高中数学选修1_1圆锥曲线与方程资料知识点讲义全
数学选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程知识梳理
第二章 圆锥曲线与方程一、椭 圆（一）椭圆及其标准方程1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于_常数_(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时_不存在_轨迹．2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，焦点坐标为_F 1(－c ，0)__F 2(c ，0)，焦距为_2c _；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．（二）椭圆的简单几何性质1．椭圆的简单几何性质（1）椭圆的中心：椭圆关于x 轴、y 轴对称，这时原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
（2）椭圆的顶点：椭圆与它对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点。
（3）椭圆的长轴和短轴：椭圆对称轴被椭圆截得的线段叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别是2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）椭圆的离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ac称为椭圆的离心率，用e 表示，即：)22101c b e e a a==-<<。
e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；e 越接近0，则c 越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。
焦点的位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 y 2a 2＋x2b 2＝1 范围 －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a顶点 (±a,0)，(0，±b ) (±b,0)，(0，±a )轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点 (±c,0) (0，±c )焦距 2c ＝2a 2－b 2对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点离心率 e ＝ca，0<e <1 2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有 1 组实数解，即Δ ＝ 0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有___2___组实数解，即Δ___>___0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有___0___组实数解，即Δ___<___0.1．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a >b >0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．2．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)．3．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．4．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．5．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．6．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．二、双曲线（一）双曲线及其标准方程1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于_|F 1F 2|_)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为__以F 1，F 2为端点的两条射线_．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹_不存在 ． (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距_．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点F 1_(－c,0)_，F 2_( c ，0)__.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点F 1_(0，－c )_，F 2__(0，c )_.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是___c 2＝a 2＋b 2_．（二）双曲线的简单几何性质1．双曲线的几何性质（1）双曲线的中心：双曲线关于x 轴、y 轴对称，这时原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
新课标高中数学《第二章圆锥曲线与方程》归纳整合新人教A版选修1-1
∵O→R·O→T＝176，∴x1x2＋y1y2＝176. y＝kx－4，
由1x62 ＋1y22 ＝1，得(3＋4k2)x2－32kx＋16＝0， 由Δ>0得，(－32k)2－4(3＋4k2)×16>0， 解得k2>14.① ∴x1＋x2＝3＋324kk2，x1x2＝3＋164k2， ∴y1y2＝(kx1－4)(kx2－4)＝k2x1x2－4k(x1＋x2)＋16， 故x1x2＋y1y2＝3＋164k2＋31＋6k42k2－31＋284kk22＋16＝176，
本章归纳整合
知识网络
要点归纳 1．研究椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的方法是一致 的．例如在研究完椭圆的几何特征、定义、标准方程、简单性 质等以后，通过类比就能得到双曲线、抛物线所要研究的问题 以及研究的基本方法．
2．对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的 意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如(1)在求轨迹 时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的 方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与 两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识 来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到 焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义 去解决．
【例1】 过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2， 若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点 M的轨迹方程． 解 法一 设点M的坐标为(x，y)． ∵M为线段AB的中点， ∴A的坐标为(2x，0)，B坐标为(0，2y)． ∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2，4)， ∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1，而kPA＝24－－20x(x≠1)． kPB＝42－－20y，∴1－2 x·2－1 y＝－1(x≠1)， 整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)
高中数学北师大版选修1-1 第2章 圆锥曲线与方程 本章整合 课件(43张)
2
������2 - =1(x>1,y<0). 3
2
综上,所求点 M 的轨迹方程为 x
������2 - =1(x>1)和 3
y=0(-1<x<2).
-7-
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 圆锥曲线的定义、性质 椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单的 几何性质是本章的基础. 对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线的定义解题的意 识,“回归定义”是一种重要的解题策略.如(1)在求轨迹时,若所求轨 迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程写出所求的轨 迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问 题时,常用定义结合解三角形的知识来解决;(3)在求有关抛物线的 最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结 合几何图形利用几何意义去解决.
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专题一
专题二
专题三
专题四
当∠MBA=90°时,△MAB 为等腰直角三角形,点 M 的坐标为 (2,3). ������ 当∠MBA≠90°时,tan(π-2α)=kMB= .
������-2
①当点 M 在 x 轴上方时,α≠90°,tan α=kMA=������+1,
������
∴tan(π-2α)=-tan 2α=
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专题一
专题二
专题三
专题四
应用1 抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是 它的焦点,若|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则( ) A.x1,x2,x3成等差数列B.y1,y2,y3成等差数列 C.x1,x3,x2成等差数列D.y1,y3,y2成等差数列 解析:如图,由抛物线定义, 得|AF|=|AA'|,|BF|=|BB'|,|CF|=|CC'|. ∵2|BF|=|AF|+|CF|, ∴2|BB'|=|AA'|+|CC'|.
高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义(K12教育文档)
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第二章 圆锥曲线与方程一、曲线与方程的定义：(),C F x y 设曲线，方程=0，满足以下两个条件：()(),,C x y F x y ∀①曲线上一点的坐标满足=0；()(),,.F x y x y C ∀②方程=0解都在曲线上()(),,.C F x y F x y C 则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程二、求曲线方程的两种类型：()1、已知曲线求方程；用待定系数法()()()2,;,x y x y 、未知曲线求方程①设动点②建立等量关系；③用含的式子代替等量关系；④化简；别出现不等价情况⑤证明；高中不要求椭圆一、椭圆及其标准方程1、画法{}121222,2P PF PF a F F a +=<、定义：3、方程()()222222221010x y y x a b a b a ba b +=>>+=>>①或②()2222+10x y a b a b=>>二、几何性质：1,.x a y b ≤≤、范围：2x y O 、对称性：关于、、原点对称. ()()()()12123,0,,0,0,,0,.A a A aB b B b --、顶点2224,,a b c a b c =+、之间的关系：()225101c b e e a a ==-<<、离心率：0,1e e →→越圆越扁扩展：()222222222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1 ()()222222221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或.a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是12P P F PF ∠④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大.24.AB F ABF a ⑤为过焦点的弦，则的周长为()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为:()()222121212114l k x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦()212121222110114k l y y y y y k k ⎡⎤=+-=++-⎣⎦或当存在且不为时，()2210,0.Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为双曲线一、双曲线及其标准方程1、画法{}121222,2P PF PF a F F a-=>、定义：3、方程：()() 222222221,01,0 x y y xa b a ba b a b-=>-=>①或②()22221,0x ya ba b-=>二、几何性质：1,x a y R≥∉、范围：2x y O、对称性：关于轴、轴、原点对称.()()121212,0,,0=2.A a A aA A aB B b-=3、顶点：实轴2，虚轴222.a b c c a b=+4、、、之间的关系：()22511c be ea ae==+>、离心率:越大，开口越阔22221b y x a y x y x a a b b ⎛⎫=±-==± ⎪⎝⎭6、渐近线：的渐近线为()2222222210x y x y m m a b a b -=-=>说明：与有相同离心率.抛物线一、抛物线及其标准方程P l PF PF l d -⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭1、定义：且2、标准方程及几何性质 标准方程()220y px p =>()220y px p =->()220x py p =>()220x py p =->简图焦点 ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、 02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭、 准线 2p x =-2px =2p y =-2p y =范围 0x ≥0x ≤0y ≥0y ≤对称性 x 轴y 轴顶点 ()0,0离心率1e =P 说明：①越大，开口越阔.②抛物线无限向外延展，但它无渐进线.扩展：Q Q 1、设点分别位于抛物线开口以内，抛物线上，以及开口以外，问过点且和抛物线只有一个交点的直线有几条？()1.Q 答：①当位于抛物线开口以内，个交点的直线只有一条主轴或其平行线1Q ②当位于抛物线上，个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线. 1.Q ③当位于抛物线外，个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线2、过焦点的弦长()22A B A B AB AF BFp p x x p x x =+⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++如图，。
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2.1
答案： A
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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3．椭圆的短轴长等于 2，长轴端点与短轴端点间的距离等 于 5，则此椭圆的标准方程是______________．
解析： 设椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为 b，焦距为 2c， 则 b＝1，a2＋b2＝( 5)2，即 a2＝4.
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数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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由方程确定椭圆的性质
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36. (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离 心率； (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
解析： (1)由题意：因为 2c＝8，所以 c＝4；又因为ac＝0.8， 所以 a＝5，b2＝9，焦点在 x 轴上时椭圆标准方程：2x52 ＋y92＝1； 焦点在 y 轴上时椭圆标准方程：2y52 ＋x92＝1.
(2)由题意可知 2b＝2 3，∴b＝ 3，
焦点为(0，－1)，∴焦点在 y 轴上且 c＝1，
准确理解椭圆的离心率 椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的扁平 程度． 由ba＝ a2－a2 c2＝ 1－e2(0<e<1)可知，当 e 越趋近于 1 时， ba越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋近于 0 时，ba越趋近于 1，椭 圆越接近于圆．当且仅当 a＝b 时，c＝0，两焦点重合，图形变 为圆，方程为 x2＋y2＝a2.
人教版高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用教学课件共18张
c a
F1PA F2 PA
椭圆光学性质的应用
影片门
一个焦点放光源，一个 焦点处放影片。
体外碎石技术
将人的肾结石位于一个 焦点处，在另一个焦点 处释放高能冲击波。
回音壁
一人站在东配殿墙下轻 声说话，另一人在西配 殿墙下听得清清楚楚。
刁尼秀斯之耳
俘虏秘密商讨的计划， 总是被看守识破
圆锥曲线光学性质探究的一般“套路”
F1 A F2 A
思路3：斜率 +两角差的正切公式
思路1：夹角公式 即cos FP1, n cos F2P, n
解：记F1(c,0), F2(c,0),则F1P (x0 c,0), F2P (x0 c,0)
y
由焦半径公式得 F1P a ex0 , F2P a ex0 .
P (x0,y0) 当P为(0, b)时，根据椭圆的对称性显然成立.
P (x0,y0)
l
F2 x
由焦半径公式得 F1P a ex0 , F2P a ex0 .
当P为(0, b)时，根据椭圆的对称性显然成立.
当法线PA的斜率存在时，记为：y
y0
a2 y0 b2 x0
(x
x0 ),
令y 0,则x e2 x0 , 则PA与x轴的交点A(e2 x0 , 0).
PF1 F1 A
y0 , x0 c
P (x0,y0) l
法线PA的方程为：y
y0
a2 y0 b2 x0
(x
பைடு நூலகம்
x0 ),则kPA
a2 y0 b2 x0
.
F1
A F2 x 根据两角差的正切公式可得
a2 y0 b2 x0
1
a2 y0 b2 x0
高二数学北师大版选修1-1课件：第二章 圆锥曲线与方程本章整合
= -0 ,
则有
即
0 = -.
= 0 ,
∵点 P(x0,y0)在抛物线 y2=2px(p>0)上,
∴(-x)2=2py,即 x2=2py(p>0).
故所求点 R 的轨迹方程为 x2=2py(p>0,y≠0).
-9-
网络构建
本章整合
专题一
专题二
专题三
专题探究
专题四
专题二 求圆锥曲线的离心率及其范围问题
2
综上,点 M 的轨迹方程为 x
2
- =1(x>1)和
3
y=0(-1<x<2).
-6-
网络构建
本章整合
专题一
专题二
专题三
专题探究
专题四
应用 2 已知三点 A(-7,0),B(7,0),C(2,-12).若椭圆过 A,B 两点,且
C 为其一焦点,求另一焦点 F 的轨迹方程.
提示:题目中的条件涉及椭圆上的两点和一个焦点的坐标,求另一焦点
专题四
(3)解:由题意知点 P 分 AB 所成的比 λ=3,
+3
∴ 14 2
2
= ,即
24
又 x1+x2=
∴x1=
42
x1+3x2= .
4,
4 -
2
2 (2 +2 )
2
2
(2 -2 )2
,x2=
2
.
(2 - )
(2 - )
2
2
2 (2 +2 ) (2 -2 )2
2
- =1(x≤1).
48
2
x
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第二章圆锥曲线与方程一、曲线与方程的定义：
(),
设曲线，方程=0，满足以下两个条件：
C F x y
()()
①曲线上一点的坐标满足=0；
∀
C x y F x y
,,
()()
则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程
C F x y F x y C
,,.二、求曲线方程的两种类型：
椭圆
一、椭圆及其标准方程
1、画法
3、方程
()()22
22
22221010x y y x a b a b a b
a b +=>>+=>>①或
②
()()()()12123,0,,0,0,,0,.
A a A a
B b B b --、顶点
()2222
22222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1 ()()
2222
22221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或 .a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是
12P P F PF ∠④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大.
24.AB F ABF a V ⑤为过焦点的弦，则的周长为
()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为:
()(
)2
22
121
2
12114l k x x k x x x x ⎡⎤
=+-=
++-⎣⎦
()2
12121222110114k l y y y y y y k k ⎡⎤=+
-=+⋅+-⎣⎦或当存在且不为时，
()2210,0.
Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为
双曲线
一、双曲线及其标准方程
1、画法
()()22
22
22221,01,0x y y x a b a b a b
a b -=>-=>①或
②
22221b y x a y x y x a a b b ⎛⎫
=±-==± ⎪
⎝⎭6、渐近线：的渐近线为
()2222
222210x y x y m m a b a b -=-=>说明：与有相同离心率.
抛物线
一、抛物线及其标准方程
2、标准方程及几何性质
说明：①越大，开口越阔.
P
②抛物线无限向外延展，但它无渐进线.
1、设点分别位于抛物线开口以内，抛物线上，以及开口以外，问过点且和抛物线只有一个交点的直线有几条？
Q Q
()
答：①当位于抛物线开口以内，个交点的直线只有一条主轴或其平行线
Q
1.
②当位于抛物线上，个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线.
Q
1
③当位于抛物线外，个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线
1.
Q。