2018年人教版数学选修1-1考点归纳：圆锥曲线

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数学选修1-1 第二章圆锥曲线与方程知识梳理

第二章圆锥曲线与方程一、椭圆（一）椭圆及其标准方程1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于_常数_(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时_不存在_轨迹．2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，焦点坐标为_F 1(－c ，0)__F 2(c ，0)，焦距为_2c _；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．（二）椭圆的简单几何性质1．椭圆的简单几何性质（1）椭圆的中心：椭圆关于x 轴、y 轴对称，这时原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

（2）椭圆的顶点：椭圆与它对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点。

（3）椭圆的长轴和短轴：椭圆对称轴被椭圆截得的线段叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别是2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）椭圆的离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ac称为椭圆的离心率，用e 表示，即：)22101c b e e a a==-<<。

e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；e 越接近0，则c 越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。

焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 y 2a 2＋x2b 2＝1 范围－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a顶点 (±a,0)，(0，±b ) (±b,0)，(0，±a )轴长短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点 (±c,0) (0，±c )焦距 2c ＝2a 2－b 2对称性对称轴是坐标轴，对称中心是原点离心率 e ＝ca，0<e <1 2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有 1 组实数解，即Δ ＝ 0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有___2___组实数解，即Δ___>___0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有___0___组实数解，即Δ___<___0.1．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a >b >0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．2．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)．3．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．4．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．5．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．6．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．二、双曲线（一）双曲线及其标准方程1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于_|F 1F 2|_)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为__以F 1，F 2为端点的两条射线_．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹_不存在． (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距_．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点F 1_(－c,0)_，F 2_( c ，0)__.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点F 1_(0，－c )_，F 2__(0，c )_.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是___c 2＝a 2＋b 2_．（二）双曲线的简单几何性质1．双曲线的几何性质（1）双曲线的中心：双曲线关于x 轴、y 轴对称，这时原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

人教选修1-1第二章圆锥曲线章末小结

数学(RA) 选修1-1
第二章章末小结
数学(RA) 选修1-1
1.椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质
椭圆 |PF1|+|PF2|=2a(2a>2c=|F1F2|)(a>b>0) 方程
x2 y 2
双曲线 ||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|)(a>0,b>0)
x2 y 2
+ =1(a>b>0) a2 b2
=��
4 2 = , + �� 1 3
数学(RA) 选修1-1
因此 AD 的垂直平分线的方程为 y-t=-2(x-x2), 令 y=0,得到点 E 的坐标是(2+x2,0), 由 E(3,0),得 x2=1,又点 B 在抛物线上,得 y2=±2. 所以点 B 坐标为(1,2)或(1,-2). 【小结】遇到弦的中点问题常采用点差法求解.
原点为对称中心原点为对称中心点为对称中心
�� 2
点为对称中心
�� 2
e=�� = 1- �� 2 ∈(0,1)
无
��
�� 2
e=�� = 1- �� 2 ∈(0,1)
无
��
�� 2
e=�� = 1 + �� 2 ∈(1,+∞) e=�� = 1 + �� 2 ∈(1,+∞) y=±�� x
�� 2 �� 2 的轨迹方程是36 +27 =1,且轨迹是椭圆.
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高中数学选修1-1(人教A版)第二章圆锥曲线与方程2.4知识点总结含同步练习及答案

y2 x2 + = 1． 3 2 4 （2）当直线 AB 与 x 轴垂直时，|AB| = ，不符合题意舍去； √3 当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y = k(x + 1)，代入椭圆方程，消去 y
所以椭圆方程为得
(2 + 3k2 )x2 + 6k2 x + (3k2 − 6) = 0.
已知椭圆 G :
⎧ y = x + m, ⎨ x2 y2 ⎩ + = 1, 12 4
整理得
4x2 + 6mx + 3m 2 − 12 = 0.
设
⋯⋯①
A ，B 的坐标分别为 (x1 , y 1 ) , (x2 , y 2 ) (x1 < x2 ) ， AB 中点为 E (x0 , y 0 ) ，则 x0 = 3m x1 + x2 =− , 2 4 m . y 0 = x0 + m = 4
因为 AB 是等腰 △P AB 的底边，所以 P E ⊥ AB ．所以 P E 的斜率
m 4 k= = −1. 3m −3 + 4 2−
解得 m = 2 ．此时方程① 为 4x2 + 12x = 0 ．解得
x1 = −3, x2 = 0.
所以
x1 + x2 = −3, x1 ⋅ x2 = 0
所以
− − − −− − − − − − − − − − − − − − − |AB| = √(x1 − x2 )2 + (y 1 − y 2 )2 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = √1 + k2 √(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = 3√2 ．

高二数学选修1-1知识点

高二数学选修1－1知识点第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．考点：1、充要条件的判定 2、命题之间的关系★1．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，★2、给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3(B)2(C)1(D)0★3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件第二章：圆锥曲线知识点：1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率)01c e e a ==<<准线方程2a x c=±2a y c=±3、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．4、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．5、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率)1c e e a ==>准线方程2a x c =±2a y c =±渐近线方程b y x a=±a y x b=±6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．7、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．8、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线． 9、抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2px =2p y =-2p y =离心率1e =范围0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．考点：1、圆锥曲线方程的求解2、直线与圆锥曲线综合性问题3、圆锥曲线的离心率问题典型例题：★★1．设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为（）A ．214pB．2C．6p D ．1336p ★★2．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是．★★★3．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的图过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．第三章：导数及其应用知识点：1、若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率． 2、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021limlimx x f x f x fx x x∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =． 4、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆．5、基本初等函数的导数公式：()1若()f x c =，则()0f x '=；()2若()()*n f x x x Q =∈，则()1n f x nx -'=； ()3若()sin f x x =，则()cos f x x '=；()4若()cos f x x =，则()sin f x x '=-； ()5若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；()6若()x f x e =，则()x f x e '=； ()7若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；()8若()ln f x x =，则()1f x x '=．6、导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 7、对于两个函数()y f u =和()u g x =，若通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，则称这个函数为函数()y f u =和()u f x =的复合函数，记作()()y f g x =．复合函数()()y f g x =的导数与函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系是x u x y y u '''=⋅．8、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．9、点a 称为函数()y f x =的极小值点，()f a 称为函数()y f x =的极小值；点b 称为函数()y f x =的极大值点，()f b 称为函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．10、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．11、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用典型例题★1.（05全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（） A ．2 B. 3 C. 4 D.5★2．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值－2.（1）试求a 、c 、d 的值；（2）求)(x f 的单调区间和极大值；★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数2312)(bx ax e x x f x ++=-，已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。

高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义(K12教育文档)

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第二章圆锥曲线与方程一、曲线与方程的定义：(),C F x y 设曲线，方程=0，满足以下两个条件：()(),,C x y F x y ∀①曲线上一点的坐标满足=0；()(),,.F x y x y C ∀②方程=0解都在曲线上()(),,.C F x y F x y C 则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程二、求曲线方程的两种类型：()1、已知曲线求方程；用待定系数法()()()2,;,x y x y 、未知曲线求方程①设动点②建立等量关系；③用含的式子代替等量关系；④化简；别出现不等价情况⑤证明；高中不要求椭圆一、椭圆及其标准方程1、画法{}121222,2P PF PF a F F a +=<、定义：3、方程()()222222221010x y y x a b a b a ba b +=>>+=>>①或②()2222+10x y a b a b=>>二、几何性质：1,.x a y b ≤≤、范围：2x y O 、对称性：关于、、原点对称. ()()()()12123,0,,0,0,,0,.A a A aB b B b --、顶点2224,,a b c a b c =+、之间的关系：()225101c b e e a a ==-<<、离心率：0,1e e →→越圆越扁扩展：()222222222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1 ()()222222221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或.a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是12P P F PF ∠④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大.24.AB F ABF a ⑤为过焦点的弦，则的周长为()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为:()()222121212114l k x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦()212121222110114k l y y y y y k k ⎡⎤=+-=++-⎣⎦或当存在且不为时，()2210,0.Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为双曲线一、双曲线及其标准方程1、画法{}121222,2P PF PF a F F a-=>、定义：3、方程：()() 222222221,01,0 x y y xa b a ba b a b-=>-=>①或②()22221,0x ya ba b-=>二、几何性质：1,x a y R≥∉、范围：2x y O、对称性：关于轴、轴、原点对称.()()121212,0,,0=2.A a A aA A aB B b-=3、顶点：实轴2，虚轴222.a b c c a b=+4、、、之间的关系：()22511c be ea ae==+>、离心率:越大，开口越阔22221b y x a y x y x a a b b ⎛⎫=±-==± ⎪⎝⎭6、渐近线：的渐近线为()2222222210x y x y m m a b a b -=-=>说明：与有相同离心率.抛物线一、抛物线及其标准方程P l PF PF l d -⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭1、定义：且2、标准方程及几何性质标准方程()220y px p =>()220y px p =->()220x py p =>()220x py p =->简图焦点 ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、 02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭、准线 2p x =-2px =2p y =-2p y =范围 0x ≥0x ≤0y ≥0y ≤对称性 x 轴y 轴顶点 ()0,0离心率1e =P 说明：①越大，开口越阔.②抛物线无限向外延展，但它无渐进线.扩展：Q Q 1、设点分别位于抛物线开口以内，抛物线上，以及开口以外，问过点且和抛物线只有一个交点的直线有几条？()1.Q 答：①当位于抛物线开口以内，个交点的直线只有一条主轴或其平行线1Q ②当位于抛物线上，个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线. 1.Q ③当位于抛物线外，个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线2、过焦点的弦长()22A B A B AB AF BFp p x x p x x =+⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++如图，。

2018高中数学人教A版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程 2-1-2-2

��2 0)或 ��2
+
��2 ��
2
= 1(�� > �� > 0),
直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
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则|AB|= =
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= 1 + �� 2 · |x1-x2|= 1 + �� 2 · (��1 + ��2 )2 -4��1 ��2 , 或者|AB|= = 1+
1 ��
(��1 -��2 )2 + (��1 -��2 )2 = 1+
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1 2
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HISHI SHULI
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HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1.直线与椭圆的位置关系直线 y=kx+m
��2 ��2 与椭圆 ��2 + 2 ��
= 1(�� > �� > 0)
12 2
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=− 7 , 8 x1· x2= ,
7
∴|AB|=
答案:B
(1 + �� 2 )[(��1 + ��2 )2 -4��1 ��2 ] =
16 . 7

高中数学选修圆锥曲线

1人教版高中数学选修一圆锥曲线及方程知识点精汇椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)由椭圆的定义可知它的基本特征，但对于这种曲线还具有哪些性质，我们几乎一无所知，因此需要建立椭圆的方程，以便于做进一步的认识。

2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，1又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）{}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得：12222=+by a x （a >b>0），此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程，其中22b c a +=注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+b y a x 中的yx ,调换，即可得12222=+bx a y （a >b>0），也是椭圆的标准方程理解：(1)所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；(2)在12222=+b y a x 与12222=+bx a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1;1(3)椭圆的标准方程中三个参数a 、b 、c 满足a 2=b 2+c 2，a 最大；由椭圆的标准方程可以求出三个参数a 、b 、c 的值;(4)椭圆的标准方程中，x 2与y 2的分母哪一个大，分母即为a 2，则焦点在哪一个轴上。

2018学年高中数学选修1-1课件：2.1 圆锥曲线精品

[再练一题] 3.已知动圆 M 与圆 C1：(x＋3)2＋y2＝9 外切且与圆 C2：(x－3)2＋y2＝1 内切，则动圆圆心 M 的轨迹是________.
【导学号：24830023】【解析】设动圆 M 的半径为 r.因为动圆 M 与圆 C1 外切且与圆 C2 内切，所以|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1.相减得|MC1－MC2|＝4. 又因为 C1(－3,0)，C2(3,0)，并且 C1C2＝6>4，所以点 M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的双曲线的右支. 【答案】以 C1，C2 为焦点的双曲线的右支
和圆 C1 内切，和圆 C2 外切，求动圆圆心的轨迹.
【精彩点拨】根据椭圆的定义判断.
【自主解答】 (1)由正弦定理，得BCA＋BAC＝54，又 AB＝8，∴BC＋AC＝10 ＞AB，
由椭圆定义可知，点 C 的轨迹是以点 A、B 为焦点的椭圆.
【答案】 (1)以点 A、B 为焦点的椭圆 (2)如图所示，设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r. 由题意得动圆 M 内切于圆 C1，
【提示】 |PF1－PF2|＝2a(2a＜F1F2)
探究 3 如果把定义中的“绝对值”去掉，变为动点 P 满足 PF1－PF2＝2a(2a ＜F1F2)，那么点 P 的轨迹是什么？
【提示】动点 P 的轨迹是双曲线的一支(靠近焦点 F2 的一支).
探究 4 如果把双曲线定义中的条件“2a＜F1F2”去掉，动点 P 的轨迹是什么？
数学语言
PF1＋PF2＝ 2a＞F1F2
平面内与两个定点F1，F2 距离的差的绝对值等于
双曲线
常数( 小于F1F2的正数 )的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2 叫做双曲线的焦点，两焦点间

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圆锥曲线高考热点题型归纳
圆锥曲线的考题一般以两个选择、一个填空、一个解答题，客观题的难度为中等，解答题目相对较难，同时平面向量的介入，增加了本专题高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本专题还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识进行综合考查。

下面对圆锥曲线在高考中出现的热点题型作简单的探究：一、圆锥曲线的定义与标准方程：
例1、设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（）
A
B
．
C
D ．
解析．设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则=，选B 。

点评：圆锥曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图、解题的依据和基础，在实际问题中正确的使用定义可以使问题的解决更加灵活。

同时平面向量与圆锥曲线的有机结合也是考查的重点和难点，是高考常常考查的重要内容之一。

变式练习：已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一个动点，
则的最大值为（）
（A
） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4
解析：本题主要考查了椭圆的定义，根据条件，
12F F ，2
2
19
y x +=P 120PF PF =12PF PF +=12F F ，2
2
19
y x +=P 120PF PF =12PF PF +=2||PO 12||F F =12,F F 2
214
x y +=12PF PF ⋅124PF PF +=
所以，所以的最大值为4
故答案选 D
二、圆锥曲线的几何性质：
例2、设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点。

若双曲线上存在点
A ，使∠F 1AF 2=90º，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为
(B)
(C)
(D)
解析．设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点。

若双曲线上存在点
A ，使∠F 1AF 2=90º，且|AF 1|=3|AF 2|，设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中
，
离心率，选B 。

点评：本题主要考查圆锥曲线的离心率的求解问题，这类问题的一般解法是将题目提供的曲线的几何关系转化为关于曲线基本量的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，这是求离心率的的值或范围问题的常用解法。

变式练习：
1、若双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等有两
个，则双曲线的离心率的取值范围是（）
A 、
B 、
C 、
D 、
解析：由于到原点O 和右焦点F 的距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上，
其方程为，依题意，在双曲线的右支上到原点和右
2
121242PF PF PF PF ⎛+⎫
⋅≤= ⎪⎝⎭
12PF PF ⋅22
221x y a b
-=22
221x y a b
-=122||||2a AF AF =-=2c ==e =
,,a b c ()22
2210,0x y a b a b
-=>>e >1e <<2e >12e <<2c x =()22
2210,0x y a b a b
-=>>
焦点距离相等的点两个，所以直线与右支有两个交点，故应满足，即
，得。

故答案选 C 2、经过点且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是
A 、
B 、
C 、
D 、解析：由与有相同的渐近线，则可设所求双曲线为，把点代入得，，所以故答案选 C 三、与圆锥曲线有关的综合应用问题
例5、已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（I ）若动点满足（其中
为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II ）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：由条件知，，设，．
解法一：（I ）设，则则，，，由得
2c x =
2
c x a =>2c
a
>2e
>(M -22
143
x y -
=22168x y -=22186y x -=22168y x -=22
186x y -
=22
143x y -
=()22
043
x y λλ-=
≠(M -2λ=-2222
214368
x y y x -=-⇒-=222x y -=1F 2F 2F A B ，M 1111FM F A F B FO =++O M x C CA CB C 1(20)F -，2(20)F ，11()A x y ，22()B x y ，()M x y ，1
(2)FM x y =+，111(2)F A x y =+，1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，1111FM F A F B FO =++
即于是的中点坐标为．当不与轴垂直时，，即．又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得，即．将代入上式，化简得．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．所以点的轨迹方程是．
（II ）假设在轴上存在定点，使为常数．当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
．因为是与无关的常数，所以，即，此时=．
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，， 1212
26x x x y y y +=++⎧⎨
=+⎩，12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，
AB 422x y -⎛⎫
⎪⎝
⎭，AB x 1212
24822
y
y y y x x x x -==
----1212()8y y y x x x -=--A B ，22112x y -=222
22x y -=12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+1212()(4)()x x x y y y --=-1212()8
y
y y x x x -=
--22(6)4x y --=AB x 122x x ==(80)M ，
M 22(6)4x y --=x (0)C m ，
CA CB AB x AB (2)(1)y k x k =-≠±222x y -=2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=12x x ，212241k x x k +=-212242
1
k x x k +=-2
1212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222
(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--222
22
2(12)2442(12)11
m k m m m m k k -+-=+=-++--CA CB k 440m -=1m =CA CB 1-AB x A B
，(2
(2
此时．故在轴上存在定点，使为常数．点评：存在性问题： ①对这类问题，若能将所观察色对象联系其几何背景进行数与形的转化，常能将复杂抽象的问题变得直观、具体，有利探明结论；②解析几何中的存在与否的问题常用，或曲线方程本身的取值范围，或题意中变量的取值范围进行判断。

(1
2)(12)1CA CB =-=-，，x (10)C ，
CA CB 0∆>。