2015年高考文科数学真题答案全国卷1

2015年高考文科数学试卷全国卷1（解析版）

参考答案

1．D 【解析】

试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A ∩B={8,14},故选D 、 考点：集合运算 2．A 【解析】

试题分析：∵AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r =（3,1），∴BC =u u u r AC AB -u u u r u u u r

=(-7,-4)，故选A 、

考点：向量运算 3．C 【解析】

试题分析：∴(1)1z i i -=+，∴z=2

12(12)()

2i i i i i i ++-==--，故选C 、 考点：复数运算 4．C 【解析】

试题分析：从1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取3个不同得数共有10种不同得取法，其中得勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数得取法只有1种，故所求概率为1

10

，故选C 、 考点：古典概型 5．B 【解析】

试题分析：∵抛物线2

:8C y x =得焦点为（2,0），准线方程为2x =-，∴椭圆E 得右焦点为（2,0），

∴椭圆E 得焦点在x 轴上，设方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，c=2，

∵12

c e a ==，∴4a =，∴222

12b a c =-=，∴椭圆E 方程为

2211612x y +=， 将2x =-代入椭圆E 得方程解得A （-2,3），B （-2，-3），∴|AB|=6，故选B 、

考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质 6．B 【解析】

试题分析：设圆锥底面半径为r ，则

12384r ??=，所以16

3

r =

，所以米堆得体积为211163()5433????=

3209，故堆放得米约为320

9

÷1、62≈22，故选B 、 考点：圆锥得性质与圆锥得体积公式

7．B 【解析】

试题分析：∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +??=+??，解得1a =12

，∴101119

9922

a a d =+=

+=，故选B 、 考点：等差数列通项公式及前n 项与公式

8．D 【解析】

试题分析：由五点作图知，1

+42

53+42

πω?π

ω??=????=??，解得=ωπ，=4π?，

所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4

k x k k Z π

ππππ<+<+∈，解得124k -

＜x ＜3

24

k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -

，3

24

k +），k Z ∈，故选D 、 考点：三角函数图像与性质

9．C 【解析】

试题分析：执行第1次，t=0、01,S=1,n=0,m=12=0、5,S=S-m=0、5,2

m

m ==0、25,n=1,S=0、5＞t=0、01,就是，循环，

执行第2次，S=S-m =0、25,2m

m ==0、125,n=2,S=0、25＞t=0、01,就是，循环， 执行第3次，S=S-m =0、125,2m

m ==0、0625,n=3,S=0、125＞t=0、01,就是，循环，

执行第4次，S=S-m=0、0625,2m

m ==0、03125,n=4,S=0、0625＞t=0、01,就是，循环，

执行第5次，S=S-m =0、03125,2m

m ==0、015625,n=5,S=0、03125＞t=0、01,就是，循环，

执行第6次，S=S-m=0、015625,2

m

m ==0、0078125,n=6,S=0、015625＞t=0、01,就是，循

环，

执行第7次，S=S-m=0、0078125,2

m

m ==0、00390625,n=7,S=0、0078125＞t=0、01,否，输出n=7，故选C 、 考点：程序框图 10．A 【解析】

试题分析：∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1

()223a f a -=-=-，则121a -=-，此等式显然

不成立，

当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =， ∴(6)f a -=(1)f -=117

224

---=-

，故选A 、 考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质 11．B 【解析】

试题分析：由正视图与俯视图知，该几何体就是半球与半个圆柱得组合体，圆柱得半径与球得半径都为r ，圆柱得高为2r ，其表面积为221

42222

r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B 、

考点：简单几何体得三视图；球得表面积公式；圆柱得测面积公式 12．C 【解析】

试题分析：设(,)x y 就是函数()y f x =得图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知知（,y x --）在函数2

x a

y +=得图像上，∴2y a x -+-=，解得

2log ()y x a

=--+，即

2()log ()f x x a

=--+，

∴

22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C 、

考点：函数对称；对数得定义与运算 13．6 【解析】

试题分析：∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 就是首项为2，公比为2得等比数列，

∴2(12)

12612

n n S -=

=-，∴264n =，∴n=6、 考点：等比数列定义与前n 项与公式 14．1 【解析】

试题分析：∵2

()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+，

又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴27

3112

a a +-=+-，解得a =1、

考点：利用导数得几何意义求函数得切线；常见函数得导数； 15．4 【解析】

试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直

线l :z=3x+y 过点A 时，z 取最大值，由2=0

21=0

x y x y +-??-+?解得A （1,1），∴z=3x+y 得最大值为

4、

考点：简单线性规划解法 16．126 【解析】

试题分析：设双曲线得左焦点为1F ，由双曲线定义知，1||2||PF a PF =+， ∴△APF 得周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12||a PF ++|AF|=|PA|+1||PF +|AF|+2a ， 由于2||a AF +就是定值，要使△APF 得周长最小，则|PA|+1||PF 最小，即P 、A 、1F 共线， ∵()

0,66A ，1F （－3,0），∴直线1AF 得方程为

1366x +=-，即326

x =-代入2

2

18

y x -=整理得266960y y +-=，解得26y =或86y =-(舍)，所以P 点得纵

坐标为26，

∴11APF AFF PFF S S S ???=-=

11

66662622

??-??=126、

考点：双曲线得定义；直线与双曲线得位置关系；最值问题 17．（Ⅰ）1

4

（Ⅱ）1 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将2

sin 2sin sin B A C =化为变得关系，结合条件a b =，用

其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B 得余弦值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知

22b ac =，根据勾股定理与即可求出c ，从而求出ABC ?得面积、

试题解析：（Ⅰ）由题设及正弦定理可得22b ac =、 又a b =，可得2b c =,2a c =,

由余弦定理可得2221

cos 24

a c

b B a

c +-=

=、 （Ⅱ）由(1)知22b ac =、

因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=、

故222a c ac +=，得c a =、 所以D ABC 得面积为1、

考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力

18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】 试题分析：（Ⅰ）由四边形ABCD 为菱形知AC ^BD ，由BE ^平面ABCD 知AC ^BE ，由线面垂直判定定理知AC ^平面BED ，由面面垂直得判定定理知平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）设AB=x ，通过解直角三角形将AG 、GC 、GB 、GD 用x 表示出来，在Rt D AEC 中，用x 表示EG ，

在Rt D EBG 中，用x 表示EB ，根据条件三棱锥E ACD -得体积为3

x ，即可求出三棱锥E ACD -得侧面积、 试题解析：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ^BD ， 因为BE ^平面ABCD ，所以AC ^BE ，故AC ^平面BED 、 又AC ì平面AEC ，所以平面AEC ^平面BED

（Ⅱ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，由DABC=120°，可得x ,GB=GD=2

x 、

因为AE ^EC ，所以在Rt D AEC 中，可得EG=

2

x 、

由BE ^平面ABCD ，知D EBG 为直角三角形，可得BE=

2

x 、

由已知得，三棱锥E-ACD 得体积311

32

243

E ACD V AC GD BE x -=醋?=、故x =2

从而可得、

所以D EAC 得面积为3，D EAD 得面积与D ECD

故三棱锥E-ACD 得侧面积为

考点：线面垂直得判定与性质；面面垂直得判定；三棱锥得体积与表面积得计算；逻辑推理能力；运算求解能力

19．

（Ⅰ）y c =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 得回归方程类型（Ⅱ）

$100.6y =+46、24

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合得函数；（Ⅱ）

令w =

先求出建立y 关于w 得线性回归方程，即可y 关于x 得回归方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用y 关于x 得回归方程先求出年销售量y 得预报值，再根据年利率z 与x 、y 得关系为z=0、2y-x 即可年利润z 得预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）得结果知，年利润z 得预报值，列出关于x 得方程，利用二次函数求最值得方法即可求出年利润取最大值时得年宣传费用、

试题解析：

（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 得回归方程类型、

（Ⅱ）令w =

，先建立y 关于w 得线性回归方程，由于$8

1

8

2

1

()()

()

i

i

i i

i w w y

y d

w w ==--=-∑∑=

108.8

=6816

， ∴$c

y dw =-$=563-68×6、8=100、6、 ∴y 关于w 得线性回归方程为$100.668y w =+， ∴y 关于x 得回归方程为

$100.6y =+

（Ⅲ）(ⅰ)由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 得预报值

$100.6y =+、6，

576.60.24966.32z

=?-=$、 （ⅱ）根据（Ⅱ）得结果知，年利润z 得预报值

0.2(100.620.12z

x x =+-=-+$，

=

13.6=6.82

，即46.24x =时，z

$取得最大值、 故宣传费用为46、24千元时，年利润得预报值最大、……12分

考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识

20．

（Ⅰ）桫

（Ⅱ）2

【解析】 试题分析：（Ⅰ）设出直线l 得方程，利用圆心到直线得距离小于半径列出关于k 得不等式，即可求出k 得取值范围；（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，将直线l 方程代入圆得方程化为关于x 得一元二次方程，利用韦达定理将1212,x x y y 用k 表示出来，利用平面向量数量积得坐

标公式及12OM ON ?=u u u u r u u u r

列出关于k 方程，解出k ，即可求出|MN|、

试题解析：（Ⅰ）由题设，可知直线l 得方程为1y kx =+、

因为l 与C

1<、

解得

443

3

k -<<

所以k

得取值范围就是桫

、

（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y 、 将1y kx =+代入方程()

()2

2

231x y -+-=,整理得22(1)-4(1)70k x k x +++=,

所以121222

4(1)7

,.11k x x x x k k

++=

=++

2121212122

4(1)1181k k OM ON x x y y k x x k x x k u u u u r u u u r +?+=++++=++,

由题设可得2

4(1)

8=121k k k +++，解得=1k ，所以l 得方程为1y x =+、

故圆心在直线l 上，所以||2MN =、

考点：直线与圆得位置关系；设而不求思想；运算求解能力

21．（Ⅰ）当0a ￡时，()f x ￠没有零点；当0a >时，()f x ￠存在唯一零点、（Ⅱ）见解析 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分0a ￡与0a >考虑()f x '得单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设()f x ￠在()0+￥

，得唯一零点为0

x ，根据()f x '得正负，即

可判定函数得图像与性质，求出函数得最小值，即可证明其最小值不小于2

2ln a a a

+，即证明了所证不等式、

试题解析：（Ⅰ）()f x 得定义域为()

0+￥

，，()

2()=20x a

f x e x x

￠->、

当0a ￡时,()0f x ￠>，()f x ￠没有零点； 当0a >时，因为2x e 单调递增，a

x

-单调递增，所以()f x ￠在()0+￥，单调递增、

又()0f a ￠>,当b 满足04a b <<

且1

4

b <时，(b)0f ￠<,故当0a >时，()f x ￠存在唯一零点、 （Ⅱ）由（Ⅰ），可设()f x ￠在()0+￥，得唯一零点为0

x ，当()0

0x x ?，时，()0f x ￠<;

当()0+

x x 违，时，()0f x ￠>、 故()f x 在(

)

00x ，单调递减，在(

)0+x ￥，单调递增，所以当0

x x =时，()f x 取得最小值，

最小值为0()f x 、 由于0

20

2=0x a e

x -

，所以00022

()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a ++?、 故当0a >时，2()2ln

f x a a a

?、 考点：常见函数导数及导数运算法则；函数得零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力、 22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60° 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由圆得切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE=DC ，OE=OB ，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE 就是圆O 得切线；（Ⅱ）设CE=1,

设AE=x ，

由直角三角形射影定理可得2AE CE BE =g ，列出关于x 得方程，解出x ，即可求出∠ACB 得大小、

试题解析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ， 在Rt △AEC 中，由已知得DE=DC ，∴∠DEC=∠DCE ， 连结OE ，∠OBE=∠OEB ，

∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE 就是圆O 得切线、

（Ⅱ）设CE=1，AE=x ,由已知得

由射影定理可得，2

AE CE BE =g ，

，解得x =

考点:圆得切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理 23．（Ⅰ）cos 2ρθ=-,2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）1

2

【解析】

试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 得极坐标方程；（Ⅱ）将将=

4

π

θ代入2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可

求出2C MN V

得面积、 试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 得极坐标方程为

cos 2ρθ=-，2C 得极坐标方程为

22cos 4sin 40ρρθρθ--+=、……5分

（Ⅱ）将=

4

π

θ代入2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得2

3240ρρ-+=，

解得1ρ=2，

2ρ2，|MN|=1ρ－2ρ2，

因为2C 得半径为1，则2C MN V

得面积o 121sin 452?=1

2

、 考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆得位置关系 24．（Ⅰ）2

{|2}3

x x <<（Ⅱ）

（2，+∞） 【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f(x)>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将

()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形得顶点坐标，即可求出三角形得面积，根

据题意列出关于a 得不等式，即可解出a 得取值范围、

试题解析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，

等价于11221x x x ≤-??

--+->?或111221x x x -<?或11221

x x x ≥??+-+>?，解得2

23x <<，

所以不等式f(x)>1得解集为2

{|

2}3

x x <<、 （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-??

=+--≤≤??-++>?

，

所以函数()f x 得图像与x 轴围成得三角形得三个顶点分别为21

(

,0)3

a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 得面积为22

(1)3

a +、

由题设得22

(1)3

a +＞6，解得2a >、

所以a 得取值范围为（2，+∞）、

考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法