012px x +=+，解得2p =． 故抛物线C 的标准方程为24y x =． 若选②：因为0022y x ==所以002,1y x ==，因为点()00,P x y 在抛物线C 上，所以2002y px =，即24p =，解得2p =， 故抛物线C 的标准方程为24y x =． 若选③：因为PF x ⊥轴，所以22p pPF p =+=， 因为2PF =，所以2p =． 故抛物线C 的标准方程为24y x =．（2）设()()1122,,,A x y B x y 由（1）可知(1,0)F ．联立2204x y y x--=⎧⎨=⎩，整理得2480y y --=，则1212124,8,y y y y y y +==--===故12AB y y =-==因为点F 到直线l 的距离2d ==，所以ABF 的面积为1122AB d ⋅=⨯= 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.19．（1）1143a <<；（2）01a <≤或4a ≥. 【分析】（1）根据椭圆的标准方程，求出a 的范围；（2）再确定集合A ，由双曲线的标准方程得集合B ，然后根据充分必要条件的定义集合包含关系，从而得出a 的不等关系，求得结论． 【详解】（1）由方程221382x y a a+=--表示的曲线是表示焦点在x 轴上的椭圆∴(3)(82)0a a ->->， ∴1143a << 解不等式22430(0)x ax a a -+<>可得3(0)a x a a <<>方程221382x y a a+=--表示的曲线是双曲线∴(3)(82)0a a --<， ∴4a >或3a <因为A 是B 的充分不必要条件所以(,3)a a 是(,3)(4,)-∞⋃+∞的真子集 所以033a <≤或4a ≥ 解得01a <≤或4a ≥所以a 的取值范围是01a <≤或4a ≥． 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 20．（1）13m -<<；（2）[)1,3. 【分析】（1）根据判别式小于0可解得结果；（2）根据复合命题的真假可得p ，q 为一个真命题，一个假命题，分两种情况讨论列式可解得结果. 【详解】（1）若命题q 是真命题，则关于x 的不等式22230x mx m +++>恒成立； 则判别式244(23)0m m ∆=-+<，即2230m m --<，得13m -<<（2）∵方程22113x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆.∴013m m <+<-，解得：11m -<<，∴若命题p 为真命题，则实数m 的取值范围是11m -<<；由（1）知，若命题q 为真命题，则实数m 的取值范围是13m -<<若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p ，q 为一个真命题，一个假命题， 若p 真q 假，则1131m m m -<<⎧⎨≥≤-⎩或，此时无解，若p 假q 真，则1311m m m -<<⎧⎨≥≤-⎩或，得13m ≤<.综上，实数m 的取值范围是[)1,3. 【点睛】关键点点睛：分别根据命题,p q 为真命题，求出m 的取值范围是解题关键.21．（1）22132x y +=；（2）3. 【分析】（1）由题可得221413a b+=，233113a a ⋅=-+-，解得,ab ，即可得椭圆C 的方程； （2）由题可设直线l ：1x my =+，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式计算出点P ，MN，计算得2PQMN =，令t =，采用换元法求解最小值. 【详解】 （1）依题意有，221413a b +=，233113a a ⋅=-+-， 解得23a =，22b =，椭圆的方程为22132x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率不为0，设其方程为1x my =+， 设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程()2222123440321x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，得到122423m y y m -+=+，122423y y m -=+ 由弦长公式MN =整理得22123m MN m +=+，又1222223P y y m y m +-==+，2323Px m =+，2P PQ x =-=212PQMN =， 令t =，1t≥，上式24554t t t t +⎫==+≥⎪⎝⎭， 当254t =，即12m =±时，PQMN 【点睛】方法点睛：求解弦长问题通常应用弦长公式： 直线与圆锥曲线交于点()()1122,,,A x y B x y，则弦长1212AB x y =-=-（k 为直线的斜率）. 22．（1）2212x y +=；（2）7【分析】（1）运用椭圆的离心率和a ，b ，c 的关系，设出直线l 的方程，由直线和圆相切的条件，解方程可得c ，即可得到椭圆方程； （2）在12PF F 中，运用余弦定理和椭圆的定义，解方程可得1||PF ，运用三角形的面积公式，计算可得所求值．【详解】 解：（1）2ca =，可得a =，所以2222b a c c =-=， 所以椭圆C 的方程可化为222212x y c c+=.过椭圆的右焦点且斜率为1的直线方程为y x c =-， 此直线与圆()()222221x y -+-=相切，2=，解得1c=，所求椭圆C的方程为2212xy+=.（2）在12PF F△中，设1||PF m=，2||PF n=，m n+=，12||2F F，由余弦定理得，22422cos120n m m=+-⨯︒，2242n m m=++，因为n m=代入上式解得m=所以12PF F△面积1211sin12022227S m F F=︒=⨯=故12PF F△【点睛】方法点睛：对于椭圆和双曲线的问题，看到焦半径要马上联想到椭圆双曲线的定义，利用其定义解题，必要时需借助正弦余弦定理求解.23．（1）2212yx+=；（2【分析】（1）根据离心率的值，可列出a c，的关系式，再根据经过()0,-2点，可得出a的值和c 的值，最后再结合222a b c=+，可算出b的值，直接写出椭圆方程即可.（2）根据题意设出直线的方程和椭圆方程联立方程组，由根和系数的关系，再结合三角形面积公式，可把三角形面积表示成含有参数的关系式，最后根据不等式，可求得面积的最大值.【详解】（1）由题意，a=cea==得1c=，所以1b=，所以椭圆方程是2212yx+=．（2）由于直线AB经过上焦点()0,1，设直线AB方程为1y kx=+，联立方程组22112y kxyx=+⎧⎪⎨+=⎪⎩将1y kx=+代入椭圆方程2212yx+=，得()222210k x kx++-=，则222A Bkx xk+=-+，212A Bx xk⋅=-+，。
最新人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试题(包含答案解析)(2)
一、填空题1．已知椭圆221167x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点（P 在x 轴上方），点1(4,3),M F M 平分12PF F ∠，则1222PF F PMF SS+=______．2．已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，点A 的坐标为()0,4，则APF 周长的最小值为_____________.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于P ，Q 两点．若60PAQ ∠=︒，且3PO OQ =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为_________．4．设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF +的最大值为________．5．已知椭圆的方程为2212516x y +=，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 点的坐标为(2,1)，P 为椭圆上一点，则2||||PA PF +的最大值是___________.6．已知1F ､2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.7．如图所示，已知A ､B ､C 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上的三点，BC 过椭圆的中心O ，且,2AC BC BC AC⊥=.则椭圆的离心率为_______.8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF 、||AB 、2AF 成等差数列，则C 的离心率为___________．9．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是______．10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>离心率为2，则其渐近线与圆()22214x a y a -+=的位置关系是________. 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的焦点为()12,0F -，()22,0F ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.若223AF F B =，1AB BF =，则椭圆C 的标准方程为______.12．设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，()0,2A -，()0,2B ，延长AD 至点P ，使得PD BD =，则点P 的轨迹方程为______.13．已知点P 是椭圆221259x y +=上任意一点，则当点P 到直线45400x y -+=的距离达到最小值时，此时P 点的坐标为______．参考答案二、解答题14．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x ya b+=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值. 15．已知()2,0A -，()2,0B ，直线AM ，BM 相交于点M .且它们的斜率之积是3.（1）求点M 的轨迹C 的方程.（2）过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点,P Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由.16．已知12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上一点，满足12PF PF ⊥且128,6PF PF ==． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l 交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点恰为点(2,6)M ，求直线l 的方程．17．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A ，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线，记切点分别为,S T ，令1,r =求此时两切点连线ST 的方程；（3）若过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D （不同于点A ）.当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.18．已知椭圆()2222 :?10x y C a b a b +=>>的离心率3e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -45.（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.19．（1）已知双曲线的渐近线方程为230x y ±=，且双曲线经过点)6,2P .求双曲线方程.（2）若直线2x y -=与抛物线24y x =交于A ，B 两点，求线段AB 的中点坐标；20．已知集合(){}22|4300A x x ax a a =-+<>，集合B ={a 方程221382x y a a+=--表示圆锥曲线C }（1）若圆锥曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数a 的取值范围；（2）若圆锥曲线C 表示双曲线，且A 是B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.21．已知椭圆的两焦点分别为()1F 、)2F ，短轴长为2.（1）椭圆C 的标准方程；（2）已知过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭且斜率为1的直线交椭圆C 于,A B 两点，求线段AB 的长度. 22．已知点Q 是圆M ：()22116x y ++=上一动点（M 为圆心），点N 的坐标为()1,0，线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点C ，动点C 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）求直线1y x =-与曲线E 的相交弦长；（3）曲线E 的右顶点为B ，直线l ：y kx m =+与椭圆E 相交于点S ，T ，则直线BS ，BT 的斜率分别为1k ，2k 且123k k +=，BD ST ⊥，D 为垂足，问是否存在某个定点A ，使得以AB 为直径的圆经过点D ？若存在，请求出A 的坐标；若不存在，请说明理由？23．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点P ⎭在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求1F AB 面积的最大值.24．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:0l x y m -+=与椭圆交于E F 、两点，且线段EF 的中点在圆22+1x y =，求m 的值.25．（1）点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到定直线25:4l x =的距离的比是常数45，求M 的轨迹方程；（2）经过两点(3,A --，(7)B --，求双曲线标准方程．26．已知直线l 与抛物线()2:20C y px p =>交于A ，B 两点，且点()2,4-在C 上.()1求C 的方程；()2若l 的斜率为3，且过点()1,1，求AB .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】由椭圆的方程求得结合正切的倍角公式求得得到直线的方程联立方程组解得结合梯形和三角形的面积公式即可求解【详解】由题意椭圆可得则即设直线的倾斜角为可得则直线的倾斜角为可得所以直线的方程联立方程组解析：21【分析】由椭圆的方程，求得12(3,0),(3,0)F F -，结合正切的倍角公式，求得12120PF k =，得到直线1PF 的方程21(3)20y x =+，联立方程组，解得121(,)28P -，结合梯形和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意，椭圆221167x y +=，可得4,7a b ==，则3c =，即12(3,0),(3,0)F F -，设直线1F M 的倾斜角为α，可得1303tan 4(3)7F M k α-===--，则直线1PF 的倾斜角为2α，可得122tan 21tan 21tan 20PF k ααα===-，所以直线1PF 的方程21(3)20y x =+， 联立方程组()22213201167y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得211189167050200400x x ++=， 解得12x =-或16744x =（舍去） ，所以121(,)28P -，所以121212112163628288PF F SF F =⨯=⨯⨯=， 2221219721105[(3)13]2822816PMF PNF MF ASS SS=--=+⨯-⨯-⨯=梯形， 所以122631052221816PF F PMF S S+=+⨯=. 故答案为：21.【点睛】对于多边形面积的计算：直接法：若多边形为规则图形，可利用规则图形的面积公式，直接计算；间接法：若多边形是不规则图形，可利用分割和补形等手段，结合三角形和四边形的面积公式进行计算.2．12【分析】设左焦点为由双曲线的定义转化的周长为即可得解【详解】由双曲线方程可知故左焦点当点在双曲线左支上运动时由双曲线定义知所以从而的周长为因为为定值所以当最小时的周长最小此时点在线段与双曲线的交解析：12 【分析】设左焦点为()13,0F -，由双曲线的定义转化APF 的周长为12AP PF AF +++，即可得解. 【详解】由双曲线方程2218y x -=可知，1a =，3c =，故()3,0F ，左焦点()13,0F -，当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知12PF PF -=，所以12PF PF =+， 从而APF 的周长为12AP PF AF AP PF AF =+++++， 因为22345AF =+=为定值，所以当()1AP PF +最小时，APF 的周长最小， 此时点P 在线段1AF 与双曲线的交点处，如图所示，此时()2211min345AP PF AF +==+=，所以APF 周长的最小值为12.故答案为:12. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用双曲线的性质转化三角形的周长，数形结合即可得解.3．【分析】设由已知得由双曲线的渐近线的斜率可求得ab 的关系从而求得双曲线的离心率【详解】取PQ 的中点为B 因为所以为正三角形设则所以故答案为：【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时将提供的双曲线的几 13【分析】设OQ m =，由已知得2,2BQ m PQ m ==，23,AB m OB m ==，由双曲线的渐近线的斜率可求得a ,b 的关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】取PQ 的中点为B ，因为060PAQ ∠=，3PO OQ =，所以PAQ △为正三角形，设OQ m =,则2,2BQ m PQ m ==，23,AB m OB m ==，所以23231313PQ m bk c a e a===⇒=⇒=. 13【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．4．15【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题然后求解最值即可【详解】由椭圆方程可得：由椭圆的定义可得：则的最大值为15故答案为：15【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质等价转化的数学思解析：15 【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可. 【详解】由椭圆方程可得：5,4,3a b c ===，12(3,0),(3,0)F F ∴-， 由椭圆的定义可得：12210PF PF a +==，()221222||||210||10103415PM PF PM a PF PM PF MF ∴+=+-=+-≤+=++=，则1||PM PF +的最大值为15. 故答案为：15. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．【分析】本题先根据已知求出再求最后转化即可解题【详解】解：∵椭圆的方程为∴则∵∴∵∴故答案为：【点睛】本题考查椭圆上点到焦点与定点距离的和的最值椭圆的标准方程求是中档题 解析：1026+【分析】本题先根据已知求出2a 、c ，再求1||AF 、12||||10PF PF +=，最后转化2||||PA PF +即可解题. 【详解】解：∵椭圆的方程为2212516x y +=，∴225a =，2229c a b =-=，则210a =，3c =， ∵(2,1)A ，1(3,0)F -，∴221||(23)(10)26AF =++-=，∵12||||210PF PF a +==，∴211||||10||||10||1026PA PF PA PF AF +=+-≤+=+ 故答案为：1026+ 【点睛】本题考查椭圆上点到焦点与定点距离的和的最值、椭圆的标准方程求a ，b ，c ，是中档题.6．【分析】根据题意作出图示求解出的长度然后根据椭圆的定义得到之间的关系即可求解出离心率【详解】如图因为为正三角形所以所以是直角三角形因为所以所以所以因为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查根据几何关系 解析：31-【分析】根据题意作出图示，求解出12,PF PF 的长度，然后根据椭圆的定义得到,a c 之间的关系即可求解出离心率. 【详解】如图，因为2POF 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形. 因为2160PF F ∠=，21||2F F c =，所以2||PF c =，所以22212122122cos60PF PF F F PF F F =+-⋅⋅︒，所以13PF c =， 因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a +=， 即3131c a ，所以31e =-.故答案为：31-.【点睛】本题考查根据几何关系以及椭圆的定义求解椭圆的离心率，难度一般.求解离心率的问题，如果涉及到特殊几何图形，一定要注意借助图形本身的性质去求解问题.7．【分析】由BC 关于原点的对称性所以|BC|＝2|AC|可得|OC|＝|AC|由此可得C 点的横坐标由AC ⊥BC 可求出C 点的纵坐标再由点C 在椭圆上可求得abc 的一个关系式结合椭圆中a2＝b2+c2即可求解析：3【分析】由B 、C 关于原点的对称性，所以|BC |＝2|AC |可得|OC |＝|AC |，由此可得C 点的横坐标，由AC ⊥BC 可求出C 点的纵坐标，再由点C 在椭圆上可求得a 、b 、c 的一个关系式，结合椭圆中a 2＝b 2+c 2，即可求出离心率． 【详解】由|BC |＝2|AC |可得|OC |＝|AC |，所以C 点的横坐标为2a ，设C （2a，y ）， 由AC ⊥BC ，则224a y =，又因为点C 在椭圆上，代入椭圆方程得：223a b =，所以22222213c b e a a ==-=，所以e =故答案为：3． 【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，求得点C 坐标是关键，考查逻辑推理能力和运算能力．8．【分析】由已知设据勾股定理有；由椭圆定义知的周长为4a 由勾股定理可得选项【详解】由已知设所以根据勾股定理有解得；由椭圆定义知所以的周长为4a 所以有；在直角中由勾股定理∴离心率故答案为：【点睛】本题考解析：2【分析】由已知，设2BF x =，||AB x d =+，22AF x d =+，据勾股定理有3x d =；由椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，由勾股定理，2224a c =，可得选项. 【详解】由已知，设2BF x =，||AB x d =+，22AF x d =+，所以根据勾股定理有()()222+2++x d x x d =，解得3x d =；由椭圆定义知1212++2AF AF BF BF a ==，所以2ABF 的周长为4a ，所以有3a d =，21BF a BF ==；在直角2BF F △中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率22e =． 故答案为：22. 【点睛】本题考查椭圆离心率，椭圆的定义，重在对问题的分析，抓住细节，同时考查计算能力，属于中档题.9．【分析】由双曲线方程求得渐近线方程当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点利用数形结合可求出符合条件直线的斜率取值范围【详解】双曲线的渐近线方程当过焦点的直线与两条解析：33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由双曲线方程求得渐近线方程33y x =±，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，利用数形结合，可求出符合条件直线的斜率取值范围． 【详解】双曲线221124x y -=的渐近线方程3y x =，当过焦点的直线与两条渐近线平行时， 直线与双曲线右支分别只有一个交点(因为双曲线正在与渐近线无限接近中)，由图可知，斜率不在33,33⎡-⎢⎣⎦的所有直线与双曲线右支有两点交点（如图中直线2l ），斜率在3333⎡-⎢⎣⎦的所有直线都与双曲线右支只有一个交点（如图中直线m ）．所以此直线的斜率的取值范围.⎡⎢⎣⎦故答案为.⎡⎢⎣⎦【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.10．相离【分析】由双曲线的离心率可得出然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离并与圆的半径作大小比较由此可得出结论【详解】双曲线的离心率为可得所以双曲线的渐近线方程为圆的圆心坐标为半径为圆心到直线的距离为因解析：相离 【分析】由双曲线的离心率可得出b a =，然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离，并与圆的半径作大小比较，由此可得出结论. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为c e a ====b a =，所以，双曲线的渐近线方程为0x y ±=，圆()22214x a y a -+=的圆心坐标为(),0a ，半径为2ar =，圆心到直线0x y ±=的距离为12d r a ==>=， 因此，双曲线的渐近线与圆()22214x a y a -+=相离. 故答案为：相离. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，涉及双曲线的离心率以及渐近线方程的应用，求出b 与a 的等量关系是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.11．【分析】首先利用椭圆的定义求出abc 的值进一步求出椭圆的方程【详解】解：在平面直角坐标系xOy 中已知椭圆C 的焦点为F1（﹣20）F2（20）过F2的直线与椭圆C 交于AB 两点若AF2＝3F2BAB ＝B解析：221106x y +=【分析】首先利用椭圆的定义求出a 、b 、c 的值，进一步求出椭圆的方程．【详解】解：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣2，0），F 2（2，0）， 过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若AF 2＝3F 2B ，AB ＝BF 1，设F 2B ＝x ，则AF 2＝3x ，AB ＝BF 1＝4x ，根据椭圆的定义，整理得AF 1＝2x ， 由于△AF 1B 为等腰三角形，所以121cos 4AF F ∠=， 利用余弦定理222121212122cos 16F F F F F A A A AF A F F ==+-⋅⋅∠，整理得22116492234x x x x =+-⋅⋅⋅， 解得2168105x ==，故x =所以2a ＝5x ＝，解得：a ，由于c ＝2，所以b ， 所以椭圆的方程为221106x y +=．故答案为：221106x y +=．【点睛】本题考查的知识要点：椭圆的定义和椭圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．12．【分析】由已知可得为椭圆两焦点再由已知结合椭圆定义可得点的轨迹是以为圆心以为半径的圆写出圆的标准方程得答案【详解】如图由椭圆方程得所以则为椭圆两焦点所以由于则所以点的轨迹是以为圆心以为半径的圆其方程 解析：()22220x y ++=【分析】由已知可得，(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点，再由已知结合椭圆定义可得点P 的轨迹是以A 为圆心，以 【详解】 如图，由椭圆方程2215y x +=，得25a =，21b =，所以222c a b =-=，则(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点， 所以||||25DA DB a +== 由于||||PD BD =，则||||||||||5PA PD DA BD DA =+=+=所以点P 的轨迹是以A 为圆心，以2522(2)20x y ++=． 故答案为：22(2)20x y ++=． 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，运用了椭圆的标准方程、椭圆定义和焦点坐标，同时考查数学转化思想方法，是中档题．13．【分析】首先求出与椭圆相切的直线的方程根据直线方程与椭圆方程联立求出点坐标即可【详解】设直线：当直线与椭圆相切时其中一个切点到直线的距离最小故联立整理得相切时易知当时点到直线的距离最小代入中解得代入解析：94,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】首先求出与椭圆相切的直线的方程，根据直线方程与椭圆方程联立求出P 点坐标即可. 【详解】设直线1l ：()450x y m m R -+=∈， 当直线1l 与椭圆相切时，其中一个切点到直线45400x y -+=的距离最小，故联立224501259x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222582250x mx m ++-=， 相切时24025b ac m ∆=-=⇒=±，易知当25m =时点到直线45400x y -+=的距离最小，25m =代入222582250x mx m ++-=中，解得4x =-，4x =-代入45250x y -+=中，解得95y =， 故P 点坐标为94,5⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：94,5⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，属于一般题.二、解答题14．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）存在，3(,0)2-；（III）【分析】（Ⅰ）根据离心率和顶点求出,a c ，再求出b 即可得出方程；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程求出点D 坐标，进而得出点P 坐标，再利用1OP EQ k k ⋅=-即可求出定点；（III ）设OM 的方程为y kx =，与椭圆联立，得出M 横坐标，利用D AE AMx x x x AD AE OM x -+-+=表示出，即可求出最值.【详解】解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b+=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -， 所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k kD k k -+++， 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++，则3(0)4OP k k k-=≠， 直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥， 则1OP EQ k k ⋅=-，即3214n kk m -⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立， 所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.（III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x =， 由//OM l可得：22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥，即k =时取等号，所以当k =AD AE OM +的最小值为.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.15．（1）221(2)412x y x -=≠±；（2）不能，理由见解析.【分析】（1）设出点(),M x y ，利用斜率之积即可求出轨迹方程； （2）设出()()1122,,,P x y Q x y ，利用点差法可求出. 【详解】（1）设(),M x y ，2x ≠±，02AM y k x -=+，02BM y k x -=-， 3AM BM k k ⋅=，即00322y y x x --⋅=+-， 整理得：()223122x y x -=≠±，即轨迹C 方程为：221(2)412x y x -=≠±；（2）显然直线m 的斜率存在，设为k ，设()()1122,,,P x y Q x y ，则2211222214121412x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式相减得()()()()121212120412x x x x y y y y -+-+-=，整理可得121212123y y x xx x y y -+=⨯-+，N 是线段PQ 的中点，∴12124326y y x x -=⨯=-，即2k =， 故直线m 的方程为()322y x -=-，即210x y --=，将直线代入双曲线可得24130x x -+=，()244130∆=--⨯<，此时直线与双曲线不相交.故不能作出这样的直线. 【点睛】方法点睛：解决中点弦问题的两种方法：（1）根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.16．（1）22124y x -=；（2）810y x .【分析】（1）由双曲线定义求a ，结合12PF PF ⊥求2b ，写出双曲线C 的标准方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，结合双曲线方程得1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，根据中点M 、直线斜率的坐标表示得324AB k ⋅=，即可写出直线方程. 【详解】（1）1222a PF PF =-=，得1a =，在△12PF F 中2221212100F F PF PF =+=，∴24100c =，22225c a b ==+，则224b =，故双曲线的标准方程为：22124y x -=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，有221221221212222212424124y x y y x x y x ⎧-=⎪-⎪⇒-=⎨⎪-=⎪⎩，所以221212122112122224y y y y y y x x x x x x --+=⋅=--+，又1212AB y y k x x -=-，1212632y y x x +==+， ∴324AB k ⋅=，得8AB k =， ∴直线AB 方程为：810y x ，满足0∆>，符合题意 .【点睛】 关键点点睛：由双曲线定义：曲线上的点到两焦点距离差为定值m ，有2a m =，结合勾股定理求c .()()1122,,,A x y B x y ，利用中点1212(,)22x x y y ++、直线斜率1212y y k x x -=-，结合所得方程1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，求斜率并写出直线方程. 17．（1）2212x y +=；（2）0x y +=；（3）过定点(0,3)-，理由见解析.【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程；（2）方法一，由数形结合，直接看出切线方程，求切点，再求切线方程，方法二，设圆上切点11(,)S x y ，写出过该切点的圆的切线方程，同理得到过()22,T x y 的切线方程，切线过点()0,1，利用两点确定一条直线，求切线方程，方法三，点,S T 也在以AM 为直径的圆上，利用两圆相减就是直线ST 的方程；（3）方法一，设切线方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，求点,B D 的坐标，并表示直线BD 的斜率，并求直线BD 的方程，表示定点；方法二，可设BD 的直线方程为y mx t =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示121k k =，得到t 的值. 【详解】（1）由已知可得，222211122b b b a a=⎧⎧=⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，所求椭圆的方程为2212x y += （2）法一，数形结合易知，切线AS 的方程为1,y =切线AT 的方程为0x =，故切点(1,1),(0,0)S T -，所以切点ST 连线的方程为,y x =-即0x y +=法二设圆上切点11(,)S x y ，过该切点的圆的切线方程为11(1)(1)1x x y y +⋅++⋅=，又因为过点(0,1)A 所以有11(1)(01)10x y +⋅++⋅=，即111x y +=同理设另一个切点22(),T x y ，由同构可知220x y +=，经过不同两点有且只有一条直线，所以ST 的直线方程为0x y +=法三 ,S T 在AM 为直径的圆：22111()()222x y ++-=上，由两圆相减得ST 的方程为0x y +=（3）法一设切线方程为1y kx =+r =，即222(1)210r k k r --+-=，由0∆>得(01)r r <<≠设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根， 所以 121k k ⋅=； 联立 22122y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 可得2212k )40x kx ++=（，设1122(:),(:)B x y D x y 则由韦达定理得124,12k x k -=+2121212k y k -=+； 由121k k ⋅=得224,2k x k -=+ 22222k y k -=+， 直线BD 的斜率221211y y k x x k-+=-- ∴直线BD 的方程为22222114()2112k k ky x k k k-++=-+++ 整理得213k y x k+=--，故直线BD 过定点(0,3).-法二设切线方程为1y kx =+r =，即222(1)210r k k y --+-=，设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以121k k ⋅=；可设BD 的直线方程为y mx t =+2222y mx t x y =+⎧⎨+=⎩ 可得22212m )4220x tmx t +++-=（，设1122(:),(:)B x y D x y ，由韦达定理得122412tm x x m ∴+=-+，21222t 212m x x -=+， 121212111y y k k x x --=⨯= 代入1212111mx t mx t x x +-+-⨯= 2212121)(1)()(1)0m x x m t x x t -+-++-=（将韦达定理代入得2222221)41)(1)(1)01212t tmm m t t m m---+-+-=++（（ 化简得 3t =-或1t =(舍去)故直线BD 的直线方程为3y mx =-，直线BD 经过定点(0,3)-. 【点睛】关键点点睛：本题第三问求直线过定点问题，关键一点时利用切线方程1y kx =+与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求出121k k =，围绕着这个条件，利用坐标表示，得到直线所过的定点.18．（1）221164x y +=；（2）k = 【分析】 （1）由离心率2e =，可得2a b =，再求出直线1:B x a A y b -=，从而得d ==，解方程组可求出,a b 的值，进而可得椭圆C 的方程； （2）设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，再将直线()10y kx k =+≠与椭圆方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系可得2234214M x x k x k +-==+，21114M M y kx k=+=+，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，可得20M M x ky k ++=，从而可求出k 的值 【详解】 解：（1）因为c a =222a c b -=，所以2a b =.因为原点到直线1:B x a A y b -=的距离d ==，解得4a =，2b =. 故所求椭圆C 的方程为221164x y +=. （2）由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=.可知0∆>. 设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2234214M x x k x k +-==+，21114M M y kx k =+=+， 因为E ，F 都在以B 为圆心的圆上，且()0,2B -， 所以21M My k x +⋅=-， 所以20M M x ky k ++=.即224201414k k k k k -++=++. 又因为0k ≠，所以218k =.所以4k =±. 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将EF 的中点(),M M M x y 坐标用含k 的式子表示，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，得20M M x ky k ++=，将点M 的坐标代入可求出k 的值，考查计算能力，属于中档题 19．（1）2231143y x -=；（2）()4,2. 【分析】 （1）由渐近线方程设双曲线方程为()22094x y λλ-=≠，代入点P 的坐标可得双曲线方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入双曲线方程，应用韦达定理和中点坐标公式可得．【详解】（1）由双曲线的渐近线方程23y x =±，可设双曲线方程为()22094x y λλ-=≠. ∵双曲线过点)P ，∴6494λ-=，13λ=-，故所求双曲线方程为2231143y x -=.（2）由224x y y x-=⎧⎨=⎩得2840x x -+=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则128x x +=，121244y y x x +=+-=，故线段AB 的中点坐标为()4,2.【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线方程，考查弦中点坐标．已知双曲线的渐近线方程为0mx ny ±=，则双曲线方程可设为2222m x n y λ-=，代入其他条件求得λ即可得，这种方法不需要考虑双曲线的焦点所在轴．20．（1）1143a <<；（2）01a <≤或4a ≥. 【分析】（1）根据椭圆的标准方程，求出a 的范围； （2）再确定集合A ，由双曲线的标准方程得集合B ，然后根据充分必要条件的定义集合包含关系，从而得出a 的不等关系，求得结论．【详解】（1）由方程221382x y a a+=--表示的曲线是表示焦点在x 轴上的椭圆 ∴(3)(82)0a a ->->， ∴1143a << 解不等式22430(0)x ax a a -+<>可得3(0)a x a a <<> 方程221382x y a a+=--表示的曲线是双曲线 ∴(3)(82)0a a --<，∴4a >或3a <因为A 是B 的充分不必要条件所以(,3)a a 是(,3)(4,)-∞⋃+∞的真子集所以033a <≤或4a ≥解得01a <≤或4a ≥所以a 的取值范围是01a <≤或4a ≥．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．21．（1）2214x y +=；（2【分析】（1）由焦点坐标可求c ，短轴长求b ，然后可求出a ，进而求出椭圆C 的标准方程．（2）先求出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及弦长公式求出线段AB 的长度．【详解】（1）由()1F，)2F ，短轴长为2，得：1c b ==， 又222a b c =+，所以24a =∴椭圆方程为2214x y += （2）易知直线AB 的方程为12y x =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立 221412x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理得：25430x x +-= 由韦达定理得：12124,355x x x x +=-=- 所以AB == 【点睛】 关键点睛：本题考查求椭圆的方程，考查韦达定理及弦长公式的应用，解题的关键是熟悉弦长公式，考查学生的运算能力，属于基础题．22．（1）22143x y +=；（2）247；（3）存在；()2,1A -. 【分析】 （1）因为点E 在线段QN 的垂直平分线上，所以EQ EN =，再由题意得42EM EQ EM EQ MQ MN +=+==>=，所以点E 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，从而可得其方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，消去x ，利用根与系数的关系，然后利用弦长公式可求得答案；（3））联立223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，再利用根与系数的关系，342834km x x k +=-+，234241234m x x k -=+ ，从而得()()()3434343412224324kx x m k x x m k k x x x x +-+-+==-++，解得2m k =-或21m k =--，经验证21m k =--，则直线()21y kx m k x =+=--，且过定点()2,1-，从而可得答案【详解】解：（1）因为点E 在线段QN 的垂直平分线上， 所以EQ EN =又QM 是圆的半径，所以42EM EQ EM EQ MQ MN +=+==>=所以点E 的轨迹是椭圆因为24a =，所以2a =，1c =所以23b =所以动点E 的轨迹方程为22143x y += （2）设直线1y x =-与曲线E 相交于1122(,),(,)x y x y联立2213412y x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得27880x x --=，则121288,77x x x x +==-， 于是28478288∆=+⨯⨯=所以弦长122477l x x =-== （3）设3344(,),(,)S x y T x y ，联立223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()2223484120kx kmx m +++-= 判别式()()2222226416483419248144k m m k k m ∆=--+=-+342834km x x k +=-+，234241234m x x k-=+ ()()()()()()344334343412222222kx m x kx m x y y k k x x x x +-++-+=+=---- ()()()34343434224324kx x m k x x m x x x x +-+-==-++ 化简得()()()343423264120k x x m k x x m -+-++--=即()()()()()()2223412268412340k m m k km m k --+-+--++=也即()()2210m k m k +++=解得2m k =-或21m k =--当2m k =-时，直线()2y kx m k x =+=-过点B ，不合题意所以21m k =--，此时直线()21y kx m k x =+=--，且过定点()2,1-又因为D 在以AB 为直径的圆上所以A 在直线()21y kx m k x =+=--上所以存在定点()2,1A -满足条件.【点睛】关键点点睛：此题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，再结合已知条件列方程求解，考查计算能力，属于中档题23．（1）22143x y +=；（2）最大值为3. 【分析】（1）根据离心率为12以及过定点P ⎭，列方程即可得解； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+和22143x y +=联立可得()2234690m y my ++-=，结合韦达定理带入面积公式，即可得解.【详解】 （1）依题意有22222123314c a a b c ab ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+， 由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-= ()()22636340m m ∆=++>，m ∈R ， 由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，。
人教A版高中数学选修一圆锥曲线单元测试卷
圆锥曲线单元测试卷 时间：60分钟，满分100分一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共40分.每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.1．若椭圆2211625x y +=上一点p 到椭圆一个焦点的距离3，则点p 到另一个焦点的距离为（D ） .2.3.5.7A B C D2.★★与椭圆221104x y +=共焦点且过点(5,-2)的双曲线标准方程是() 22222222.1.1.1.155108810x y x y y x A y B x C D -=-=-=-=3.★★★若椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=交于,A B 两点，过原点与线段AB 的中点的直线的斜率为，则nm的值为（） A．B．．4.★★★已知12,F F 是双曲线的两个焦点，PQ 是过点1F 且垂直于实轴所在直线的双曲线的弦，0290PF Q ∠=，则双曲线的离心率为（）AB1C1D1 5.★★设1k >，则关于,x y 的方程()222211k x y k -+=-所表示的是（）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线6.★★如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（）A ．()0,+∞B ．()0,2C ．()1,+∞D ．()0,17.★★双曲线221916x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离等于（） A．3C ．4D ．28.★★★椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在的直线方程是（） A ．20x y -=B ．24x y +=C ．2314x y +=D ．28x y +=9.★★★若方程22125x y m m+=--表示双曲线，则m 的取值范围是（）A ．22m -<<B ．5m >C ．225m m -<<>或D ．全体实数10.★★★过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为0135的直线，交抛物线于,A B 两点，则OAB ∆的面积为（）A．22p B2C ．2p D ．22p 二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分13.★★★已知斜率为1的直线过椭圆2214x y +=的焦点，且与椭圆交于,A B 两点，则线段AB 的长是 。
人教新课标版(A)高二选修1-1 第二章圆锥曲线与方程单元测试
人教新课标版（A ）高二选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程单元测试（时间：120分钟 分值：150分）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 以112y 4x 22-=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是A. 14y 16x 22=+B. 116y 4x 22=+C. 112y 16x 22=+D. 116y 12x 22=+2. 动圆的圆心在抛物线x 8y 2=上，且动圆恒与直线02x =+相切，则动圆必过点A. （4，0）B. （2，0）C. （0，2）D. （0，-2）3. AB 是抛物线x 18y 2=的一条过焦点的弦，20|AB |=，AD 、BC 垂直于y 轴，D 、C 分别为垂足，则梯形ABCD 的中位线长为A. 5B.211 C.29 D. 104. 方程2sin y 3sin 2x 22-θ++θ=1所表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D. 焦点在y 轴上的双曲线5. 设P 为椭圆1by a x 2222=+上一点，1F 、2F 为焦点，如果∠75F PF 21=°，∠=12F PF 15°，则椭圆的离心率为A. 22B. 23C. 32D. 36 6. 以椭圆1144y 169x 22=+的右焦点为圆心，且与双曲线116y 9x 22=-的渐近线相切的圆的方程为A. 09x 10y x 22=+-+B. 09x 10y x 22=--+C. 09x 10y x 22=-++D. 09x 10y x 22=+++7. 椭圆11a 4y a 5x 222=++的焦点在x 轴上，而它的离心率的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛51,0B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,51C. ⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛55,0D. ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡1,55 8. 设双曲线1b y a x 2222=-与1by a x 2222=+-（0a >，0b >）的离心率分别为1e 、2e ，当a 、b 变化时，21e e +的最小值是A. 4B. 24C.2 D. 229. 设椭圆12y 6x 22=+和双曲线1y 3x 22=-的公共焦点分别为1F 、2F ，P 是两曲线的一个交点，则cos ∠21PF F 的值为A.41 B.31 C.32 D. 31-10. 过抛物线x 4y 2=的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 的横坐标1x 与N 的横坐标2x 之积为A. 64B. 32C. 16D. 411. 抛物线x y 2=和圆()1y 3x 22=+-上最近的两点之间的距离是A. 1B. 2C.1210- D.1211- 12. 已知圆的方程为4y x 22=+，若抛物线过点A （-1，0）、B （1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点F 的轨迹方程是A. 14y 3x 22=+（0y ≠） B. 13y 4x 22=+（0y ≠） C. 14y 3x 22=+（0x ≠） D.13y 4x 22=+（0x ≠）二、填空题（每小题4分，共16分）13. （2004·湖南）1F 、2F 是椭圆C ：14y 8x 22=+的焦点，在C 上满足1PF ⊥2PF 的点P的个数为__________。
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圆锥曲线专题训练一
1．以12
42
2y x -＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(D ) A ．121622y x +＝1 B ．161222y x +＝1 C ．41622y x +＝1 D ．16
42
2y x + ＝1 2．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( C )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
3．已知是双曲线13
2
2=-y m x 的离心率2=e ,则该双曲线两条准线间的距离为 （C ） A ． 2 B ．
23 C ．1 D ．21 4．方程x 2－4x ＋1=0的两个根可分别作为（ A ）
A ．一椭圆和一双曲线的离心率
B ．两抛物线的离心率
C ．一椭圆和一抛物线的离心率
D ．两椭圆的离心率
5．曲线221259x y +=与曲线22
1(9)259x y k k k
+=<--的（ B ） A ．长、短轴相等 B ．焦距相等 C ．离心率相等 D ．准线相同
6．抛物线x 2
=－3
2y 的焦点的纵坐标与它的通径的比是（ D ） A ．4 B ．－4 C ．41 D ．－4
1
7．椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且 901=∠BDB ,则椭圆的离心率为 ( B )
A ．213-
B ．215-
C ．2
15- D ．23 8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1.F 、2F ，
12120F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ B ）A ．3 B ．
62 C ．63 D ．33 9．过点P(－2, －4)的抛物线的标准方程为 x y y x 8,22-=-=
10．双曲线两条渐进线方程为034=±y x ,一条准线方程为5
9=x ,则双曲线方程为 11692
2=-y x。