牛顿运动定律
© Boardworks Ltd 2007
2 of 42
© Boardworks Ltd 2007
How can forces be represented?
The forces acting on any object can be shown using a force diagram. A force diagram uses labelled arrows to show all the forces acting on the object. air The direction of each arrow shows resistance the direction of each force.
20 of 42
© Boardworks Ltd 2007
Terminal velocity of a skydiver
21 of 42
© Boardworks Ltd 2007
Velocity–time graph of skydiver
22 பைடு நூலகம்f 42
© Boardworks Ltd 2007
Introducing balanced forces
19 of 42
© Boardworks Ltd 2007
What is Newton’s first law?
If the resultant force acting on an object is zero, all the forces are said to be balanced. This forms the basis of Newton’s first law of motion, which states: If the forces on an object are balanced, the object will continue to do what it is already doing: if the object is stationary, it will remain stationary if the object is moving, it will continue to move at the same speed and in the same direction.
There are usually several different forces acting on an object. The overall motion of the object will depend on the size and direction of all the forces.
3 of 42 © Boardworks Ltd 2007
weight
What forces act on a swimming fish?
What forces are acting on this fish as it swims at a constant speed? upthrust
thrust
friction
weight Upthrust is the upwards force on the fish caused by the water around the fish. This is sometimes called buoyancy. Thrust is the forwards force created by the fish.
the direction of motion may change.
25 of 42
© Boardworks Ltd 2007
How is movement calculated from force?
16 of 42 © Boardworks Ltd 2007
Reducing the impact of air resistance
Friction caused by air resistance affects the speed and fuel consumption of vehicles such as cars, bikes and aeroplanes.
4 of 42 © Boardworks Ltd 2007
What forces act on a moving boat?
What forces are acting on this accelerating boat? air resistance
upthrust
thrust
friction
weight
11 of 42
© Boardworks Ltd 2007
Friction – useful or a problem?
12 of 42
© Boardworks Ltd 2007
What causes friction?
Friction occurs between two objects because the surfaces of those objects are rough, and contain bumps and hollows. This roughness means that a force is needed to move the two objects over each other.
Air resistance is friction caused by movement through air.
5 of 42
© Boardworks Ltd 2007
Identifying forces
6 of 42
© Boardworks Ltd 2007
What are resultant forces?
50 N
30 N
Resultant force on the crate = 50 N – 30 N = 20 N to the left
7 of 42 © Boardworks Ltd 2007
Calculating resultant forces
8 of 42
© Boardworks Ltd 2007
friction
pulling force
Friction always acts in the opposite direction to which an object is moving or trying to move. What would happen if friction didn’t exist?
Friction caused by an object moving through a liquid, such as water, is called drag.
14 of 42 © Boardworks Ltd 2007
How does friction change?
15 of 42
© Boardworks Ltd 2007
Reducing the effects of friction
Friction always tries to stop things moving or slow things down. What effect does this have? Friction creates heat and eventually wears down surfaces, which can be very damaging. Lubricants are used to reduce friction in machinery and so help protect surfaces. In car engines, oil is used as a lubricant. Bearings and rollers can also be used to reduce friction, for example, in wheels
Even objects that appear very smooth, such as polished metal or ice, have a rough surface if viewed under a microscope.
13 of 42 © Boardworks Ltd 2007
Different types of friction
23 of 42
© Boardworks Ltd 2007
Introducing unbalanced forces
24 of 42
© Boardworks Ltd 2007
What is Newton’s second law?
If the resultant force acting on an object is not zero, all the forces are said to be unbalanced. This forms the basis of Newton’s second law of motion, which states:
The length of each arrow is proportional to the size of the force.
What is the force diagram for this ball when it first starts to fall? Forces are measured in newtons (N)
9 of 42
© Boardworks Ltd 2007
What is friction?
What is friction and why is it an important force?
10 of 42
© Boardworks Ltd 2007
What is friction?
第2章 牛顿运动定律
分离变量求定积分，并考虑到初始条件：t=0时v=v0，则有
v dv t μ
dt
v v0
2
0R
即
v
1
v0
v0t
R
将上式对时间积分，并利用初始条件t=0时，s=0得
s
R μ
ln 1
μ R
v0t
15
例题2-2 一条长为l质量均匀分布的细链条AB，挂在半径 可忽略的光滑钉子上，开始时处于静止状态。已知BC段 长为L（l/2<L<2l/3），释放后链条做加速运动，如图所示。 试求BC=2l/3时，链条的加速度和速度。
a0
a0
mg
T -ma0
mg
讨论一种非惯性系，做直线运动的加速参考系，在以恒定
加速度 沿a直0 线前进的车厢中，用绳子悬挂一物体。在地面
上的惯性参考系中观察，牛顿运动定律成立。 在车厢中的参考系（非惯性系）内观察，虽然物体所受张
f μN
µ为滑动摩擦系数，它与接触面的材料和表面状态（如 粗糙程度、干湿程度等）有关；其数值可查有关手册。
10
2.2.2 力学中常见的几种力
3、摩擦力。
当两个相互接触的物体虽未发生相对运动，但沿接触面有 相对运动的趋势时，在接触面间产生的摩擦力为静摩擦力。 静摩擦力的大小可以发生变化。
如图所示，用一水平力F推一放置在粗糙水平面上的木箱，
解：取被抛物体为研究对象，物体运动过程
中只受万有引力作用。取地球为参考系，垂 直地面向上为正方向。物体运动的初始条件
v0
是：t=0时，r0=R，速度是v0。略去地球的公 转与自转的影响，则物体在离地心r处的万有
m
引力F与地面处的重力P之间的关系为
12 牛顿运动定律
二 牛顿第二定律
?
??
? 动量为 p的物体，在合外力 F (? Fi ) 的作
用下，其动量随时间的变化率应当等于作用于物体
的合外力．
?
dp?
d(mv?)
F? ?
dt dt
?p? ? mv??
当 v ?? c时，
m为常量，
合外 力
? F
?
m
dv?
?
ma?
dt
? F
?
m dv?
?
ma?
dt
? F
?
m dv x
? ? 1 ?l2
2 ? 3.46? 10?2 m
?
?
1 2
mv
2 0
5.0 ? 105
例 如图,摆长为 l的圆
锥摆，细绳一端固定在天花
板上，另一端悬挂质量为 m
的小球，小球经推动后，在
水平面内绕通过圆心 o 的铅
直轴作角速度为 ? 的匀速率
圆周运动．
l
?
ro
v
问绳和铅直方向所成的角度 ? 为多少？空气阻力
讨论：胖人和瘦人拔河 ,两人彼此之间施与的力 是一对作用力和反作用力（绳子质量可略），大小 相等，方向相反，那么他们的输赢与什么有关 ？
50kg
胜负的关键在于脚下的摩擦力 .
四种基本相互作用
力的种类 相互作用的粒子 力的强度 力程
万有引力 一切质点
10 ? 38
无限远
弱力 电磁力
强力
大多数粒子 电荷
一 牛顿第一定律 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，
直到外力迫?使它改变运?动状态为止 . F ? 0 时，v ? 恒矢量
惯性和力的概念 ? 物体的惯性 任何物体都有保持其运动状态不变 的性质, 这一性质叫惯性 .
牛顿运动定律
er
m1
Fr m2
重力 P mg 矢量式 P mg
g 重力加速度
比 萨 斜 塔
重力加速度和质量无关
F
G
Mm
R2
P mg
g
G
M R2
9.80m/s2
讨论：
万有引力公式只适用于两 质点。
一般物体万有引力很小， 但在天体运动中却起支配 作用。
二、弹性力 (elastic force) 物体发生弹性变形后，内部产生欲恢复形变的力。 常见的有：弹簧的弹力、绳索间的张力、压力、支
a
F 1 a1
aF22aF3 3
Fi ai
4.此式为矢量关系，通常要用分量式：
Fx ma x
Fy ma y
F ma
Fn man
三、牛顿第三定律 (Newton’s Third Law)
作用力与反作用力总是大小相等、
方向相反，作 用在同一条直线上。 F12 F21
★已做和待做的工作：
• 弱、电统一：1967年温伯格等提出理论 1983年实验证实理论预言
• 大统一(弱、电、强 统一)： 已提出一些理论，因目前加速器能量不够
而无法实验证实。
• 超大统一：四种力的统一
电弱相互作用
强相互作用
“超大统一”（尚待实现）
万有引力作用
2.4 牛顿定律的应用举例
应用牛顿定律解题的基本方法
动量为 mv 的质点，在合外力的作用下，其动量
随时间的变化率等于作用于物体的合外力。
表达式：
F合外
dp dt
或： F合外 ma
当
大学物理2牛顿运动定律
解：分析受力：mg B R ma
v dv tK d v K ( v v ) T 运动方程变为： 0 d t 0 vT v m dt m
d v mg B Kv 加速度 a dt m mg B 极限速度为：vT K
B R
m
mg
vT v K ln t vT m
x
g sin a2 arc tg g cos
例题2-3 一重物m用绳悬起，绳的另一端系在天花板上，
绳长l=0.5m，重物经推动后，在一水平面内作匀速率圆 周运动，转速n=1r/s。这种装置叫做圆锥摆。求这时绳 和竖直方向所成的角度。
2 2Biblioteka 解： T sin m r m l sin T cos mg 角速度： 2n T 拉力：T m 2l 4 2 n 2 ml
1.电磁力
电磁力：存在于静止电荷之间的电性力以及 存在于运动电荷之间的磁性力，本质上相互联系， 总称为电磁力。 分子或原子都是由电荷系统组成，它们之间 的作用力本质上是电磁力。例如：物体间的弹力、 摩擦力，气体的压力、浮力、粘滞阻力。
2.强力
强力：亚微观领域，存在于核子、介子和超 子之间的、把原子内的一些质子和中子紧紧束缚 在一起的一种力。 15 15
F
N 1
i
i
3、矢量性：具体运算时应写成分量式
dv x Fx ma x m dt 直角坐标系中： F ma m dv y y y dt
dvz Fz maz m dt
dv 自然坐标系中： F m dt
F
n
m
v
2
4、惯性的量度： 质量
三. 牛顿第三定律
2牛顿运动定律
第二章 牛顿运动定律（Newton’s Laws of Motion ）§1 牛顿运动定律▲第一定律(惯性定律)(First law ，Inertia law ): 任何物体都保持静止或作匀速直线运动的状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
⎩⎨⎧概念定性给出了力与惯性的定义了“惯性系” 惯性系（inertial frame ）：牛顿第一定律成立的参考系。
力是改变物体运动状态的原因，而并非维持物体运动状态的原因。
▲第二定律（Second lawF ρ：物体所受的合外力。
m ：质量（mass ），它是物体惯性大小的量度，也称惯性质量（inertial mass ）。
若m = const. ，则有：a m F ρρ= a ρ：物体的加速度。
第一定律▲第三定律（Third Law ）：2112F F ρρ-=说明：1.牛顿定律只适用于惯性系；2.牛顿定律是对质点而言的，而一般物体可认为是质点的集合，故牛顿定律具有普遍意义。
Δ§2 SI 单位和量纲（书第二章第2节）Δ§3 技术中常见的几种力（书第二章第3节）Δ§4基本自然力（书第二章第4节）m 1 m 2 F 12 F 21§5 牛顿定律应用举例书第二章第2节的各个例题一定要认真看，下面再补充一例，同时说明作题要求。
已知:桶绕z轴转动，ω= const.水对桶静止。
求：水面形状（z - r关系）解：▲选对象：任选表面上一小块水为隔离体m ；▲看运动：m作匀速率圆周运动raρρ2ω-=；▲查受力：受力gmρ及Nρ，水面⊥Nρ（∵稳定时m受周围水及空气的切向合力为零）；▲列方程：⎩⎨⎧-=-=-)2(sin)1(cos2rmNrmgNzωθθ向：向：θtg为z（r）曲线的斜率，由导数关系知：rzddtg=θ(3)由(1)(2)(3)得：rgrz2ddtgωθ==分离变量： r r gz d d 2ω= 积分： ⎰⎰=zz rr r g z 002d d ω得： 0222z r g z +=ω（旋转抛物面） 若已知不旋转时水深为h ，桶半径为R ,则由旋转前后水的体积不变，有： ⎰=⋅R h R r r z 02d 2ππ⎰=+Rh R r r z r g 02022d 2)2(ππω 得 g R h z 4220ω-=▲验结果： 0222z r g z +=ω ·单位：[2ω]=1/s 2 ，[r ]=m ，[g ]=m/s 2][m m/sm )/s 1(]2[2222z g ==⋅=ω，正确。
大学物理第2章 牛顿运动定律
推论：当你不去追求一个美眉，这个美眉就会待在那里不动。 2、第二定律(F=ma，物体的加速度，与施加在该物体上的外力成正比)； 推论：当你强烈地追求一个美眉，这个美眉也会有强烈的反应。 评述：这个显然也是错误的！如果你是一只蛤蟆，那么公主是不会动心的。 你的鲜花送得越勤，电话费花得越多，可能对方越是反感，还可能肥了不费力 气的对手。更可能的情况是，当多个人同时在追求一个美眉时，该美眉反而无 动于衷，心想：机会多着呢，再挑一挑。所以，紧了绷，轻了松，火候要拿捏 得好。
mgR 2 F r2
R2 dv mg 2 m 由牛顿第二定律得： r dt 2 dv dv dr dv gR 又 v dr vdv 2 dt dr dt dr r
当r0 = R 时，v = v0，作定积分，得：
v gR 2 R r 2 dr v0 vdv r
故有
k
例题2-4 不计空气阻力和其他作用力，竖直上抛物体的初速 v0最小应取多大，才不再返回地球?
分析：初始条件，r R 时的速度为 v0 只要求出速率方程 v v ( r ) “不会返回地球”的数学表示式为： 当
r 时， v 0
结论：用牛顿运动定律求出加速度后，问 题变成已知加速度和初始条件求速度方程或运动 方程的第二类运动学问题。 解∶地球半径为R，地面引力 = 重力= mg， 物体距地心 r 处引力为F，则有：
说明
1）定义力
2）力的瞬时作用规律
3）矢量性
4）说明了质量的实质 ： 物体惯性大小的量度
5）适用条件：质点、宏观、低速、惯性系
在直角坐标系中，牛顿第二定律的分量式为
d ( mv x ) Fx dt
第二章-牛顿运动定律
Fi 0
( 静力学基本方程 )
二. 牛顿第二定律
某时刻质点动量对时间的变化率正比与该时刻作用在质点上
所有力的合力。
Fi
d(mv) dt
Fi
k
d(mv) dt
取适当的单位，使 k =1 ，则有
Fi
d(mv) dt
dmv dt
m
dv dt
当物体的质量不随时间变化时
Fi
m
dv dt
ma
• 直角坐标系下为
例 一柔软绳长 l ，线密度 ρ，一端着地开始自由下落.
求 下落到任意长度 y 时刻，给地面的压力为多少？
解 在竖直向上方向建坐标，地面为原点（如图）.
取整个绳为研究对象 设压力为 N
N gl dp p p yv
y
dt
N gl d( yv) dy v gt
dt dt
y
l
d( yv) dyv dv y v 2 yg dt dt dt
• 同时性 —— 相互作用之间是相互依存，同生同灭。
讨论
第三定律是关于力的定律，它适用于接触力。对于非接触的 两个物体间的相互作用力，由于其相互作用以有限速度传播， 存在延迟效应。
§2.2 力学中常见的几种力
一. 万有引力
质量为 m1、m2 ，相距为 r 的 两质点间的万有引力大小为
m1
F12
r r0
l
λΔ lg
T (l)
T
N
f2
四. 摩擦力
1. 静摩擦力 当两相互接触的物体彼此之间保持相对静止，且沿接触面有 相对运动趋势时，在接触面之间会产生一对阻止上述运动趋 势的力，称为静摩擦力。
说明
静摩擦力的大小随引起相对运动趋势的外力而变化。最大 静摩擦力为 fmax=µ0 N ( µ0 为最大静摩擦系数，N 为正压力) 2. 滑动摩擦力 两物体相互接触，并有相对滑动时，在两物体接触处出现 的相互作用的摩擦力，称为滑动摩擦力。
牛顿的三大定律
三大定律分别是：牛顿第一运动定律、牛顿第二运动定律、牛顿第三运动定律。
一、牛顿三大定律1.牛顿第一运动定律牛顿第一运动定律，又称惯性定律。
第一定律说明了力的含义：力是改变物体运动状态的原因。
表述为：任何物体都要保持匀速直线运动或静止状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。
2.牛顿第二运动定律牛顿第二运动定律:第二定律指出了力的作用效果:力使物体获得加速度。
表述是:物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，且与物体质量的倒数成正比;加速度的方向跟作用力的方向相同。
3.牛顿第三运动定律牛顿第三运动定律:第三定律揭示出力的本质:力是物体间的相互作用。
表述是:相互作用的两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。
二、牛顿三大定律的影响牛顿运动定律是建立在绝对时空以及与此相适应的超距作用基础.上的所谓超距作用，是指分离的物体间不需要任何介质，也不需要时间来传递它们之间的相互作用.也就是说相互作用以无穷大的速度传递。
除了上述基本观点以外，在牛顿的时代，人们了解的相互作用。
如万有引力、磁石之间的磁力以及相互接触物体之间的作用力，都是沿着相互作用的物体的连线方向，而且相互作用的物体的运动速度都在常速范围内。
三、牛顿三大定律的相关知识1.牛顿运动定律中的各定律互相独立，且内在逻辑符合自洽一致性。
其适用范围是经典力学范围，适用条件是质点、惯性参考系以及宏观、低速运动问题。
牛顿运动定律阐释了牛顿力学的完整体系，阐述了经典力学中基本的运动规律，在各领域上应用广泛。
2.牛顿运动定律是力学中重要的定律，是研究经典力学甚至物理学的基础，阐述了经典力学中基本的运动规律。
该定律的适用范围为由牛顿第-运动定律所给出惯性参考系，并使人们对物理问题的研究和物理量的测里有意义。
3.牛顿运动定律只适用宏观问题。
当考察的物体的运动线度可以和该物体的德布罗意波相比拟时，由粒子运动不确定性关系式可知，该物体的动里和位置已不能同时准确获知，故牛顿动力学方程缺少准确的初始条件而无法求解，即经典的描述方法由于粒子运动不确定性关系时已经失效或者需要修改。
牛顿运动定律微分方程
牛顿运动定律微分方程一、引言牛顿运动定律是描述物体在力作用下运动规律的基本定律，而微分方程则是数学工具中描述变化和关系的重要方法之一。
本文将结合牛顿运动定律，探讨其微分方程形式及其应用。
二、牛顿运动定律回顾牛顿运动定律是牛顿力学的核心内容，包括三个定律：1. 第一定律，也称为惯性定律，指出物体在没有外力作用时保持匀速直线运动或静止状态。
2. 第二定律，也称为运动定律，表明物体受到的力与其加速度成正比，且与物体的质量成反比。
3. 第三定律，也称为作用-反作用定律，指出两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
三、牛顿运动定律的微分方程形式根据牛顿运动定律可推导出微分方程形式，以描述物体在力作用下的运动。
1. 对于一维运动，根据第二定律可得到：F = ma = m(dv/dt)，其中F为作用在物体上的力，m为物体的质量，a为物体的加速度，v为物体的速度，t为时间。
该方程可以进一步变换为：F = m(d^2x/dt^2)，其中x为物体的位移。
这是物体在一维情况下的牛顿运动定律微分方程形式。
2. 对于二维或三维运动，可将物体的运动分解为各个方向上的独立运动，并分别应用牛顿运动定律得到相应的微分方程。
四、牛顿运动定律微分方程的应用牛顿运动定律微分方程在物理学和工程学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：1. 力学研究：通过解牛顿运动定律微分方程，可以研究物体在不同力作用下的运动规律，例如自由落体、抛体运动等。
2. 振动系统：振动系统中的物体受到弹簧力或重力的作用，可以通过牛顿运动定律微分方程描述其振动过程，如简谐振动、受阻尼力作用的振动等。
3. 电路分析：电路中的元件受到电压和电流的作用，可以通过牛顿运动定律微分方程描述电路中元件的响应，如电感、电容和电阻等元件的电流和电压关系。
4. 控制系统：控制系统中的物体受到外部控制力的作用，可以通过牛顿运动定律微分方程描述其动态响应，如机械控制系统、自动驾驶系统等。
质点动力学 牛顿运动定律
M
N1
aM N 2 Mg
N2
mg
amM
am amM aM
M： m： amM cos aM
x aM
y
0
amM sin
N 2 sin Ma M N 1 N 2 cos Mg 0
N 2 sin m(amM cos aM ) N 2 cos mg ma mM sin
解：（1）
mg F ma
dv dv 2lsg 1 xsg 2 sl 2lsv dt dx
A B x o
x
1 x vdv (1 ) gdx 2l v x 1 x 0 vdv 0 (1 2l ) gdx
2 1 2 1 x x 1 gx v (x ) g 0 v 2 gx 2l 2 2l
x
1-37 一根长为L、质量均匀的软绳，挂在一 半径根小的光沿木钉上，如图。开始时，BC =b. 试证：当BC = 2L/3时，绳的加速度为 a=g/3，速度为: 2 g 2 v ( L2 bL b 2 ) L 9 B 证明：设在任意时刻 t L-x AB L x, BC x
A
v N mg sin m R
2
N
dv dvds dv v dt dsdt Rd
mg
vdv Rg cos d
vdv
0
v
0
Rg cos d
A
1 2 v Rg sin 2
N
y
v 2 Rg sin
v N mg sin m R
fr
m