2021考研数学三测试卷
数学三试题
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞=n n x a ,则221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(B) 若221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a , 则lim →∞=n n x a(C)若lim →∞=n n x a ,则331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(D) 若331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a ,则lim →∞=n n x a(2) 设函数()f x 在(),-∞+∞内持续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3 (3) 设(){}2222,2,2=+≤+≤D x y xy x x y y ,函数(),f x y 在D 上持续,则(),d d Df x y x y =⎰⎰ ( )(A)()()2cos 2sin 4204d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰ (B)()()2sin 2cos 420004d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰(C)()112d ,d xx f x y y ⎰⎰(D) ()102d ,d xxf x y y ⎰(4) 下列级数中发散的是( )(A) 13n n n∞=∑ (B)1)n n ∞=+∑(C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑(D)1!n n n n∞=∑(5)设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω(D) ,a d ∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C)2221232y y y --(D) 2221232y y y ++(7) 若,A B 为任意两个随机事件,则: ( )(A)()()()≤P AB P A P B (B)()()()≥P AB P A P B (C)()()()2+≤P A P B P AB (D) ()()()2+≥P A P B P AB(8) 设整体()~,,X B m θ12,,,n X X X 为来自该整体的简单随机样本,X 为样本均值,则()21ni i E X X=⎡⎤∑-=⎢⎥⎣⎦( ) (A) ()()11θθ--m n (B)()()11θθ--m n (C)()()()111θθ---m n (D)()1θθ-mn二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln(cos )lim__________.x x x →=(10)设函数()f x 持续，2()()d ,x x xf t t ϕ=⎰若(1)1,(1)5,ϕϕ'==则(1)________.f =(11)若函数(,)z z x y =由方程23e1x y zxyz +++=肯定，则(0,0)d _________.z=(12)设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处取得极值3，则()________.y x =(13)设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵，则行列式________.=B(14)设二维随机变量(,)X Y 服从正态散布(1,0;1,1;0)N ，则{0}_________.P XY Y -<=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.(15)(本题满分10 分)设函数3()ln(1)sin ,()f x x a x bx x g x c kx =+++==.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.(16)(本题满分10 分) 计算二重积分()d d Dx x y x y +⎰⎰，其中222{(,)2,}.D x y x y y x =+≤≥(17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品肯定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，P 为价钱，MC 为边际本钱，η为需求弹性(0)η>.(I) 证明定价模型为11MCP η=-； (II) 若该商品的本钱函数为2()1600C Q Q =+，需求函数为40Q P =-，试由（I ）中的定价模型肯定此商品的价钱.(18)(本题满分10 分)设函数()f x 在概念域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f =，求()f x表达式.(19)(本题满分 10分)（I ）设函数(),()u x v x 可导，利用导数概念证明[()()]()()()();u x v x u x v x u x v x '''=+ （II ）设函数12(),(),,()n u x u x u x 可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式.(20) (本题满分 11分)设矩阵101101a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A =，且3=A O .(I) 求a 的值；(II)若矩阵X 知足22--+=X XA AX AXA E ，其中E 为3阶单位矩阵，求X .(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵.(22) (本题满分11 分)设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,00,0xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩,对X 进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数(I)求Y 的概率散布；(II)求()E Y.(23) (本题满分11 分)设整体X的概率密度为,1,(,),xf xθθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩110其他,其中θ为未知参数，12nX,X,,X为来自该整体的简单随机样本.(I)求θ的矩估量量；(II)求θ的最大似然估量量.。
2021年至2023年全国考研数学真题(附解析答案)
2023年全国硕士研究生招生考试考研（数学三）真题及详解1．已知函数f 一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。
A ．∂∂x f0,1)(不存在，∂∂y f 0,1)(存在B ．∂∂x f0,1)(存在，∂∂y f 0,1)(不存在C ．∂∂x f0,1)(，∂∂y f 0,1)(均存在D ．∂∂x f0,1)(，∂∂yf 0,1)(均不存在2．函数x ≤0)⎩(x +1cos x ,x >0f (x )=的原函数为（）。
A． ⎪≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln ,0B．⎪+≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln 1,0C．⎪+≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln ,0D．⎪++≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln 1,0）。
3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（A ．a ＜0，b ＞0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＝0，b ＞0D ．a ＝0，b ＜0n ＝1，2，…），若级数∑∞n =1a n 与∑∞n =1bn均收敛，则“级数∑∞n =1an绝对收敛”是“∑∞bnn =14．已知a n ＜b n（绝对收敛”的（）。
A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则⎝⎭⎪⎛⎫O B A E *＝（）。
A ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A B B A OB A ****B ．⎝⎭⎪⎪-⎛⎫B A A B O A B ****C ． ⎝⎭ ⎪ ⎪-⎛⎫B A B A OA B ****D ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A BA B OB A ****x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（）。
2021考研数学三真题及答案解析(全)
(B)连续且取极小值.
(C)可导且导数为 0.
(D)可导 lim f (x)= lim ex 1 1 f (0) ，故 f (x) 在 x 0 处连续；
x0
x0 x
因为 lim x0
f
(x) f (0) = lim
x0
x0
e
x 1 x x0
1
lim
x0
【答案】D.
【解析】
P(A
|
A
B)
P(A(A B)) P(A B)
P( A)
P( A) P(B) P(AB)
P(A
|
A
B)
P(A(A B)) P(A B)
P( AB) P(A B)
P(B) P(AB) P(A) P(B) P(AB)
(A)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A) .
(B)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A)
(C)若 P( A | B) P( A | B) ，则 P(A | B) P(A) . (D)若 P( A | A B) P( A | A B) ，则 P( A) P(B) .
1 1 | E A | 1 2 1 ( 1)( 3)
1 1
令上式等于零，故特征值为 1， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.
(6)设
A
(1,2 ,3,4 )
为
4
阶正交矩阵，若矩阵
B
=
1T 2T
，
1 1 ， k
表示任意常数，
T 3
1
则线性方程组 Bx 的通解 x
(B)等价无穷小.
2021考研数学三真题及答案解析(全)
(16)甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，
再从乙盒中任取一球.令 X , Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与Y 的相关系数
______________.
【答案】 1 . 5
(0, 0) (0,1) (1, 0) (1,1) 0 1 0 1
4
3
(B) .
8
1
(C) .
2
5
(D) .
2
【答案】 A .
【解析】似然函数 L( ) (1 )3(1 )5 ， 24
取对数 ln L( ) 3ln(1 ) 5ln(1 ) ；
2
4
求导
d ln L( ) d
3 1
5 1
0 ，得
1 .故正确答案为 A. 4
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置
0
f
' y
y x2
0
2x2 x 1 y2 0
即
y
0
得驻点 (1, 0) ， (1 , 0) 2
f '' xx
4x
1 x
3(2x2 x4
x
1
y2)
（2）
f '' xy
2 y x3
f '' yy
1 x2
（3）驻点 (1, 0) 处，A=3，B=0，C=1， AC B2 3 0 ， A 0
(A)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A) .
(B)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A)
2021考研数学三考试历年真题及答案详解
2021考研数学三考试历年真题及答案详解一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）1.当x→0时，是x7的（）。
A．低阶无穷小B．等价无穷小C．高阶无穷小D．同阶但非等价无穷小【答案】C【考点】常用等价无穷小；【解析】因为当x→0时，，所以是x7的高阶无穷小，故选C项。
2.函数，在x＝0处（）。
A．连续且取极大值B．连续且取极小值C．可导且导数为0D．可导且导数不为0【答案】D【考点】连续和可导的定义；【解析】因为故f（x）在x＝0处连续。
因为即f′（0）＝1/2，故选D项。
3.设函数f（x）＝ax－blnx（a＞0）有2个零点，则b/a的取值范围为（）。
A．（e，＋∞）B．（0，e）C．（0，1/e）D．（1/e，＋∞）【答案】A【考点】函数单调性及极值；【解析】函数求导得f′（x）＝a－b/x，令f′（x）＝0，则有驻点x＝b/a，得在区间（b/a，＋∞）上，f′（x）＞0，f（x）单增；在区间（－∞，b/a）上，f′（x）＜0，f（x）单减。
即f（b/a）为函数f（x）的极小值，若f（x）有2个零点，则f（b/a）＝a·b/a －bln（b/a）＜0，从而ln（b/a）＞1，可得b/a＞e，故选A项。
4.设函数f（x，y）可微，且f（x＋1，ex）＝x（x＋1）2，f（x，x2）＝2x2lnx，则df（1，1）＝（）。
A．dx＋dyB．dx－dyC．dyD．－dy【答案】C【考点】多元函数可微；【解析】记∂f/∂x＝f1′，记∂f/∂y＝f2′，则题给两式对x求导得将分别代入（1）（2）式有联立可得f1′（1，1）＝0，f2′（1，1）＝1，df（1，1）＝f1′（1，1）dx＋f2′（1，1）dy＝dy，故选C项。
5.二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2的正惯性指数和负惯性指数依次为（）。
2021考研数学三真题试卷(Word版)
2021考研数学三真题试卷(Word版)2021年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题一、选择题（1-10小题，每小题5分，共50分）1) 当x趋近于无穷大时，∫x2(et-1)dt是x7的（）A) 低阶无穷小 (B) 等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 同阶但非等价无穷小2) 函数f(x)={ex-1.x≠0.x。
x=0}，在x=0处（）A) 连续且取得极大值 (B) 连续且取得极小值 (C) 可导且导数等于零 (D) 可导且导数不为零3) 设函数f(x)=ax-blngx(a>0)有2个零点，则b/a的取值范围（）A) (e。
+∞) (B) (0.e) (C) (0.1/e) (D) (-∞。
0)∪(1/e。
+∞)4) 设函数f(x,y)可微，且f(x+1,e)=x(x+1)，f(x,x)=2xlnx，则df(1,1)为()A) dx+dy (B) dx-dy (C) dy (D) -dy5) 二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为()A) 2,0 (B) 1,1 (C) 2,1 (D) 1,26) 设A=(α1,α2,α3,α4)的4阶正交矩阵，若矩阵B=[α2;1 α3]，β=1，k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通解x=()A) α2+α3+α4+kα1 (B) α1+α3+α4+kα2 (C) α1+α2+α4+kα3 (D) α1+α2+α3+kα47) 已知矩阵A=[2 -1;1 1]，使得PAQ为对角矩阵，则下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，分别取()A) P=1，Q=[1 1;3 2] (B) P=2-1，Q=[1 1;3 2] (C) P=2-1，Q=[1 1;-3 1] (D) P=1，Q=[-3 1;1 1]8) 设A,B为随机事件，且0<P(B)<1，下列为假命题的是()A) 若P(A|B)=P(A)，则P(A∩B)=P(A)P(B)B) 若A,B互不相容，则P(A∪B)=P(A)+P(B)C) 若P(A|B)>P(A)，则P(B|A)>P(B)D) 若P(A|B)<P(A)，则P(B|A)<P(B)一、改错题B) 若 $P(A|B)>P(A)$，则 $P(A|B)>P(A)$。
2021考研数学三测试卷解析
f (0) _____ .
【答案】0
【解析】由已知等式得 f (0) 0.
等式两边同时对 x 求导，得 2 f (x) 1 f ( x) 2(1 2x), （*）.令 x 0, 得 f (0) 4 .
由 f (0, 0) 0, 得 C 0, 故 f (x, y) x2 3x y 2 4 y.
由
z x
2x
3
0,
z y
2y
4
0,
得
x1
3 2
,
y1
2,
f
(3 2
, 2)
25 . 4
令 L(x, y, ) x2 y 2 3x 4 y (x2 y 2 25),
由
Lx Ly
L
因此 Y
X
2 1
X
2 2
X
2 3
X
2 4
2
X
2 3
X 42
~ F (2, 2). 因为 P{Y
y } , 即 y
F (2, 2), 又
2
1 1 P{Y
y} P{Y y} P{Y
y }
P{
1 Y
1 }, y
而
1 ~ F (2, 2), Y
所以
y1
1 y
, 所以（A）正确.
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
X
2 3
X 42
, 对给定的
(0 1), 数 y 满足 P{Y y } , 则有（ ）
（A） y y1 1.
2021年全国硕士研究生招生考试数学三真题详细解析
案.
1 0 −1
（7）已知矩= 阵 A
2
−1
1
，若下三角可逆矩阵
P
和上三角可逆矩阵
Q
，使
PAQ
为对角矩阵，
−1 2 −5
则 P ， Q 可以分别取（ ）
1 0 0 1 0 1
（A）
0
1
0
，
0
1
3
.
0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0
（B）
2
−1
0
，
0
1
0
.
−3 2 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1
（C）
2
−1
0
，
0
1
3
.
−3 2 1 0 0 1
【答案】应选（C）.
1 0 0 1 2 −3
（D）
0
1
0
，
0
−1
2
.
1 3 1 0 0 1
【分析】本题如果希望通过矩阵方程来求得 P ， Q 显然难度较大，但对于客观题，一个计算问题通过
答案验证显然要简单得多。将选项代入快速验算，容易到本题答案为（C）. 【详解】对选项 C,
【详解】对于选项（A），
P( A B) =P( AB) =P( A) ⇒ P( AB) =P( A)P(B) ， P(B)
( ) 事件 A, B 相互独立，即互不干扰，因此易得 P A B = P ( A) ，故 A 正确.
( ) ( ) 对于选项（B）,知 P( A B) = P( AB) > P ( A) ⇔ P( AB) > P( A)P(B) ，若 P A B > P A 成立，则 P(B)
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一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）设
f
(
x)
x tan t 2dt
0
x3
,
k,
x 0, 在 x 0 处连续，则 k （ x 0
）
（A） 1 . 3
（B） 1 . 6
y y(x) ______ .
(12) 设 f (x) 在 (, ) 有三阶连续导数，且满足 2 f (x) f ( x) 2(x x 2), 则 2
f (0) _____ .
0
0
0
1
4
1 0 0 0
（13）设 A 0
1
0
, 则行列式 ( A1)* ______ . 0
2
0
求 lim a . ba b a
（ 19 ）（ 本 题 满 分 10 分 ） 计 算 二 重 积 分 [cos x2 sin y2 sin(x y)]d ， 其 中
D
D {(x, y) x2 y 2 a 2, 常数a 0} .
（20）（本题满分
11
分）设线性方程组
2
x1
x1 (k
X
2 1
X
2 2
X
2 3
X 42
, 对给定的
(0 1), 数 y 满足 P{Y y } , 则有（ ）
（A） y y1 1. （B） y y1 1. 2
（C） y y1 1.
2
（D） y y1 1.
22
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（Ⅰ）求 k 的值；（Ⅱ）求矩阵 A3.
（21）（本题满分 11 分）设 n 阶实对称矩阵 A 只有两个不同的特征值 1 1和 2 ，且 A 的 属于 1 的特征向量仅有 (1, 0,, 0,1)T . （Ⅰ）求矩阵 A ；（Ⅱ）当 2 满足什么条件时， A 是
正定矩阵.
（ 22 ）（ 本 题 满 分 11 分 ） 设 随 机 变 量 ( X ,Y ) 的 概 率 密 度 函 数 为
lim
x0
1
sin 0
x
sin(t
2
)dt
x3
1cos
x2
.
（16）（本题满分 10 分）设 y y(x) 满足微分方程 y 4 y 3y xe x, 且其图形在点 (0,1) 处的切线与曲线在 y x2 1 x 1在该点处的切线重合，求 y y(x).
4 （ 17 ）（ 本 题 满 分 10 分 ） 函 数 z f (x, y) 的 全 增 量 z (2x 3)x (2 y 4)y, 且
（C）0.
（D）3.
（2）设
f
(x)
lim
n
sin n
x
cosn
x (0
x
),
则
f
(x)
在 (0,
)
内不可导的个数为（
）
n
2
2
（A）3.
（B）2.
（C）1.
（D）0.
（3）下列级数中发散的是（ ）
（A） (1)n tan .
n1
3n
(1)n
（B）
.
n2 n (1)n
（C） (1)n1 ln n 1 .
(9)
设
f
(
x)
在
x
0
处连续，且
lim
x0
1 cos e f (x)
x 1
1, 则
f (x) 的极小值为 _____ .
(10) 定积分 I 2018 x(x 1)(x 2)(x 2018)dx _____ . 0
(11) 设 y y(x) 满足微分方程 xy xex y, 且 y(1) 1 sin xdx, 则 0
0 3 1
（A）1.
（B）-1.
（C）2.
（D）-2.
（6）设 n 维列向量组（Ⅰ） 1, 2 ,, m (m n) 线性无关，则 n 维列向量组（ Ⅱ）
1,2 ,, m 线性无关的充分必要条件为（ ）
（A）向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示 （B）向量组（Ⅱ）可由向量组（Ⅰ）线性表示
（C）矩阵 A (1,2,, m) 与矩阵 B (1, 2,, m) 等价
（Ⅰ）求 的矩估计值； （Ⅱ）求 的最大似然估计量.
3
0
1 3
0
（14）设二维随机变量 ( X ,Y ) ~ N (0, 0, 1 , 1 , 0), 则方差 D( X Y ) _____ . 22
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
1
（15）（本题满分
10
分）计算
n1
n
n
(1)n
（D）
.
n2 n (1)n
（4）设 I1
2 0
sin x
xdx, I2
2
x dx, 则（
0 sin x
）
（A） I2 1 I1. （B） I2 I1 1. （C）1 I2 I1. （D）1 I1 I2.
1 2 k （5）设 A 1 1 2 , B 是 3 阶矩阵， r(B) 2, r( AB) 1, 则 k （ ）
（D）向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）等价 （7）设袋中有 6 只红球、4 只白球，任意摸出一只球，记住颜色后放回袋中，共进行 4 次，
设 X 表示摸到红球的次数，则 EX （ ）
1
（A） 12 . 5
（B） 2 . 5
（C） 8 . 5
（D） 48 . 5
（8）设随机变量 X1, X 2 , X 3, X 4 相互独立且都服从 N (0,1), 已知 Y
2
x2 x3 4)x2
3, 5x3
6,
有无穷多解，3
阶矩阵
A
x1 2x2 kx3 3,
有 特 征 值 1 1, 2 1, 3 0, 其 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为
1 (1, 2k, 1),2 (k, k 3, k 2),1 (k 2, 1, k 1).
f
(x,
y)
Ae(4 x3 y)
,
x 0, y 0
0,
其他.
（Ⅰ）求常数 A, 并判断 X 与Y 的独立性；（Ⅱ）求 Z X Y 的概率密度 fZ (z).
（23）（本题满分
11
分）设总体
X的概率密度为f源自(x; )x 1,
0 x 1, 其中 0
0,
其他,
为未知参数， (x1, x2 ,, xn ) 为 X 的简单随机样本值.
2
f (0, 0) 0, 求 z f (x, y) 在 D : x2 y2 25 上的最值.
（18）（本题满分 10 分）设 f (x) 在[a, b] 上有二阶导数，且 f (x) 0. （Ⅰ）证明至少存在
一点 (a,b) ，使得 b f (x)dx f (b)( a) f (a)(b );（Ⅱ）对（Ⅰ）中的 (a,b) ， a