北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学文科
北京市西城区2017—2018学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）2018.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B = （A ）{|13}x x -<<（B ）{|10}x x -<<（C ）{|02}x x <<（D ）{|23}x x <<2．在复平面内，复数2i1i-对应的点的坐标为（A ）(1,1)（B ）(1,1)-（C ）(1,1)--（D ）(1,1)-3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）1y x =-+（B ）2(1)y x =-（C ）sin y x=（D ）12y x =4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）2（B ）6（C ）30（D ）2705．若122log log 2a b +=，则有（A ）2a b =（B ）2b a =（C ）4a b =（D ）4b a=6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去．．的几何体是（A ）三棱锥（B ）三棱柱（C ）四棱锥（D ）四棱柱7．函数()sin()f x x ϕ=+的图象记为曲线C ．则“(0)(π)f f =”是“曲线C 关于直线π2x =对称”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（A ）(,1)-∞-（B ）(,2)-∞-（C ）(,3)-∞-（D ）(,4)-∞-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．若函数()()f x x x b =+是偶函数，则实数b =____．10．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(2,0)F，其渐近线方程为y =，该双曲线的方程是____．11．向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么⋅=a b ____．12．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC，则b =____；c =____．13．已知点(,)M x y 的坐标满足条件10,10,10.x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥设O 为原点，则OM 的最小值是____．14．已知函数2,2,()1,3.x x x c f x c x x⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1()2f x -≥．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公比为13的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值．17．（本小题满分13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A ，B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．表1图2（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45,50,55,75,85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B 类女生占女生总数的比例为1k ，B 类男生占男生总数的比例为2k ．判断1k 与2k 的大小．（只需写出结论）类别得分()x B1B 8090x ≤≤2B 7080x <≤A1A 5070x <≤2A 2050x <≤18．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，1AA AC =.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F .（Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求证：1//A A EF ；（Ⅲ）记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若116V V =，求BFBC的值.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数2()ln 2f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -；（Ⅲ）比较(1.01)f 与 2.01-的大小，并加以证明．北京市西城区2017—2018学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．B 3．D 4．C 5．C6．B7．C8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．010．2213y x -=11．412．113．2214．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(23f x x x =-+ππ1cos 2(cos 2cossin 2sin 33x x x =--⋅-⋅[4分]32cos 2122x x =-+[5分]π)13x =-+，[7分]所以()f x 的最小正周期2ππT ==．[8分]（Ⅱ）因为π2x ≤≤0，所以ππ2π2333x --≤≤．[10分]所以ππ3sin(2sin(332x --=≥，[12分]所以1()2f x -≥．[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为26a +是1a 和3a 的等差中项，所以2132(6)a a a +=+．[2分]因为数列{}n a 是公比为13的等比数列，所以1112(6)39a a a +=+，[4分]解得127a =．[6分]所以1411()3n n n a a q --=⋅=．[8分]（Ⅱ）令1n a ≥，即41()13n -≥，得4n ≤，[10分]故正项数列{}n a 的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1．[11分]所以当3n =，或4n =时，n T 取得最大值，[12分]n T 的最大值为34123729T T a a a ==⋅⋅=．[13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中B 类学生所占比例为(0.020.04)1060%+⨯=，[2分]所以A 类学生所占比例为40%．[3分]因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A 类学生的人数约为8万人．[4分]（Ⅱ）由表1得，在5人（记为,,,,a b c d e ）中，B 类学生有2人（不妨设为,b d ）．将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种．[6分]依次为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),ab cde ac bde ad bce ae bcd bc ade bd ace be acd cd abe (,),(,)ce abd de abc ．[8分]所以“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率为63105=．[10分]（Ⅲ）12k k <．[13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面11AA C C ，所以1A C AB ⊥．[2分]在三棱柱111ABC A B C -中，因为1AA AC =，所以四边形11AA C C 为菱形，所以11A C AC ⊥．[3分]所以1A C ⊥平面1ABC ．[5分]（Ⅱ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，[6分]所以1//A A 平面11BB C C ．[8分]因为平面1AA EF 平面11BB C C EF =，所以1//A A EF ．[10分]（Ⅲ）记三棱锥1B ABF -的体积为2V ，三棱柱11ABF A B E -的体积为3V .因为三棱锥1B ABF -与三棱柱11ABF A B E -同底等高，所以231V =，[11分]所以1233213V V V V =-=.因为116V V =，所以3131624V V =⨯=.[12分]因为三棱柱11ABF A B E -与三棱柱111ABC A B C -等高，所以△ABF 与△ABC 的面积之比为14，[13分]所以14BF BC =．[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =．[2分]所以椭圆C 的方程为2214x y +=．[3分]设椭圆C 的半焦距为c，则c ==[4分]所以椭圆C的离心率2c e a ==．[5分]（Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ．[6分]若PAQB 是平行四边形，则PA PB PQ +=，[8分]所以00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+，整理得002, 3x t y t =-=-．[10分]将上式代入220044x y +=，得22(2)4(3)4t t -+-=，[11分]整理得2528360t t -+=，解得185t =，或2t =．[13分]此时182(,)55P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形，所以存在182(,)55P ，或(2,2)P 满足题意．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数2()ln 2f x x x x =-的定义域是(0,)+∞，导函数为()2ln 2f x x x x '=+-．[1分]所以(1)1f '=-，又(1)2f =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =--．[3分]（Ⅱ）由已知(2)(1)4ln 22f f -=-．[4分]所以只需证明方程2ln 24ln 22x x x +-=-在区间(1,2)有唯一解．即方程2ln 4ln 20x x x +-=在区间(1,2)有唯一解．[5分]设函数()2ln 4ln 2g x x x x =+-，[6分]则()2ln 3g x x '=+．当(1,2)x ∈时，()0g x '>，故()g x 在区间(1,2)单调递增．[7分]又(1)14ln 20g =-<，(2)20g =>，所以存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0g x =．[8分]综上，存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -．[9分]（Ⅲ）(1.01) 2.01f >-．证明如下：[10分]首先证明：当1x >时，()1f x x >--．设2()()(1)ln 1h x f x x x x x =---=-+，[11分]则()2ln 1h x x x x '=+-．当1x >时，10x ->，2ln 0x x >，所以()0h x '>，故()h x 在(1,)+∞单调递增，[12分]所以1x >时，有()(1)0h x h >=，即当1x >时，有()1f x x >--．所以(1.01) 1.011 2.01f >--=-．[13分]。
【精品】2017-2018年北京市西城区高一(上)期末数学试卷带解析
2017-2018学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知sinα＜0，且tanα＞0，则α的终边所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）函数f（x）=sin2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π3．（4分）如果向量=（1，2），=（3，4），那么2﹣=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，﹣2）C．（1，0） D．（1，﹣2）4．（4分）计算sin（π﹣α）+sin（π+α）=（）A．0 B．1 C．2sinαD．﹣2sinα5．（4分）如图，在矩形ABCD中，=（）A．B．C．D．6．（4分）已知向量，满足||=2，||=1，•=﹣，则向量，的夹角为（）A．B．C． D．7．（4分）已知m是函数f（x）=cosx图象一个对称中心的横坐标，则f（m）=（）A．﹣1 B．0 C．D．18．（4分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（4分）函数f（x）=Asinx（A＞0）的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=（）A．3 B．C．D．110．（4分）已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）=．12．（4分）已知向量=（1，2），=（x，﹣2），若∥，则实数x=．13．（4分）角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为（﹣1，2），则tanθ=．14．（4分）函数f（x）=sinx+cosx的最大值为．15．（4分）已知点A（0，4），B（2，0），如果，那么点C的坐标为；设点P（3，t），且∠APB是钝角，则t的取值范围是．16．（4分）已知函数f（x）=sinxtanx．给出下列结论：①函数f（x）是偶函数；②函数f（x）在区间上是增函数；③函数f（x）的最小正周期是2π；④函数f（x）的图象关于直线x=π对称．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知，且．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）已知函数．（Ⅰ）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（Ⅲ）写出f（x）的单调递增区间．19．（12分）如图，已知AB⊥BC，，a∈[1，3]，圆A是以A为圆心、半径为2的圆，圆B是以B为圆心、半径为1的圆，设点E、F分别为圆A、圆B上的动点，（且与同向），设∠BAE=θ（θ∈[0，π]）．（Ⅰ）当，且时，求的值；（Ⅱ）用a，θ表示出，并给出一组a，θ的值，使得最小．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 20．（4分）设全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x|x＞1}，则A∪（∁U B）=．21．（4分）函数的定义域为．22．（4分）已知函数则=；若f（x）=1，则x=．23．（4分）sin2，，三个数中最大的是．24．（4分）某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：如果在此网站上购买的三件商品价格如图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为折．在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为折（保留一位小数）．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数是偶函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．26．（10分）设a为实数，函数f（x）=x2﹣|x﹣a|+1，x∈R．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值．27．（10分）若函数f（x）满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f（s）≥0，f（t）≥0，且f（s）+f（t）≤f（s+t），则称函数f（x）为“T函数”．（Ⅰ）试判断函数与f2（x）=lg（x+1）是否是“T函数”，并说明理由；（Ⅱ）设f（x）为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞），使f（f（x0））=x0，求证：f （x0）=x0；（Ⅲ）试写出一个“T函数”f（x），满足f（1）=1，且使集合{y|y=f（x），0≤x≤1}中元素的个数最少．（只需写出结论）2017-2018学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知sinα＜0，且tanα＞0，则α的终边所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵sinα＜0，∴α的终边在第三、第四象限或在y轴负半轴上，∵tanα＞0，∴α的终边在第一或第三象限，取交集可得，α的终边所在的象限是第三象限角．故选：C．2．（4分）函数f（x）=sin2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【解答】解：∵sin2x=sin（2x+2π）=sin2（x+π），∴f（x）=sin2x满足f（x）=f（x+π），由正切函数的定义可得，函数f（x）=sin2x的最小正周期为π．故选：B．3．（4分）如果向量=（1，2），=（3，4），那么2﹣=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，﹣2）C．（1，0） D．（1，﹣2）【解答】解：2﹣=2（1，2）﹣（3，4）=（﹣1，0）．故选：A．4．（4分）计算sin（π﹣α）+sin（π+α）=（）A．0 B．1 C．2sinαD．﹣2sinα【解答】解：sin（π﹣α）+sin（π+α）=sinα﹣sinα=0．故选：A．5．（4分）如图，在矩形ABCD中，=（）A．B．C．D．【解答】解：在矩形ABCD中，=，则=++=+=，故选：B．6．（4分）已知向量，满足||=2，||=1，•=﹣，则向量，的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：根据题意，设向量，的夹角为θ，又由向量，满足||=2，||=1，•=﹣，则cosθ==﹣，又由0≤θ≤π，则θ=；故选：D．7．（4分）已知m是函数f（x）=cosx图象一个对称中心的横坐标，则f（m）=（）A．﹣1 B．0 C．D．1【解答】解：函数f（x）=cosx，其对称中心的横坐标：x=，k∈Z．当k=0时，可得x=m=，那么：f（）=cos=0，故选：B．8．（4分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：将函数y=sin2x，向左平移个单位长度，可得y=sin2（x+），即sin2（x+）=．故选：C．9．（4分）函数f（x）=Asinx（A＞0）的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=（）A．3 B．C．D．1【解答】解：函数f（x）=Asinx（A＞0），周期T=2π，可得：P（，A），Q（）．连接PQ，过P，Q作x轴的垂线，可得：QP2=4[A2+]，OP2=A2+]，OQ2=A2+]，由题意，△OPQ是直角三角形，∴QP2=OP2+OQ2，即2A2+π2=，解得：A=故选：B．10．（4分）已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．C．D．【解答】解：如图，由AB=1，BC=2，可得AC=，以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，），直线BC方程为x+=1则直线AM方程为y=x，联立，解得：M（，），由图可知，当P在线段BC上时，•有最大值为0，当P在线段AC上时，•有最小值，设P（0，y）（0≤y≤），∴•=（，）（﹣1，y）=﹣+y≥﹣．∴•的范围是[﹣，0]．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）=．【解答】解：sin=sin（π+）=﹣sin=﹣．故答案为：﹣12．（4分）已知向量=（1，2），=（x，﹣2），若∥，则实数x=﹣1．【解答】解：由=（1，2），=（x，﹣2），且∥，得1×（﹣2）﹣2x=0，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．13．（4分）角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为（﹣1，2），则tanθ=﹣2．【解答】解：∵角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为（﹣1，2），∴x=﹣1，y=2，则tanθ==﹣2，故答案为：﹣2．14．（4分）函数f（x）=sinx+cosx的最大值为．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+）．当x+=+2kπ（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值．故答案为：．15．（4分）已知点A（0，4），B（2，0），如果，那么点C的坐标为（3，﹣2）；设点P（3，t），且∠APB是钝角，则t的取值范围是（1，3）．【解答】解：根据题意，设C的坐标为（x，y），又由点A（0，4），B（2，0），则=（2，﹣4），=（x﹣2，y），若，则有（2，﹣4）=2（x﹣2，y），则有2=2（x﹣2），﹣4=2y，解可得x=3，y=﹣2，则C的坐标为（3，﹣2），又由P（3，t），则=（﹣3，4﹣t），=（﹣1，﹣t），若∠APB是钝角，则•=（﹣3）×（﹣1）+（4﹣t）×（﹣t）＜0，且（﹣3）×（﹣t）≠（﹣1）×（4﹣t），解可得1＜t＜3，即t的取值范围为（1，3）；故答案为：（3，﹣2）；（1，3）16．（4分）已知函数f（x）=sinxtanx．给出下列结论：①函数f（x）是偶函数；②函数f（x）在区间上是增函数；③函数f（x）的最小正周期是2π；④函数f（x）的图象关于直线x=π对称．其中正确结论的序号是①③④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：对于f（x）=sinxtanx，其定义域为{x|x，k∈Z}，关于原点对称，且f（﹣x）=sin（﹣x）tan（﹣x）=sinxtanx，∴函数f（x）是偶函数，故①正确；当x=时，f（）=sin（﹣）tan（﹣）=，当x=﹣时，f（﹣）=sin（﹣）tan（﹣）=，＜﹣，而f（）＞f（﹣），故②错误；∵f（2π+x）=sin（x+2π）tan（x+2π）=sinxtanx，∴函数f（x）的最小正周期是2π，故③正确；∵f（π﹣x）=sin（π﹣x）tan（π﹣x）=﹣sinxtanx，f（π+x）=sin（π+x）tan（π+x）=﹣sinxtanx，∴f（π﹣x）=f（π+x），即函数f（x）的图象关于直线x=π对称，故④正确．∴正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知，且．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，，∴=．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ），，可得，，∴．18．（12分）已知函数．（Ⅰ）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（Ⅲ）写出f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）画出函数f（x）在[，]上的图象如图所示；…（5分）说明：其它周期上的图象同等给分；个别关键点错误酌情给分．（Ⅱ）由知，因为，所以，…（7分）当，即时，最大值等于1，即f（x）的最大值等于1；…（8分）当，即时，最小值等于，即f（x）的最小值等于；…（9分）所以f（x）在区间上的最大值为1，最小值为；注：根据图象求出最大、最小值相应给分．（Ⅲ）根据函数的图象知，f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．…（12分）19．（12分）如图，已知AB⊥BC，，a∈[1，3]，圆A是以A为圆心、半径为2的圆，圆B是以B为圆心、半径为1的圆，设点E、F分别为圆A、圆B上的动点，（且与同向），设∠BAE=θ（θ∈[0，π]）．（Ⅰ）当，且时，求的值；（Ⅱ）用a，θ表示出，并给出一组a，θ的值，使得最小．【解答】解：（Ⅰ）如图，以点A为原点，AB所在直线为x轴，与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系．则A（0，0），，，所以．（Ⅱ）A（0，0），，E（2cosθ，2sinθ），，，=，=因为θ∈[0，π]，所以，以a为变量的二次函数的对称轴．因为a∈[1，3]，所以当a=1时，的最小值为，又，所以的最小值为，此时θ=0．所以，当a=1，θ=0时，的最小值为．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 20．（4分）设全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x|x＞1}，则A∪（∁U B）={x|x ≤1} ．【解答】解：∵B={x|x＞1}，∴∁U B={x|x≤1}，则A∪（∁U B）={x|x≤1}，故答案为：{x|x≤1}．21．（4分）函数的定义域为[3，+∞）．【解答】解：由2x﹣8≥0，得2x≥8，即x≥3．∴函数的定义域为：[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．22．（4分）已知函数则=4；若f（x）=1，则x=．【解答】解：函数，则=f（log）=f（2）=22=4，若f（x）=1，若x＞1，可得2x=1，解得x=0（舍去）；若0＜x≤1，可得log x=1，解得x=，综上可得x=．故答案为：4，．23．（4分）sin2，，三个数中最大的是．【解答】解：sin2∈（0，1），＜log1=0，=log 23＞log22=1，可得其中最大值为．故答案为：．24．（4分）某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：如果在此网站上购买的三件商品价格如图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为7.5折．在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为 6.7折（保留一位小数）．【解答】解：由500+700+400=1600，故1600﹣400=1200，由1200÷1600=0.75，故打7.5折，显然三件商品价格一致时折扣最大，设购买3件商品均为a元，则2a÷3a≈0.67，故商品实际折扣力度最大约为6.7折，故答案为：7.5；6.7．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数是偶函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由f（﹣x）=f（x）得．…（3分）所以ax=0．因为ax=0对于定义域中任意的x都成立，所以a=0．…（5分）（Ⅱ）函数在区间（0，+∞）上是减函数．…（7分）证明：在（0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则，…（9分）由0＜x1＜x2，得x1+x2＞0，x2﹣x1＞0，，于是f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．所以函数在区间（0，+∞）上是减函数．…（10分）26．（10分）设a为实数，函数f（x）=x2﹣|x﹣a|+1，x∈R．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=0，x∈[0，2]时，函数f（x）=x2﹣x+1，因为f（x）的图象抛物线开口向上，对称轴为，所以，当时，f（x）值最小，最小值为；当x=2时，f（x）值最大，最大值为3．（Ⅱ）①当x≤a时，函数．若，则f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，在（﹣∞，a]上的最小值为f（a）=a2+1；若，则函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为；②当x＞a时，．若，则f（x）在[a，+∞）上的最小值为；若，则f（x）在[a，+∞）上单调递增，f（x）＞f（a）=a2+1．所以，当时，，f（x）的最小值为．当时，，f（x）的最小值为．当时，f（x）的最小值为与中小者．所以，当时，f（x）的最小值为；当时，f（x）的最小值为综上，当a＜0时，f（x）的最小值为；当a≥0时，f（x）的最小值为．27．（10分）若函数f（x）满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f（s）≥0，f（t）≥0，且f（s）+f（t）≤f（s+t），则称函数f（x）为“T函数”．（Ⅰ）试判断函数与f2（x）=lg（x+1）是否是“T函数”，并说明理由；（Ⅱ）设f（x）为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞），使f（f（x0））=x0，求证：f （x0）=x0；（Ⅲ）试写出一个“T函数”f（x），满足f（1）=1，且使集合{y|y=f（x），0≤x≤1}中元素的个数最少．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）对于函数，当s，t∈[0，+∞）时，都有f1（s）≥0，f1（t）≥0，又，所以f1（s）+f1（t）≤f1（s+t）．所以是“T函数”．对于函数f2（x）=lg（x+1），当s=t=2时，f2（s）+f2（t）=lg9，f2（s+t）=lg5，因为lg9＞lg5，所以f2（s）+f2（t）＞f2（s+t）．所以f2（x）=lg（x+1）不是“T函数”．（Ⅱ）设x1，x2∈[0，+∞），x2＞x1，x2=x1+△x，△x＞0．则f（x2）﹣f（x1）=f（x1+△x）﹣f（x1）≥f（x1+△x﹣x1）=f（△x）≥0所以，对于x1，x2∈[0，+∞），x1＜x2，一定有f（x1）≤f（x2）．因为f（x）是“T函数”，x0∈[0，+∞），所以f（x0）≥0．若f（x0）＞x0，则f（f（x0））≥f（x0）＞x0，不符合题意．若f（x0）＜x0，则f（f（x0））≤f（x0）＜x0，不符合题意．所以f（x0）=x0．…（8分）（Ⅲ）（注：答案不唯一）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期高一数学期末试题及答案(Word版)
北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高一数学2018.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷[三角函数与平面向量] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.已知向量,a b 满足1=b ，，则向量,a b（C ）[二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.7sin 6π=_____.12.已知向量(1,2)=a ，(,2)x =-b ，若//a b ，则实数x =______.13.角θ的始边与x 轴正半轴重合，终边上一点坐标为(1,2)-，则tan θ=______.14.函数()sin cos f x x x =+的最大值为______.15. 已知点(0,4)A ，(2,0)B ，如果2AB BC =，那么点C 的坐标为______； 设点(3,)P t ，且APB ∠是钝角，则t 的取值范围是______.16.已知函数()sin tan f x x x =. 给出下列结论：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 在区间(,0)2π-上是增函数；③函数()f x 的最小正周期是2π； ④函数()f x 的图象关于直线x =π对称.其中正确结论的序号是_____.（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知(,)2απ∈π，且3cos 5α=-.（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求cos2sin 21αα+的值.18．（本小题满分12分）已知函数π()sin(2)6f x x =+.（Ⅰ）请用“五点法”画出函数()f x 在一个周期上的图象； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]122ππ上的最大值和最小值； （Ⅲ）写出()f x 的单调递增区间.19．（本小题满分12分）如图，已知AB BC ⊥，AB ==，[1,3]a ∈，圆A 是以A 为圆心、半径为2的圆，圆B 是以B 为圆心、半径为1的圆，设点E 、F 分别为圆A 、圆B 上的动点，//AE BF （且AE 与BF 同向），设BAE θ∠=（[0,]θ∈π）.（Ⅰ）当a =6θπ=时，求AE AC ⋅的值； （Ⅱ）用,a θ表示出CE CF ⋅，并给出一组,a θ的值，使得CE CF ⋅最小.BAFECB 卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．设全集U =R ，集合{|0}A x x =<，{|1}B x x =>，则()U A B =ð_____．2．函数()f x _____.3．已知函数122,1,()log ,01,x x f x x x ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩则1(())4f f =_____；若()1f x =，则x =_____．4．sin 2，13log 2，121log 3三个数中最大的是_____． 5．某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：如果在此网站上购买的三件商品价格如下图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为______折.在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为_______折（保留一位小数）.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数21()f x ax x=+是偶函数. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()1f x x x a =--+，x ∈R .（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小值.8．（本小题满分10分）若函数()f x 满足：对于,[0,)s t ∈+∞，都有()0f s ≥，()0f t ≥，且()()()f s f t f s t +≤+，则称函数()f x 为“T 函数”.（Ⅰ）试判断函数21()f x x =与2()lg(1)f x x =+是否是“T 函数”，并说明理由； （Ⅱ）设()f x 为“T 函数”，且存在0[0,)x ∈+∞，使00(())f f x x =，求证：00()f x x =； （Ⅲ）试写出一个“T 函数”()f x ，满足(1)1f =，且使集合{|(),01}y y f x x =≤≤中元素 的个数最少.（只需写出结论）北京市西城区2017— 2018学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2018.1A 卷[三角函数与平面向量] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1.C2.B 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B8.C 9.B 10.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.12-12.1-13.2-(3,2)-；(1,3)16.①③④ 注：第15题每空2分.第16题少选得2分，多选、错选不得分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）解：解：（Ⅰ）因为(,)2απ∈π，3cos 5α=-，所以sin α=………………3分45=. ………………4分所以sin 4tan cos 3ααα==-.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）4sin 5α=，3cos 5α=-，所以4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-. ………………9分2237cos22cos 12()1525αα=-=⨯--=-. ………………11分 所以7cos 225724sin 21125αα-==-+-+. ………………12分 18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 在[,]1212π11π-的图象如图所示. ………………5分说明：个别关键点错误酌情给分.（Ⅱ）π()sin(2)6f x x =+．因为122x ππ≤≤，所以ππ7π2366x ≤+≤，………………7分 当π262x π+=，即π6x =时，πsin(2)6x +最大值等于1，即()f x 的最大值等于1；………………8分当π266x 7π+=，即π2x =时，πsin(2)6x +最小值等于12-，即()f x 的最小值等于21-.………………9分所以()f x 在区间[,]122ππ上的最大值为1，最小值为21-.注：根据图象求出最大、最小值相应给分.（Ⅲ）函数()f x 的单调递增区间为[,]36k k ππ-+π+π（k ∈Z ）.………………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，与AB 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系.则(0,0)A，(3,C，E ，………………2分(3,1)(3,AE AC ⋅=⋅=.………………4分（Ⅱ）(0,0)A ，,)Ca -，(2cos ,2sin )E θθ，cos ,sin )F θθ+，………………7分(2cos ,2sin )(cos ,sin )CE CF a a θθθθ⋅=-+⋅+2sin()26a θπ=+⋅-+………………9分22[)]23sin ()66a θθππ=-+--因为[0,]θ∈π，所以1sin()[,1]62θπ-∈-，以a 为变量的二次函数的对称轴)[6θπ-∈.因为[1,3]a ∈，所以当1a =时，CE CF ⋅的最小值为3)6θπ+-，………10分又1sin()[,1]62θπ-∈-，所以CE CF ⋅的最小值为3，此时0θ=.所以，当1a =，0θ=时，CE CF ⋅的最小值为3 ………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1.{1}x x ≤ 2.[3,)+∞ 3.4；124.121log 35.7.5；6.7.注：第3题、第5题每空2分.BAFECxy二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.由()()f x f x -=得2211ax ax x x-=+.………………3分所以0ax =.因为0ax =对于定义域中任意的x 都成立，所以0a =.………………5分 （Ⅱ）函数21()f x x=在区间(0,)+∞上是减函数.………………7分证明：在(0,)+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则12211222221212()()11()()x x x x f x f x x x x x +--=-=， ………………9分由120x x <<，得120x x +>，210x x ->，22120x x >，于是12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以函数21()f x x =在区间(0,)+∞上是减函数. ………………10分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当0a =，[0,2]x ∈时，函数2()1f x x x =-+，………………2分因为()f x 的图象抛物线开口向上，对称轴为12x =，所以，当12x =时，()f x 值最小，最小值为34；当2x =时，()f x 值最大，最大值为3. ………………4分（Ⅱ）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+.若12a ≤-，则()f x 在(,]a -∞上单调递减，在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+；若12a >-，则函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a -=-；………………6分②当x a >时，2213()1()24f x x x a x a =-++=-++.若12a <，则()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a =+；若12a ≥，则()f x 在[,)a +∞上单调递增，2()()1f x f a a >=+.………………7分所以，当12a ≤-时，22311()()042a a a +-+=-≥，()f x 的最小值为34a +.当12a ≥时，22311()()042a a a +--=+≥，()f x 的最小值为34a -.当1122a -<<时，()f x 的最小值为34a +与34a -中小者. 所以，当102a -<<时，()f x 的最小值为34a +；当102a ≤<时，()f x 的最小值为34a -.………………9分综上，当0a <时，()f x 的最小值为34a +；当0a ≥时，()f x 的最小值为34a -.………………10分8.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）对于函数21()f x x =，当,[0,)s t ∈+∞时，都有1()0f s ≥，1()0f t ≥，又222111()()()()20f s f t f s t s t s t st +-+=+-+=-≤，所以111()()()f s f t f s t +≤+. 所以21()f x x =是“T 函数”.………………2分对于函数2()lg(1)f x x =+，当2s t ==时，22()()lg9f s f t +=，2()lg5f s t +=， 因为lg9lg5>，所以222()()()f s f t f s t +>+.所以2()lg(1)f x x =+不是“T 函数”. ………………4分 （Ⅱ）设12,[0,)x x ∈+∞，21x x >，21x x x =+∆，0x ∆>.则211111()()()()()()0f x f x f x x f x f x x x f x -=+∆-≥+∆-=∆≥所以，对于12,[0,)x x ∈+∞，12x x <，一定有12()()f x f x ≤. ………………6分 因为()f x 是“T 函数”，0[0,)x ∈+∞，所以0()0f x ≥. 若00()f x x >，则000(())()f f x f x x ≥>，不符合题意. 若00()f x x <，则000(())()f f x f x x ≤<，不符合题意. 所以00()f x x =. ………………8分（Ⅲ）20,[0,1),(),[1,).x f x x x ∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩（注：答案不唯一）………………10分。
北京市西城区2017届高三一模考试数学文试题 含答案 精
西城区高三统一测试数学（文科） 2017.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么U A B =ð（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ），(0, （B ），( （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+ （D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A） （B ）6 （C） （D）8．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||||x y ≥，称函数()f x 具有性 质P ．下列函数中，具有性质P 的是 （A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()f x =的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____．11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____；直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． 17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n '''=-+-++-，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -，||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-． （Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）； （Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．1211．(1,1)；2 12．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==， 解得 2q =． [ 2分] 所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分] 从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=． [ 9分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分] 所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=． [ 1分] 由正弦定理得 sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分] 所以 1cos 2C =． [ 4分] 因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分] （Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]3sin 2A A = [ 9分] π)6A =+． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以 当π3A =时，sin sin AB + [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：[ 4分] 所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题． [ 5分]（Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分] 所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题 的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分]（Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分] 又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分] 所以12PF PC =． [ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以 平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =． 所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分]所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43ky k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分] 所以直线OM 的斜率是 22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分] 所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分] 所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP D F ⊥． [13分] 因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-． 所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==， 所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分]（Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形． [ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分]设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞， 所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>， 所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增， 所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增， [12分] 所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．所以 ||MN 的最小值为2，此时1a =． [13分]。
2017-2018学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(文科)
2017-2018 学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5 分）若会合A={ x| 0＜x＜3} ， B={ x| ﹣ 1＜x＜2} ，则 A∪B=（）A．{ x| ﹣ 1＜ x＜3} B． { x| ﹣1＜x＜ 0} C．{ x| 0＜x＜2} D． { x| 2＜x＜3} 2．（5 分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣ 1，﹣ 1）D．（1，﹣ 1）3．（5 分）以下函数中，在区间（ 0， +∞）上单一递加的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（ x﹣ 1）2 C．y=sinx D．4．（5 分）履行以下图的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．2705．（5 分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a6．（5 分）一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，节余几何体的三视图以下图，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱7．（5 分）函数 f（ x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0） =f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件8．（ 5 分）已知 A，B 是函数 y=2x的图象上的相异两点．若点A，B 到直线的距离相等，则点A， B 的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ 1）B．（﹣∞，﹣ 2）C．（﹣∞，﹣ 3）D．（﹣∞，﹣ 4）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（5 分）若函数 f（ x）=x（x+b）是偶函数，则实数 b=．10．（5 分）已知双曲线的一个焦点是（F2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是．11．（ 5 分）向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为 1，那么=．12．（5 分）在△ ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=；c=．13．（5 分）已知点 M（x，y）的坐标知足条件，设O为原点，则| OM|的最小值是．14．（ 5 分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是；若 f （x）的值域是，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（ 13 分）已知函数．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．16．（ 13 分）已知数列 { a n} 是公比为的等比数列，且a2+6 是 a1和 a3的等差中项．（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列 { a n} 的前 n 项之积为 T n，求 T n的最大值．17．（ 13 分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A， B 两类（评定标准见表）．依据男女学生比率，使用分层抽样的方法随机抽取了10000 名学生的得分数据，此中等级为 A1的学生中有 40%是男生，等级为 A2的学生中有一半是女生．等级为 A1和 A2的学生统称为 A 类学生，等级为 B1和 B2的学生统称为 B 类学生．整理这 10000 名学生的得分数据，获得以下图的频次散布直方图．类型得分（ x）B B180≤x≤90B270≤x＜80A A150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知该市高中学生共20 万人，试预计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；（Ⅱ）某 5 人得分分别为 45，50，55，75， 85．从这 5 人中随机选用 2 人构成甲组，此外 3 人组成乙组，求“甲、乙两组各有1 名 B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这 10000 名学生中，男生占总数的比率为 51%，B 类女生占女生总数的比率为k1，B 类男生占男生总数的比率为k2．判断k1与k2的大小．（只要写出结论）18．（ 14 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1 B1C1中， AB⊥平面 AA1 C1C，AA1=AC．过 AA1的平面交 B1C1于点 E，交 BC于点 F．（Ⅰ）求证： A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证： A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥 B1﹣ AA1EF的体积为 V1，三棱柱 ABC﹣A1B1C1的体积为 V．若，求的值．19．（ 14 分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点 Q 在椭圆 C 上．试问直线 x+y﹣4=0 上能否存在点 P，使得四边形 PAQB 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．20．（ 13 分）已知函数 f （x）=x2lnx﹣ 2x．（Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（ 1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在独一的x0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f（ x）在点（ x0， f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣ f（1）（Ⅲ）比较 f（）与﹣ 2.01 的大小，并加以证明．2017-2018 学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5 分）若会合 A={ x| 0＜x＜3} ， B={ x| ﹣ 1＜x＜2} ，则 A∪B=（）A．{ x| ﹣ 1＜ x＜3} B． { x| ﹣1＜x＜ 0}C．{ x| 0＜x＜2} D． { x| 2＜x＜3} 【剖析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵会合 A={ x| 0＜ x＜ 3} ，B={ x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，∴A∪ B={ x| ﹣1＜x＜3} ．应选： A．【评论】此题考察并集的求法，考察并集定义等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，属于基础题．2．（5 分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣ 1）D．（1，﹣ 1）【剖析】依据复数的几何意义，将复数进行化简即可．【解答】解：===﹣ 1+i，对应点的坐标为（﹣ 1，1），应选： B【评论】此题主要考察复数的几何意义，利用复数的运算法例进行化简是解决此题的重点．3．（5 分）以下函数中，在区间（ 0， +∞）上单一递加的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（ x﹣ 1）2 C．y=sinx D．【剖析】依据常有函数的单一性分别判断即可．【解答】解：对于 A，函数在 R 递减，对于 B，函数在（ 0，1）递减，对于 C，函数在（ 0，+∞）无单一性，对于 D，函数在（ 0， +∞）递加，应选： D．【评论】此题考察了常有函数的单一性问题，是一道基础题．4．（5 分）履行以下图的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．270【剖析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运转过程，剖析循环中各变量值的变化状况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运转，可得S=1， k=2知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=2，k=3知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=6，k=5知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=30， k=9不知足条件 k≤5，退出循环，输出S 的值为 30．应选： C．【评论】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运转过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．（5 分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a【剖析】直接由对数的运算性质计算得答案．【解答】解：，得，即 a=4b．应选： C．【评论】此题考察了对数的运算性质，是基础题．6．（5 分）一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，节余几何体的三视图以下图，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【剖析】由三视图复原原几何体，可知原几何体为直四棱柱，进而可知，截去的部分为三棱柱．【解答】解：由三视图复原原几何体如图：该几何体为直四棱柱ABEA1﹣DCFD1，截去的部分为三棱柱BB1E﹣CC1F．【评论】此题考察由三视图求面积、体积，重点是由三视图复原原几何体，是中档题．7．（5 分）函数 f（ x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0） =f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【剖析】依据充足条件和必需条件的定义，联合三角函数对称性的性质进行判断即可．【解答】解：若 f（ 0） =f（π），则 sin φ=sin（π+φ） =﹣sin φ，则 sin φ=0，则φ=kπ，此时 f（ x）=sin（x+φ）=sin（ x+kπ） =± sinx，曲线 C 对于直线对称，反之若曲线 C 对于直线对称，则f（0）=f（π），即“f（0）=f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的充要条件，应选： C【评论】此题主要考察充足条件和必需条件的判断，联合三角函数的性质是解决此题的重点．．（分）已知x 的图象上的相异两点．若点A，B 到直线的8 5 A，B 是函数 y=2距离相等，则点 A， B 的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ 1）B．（﹣∞，﹣ 2）C．（﹣∞，﹣ 3）D．（﹣∞，﹣ 4）【剖析】依题意可得? ，利用均值不等式即可求解，【解答】解：不如设 A（ x1， y1），B（ x2，y2），（x1＞x2），可得? ，利用均值不等式 1 ? 2∴x1+x2＜﹣ 2，【评论】此题考察了指数运算，均值不等式，属于中档题．二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（5 分）若函数 f（ x）=x（x+b）是偶函数，则实数 b= 0．【剖析】依据函数是偶函数，成立方程进行求解即可．【解答】解：∵ f（x）是偶函数，∴ f（﹣ x） =f（x），即﹣ x（﹣ x+b）=x（x+b），得 x﹣b=x+b，则﹣ b=b，得 b=0，故答案为： 0．【评论】此题主要考察函数奇偶性的应用，依据偶函数的定义成立方程是解决此题的重点．10．（5 分）已知双曲线的一个焦点是（F2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是x2﹣=1．【剖析】依据双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，可得 c=2，可得 a，b 是方程，求出 a，b 的值，即可得出双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，∴ c=2，，∵ c=，∴a=1，b2=3，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故答案为： x2﹣=1．【评论】此题考察双曲线的标准方程，考察双曲线的几何性质，考察学生的计算能力，正确运用双曲线的几何性质是重点．11．（ 5 分）向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为1，那么= 4．【剖析】求出向量，向量的坐标，而后求解数目积即可．【解答】解：向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为 1，=（2，0）． =（2，﹣ 1）．那么=2×2+0×（﹣ 1）=4．故答案为： 4．【评论】此题考察向量的数目积的应用，考察计算能力．12．（ 5 分）在△ ABC中， a=3，，△ ABC的面积为，则 b= 1 ；c= ．【剖析】依据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出 b 和 c 的值．【解答】解：△ ABC中， a=3，，∴△ ABC的面积为absinC= ×3×sin = ，解得 b=1；2 2 2 2 2∴ c =a +b ﹣2abcosC=3+1 ﹣ 2× 3× 1× cos=13，c=．故答案为： 1；．【评论】此题考察了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．13．（5 分）已知点 M（x，y）的坐标知足条件，设O为原点，则| OM| 的最小值是．【剖析】先依据拘束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=| MO| 表示（ 0，0）到可行域的距离，只要求出（0，0）到可行域的距离的最小值即可．【解答】解：画出知足条件的可行域，以下图：故 | OM| 的最小值为原点到直线x+y﹣1=0 的距离：=．故答案为：．【评论】此题主要考察了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．（ 5 分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是[ ﹣，+∞）；若（fx）的值域是，则实数c的取值范围是[，1]．【剖析】若 c=0，分别求得 f（x）在 [ ﹣2，0] 的最值，以及在（ 0，3] 的范围，求并集即可获得所求值域；议论 f（ x）在[ ﹣ 2，1] 的值域，以及在（c，3] 的值域，注意 c＞0，运用单一性，即可获得所求 c 的范围．【解答】解： c=0 时， f（ x） =x2+x=（x+）2﹣，f（x）在 [ ﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递加，可得 f （﹣ 2）获得最大值，且为2，最小值为﹣；当 0＜x≤ 3 时， f（x）= 递减，可得 f（3）= ，则 f（ x）∈ [ ，+∞），综上可得 f（ x）的值域为 [ ﹣，+∞）；∵函数 y=x2+x 在区间 [ ﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1] 上是增函数，∴当 x∈[ ﹣2，0）时，函数 f（x）最小值为 f（﹣）=﹣，最大值是 f（﹣ 2）=2；由题意可得 c＞0，∵当 c＜x≤3 时， f（x）=是减函数且值域为[，），当 f（ x）的值域是 [ ﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．【评论】此题给出特别分段函数，求函数的值域，并在已知值域的状况下求参数的取值范围，侧重考察了函数的值域和二次函数的单一性和最值等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（ 13 分）已知函数．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．【剖析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简函数的分析式，而后求解函数 f （x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的最值，证明不等式即可．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由于= [ （4 分）]= [ （5 分）]= ，[ （7 分）]因此 f （x）的最小正周期．[ （8 分）]（Ⅱ）由于，因此．[ （10 分） ]因此，[ （12 分） ]因此．[ （13 分）]【评论】此题考察两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考察计算能力．16．（ 13 分）已知数列 { a n} 是公比为的等比数列，且a2+6 是 a1和 a3的等差中项．（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列 { a n} 的前 n 项之积为 T n，求 T n的最大值．【剖析】（Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的通项公式求出数列的首项，而后求解数列的通项公式．（Ⅱ）求出 a n≥ 1， n≤ 4 判断数列的特点，而后求解T n获得最大值时， n=3，求解即可．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由于 a2+6 是 a1和 a3的等差中项，因此 2（a2+6）=a1+a3．[ （ 2 分） ]由于数列 { a n} 是公比为的等比数列，因此，[ （4 分）]解得 a1=27． [ （ 6 分） ]因此 a n=a1?q n﹣1=（）n﹣4．[[（8分）]（Ⅱ）令 a n≥1，即（）n﹣4≥1，得n≤ 4，[（10分）]故正项数列 { a n} 的前 3 项大于 1，第 4 项等于 1，此后各项均小于 1．[ （11 分）]因此当 n=3，或 n=4 时， T n获得最大值， [ （ 12 分） ] T n的最大值为T3=T4=a1?a2?a3=729．[ （13 分） ]【评论】此题考察等差数列以及等比数列的通项公式的求法，数列与函数的综合应用，考察转变首项以及计算能力．17．（ 13 分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A， B 两类（评定标准见表）．依据男女学生比率，使用分层抽样的方法随机抽取了10000 名学生的得分数据，此中等级为 A1的学生中有 40%是男生，等级为 A2的学生中有一半是女生．等级为 A1和 A2的学生统称为 A 类学生，等级为 B1和 B2的学生统称为 B 类学生．整理这 10000 名学生的得分数据，获得以下图的频次散布直方图．类型得分（ x）B B180≤x≤90B2 70≤x＜80A A150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知该市高中学生共20 万人，试预计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；（Ⅱ）某 5 人得分分别为 45，50，55，75， 85．从这 5 人中随机选用 2 人构成甲组，此外 3 人组成乙组，求“甲、乙两组各有1 名 B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这 10000 名学生中，男生占总数的比率为 51%，B 类女生占女生总数的比率为k1，B 类男生占男生总数的比率为k2．判断k1与k2的大小．（只要写出结论）【剖析】（Ⅰ）样本中 B 类学生所占比率为 60%，进而 A 类学生所占比率为40%．由此能求出在该项测评中被评为 A 类学生的人数．（Ⅱ）在 5 人（记为 a，b，c，d，e）中，B 类学生有 2 人（不如设为 b，d）．将他们按要求分红两组，利用列举法能求出“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率．（Ⅲ）由题意获得 k1＜k2．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中 B 类学生所占比率为（）× 10=60%，（ 2 分）因此 A 类学生所占比率为40%．（3 分）由于全市高中学生共20 万人，因此在该项测评中被评为 A 类学生的人数约为8 万人．（ 4 分）（Ⅱ）由表 1 得，在 5 人（记为 a，b，c，d，e）中， B 类学生有 2 人（不如设为b，d）．将他们按要求分红两组，分组的方法数为10 种．（6 分）挨次为：（ab，cde），（ac，bde），（ad，bce），（ ae，bcd），（ bc，ade），（bd，ace），（ be，acd），（cd，abe），（ce， abd），（de，abc）．（8 分）因此“甲、乙两组各有一名 B 类学生”的概率为．（10 分）（Ⅲ） k1＜ k2．（ 13 分）【评论】此题考察频次散布直方图的应用，考察概率的求法，考察频次散布直方图、古典概型等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是基础题．第 16 页（共 20 页）18．（ 14 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1 B1C1中， AB⊥平面 AA1 C1C，AA1=AC．过 AA1的平面交 B1C1于点 E，交 BC于点 F．（Ⅰ）求证： A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证： A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥 B1﹣ AA1EF的体积为 V1，三棱柱 ABC﹣A1B1C1的体积为 V．若，求的值．【剖析】（Ⅰ）证明 A1C⊥AB，说明四边形 AA1C1C 为菱形，推出 A1C⊥AC1．即可证明 A1C⊥平面 ABC1．（Ⅱ）证明 A1A∥平面 BB1C1C，而后证明 A1A∥EF．（Ⅲ）记三棱锥B1﹣ABF的体积为 V2，三棱柱 ABF﹣A1B1E 的体积为 V3．三棱锥1﹣ABF与三棱柱ABF﹣A1 1 同底等高，，转变求解．B B E【解答】（本小题满分 14 分）（Ⅰ）证明：由于AB⊥平面 AA1C1C，因此 A1C⊥AB．[ （2 分） ]在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，由于 AA1=AC，因此四边形 AA1C1C 为菱形，因此 A1C⊥AC1．[ （3 分） ]因此 A1C⊥平面 ABC1．[ （5 分） ]（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于 A1A∥ B1B， A1A?平面 BB1C1C，[ （6 分） ]因此 A1A∥平面 BB1C1C． [ （8 分） ]由于平面 AA1EF∩平面 BB1C1C=EF，因此 A1A∥EF．[ （10 分）]（Ⅲ）解：记三棱锥B1﹣ABF的体积为 V2，三棱柱 ABF﹣A1B1E 的体积为 V3．由于三棱锥 B1﹣ ABF与三棱柱 ABF﹣A1B1E 同底等高，因此，[ （11 分） ]因此．由于，因此．[ （12 分）]由于三棱柱 ABF﹣ A 与三棱柱﹣等高，1B1E ABC A1B1C1因此△ ABF与△ ABC的面积之比为，[ （13 分）]因此．[ （14 分） ]【评论】此题考察直线与平面垂直的判断定理以及直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考察空间想象能力以及计算能力．19．（ 14 分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点 Q 在椭圆 C 上．试问直线 x+y﹣4=0 上能否存在点 P，使得四边形 PAQB 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．【剖析】（Ⅰ）求出椭圆 C 的方程为，而后求解椭圆的离心率即可．（Ⅱ）设 P（t， 4﹣t ），Q（x0， y0），推出，解得x0=2﹣t，y0=t﹣3，代入，转变求解 t ，判断能否存在点P．【解答】（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由题意得， a=2，b=1．[ （2 分） ]因此椭圆 C的方程为．[（3分）]设椭圆 C 的半焦距为 c，则，[（4分）]因此椭圆 C的离心率．[（5分）]（Ⅱ）由已知，设P（t ，4﹣t），Q（x0， y0）． [ （ 6 分） ]若 PAQB 是平行四边形，则，[ （8 分）]因此（ 2﹣t ，t ﹣ 4） +（﹣ t ， t ﹣3）=（x 0﹣ t ，y 0﹣ 4+t ），整理得 x 0=2﹣t ，y 0=t ﹣3．[ （10 分） ]将上式代入，得（ 2﹣t ） 2+4（ t ﹣3）2， （ 11 分） ]=4 [整理得 5t 2﹣28t+36=0，解得 ，或 t=2．[ （13 分） ]此时 ，或 P （2，2）．经查验，切合四边形 PAQB 是平行四边形，因此存在，或 P （2，2）知足题意． [ （ 14 分） ]【评论】此题考察椭圆方程的求法， 直线与椭圆的地点关系的综合应用， 存在性问题的办理方法，考察转变思想以及计算能力．20．（ 13 分）已知函数 f （x ）=x 2lnx ﹣ 2x ．（Ⅰ）求曲线 y=f （x ）在点（ 1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在独一的 x 0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f （ x ）在点（ x 0， f （x 0））处的切线的斜率为 f （2）﹣ f （1）（Ⅲ）比较 f （）与﹣ 2.01 的大小，并加以证明．【剖析】（Ⅰ）求得 f （ x ）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可获得所求切线的方程；（Ⅱ）求得 f （2）﹣ f （1），只要证明方程 2xlnx+x ﹣2=4ln2﹣2 在区间（ 1， 2）有独一解．设函数 g （x ）=2xlnx+x ﹣4ln2，求得导数，判断单一性，联合函数零点存在定理，即可得证；（Ⅲ） f （）＞﹣，设 h （x ） =f （x ）﹣（﹣ x ﹣1）=x 2lnx ﹣x+1，求得导数，单一区间，运用单一性可得 f （ x ）＞﹣ x ﹣1（x ＞1）．【解答】 解：（Ⅰ）函数 f （x ）=x 2lnx ﹣2x 的定义域是（ 0，+∞），导函数为 f' （x ） =2xlnx+x ﹣ 2，因此 f' （1）=﹣1，又 f （ 1）=﹣2，因此曲线 y=f （x ）在点（ 1， f （1））处的切线方程为 y=﹣x ﹣1；（Ⅱ）证明：由已知 f （2）﹣ f（1）=4ln2﹣2，因此只要证明方程2xlnx+x﹣2=4ln2﹣2 在区间（ 1， 2）有独一解．即方程 2xlnx+x﹣4ln2=0 在区间（ 1，2）有独一解．设函数 g（x）=2xlnx+x﹣4ln2，则 g'（x）=2lnx+3．当 x∈（ 1，2）时， g'（x）＞ 0，故 g（ x）在区间（ 1， 2）单一递加．又 g（1）=1﹣4ln2＜0，g（2）=2＞ 0，因此存在独一的 x0∈（ 1，2），使得 g（x0）=0．综上，存在独一的 x0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f（x）在点（ x0，f（ x0））处的切线的斜率为 f （2）﹣ f（ 1）；（Ⅲ） f（）＞﹣．证明以下：第一证明：当 x＞1 时， f（ x）＞﹣ x﹣1．设 h（x） =f（x）﹣（﹣ x﹣1）=x2lnx﹣x+1，则 h'（x）=x+2xlnx﹣1．当 x＞1 时， x﹣1＞0，2xlnx＞0，因此 h'（ x）＞ 0，故 h（x）在（ 1， +∞）单一递加，因此 x＞1 时，有 h（ x）＞ h（ 1） =0，即当 x＞1 时，有 f （x）＞﹣ x﹣1．因此 f （）＞﹣﹣1=﹣．【评论】此题考察导数的运用：求切线的方程和单一性，考察转变思想和函数零点存在定理的运用，考察结构函数法和化简整理的运算能力，属于中档题．。
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学文科试题答案及评分标准
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．B 5．A6．C 7．A 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．i 10．211．212．(0,)+∞；413[4,9) 注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有113,2711.a d a d +=⎧⎨+=⎩[4分] 解得12a =，1d =．[6分]所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a a n d n =+-=+．[7分]（Ⅱ）111122n n n a n b a n +=+=++．[8分] 因为数列11{}2n +是首项为14，公比为12的等比数列，[9分]所以11[1()](3)421212n n n n S -+=+-[11分] 2131122n n n +++=-．[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [ 4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为- [13分]17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）A 05244120123(h)5x ++++=+=，[2分]B 2370(120)1205a x -++++-=+，[3分] 由A B x x =，解得127a =．[4分]（Ⅱ）设A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为2A s ，2B s ，则22A Bs s <．[7分] （Ⅲ）设A 型号手机为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ；B 型号手机为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C ．[8分]从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，不同的抽取方法有25种．[10分]抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：11(A ,B )，14(A ,B )，31(A ,B )，34(A ,B )，共4种． [11分]因此4(C)25P =，所以21(C)1(C)25P P =-=． 所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是2125．[13分]18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥，[1分] 又因为AB PA ⊥，[2分]所以AB ⊥平面PAD ，[3分]所以AB PD ⊥．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分]因为E 为棱PD 中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[8分]又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 所以//CE 平面PAB ．[9分]（Ⅲ）在平面ABCD 上，延长AB ，CD 交于点M ．因为M AB ∈，所以M ∈平面PAB ；又M CD ∈，所以M ∈平面PCD ，所以平面PAB平面PCD PM =．[11分]在△ADM 中，因为//BC AD ，12BC AD =， 所以 22AM AB ==．[12分]因为PA PD ⊥，所以△APD 是等腰直角三角形，所以PA =．[13分]由（Ⅰ）得AM ⊥平面PAD ，所以AM PA ⊥．在直角△PAM 中，PM ==[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得12||||24PF PF a +==，2a =．[2分]将点P 的坐标代入22214x y b +=，得22114b+=，解得b =[4分]所以，椭圆C 的方程是22142x y +=．[5分]（Ⅱ）依题意，得1)Q -．设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x ≠01y ≠±．[6分]直线MP的方程为1y x -=，[7分]令0y =，得0001x x y -=-，[8分]所以OE =．直线MQ的方程为1y x +=-，[9分]令0y =，得0001x x y +=+，[10分]所以OF =．所以2200202=1y x OE OF y -⋅- 2200202(42)=1y y y ---[12分] =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且2()32f x x ax b '=++．[1分]当0a =时，2()3f x x b '=+．（ⅰ）① 当0b ≥时，显然()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值点．[2分]② 当0b <时，令()0f x '=，解得x =．[3分] ()f x 和()f x '的变化情况如下表：（ⅱ）若0x x =是()f x 的极值点，则有2030x b +=；若0x x =是()f x 的不动点，则有30003x bx x ++=．从上述两式中消去b ，整理得300230x x +-=．[6分]设3()23g x x x =+-．所以2()610g x x '=+>，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增．又(1)0g =，所以函数()g x 有且仅有一个零点1x =，即方程300230x x +-=的根为01x =， 所以 2033b x =-=-．[8分]（Ⅱ）因为()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，所以方程2320x ax b ++=有两个不等实根1x ，2x ， 所以24120a b ∆=->，即230a b ->．[9分]假设存在实数a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点，则1x ，2x 是方程32(1)30x ax b x ++-+=的两个实根，显然1x ，20x ≠．对于实根1x ，有32111(1)30x ax b x ++-+=．①又因为211320x ax b ++=．②①3⨯-②1x ⨯，得 211(23)90ax b x +-+=． 同理可得222(23)90ax b x +-+=．所以，方程2(23)90ax b x +-+=也有两个不等实根1x ，2x ．[11分] 所以1223b x x a-+=-． 对于方程2320x ax b ++=，有 1223a x x +=-， 所以2233ab a--=-， 即2932a b -=-， 这与230a b ->相矛盾！所以，不存在a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点．[13分]。
2018年北京市西城区高三第一学期期末数学(理)试题及答案
北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2018.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =U （A ）{|13}x x -<< （B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x <<（D ）{|23}x x <<2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 （A ）1y x =-+（B ）|1|y x =-（C ）sin y x =（D ）12y x =3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）2 （B ）6 （C ）30 （D ）2704．已知M 为曲线C ：3cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最大值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）45．实数,x y 满足10,10,10,x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≥≥≥ 则2x y -的取值范围是（A ）[0,2] （B ）(,0]-∞ （C ）[1,2]- （D ）[0,)+∞6．设,a b 是非零向量，且,a b 不共线．则“||||=a b ”是“|2||2|+=+a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等， 则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 （A ）(,1)-∞-（B ）(,2)-∞-（C ）(1,)-+∞（D ）(2,)-+∞8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[H ]+）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[OH ]-）的乘积等于常数1410-．已知pH 值的定义为pH lg[H ]+=-，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ][OH ]+-可以为（参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈） （A ）12（B ）13（C ）16（D ）110第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数2i1i-对应的点的坐标为____．10．数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ．若212a =，则n a =____；5S =____．11．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC 的面积为33，则 c =____．12．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）13．从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何 体的表面积是____．14．已知函数2,2,()1, 3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0,]2上的最大值． 16．（本小题满分13分）已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 1月1日 7:36 4月9日 5:46 7月9日 4:53 10月8日 6:17 1月21日 7:31 4月28日 5:19 7月27日 5:07 10月26日 6:36 2月10日 7:14 5月16日 4:59 8月14日 5:24 11月13日 6:56 3月2日 6:47 6月3日 4:47 9月2日 5:42 12月1日 7:16 3月22日6:156月22日4:469月20日5:5912月20日7:31日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 2月1日 7:23 2月11日 7:13 2月21日 6:59 2月3日 7:22 2月13日 7:11 2月23日 6:57 2月5日 7:20 2月15日 7:08 2月25日 6:55 2月7日 7:17 2月17日 7:05 2月27日 6:52 2月9日7:152月19日7:022月28日6:49（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率； （Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ． （Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为31760）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2*s ，判断2s 与2*s 的大小．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，160A AC ︒∠=. 过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求证：四边形1AA EF 为平行四边形； （Ⅲ）若23BF BC =，求二面角1B AC F --的大小. 18．（本小题满分13分）已知函数()e sin 1axf x x =⋅-，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx =C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(4)n a a a n L ≥满足：11a =，n a m =，10k k a a +-=或1(1,2,,1)k n =-L ．对任意,i j ，都存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈L 且两两不相等．（Ⅰ）若2m =，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ① 1,1,1,2,2,2； ② 1,1,1,1,2,2,2,2； ③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2 （Ⅱ）记12n S a a a =+++L ．若3m =，证明：20S ≥； （Ⅲ）若2018m =，求n 的最小值．北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(1,1)- 10．32n -，3141112．8 13．36 14．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]32cos212x x =-+[ 5分]π)13x =-+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [8分] （Ⅱ）因为 π02x ≤≤， 所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分] 当 ππ232x -=，即5π12x =时， [11分]()f x 1． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，[ 1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 153(A)204P ==． [3分]（Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2． [ 4分] 记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则 51(B)153P ==，2(B)1(B)3P P =-=． [5分] 4(0)(B)(B)9P X P P ==⋅=； 12114(1)C ()(1)339P X ==-=； 1(2)(B)(B)9P X P P ==⋅=． [ 8分]所以 X 的分布列为：X 0 1 2 P4949194412()0129993E X =⨯+⨯+⨯=． [10分]注：学生得到X ~1(2,)3B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分．（Ⅲ）22*s s <． [13分]17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 1分]因为 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1A C ⊥平面1ABC ． [ 4分] （Ⅱ）因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 5分]因为 平面1AA EF I 平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [ 6分] 因为 平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF I 平面ABC AF =，平面1AA EF I 平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [ 7分] 所以 四边形1AA EF 为平行四边形． [ 8分] （Ⅲ）在平面11AA C C 内，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz -． [ 9分] 由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,1,3)A ，1(0,3,3)C ．因为23BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-，所以 24(,,0)33F ．由（Ⅰ）得平面1ABC的法向量为1(0,1,A C −−→=． 设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即30,240.33y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，则2x =-，z =(2,1,=-n ． [11分]所以111|||cos ,|||||A C A C A C −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n [13分] 由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以 二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e sin 1x f x x =⋅-，所以 ()e (sin cos )xf x x x '=+． [ 2分]因为 (0)1f '=，(0)1f =-， [ 4分]所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-． [ 5分]（Ⅱ）()e (sin cos )axf x a x x '=+． [ 6分]由 ()0f x '=，得 sin cos 0a x x +=． [ 7分] 因为 0a >，所以π()02f '≠． [ 8分] 当 ππ(0,)(,π)22x ∈U 时， 由 sin cos 0a x x +=， 得 1tan x a=-． 所以 存在唯一的0π(,π)2x ∈， 使得 01tan x a=-． [ 9分] ()f x 与()f x '在区间(0,π)上的情况如下：所以 ()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,π)x 上单调递减． [11分]因为π020π()()e 1e 102a f x f >=->-=， [12分]且 (0)(π)10f f ==-<，所以 ()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点．[13分]19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得 2a =，c e a ==所以 c = [ 2分] 因为 222a b c =+， [ 3分] 所以 1b =， [ 4分] 所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=． [ 5分]（Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =.[ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)y k x =-，所以 (3,)P k ，||PA[ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由 2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得22(41)80k x +++=， [ 8分]由0∆>，得 212k >． 且12x x +=122841x x k =+． [ 9分]所以 ||MN .=． [10分]因为 ||||PA MN =， 所以= 整理得 421656330k k -+=， [12分]解得 k = k = [13分]经检验均符合0∆>，但k =PAMN 是平行四边形，舍去．所以 k ，或 k = [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）②③． [ 3分] 注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为123,,q q q ，由题意1(1,2,3)i q i =≥． ① 假设14q <，则有12s t a a a a +<+（对任意2s t >>），与已知矛盾，所以 14q ≥．同理可证：34q ≥． [ 5分] ② 假设21q =，则存在唯一的{1,2,,}k n ∈L ，使得2k a =．那么，对,s t ∀，有 112k s t a a a a +=+≠+（,,k s t 两两不相等），与已知矛盾，所以22q ≥． [ 7分]综上：1324,4,2q q q ≥≥≥，所以 3120i i S iq ==∑≥． [ 8分]（Ⅲ）设1,2,,2018L 出现频数依次为122018,,...,q q q ．同（Ⅱ）的证明，可得120184,4q q ≥≥，220172,2q q ≥≥，则2026n ≥．取12018220174,2q q q q ====，1,3,4,5,,2016i q i ==L ，得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B L L ． [10分]下面证明n B 满足题目要求．对,{1,2,,2026}i j ∀∈L ，不妨令i j a a ≤， ① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，所以符合条件； ② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，220172,2q q ==， 所以也成立；③ 如果1,2i j a a =>，则可选取2,1s t j a a a ==-；同样的，如果2017,2018i j a a <=，则可选取1,2017s i t a a a =+=， 使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等；④ 如果12018i j a a <<≤，则可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立． 综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈L 且两 两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026． [13分]。
北京市西城区2017届高三上学期期末数学试卷(文科)
2016-2017学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＞0}，那么A∩B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x＜2} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|﹣1＜x＜2}2．下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣104．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B． x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=05．实数x，y满足，则y﹣4x的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，7] C． D．6．设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．20+2B．14+4C．26 D．12+28．8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（）A．14 B．13 C．12 D．11二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数等于．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，﹣1），则△AOB的面积是．11．已知圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p= ．12．函数y=的定义域是；最小值是．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a= ．14．设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f= ；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在等差数列{a n}中，a2=3，a3+a6=11（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+，其中n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知 A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n个数据x1，x2，…，x n的方差s2=，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1 （Ⅰ）求证：AB⊥PD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=PM，点M在平面ABCD上．当PA⊥PD时，求PM的长．19．（14分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的两个焦点是F1，F2，点P（，1）在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．20．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a=0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．2016-2017学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＞0}，那么A∩B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x＜2} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|﹣1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞1，即B={x|x＜﹣1或x＞1}，∵A={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：A．y=x2+1是偶函数，不满足条件．B．y=tanx是奇函数，但函数的定义域不是R，不满足条件．C．y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x+sinx是奇函数，满足条件．故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键．要求熟练掌握常见函数的奇偶性的性质，比较基础．3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣10【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，k的值，可得当k=4时不满足条件k ≤3，退出循环，输出S的值为﹣3．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1，S=1满足条件k≤3，执行循环体，S=1，k=2满足条件k≤3，执行循环体，S=0，k=3满足条件k≤3，执行循环体，S=﹣3，k=4不满足条件k≤3，退出循环，输出S的值为﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题．4．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B． x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b，进而得到双曲线的方程，即可得到渐近线方程．【解答】解：由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=，可得渐近线方程为y=±x．故选B．【点评】本题考查双曲线的方程和渐近线方程的求法，注意运用双曲线的基本量的关系和渐近线方程与双曲线的方程的关系，考查运算能力，属于基础题．5．实数x，y满足，则y﹣4x的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，7] C． D．【考点】简单线性规划．【分析】根据约束条件画出可行域，然后分析平面区域里各个点，然后将其代入y﹣4x中，求出y﹣4x的取值范围．【解答】解：根据约束条件画出可行域由图得当z=y﹣4x过点A（﹣1，0）时，Z最大为4，无最小值故所求y﹣4x的取值范围是（﹣∞，4]．故选：A【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．6．设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量数量积的应用以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若“（）⊥（）”，则“（）•（）=0，即“||2=||2”，即||=||，反之当||=||，则（）•（）=||2﹣||2=0，即（）⊥（），故“||=||”是“（）⊥（）”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量垂直与向量数量积的关系是解决本题的关键．7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．20+2B．14+4C．26 D．12+2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得几何体是四棱锥并画出直观图，由三视图判断出线面的位置关系，并求出几何体的高和侧面的高，分别求出各个侧面和底面的面积，即可得到答案．【解答】解：由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为=，所以△PDC的面积为：×4×=2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：×2×3=3，侧面△PAB的面积为：×4×=6，且底面ABCD的面积为：4×2=8，所以四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2+2×3+6+8=20+2，故选A．【点评】本题考查由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体、判断出几何体的结构特征是解题的关键，考查空间想象能力．8．8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（）A．14 B．13 C．12 D．11【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据完成本题主要抓住了“每场产生的分数”、“第二名的得分与最后四名所得的总分一样多”、“得分互不相同”这三个关健点进行分析的．【解答】解：每名需要进行7场比赛，则全胜的得14分，而最后4人之间赛6场至少共得12分，所以第二名的得分至少为12分．如果第一名全胜，则第二名只输给第一名，得12分；如果第二名得13分，则第二名6胜1平，第一名最好也只能是6胜1平，与题目中得分互不相同不符．所以，第二名得分为12分．故选：C【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握关键的语言，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数等于i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式即可．【解答】解：复数===i．故答案为：i．【点评】本题考查复数的乘除运算，复数的化简，考查计算能力．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，﹣1），则△AOB的面积是 2 ．【考点】两点间距离公式的应用；点到直线的距离公式．【分析】求出直线AB的方程，|AB|，O到AB的距离，即可求出△AOB的面积．【解答】解：由题意，直线AB的方程为y﹣1=（x﹣1），即x+y﹣2=0，|AB|==2，O到AB的距离为=，∴△AOB的面积是=2，故答案为2．【点评】本题考查三角形面积的计算，考查两点间的距离公式，属于中档题．11．已知圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p= 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值．【解答】解：∵圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，∴1+=2，解得p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径是关键．12．函数y=的定义域是（0，+∞）；最小值是 4 ．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的定义域及其求法．【分析】要使函数y=有意义，则⇒x＞＞0；函数y==．【解答】解：要使函数y=有意义，则⇒x＞＞0∴定义域为（0，+∞）；函数y==，∴最小值是 4．故答案为：（0，+∞），4【点评】本题考查了函数的定义域、值域，属于基础题．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．【考点】正弦定理．【分析】利用由正弦定理可得b=2a，再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，由此求得a的值．【解答】解：△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，求得a=，故答案为：．【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道基础题．14．设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f= ；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是=，②分别画出y=f（x）与y=﹣2的图象，如图所示，函数y=f（x）﹣2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是+=+=﹣．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（13分）（2016秋•西城区期末）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可．（Ⅱ）求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1=sin2ωxcos﹣cos2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），所以f（x）的最小正周期T=，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤，所以，当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为1；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值为﹣．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．17．（13分）（2016秋•西城区期末）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知 A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n个数据x1，x2，…，x n的方差s2=，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）根据题意，由平均数的计算公式可得=120+=123（h），=120+，又由题意，=，计算可得a的值，（Ⅱ）根据题意，直观分析两组数据的波动大小，即可得答案，（Ⅲ）根据题意，设A型号手机为A、B、C、D、E；B型号手机为1、2、3、4、5；“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C．用列举法可得从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台的取法数目，进而可得C事件包含的情况数目，由古典概型的计算公式，计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意， =120+=123（h），=120+，又由题意， =，解可得，a=127；（Ⅱ）设A，B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为、，结合数据分析可得，B型号的手机数据波动较大，即有＜，（Ⅲ）设A型号手机为A、B、C、D、E；B型号手机为1、2、3、4、5；“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C．从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有（A，1）、（A，2）、（A，3）、（A，4）、（A，5）、（B，1）、（B，2）、（B，3）、（B，4）、（B，5）、（C，1）、（C，2）、（C，3）、（C，4）、（C，5）、（D，1）、（D，2）、（D，3）、（D，4）、（D，5）、（E，1）、（E，2）、（E，3）、（E，4）、（E，5）、共25种．抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：（A，1），（A，4），（C，1），（C，4），共4种；则至少有1台的待机时间超过122小时的选法有25﹣4=21种，故P（C）=；所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是．【点评】本题考查利用列举法计算古典概率，涉及数据的平均数、方差的计算，关键是分析题意，得到数据．18．（14分）（2016秋•西城区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：AB⊥PD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=PM，点M在平面ABCD上．当PA⊥PD时，求PM的长．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由AB⊥AD，又AB⊥PA，可证线面垂直AB⊥平面PAD，利用线面垂直的性质可证AB⊥PD．（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF，通过证明四边形BCEG是平行四边形，可证EC∥BF，利用线面平行的判定定理即可证明CE∥平面PAB．（Ⅲ）在平面ABCD上，延长AB，CD交于点M，由于平面PAB∩平面PCD=PM，通过证明PA=，AM⊥PA，利用勾股定理即可得解．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD，…（1分）又因为AB⊥PA，…（2分）所以AB⊥平面PAD，…所以AB⊥PD…（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF…因为E为棱PD中点，所以EF∥AD，EF=AD，又因为BC∥AD，BC=AD，所以BC∥EF，BC=EF．所以四边形BCEG是平行四边形，EC∥BF…（8分）又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB…（9分）（Ⅲ）在平面ABCD上，延长AB，CD交于点M．因为M∈AB，所以M∈平面PAB；又M∈CD，所以M∈平面PCD，所以平面PAB∩平面PCD=PM…（11分）在△ADM中，因为BC∥AD，BC=AD，所以AM=2AB=2…（12分）因为PA⊥PD，所以△APD是等腰直角三角形，所以PA=…（13分）由（Ⅰ）得AM⊥平面PAD，所以AM⊥PA．在直角△PAM中，PM==…（14分）【点评】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，线面平行的判定定理，勾股定理的综合应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．（14分）（2016秋•西城区期末）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的两个焦点是F1，F2，点P（，1）在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=4，即a=2，将点P（，1）的坐标代入，解得：b=即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）由题意可知：设M（x0，y0），则有x02+2y02=4，直线MP的方程为y﹣1=（x﹣），令y=0，得x=，从而丨OE丨=丨丨．，同理即可求得丨OF丨=丨丨，则丨OE丨•丨OF丨=丨丨=丨丨=4．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=4，即a=2．将点P（，1）的坐标代入，得，解得：b=．∴椭圆C的方程是．（Ⅱ）证明：由Q关于x轴于P对称，得Q（，﹣1）．设M（x0，y0），则有x02+2y02=4，x0≠，y0≠±1．直线MP的方程为y﹣1=（x﹣），令y=0，得x=，∴丨OE丨=丨丨．直线MQ的方程为：y+1=（x﹣），令y=0，得x=，∴丨OF丨=丨丨．∴丨OE丨•丨OF丨=丨丨•丨丨=丨丨=丨丨=4∴丨OE丨•丨OF丨=4丨OE丨•丨OF丨为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的应用，考查三角形的面积公式，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．20．（13分）（2016秋•西城区期末）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a=0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f （x ）有两个相异的极值点x 1，x 2，试问：是否存在a ，b ，使得x 1，x 2 均为f （x ）的不动点？证明你的结论．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）（i ）求出函数的导数，通过讨论b 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，（ii ）得到函数g （x ）有且仅有一个零点x=1，即方程2+x 0﹣3=0的根为x 0=1，从而求出b 的值即可；（Ⅱ）假设存在，根据题意得到+a+（b ﹣1）x 1+3=0．①，3+2ax 1+b=0．②，得到a 2﹣3b=﹣，这与a 2﹣3b ＞0相矛盾！判断结论即可．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为R ，且f′（x ）=3x 2+2ax+b ． 当a=0时，f′（x ）=3x 2+b ；（ⅰ）①当b ≥0时，显然f （x ）在R 上单调递增，无极值点． ②当b ＜0时，令f′（x ）=0，解得：x=±．f （x ）和f′（x ）的变化情况如下表：所以，x=﹣是f （x ）的极大值点；x=是f （x ）的极小值点．（ⅱ）若x=x 0是f （x ）的极值点，则有3+b=0；若x=x 0是f （x ）的不动点，则有+bx 0+3=x 0，从上述两式中消去b ， 整理得：2+x 0﹣3=0．设g （x ）=2x 3+x ﹣3．所以g′（x）=6x2+1＞0，g（x）在R上单调递增．又g（1）=0，所以函数g（x）有且仅有一个零点x=1，即方程2+x0﹣3=0的根为x0=1，所以 b=﹣3=﹣3．（Ⅱ）因为f（x（有两个相异的极值点x1，x2，所以方程3x2+2ax+b=0有两个不等实根x1，x2，所以△=4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0．假设存在实数a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点，则x1，x2是方程x3+ax2+（b﹣1）x+3=0的两个实根，显然x1，x2≠0．对于实根x1，有+a+（b﹣1）x1+3=0．①又因为3+2ax1+b=0．②①×3﹣②×x1，得a+（2b﹣3）x1+9=0．同理可得a+（2b﹣3）x2+9=0．所以，方程ax2+（2b﹣3）x+9=0也有两个不等实根x1，x2．所以x1+x2=﹣．对于方程3x2+2ax+b=0，有 x1+x2=﹣，所以﹣=﹣，即a2﹣3b=﹣，这与a2﹣3b＞0相矛盾！所以，不存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及新定义问题，分类讨论思想，是一道综合题．。
北京市西城区2017-2018学年度高三上学期期末理科数学试卷及答案
北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2018.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B = （A ）{|13}x x -<< （B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x <<（D ）{|23}x x <<2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 （A ）1y x =-+（B ）|1|y x =-（C ）sin y x =（D ）12y x =3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）2 （B ）6 （C ）30 （D ）2704．已知M 为曲线C ：3cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最大值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）45．实数,x y 满足10,10,10,x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≥≥≥ 则2x y -的取值范围是（A ）[0,2] （B ）(,0]-∞ （C ）[1,2]- （D ）[0,)+∞6．设,a b 是非零向量，且,a b 不共线．则“||||=a b ”是“|2||2|+=+a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等， 则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 （A ）(,1)-∞-（B ）(,2)-∞-（C ）(1,)-+∞（D ）(2,)-+∞8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[H ]+）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[OH ]-）的乘积等于常数1410-．已知pH 值的定义为pH lg[H ]+=-，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ][OH ]+-可以为（参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈） （A ）12（B ）13（C ）16（D ）110第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数2i1i-对应的点的坐标为____．10．数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ．若212a =，则n a =____；5S =____．11．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC 的面积为334，则 c =____．12．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）13．从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何 体的表面积是____．14．已知函数2,2,()1, 3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0,]2上的最大值．16．（本小题满分13分）已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 1月1日 7:36 4月9日 5:46 7月9日 4:53 10月8日 6:17 1月21日 7:31 4月28日 5:19 7月27日 5:07 10月26日 6:36 2月10日 7:14 5月16日 4:59 8月14日 5:24 11月13日 6:56 3月2日 6:47 6月3日 4:47 9月2日 5:42 12月1日 7:16 3月22日6:156月22日4:469月20日5:5912月20日7:31表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 2月1日 7:23 2月11日 7:13 2月21日 6:59 2月3日 7:22 2月13日 7:11 2月23日 6:57 2月5日 7:20 2月15日 7:08 2月25日 6:55 2月7日 7:17 2月17日 7:05 2月27日 6:52 2月9日7:152月19日7:022月28日6:49（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率； （Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ． （Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为31760）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2*s ，判断2s 与2*s 的大小．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，160A AC ︒∠=.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求证：四边形1AA EF 为平行四边形； （Ⅲ）若23BF BC =，求二面角1B AC F --的大小.18．（本小题满分13分）已知函数()e sin 1axf x x =⋅-，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ，且离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线3y kx =+与椭圆C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(4)n a a a n ≥满足：11a =，n a m =，10k k a a +-=或1(1,2,,1)k n =- ．对任意,i j ，都存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈ 且两两不相等． （Ⅰ）若2m =，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ① 1,1,1,2,2,2； ② 1,1,1,1,2,2,2,2； ③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2 （Ⅱ）记12n S a a a =+++ ．若3m =，证明：20S ≥； （Ⅲ）若2018m =，求n 的最小值．北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．(1,1)- 10．32n -，31411．1312．8 13．36 14．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分] 33sin 2cos 2122x x =-+[ 5分] π3sin(2)13x =-+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [8分] （Ⅱ）因为 π02x ≤≤， 所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分] 当 ππ232x -=，即5π12x =时， [11分] ()f x 取得最大值为31+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，[ 1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 153(A)204P ==．[ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2． [ 4分] 记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则 51(B)153P ==，2(B)1(B)3P P =-=． [5分] 4(0)(B )(B )9P X P P ==⋅=； 12114(1)C ()(1)339P X ==-=； 1(2)(B)(B)9P X P P ==⋅=． [ 8分] 所以 X 的分布列为：X 0 1 2 P4949194412()0129993E X =⨯+⨯+⨯=． [10分]注：学生得到X ~1(2,)3B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分．（Ⅲ）22*s s <． [13分]17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 1分]因为 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1AC ⊥平面1ABC ． [ 4分] （Ⅱ）因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 5分]因为 平面1AA EF 平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [ 6分] 因为 平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF 平面ABC AF =，平面1AA EF 平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [ 7分] 所以 四边形1AA EF 为平行四边形． [ 8分]（Ⅲ）在平面11AA C C 内，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz -． [ 9分] 由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,1,3)A ，1(0,3,3)C ．因为23BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-， 所以 24(,,0)33F ．由（Ⅰ）得平面1ABC 的法向量为1(0,1,3)A C −−→=-． 设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即330,240.33y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，则2x =-，3z =-，所以 (2,1,3)=--n ． [11分]所以 111||2|cos ,|2||||AC AC AC −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n ． [13分] 由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以 二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e sin 1xf x x =⋅-，所以 ()e (sin cos )xf x x x '=+． [ 2分]因为 (0)1f '=，(0)1f =-， [ 4分]所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-． [ 5分]（Ⅱ）()e (sin cos )axf x a x x '=+． [ 6分]由 ()0f x '=，得 sin cos 0a x x +=． [ 7分] 因为 0a >，所以π()02f '≠． [ 8分]当 ππ(0,)(,π)22x ∈ 时， 由 sin cos 0a x x +=， 得 1tan x a=-． 所以 存在唯一的0π(,π)2x ∈， 使得 01tan x a=-． [ 9分] ()f x 与()f x '在区间(0,π)上的情况如下：x0(0,)x 0x0(,π)x()f x ' +-()f x↗极大值 ↘所以 ()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,π)x 上单调递减． [11分]因为π020π()()e 1e 102a f x f >=->-=， [12分]且 (0)(π)10f f ==-<，所以 ()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点． [13分]19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得 2a =，32c e a ==， 所以 3c =． [ 2分] 因为 222a b c =+， [ 3分] 所以 1b =， [ 4分] 所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=． [ 5分] （Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =. [ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)y k x =-，所以 (3,)P k ，2||1PA k =+． [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由 223,44,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得22(41)8380k x kx +++=， [ 8分]由0∆>，得 212k >． 且1228341k x x k +=-+，122841x x k =+． [ 9分] 所以 221212||(1)[()4]MN k x x x x =++-.22226432(1)(41)k k k -=++． [10分]因为 ||||PA MN =， 所以 222226432(1)1(41)k k k k -+=++． 整理得 421656330k k -+=， [12分]解得 32k =±，或 112k =±． [13分]经检验均符合0∆>，但32k =-时不满足PAMN 是平行四边形，舍去． 所以 32k =，或 112k =±． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）②③． [ 3分] 注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为123,,q q q ，由题意1(1,2,3)i q i =≥． ① 假设14q <，则有12s t a a a a +<+（对任意2s t >>），与已知矛盾，所以 14q ≥．同理可证：34q ≥． [ 5分] ② 假设21q =，则存在唯一的{1,2,,}k n ∈ ，使得2k a =．那么，对,s t ∀，有 112k s t a a a a +=+≠+（,,k s t 两两不相等），与已知矛盾，所以22q ≥． [ 7分]综上：1324,4,2q q q ≥≥≥，所以 3120i i S iq ==∑≥． [ 8分]（Ⅲ）设1,2,,2018 出现频数依次为122018,,...,q q q ．同（Ⅱ）的证明，可得120184,4q q ≥≥，220172,2q q ≥≥，则2026n ≥．取12018220174,2q q q q ====，1,3,4,5,,2016i q i == ，得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B ． [10分]下面证明n B 满足题目要求．对,{1,2,,2026}i j ∀∈ ，不妨令i j a a ≤，① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，所以符合条件； ② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，220172,2q q ==， 所以也成立；③ 如果1,2i j a a =>，则可选取2,1s t j a a a ==-；同样的，如果2017,2018i j a a <=， 则可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等； ④ 如果12018i j a a <<≤，则可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈ 且两 两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026． [13分]。