人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结

人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结

一、知识点：

椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质

1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹

2．椭圆的标准方程：

12

2

22=+b y a x ，

12

2

22=+b x a y （0>>b a ）

3．椭圆的性质：由椭圆方程

12

2

22=+b y a x (0>>b a )

(1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．

(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，

简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距． （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．

椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2

a A a A -，,0(),,0(2

b B b B -两焦)0,(),0,(2

1

c F c F -2

1A A 叫椭圆的长

轴，2

1

B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2.b a ,分别为

椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭

圆与对称轴的交点．

(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比

a c =

⇒2)(1a

b

e -=<

椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例

,

,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置

线段2

1

F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特

例．（识记方法）

到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，

定直线叫做准线，常数e 就是离心率

5．椭圆的准线方程 对于

122

22=+b

y a x ，左准线

c

a x l 2

1:-

=；右准线

c

a x l 2

2:=

对于

122

22=+b

x a y ，下准线

c

a y l 2

1:-

=；上准线

c

a y l 2

2:=

6.椭圆的焦半径公式：椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>焦半径

公式:

2

1()a PF e x a ex

c

=+=+，

2

2()a PF e x a ex

c

=-=-

其中e 是离心率 其中2

1

,F F 分别是椭圆左右焦点． 焦点在y 轴上的椭圆的焦半径

.

a

椭圆2x+

A.4b

B.2(a-c)

C.2(a+c)

D.4a 4.椭圆的的内外部: （1）点0

(,)P x y 在椭圆

22

22

1(0)x y a b a b +=>>的内部

2200

221x y a b

⇔+<.

（2）点

00(,)

P x y 在椭圆

22

221(0)x y a b a b

+=>>的外部

2200

221x y a b

⇔+>.

5.椭圆的切线方程:

(1) 椭圆

22

22

1(0)x y a b a b +=>>上一点0

(,)P x y 处的切线

方程是0

01x x y y +=.

8．双曲线的定义：平面内到两定点2

1

,F F 的距离的

差的绝对值为常数（小于2

1F F ）的动点的轨迹叫

双曲线 即a

MF MF

221

=-这两个定点叫做双曲线

的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）两

定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线）双曲线的形状

与两定点间距离、定差有关

9．双曲线的标准方程及特点：

（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：

焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：

122

22=-b

y a x (0>a ,0>b )；

焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：

12

222=-b x a y (0>a ,0>b )

(2)c b a ,,有关系式2

22

b a c

+=成立，且0,0,0>>>c b a

其中a 与

b

的大小关系:可以为

a b a b a ><=,,

10．焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2

x 、2

y 项的分母

的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来

判断焦点所在的位置，即2

x 项的系数是正的，那

么焦点在x 轴上；2

y 项的系数是正的，那么焦点

在y 轴上

11．双曲线的几何性质： （1）范围、对称性 由标准方程

12

2

22=-b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a ，

x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双

曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心. （2）顶点

顶点：()0,),0,(2

1

a A a A -，特殊点：()

b B b B -,0),,0(2

1

实轴：2

1

A A 长为a 2, a 叫做半实轴长虚轴：2

1B B 长

为b 2，b 叫做虚半轴长

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这