(完整版),圆锥曲线与方程知识点详细,推荐文档

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：| PF1 | | PF2 | 2a 与| PF2 | | PF1 | 2a （ 2a | F1F2 | ）表示双曲线的一支。
2a | F1F2 | 表示两条射线； 2a | F1F2 | 没有轨迹；
（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：
3、 离心率
例 3、椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左右焦点分别是 F1、F2，过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 P 点。
若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________ 4、 最值问题
例
4、椭圆
x2 4
y2
1 两焦点为
F1、F2，点
P
在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，最小值为_____
PF1 PF2 e
PM 1
PM 2
x2
5、椭圆
y2
1
与
y 2 x 2 1 (a b 0) 的区别和联系
a2 b2
a2 b2
标准方程
x 2 y 2 1 (a b 0) a2 b2
y 2 x 2 1 (a b 0) a2 b2
图形
焦点
F1 (c,0) ， F2 (c,0)
焦距
2
（）
A． x 2 y 2 1
12 24
B． y 2 x 2 1
12 24
C． y 2 x 2 1
24 12
D． x 2 y 2 1
24 12
4.过点（1，3）且渐近线为 y 1 x 的双曲线方程是 2
4.几何
1.设 P
为双曲线
x2
y2 12
1上的一点， F1，F2 是该双曲线的两个焦点，若 |
F1F2 2c
范围
x a， y b
F1 (0,c) ， F2 (0, c) F1F2 2c x b， y a
对称性
关于 x 轴、 y 轴和原点对称
顶点
性质 轴长
(a,0) ， (0,b) 长轴长= 2a ，短轴长= 2b
(0,a) ， (b,0)
离心率
e c (0 e 1) a
准线方程
x a2 c
p |PF|＝－x0＋2
p |PF|＝y0＋2
p |PF|＝－y0＋2
【典型例题】
例 1 设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点． (1)求点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到直线 x＝－1 的距离之和的最小值； (2)若 B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
1.将直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式 来判断直线和椭圆是否
相交、相切或相离。 2.消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之
积的形式，这是进一步解题的基础。 7.椭圆方程的求解方法
1.要学会运用待定系数法来求椭圆方程，即设法建立 a, b 或者 e, c 中的方程组，要善于抓住条件列方程。
P 是双曲线
a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 左支上的一点，F1、F2 分别是左、右焦点，且焦距为 2c，则
PF1F2 的内切圆的圆心的横坐标为（ ）
（A） a （B） b （C） c （D） a b c 2.求双曲线的标准方程
x2 y2 1.已知双曲线 C 与双曲线 － =1 有公共焦点，且过点（3 2 ，2）.求双曲线 C 的方程．
更方便。
2
但是需要注意的是 m 和 n（或者 1 和 1 ）谁代表 a2 ，谁代表 b2 要分清。不要忘记隐含条件和方程，例如： mn
a2
b2
c2 ， e
c a
等等。不同的圆锥曲线有不同的隐含条件和方程，切勿弄混。
2.求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形分析，即使画不出图形，思考时也要联想图形，注意数
1 (a b 0) 与坐标轴的四
个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1 (a,0) ， A2 (a,0) ， B1 (0,b) ， B2 (0, b) 。 ③线段 A1 A2 ，
B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴， A1 A2 2a , B1B2 2b 。 a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半
16 4
2.已知双曲线的渐近线方程是 y x ，焦点在坐标轴上且焦距是 10，则此双曲线的方程为
2
；
3.与渐近线有关的问题
5
x2
1 若双曲线
y2
1(a 0, b 0) 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为
（
）
a2 b2
A. 2
B. 3
C. 5
D. 2
3.焦点为（0，6），且与双曲线 x 2 y 2 1 有相同的渐近线的双曲线方程是
形结合法的使用，切勿漏掉一种情况。
【典型例题】
1、 椭圆的定义
例 1、已知 F1(-8，0)，F2(8，0)，动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16，则点 P 的轨迹为( )
A圆
B 椭圆
C 线段
D 直线
2、 椭圆的标准方程
例 2、求满足以下条件的椭圆的标准方程
(1)长轴长为 10，短轴长为 6； (2)长轴是短轴的 2 倍，且过点(2，1)； (3) 经过点(5，1)，(3，2)
知识点 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内； (2)动点到定点 F 距离与到定直线 l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．
知识点 2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
P 的轨迹无图形.
2、椭圆的标准方程
1）．当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程： x 2 y 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a 2 b2 ； a2 b2
2）．当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程： y 2 x 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a 2 b2 ； a2 b2
x2
注意：椭圆
a2
y2 b2
1的图像中线段的几何特征（如下图）：
假设已知椭圆方程 x2 y 2 1（ a 0, b 0 ），且已知
a2 b2
椭圆的准线方程为 x a2 ，试推导出下列式子：（提示：用三 c
PF1
角函数假设 P 点的坐标
PF2
e
PM 1
PM 2
1
4、椭圆的另一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有
注意：①在两种标准方程中，总有 a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；
x2
②两种标准方程可用一般形式表示：
y2
1
或者
mx2+ny2=1 。
mn
3、椭圆： x 2 y 2 1 (a b 0) 的简单几何性质 a2 b2
（1）对称性：对于椭圆标准方程 x 2 y 2 1 (a b 0) ：是以 x 轴、 a2 b2
椭圆
1、椭圆的第一定义：平面内一个动点 P 到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于常数 ( PF1 PF2 2a F1F2 ) ,这个动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆
的焦距。.
注意：若 ( PF1 PF2 F1F2 ) ，则动点 P 的轨迹为线段 F1F2 ；若 ( PF1 PF2 F1F2 ) ，则动点
PF1
|:|
PF2
|
3 : 2 ，则
△PF1F2 的面积为（ ） A． 6 3
B． 12
D． 24 5.求弦
1.双曲线 x 2 y 2 1 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （
C.12 3
）
A. y 2x 1
B. y 2x 2
C. y 2x 3
D. y 2x 3
6
抛物线
图形
顶点 对称轴
焦点
离心率
准线方程
范围 开口方向 焦半径(其中 P(x0，y0)
O(0,0)
y＝0
x＝0
( )p ，0 F2
( )p
－ ，0 F2
( )p
0， F2
( )p
0，－ F2
e＝1
p
p
p
p
x＝－2
x＝2
y＝－2
y＝2
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
向右
向左
向上
向下
p |PF|＝x0＋2
B1 (0,a), B2 (0, a)
x 轴， y 轴；虚轴为 2b ，实轴为 2a
F1 (c,0), F2 (c,0)
F1 (0,c), F2 (0, c)
| F1F2 | 2c(c 0) c 2 a 2 b 2
离心率
e c (e 1) （离心率越大，开口越大）
a
渐近线
ybx a
yax b
的．

y
P
C
A
O
Bx
2.如图 2 所示， F 为双曲线 C : x 2 y 2 1 的左 9 16
焦点，双曲线 C 上的点 Pi 与 P7i i 1,2,3关于 y 轴对称，
则 P1F P2 F P3 F P4 F P5 F P6 F 的值是（
）
A．9 B．16 C．18
D．27
3.
x2
中心在原点，焦点在 x 轴上
标准方程
x 2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2