高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结7558

圆锥曲线
1、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆122
22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0
202y a x b ；
在双曲线22
221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0
202y a x b ；在抛物线
22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0
p
y 。

提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！
2．了解下列结论
（1）双曲线1222
2=-b y a x 的渐近线方程为02222
=-b
y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222
=-b
y a x 为参数，λ≠0）。

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22
1mx ny +=；
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2
2b a
，焦准距（焦点到相应准线
的距离）为2
b c
，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；
②2
21212,4
p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2
2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p
3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1）在ABC ∆中，给出()
12
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线; （2）在ABC ∆中，给出2
22OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（3）在ABC ∆中，给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（4）在ABC ∆中，给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=r
r 使；③若存在实数
,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+u u u r u u u r u u u r
且使,等于已知C B A ,,三点共线.
（6） 给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已
知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角,
（8）给出=⎫⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/
（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD 是菱形;
（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r
，等于已知ABCD 是矩形;
4.圆锥曲线中线段的最值问题：
例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为
______________
(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 距离和最小。

解：（1）（2，
2）（2）（1,4
1
）
1、已知椭圆C 1的方程为14
22
=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1顶点分别是C 1的左、右焦点。

(1) 求双曲线C 2的方程； (2) 若直线l ：2+
=kx y 与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A
和B 满足6<⋅OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围。

解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12
222=-b y a x ，则.1,31422222
==+=-=b c b a a 得再由 故C 2的方程为2
2 1.3
x y -=（II ）将.0428)41(14
22222
=+++=++=kx x k y x kx y 得代入
由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得
,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k 即 21
.4
k > ①
0926)31(13
22222
=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个
不同的交点A ，B 得2
22
222
2130,1 1.3()36(13)36(1)0.
k k k k k ⎧-≠⎪≠<⎨∆=-+-=->⎪⎩即且
22223715136,0.3131k k k k +-<>--于是即解此不等式得22
131.153
k k ><或 ③
由①、②、③得
.115
13
314122<<<<k k 或 故k
的取值范围为11(1,()(22--U U U 2.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA?AB = MB?BA ，M 点的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA u u u r =（-x,-1-y ）, MB u u u r =(0,-3-y), AB u u u r
=(x,-2).再由愿意得知（MA u u u r +MB u u u r ）??AB u u u r
=0,即（-x,-4-2y ）??(x,-2)=0.
所以曲线C 的方程式为y=14x 2-2. (Ⅱ)设P(x 0,y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点，因为y '=12
x,所以l 的斜率为12x 0因此直线l 的方程为0001()2
y y x x x -=-，即2
00220x x y y x -+-=。

则O 点到l
的距离2
d
=
.又2
0124
y x =
-
，所以2
014
12,2x d +==≥
当2
0x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.
3.设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2
+1相切，则该双曲线的离心率等于( )
4.过椭圆22
221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若
1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为
5.已知双曲线
)0(122
2
2>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝( )0
6.已知直线
()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若
||2||FA FB =，则k =( )
7.设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。

若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为_____________.
8.椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 .。