圆的有关性质

圆的有关性质
圆心 1.要确定一个圆,必须确定圆的____ 和___ 半径
圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
O●
这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙ O” .
圆的相关概念
以A,B两点为端点的弧.记作 读作“弧AB”.

• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
⌒ AB,

连接圆上任意两点间的 线段叫做弦 ( 如弦 AB). B
l h a r
1 1 la 2 r a ra 2 2
S侧=S扇形
S全=S侧+S底
ra r
2
正多边形的中心: 一个正多边形的 外接圆的圆心. F 正多边形的半径: 外接圆的半径
E
半径R
D
中心角
O
. .
边心距r
C
正多边形的中心角: 正多边形的每一条边所对的圆心角. 正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离.
A
O
P
B 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
●
A
O
C D
经过圆心的弦叫 做直径(如直径AC).

圆的相关概念 • 直径将圆分成两部分,每一部分都 叫做半圆(如弧ABC). 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒ AB (用两个字母).
B D A
●
O
C
大于半圆的弧叫做优弧, ⌒ 如记作 ACD (用三个字母).

C
垂径定理：垂直于弦 的直径平分弦，并且 平分弦所对的两条 弧．
l
r l
图
形
d
r
l
d
r
公共点个数 公共点名称
直线名称
圆心到直线距离 d与半径r的关系
2个 交点 割线 d<r
1个 切点 切线 d=r
没有
d>r
用两圆的圆心距d与两圆的半径R,r的数量关系来 判别两圆的位置关系
1、已知⊙O的面积为16π .
（1）若PO＝2.8，则点P在⊙O_______.
（2）若PO＝4， 则点P在⊙O_______. （3）若PO＝5.8，则点P在⊙O_______.
Ｃ
Ｅ Ｏ
垂径定理推论：
Ｂ
Ａ
M
Ｄ
① CD是直径
可推得
②CD⊥AB,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
③ AM=BM
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒
⑤AD=BD.
把顶点在圆心的周角等分成360 份时，每一份的圆心角是1°的 角。1°的圆心角所对的弧叫做 1°的弧。 n°弧 一般地，n°的圆 C 心角对着n°的弧。 D 圆心角的度 n°圆心角 数和它所对 O A 1 °弧 的弧的度数 B 1°圆心角 相等。
点与圆的位置关系
如图，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上， C点在圆外，那么 OA＜r， OB＝r， OC＞r．
反过来也成立，即
若点A在⊙O内 若点A在⊙O上 若点A在⊙O外
OA r
OA r OA r
图 23.2.1
直线与圆的位置关系
直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离
O
O
O d
等角等弧
1、圆周角定理的推论1：
等角等弧
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
2、圆周角定理的推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 直径 90°的圆周角所对的弦是直径。
直角
3、内接四边形的对角互补。
4、如果三角形一条边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C=2πr
S=πr2
n nr 三、弧长的计算公式 l 360 2r 180
四、扇形面积计算公式
n 2 s r 360
1 或s lr 2
S弓形=S扇形-
五 、大于半圆的弓形面积为 S弓形=S扇形+S△ 六 、小于半圆的弓形面积为
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇 形的弧长， 圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的 半径。
·
E A D B
O
平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧．
Ｃ
Ｅ Ｏ
垂径定理：
Ｂ

Ａ
M
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
②CD⊥AB,
可推得
垂径定理推论：

由 ① CD是直径 ③ AM=BM
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
2、切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径 垂直于过切点 半径
老师提示: 切线的性质定理是证 明两线垂直的重要根据;作过切点的 半径是常用经验辅助线之一.
思考: 切线的判定定理: 经过半径的外端并 且垂直于这条半径的 直线是圆的切线. 用几何符号语言表达: ∵OA⊥L,点A在⊙O上， ∴L是⊙O的切线
. O
L A
D O A E A C B O
B
C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结 这点和圆心,得到辅助半径,再证所作 半径与这直线垂直。简记为：连半径, 证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆 是否有公共点,则过圆心作直线的垂线 段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。 简记为：作垂直,证半径。
2、如图，Rt∆ABC的斜边AB＝１０， AB＝ ６，BＣ＝８，以Ｃ为圆心作圆，半径为 Ｒ． A
B C
（1）Ｒ＝＿＿时，⊙Ｃ与ＡＢ相切． （2）Ｒ＿＿时，⊙Ｃ与ＡＢ相交． （3）Ｒ＿＿时，⊙Ｃ与ＡＢ相离．
3 (1) ⊙O的半径为2,点P是⊙O外一点, OP的长 为3,那么以P为圆心,且与⊙O相切的圆的半径一 定是( A ) A. 1或5 B. 1 C. 5 D.1或4
(2)若半径分别为2与6的两个圆有公共 点,则圆心距d的取值范围是( D )
A. d＜8 B.d≤8 C.4＜d＜8 D.4≤d≤8
定理：不在同一直线上的三个点 确定一个圆。
A
.
.
C
B
.
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外 接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心，
三角形叫做圆的内接三角形。
C
问题1：如何作三角形的外 接圆？如何找三角形的外 心？ A 问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？

B
M
A
P
O
圆周角
顶点在圆上,并且两边都与圆相交 的角,叫做圆周角.

F E
●
A
特征： ① 角的顶点在圆上.
C
O
B D
② 角的两边都与圆相交.

圆周角.
圆周角定理:
在同圆（等圆）中,同弧 (等弧)所 对的圆周角相等.都等于这条弧所对的圆 心角的一半. 在同圆或等圆中,相等的 圆周角所对的弧相等.三角形 内 ，直角三角形的外心在三角 ____ 形 斜边的中点 ， 外 。 钝角三角形的外心在三角形____
I
内切圆和内心的定义:
D
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫 做三角形的内心.
知识回顾
一、圆的周长公式 二、圆的面积公式
在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、两条弦、 两条弦的弦心距中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分 A 别相等
O
B'
C
B A' C'
关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦的 垂线段，这是一条非 常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、 半径、弦长构成直角 三角形，便将问题转 化为直角三角形的问 题。