高三数学第一轮复习课件——概率与统计
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《高三数学总复习》数学理新课标A版一轮总复习课件 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布列-4
(2)对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中 有且只有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作 A .从集合的 角度来看，事件 A 所含结果的集合是全集U中由事件A所含结果组 成的集合的补集，即A∪ A ＝U，A∩ A ＝∅.对立事件一定是互斥事 件，但互斥事件不一定是对立事件．
2种方法——求互斥事件的方法 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的 概率的和，运用互斥事件的求和公式计算； (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1 －P( A )，即运用逆向思维(正难则反)．
3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质 16 ______________. (1)概率的取值范围：□ 17 ________. (2)必然事件的概率P(E)＝□ 18 __________. (3)不可能事件的概率P(F)＝□ (4)概率的加法公式： 19 _____________. 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝□
解析：中国选手不输的概率为0.41＋0.27＝0.68.
答案：0.68
5．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取 一个数为b，则a＜b的概率为__________．
解析：从{1,2,3,4,5}中任取一数a，从{1,2,3}中任取一数b，共 有5×3＝15种取法，满足a＜b的有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3种，故所 3 1 求概率P＝ ＝ . 15 5
1．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次 反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．则下列结果正确的是 ( ) 1 1 A．P(M)＝3 P(N)＝2 1 1 B．P(M)＝2 P(N)＝2 1 3 C．P(M)＝ P(N)＝ 3 4 1 3 D．P(M)＝2 P(N)＝4
高三数学一轮复习 第11章第1课时课件
＝2 100 元．
两个计数原理的综合应用
对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理， 又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用， 并注意以下几点： (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理 解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情 的含义和标准是什么． (2)明 确 完 成 这 件 事 情 需 要 “ 分 类 ” 还 是 “ 分
2．混合问题一般是先分类再分步． 3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分
析更直观、清楚，便于探索规律．
从近两年的高考试题来看，分类加法计数 原理和分步乘法计数原理是考查的热 点．题型为选择题、填空题，分值在5分左 右，属中档题．两个计数原理较少单独考 查，一般与排列、组合的知识相结合命 题．
(2010·广东卷)为了迎接 2010 年广州亚运会，某大
楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每
个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜
色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 5
个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪
烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两
个闪烁的时间间隔均为 5 秒，如果要实现所有不
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一 步确定 a，由于 a<0，所以有 3 种确定方法； 第二步确定 b，由于 b>0，所以有 2 种确定方 法．由分步乘法计数原理，得到第二象限点 的个数是 3×2＝6.
(3)点 P(a，b)在直线 y＝x 上的充要条件是 a ＝b.因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素， 共有 6 种取法，即在直线 y＝x 上的点有 6 个．由(1)得不在直线 y＝x 上的点共有 36－ 6＝30(个)．
两个计数原理的综合应用
对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理， 又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用， 并注意以下几点： (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理 解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情 的含义和标准是什么． (2)明 确 完 成 这 件 事 情 需 要 “ 分 类 ” 还 是 “ 分
2．混合问题一般是先分类再分步． 3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分
析更直观、清楚，便于探索规律．
从近两年的高考试题来看，分类加法计数 原理和分步乘法计数原理是考查的热 点．题型为选择题、填空题，分值在5分左 右，属中档题．两个计数原理较少单独考 查，一般与排列、组合的知识相结合命 题．
(2010·广东卷)为了迎接 2010 年广州亚运会，某大
楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每
个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜
色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 5
个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪
烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两
个闪烁的时间间隔均为 5 秒，如果要实现所有不
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一 步确定 a，由于 a<0，所以有 3 种确定方法； 第二步确定 b，由于 b>0，所以有 2 种确定方 法．由分步乘法计数原理，得到第二象限点 的个数是 3×2＝6.
(3)点 P(a，b)在直线 y＝x 上的充要条件是 a ＝b.因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素， 共有 6 种取法，即在直线 y＝x 上的点有 6 个．由(1)得不在直线 y＝x 上的点共有 36－ 6＝30(个)．
高三数学概率与统计1
例如：在长为 1 的线段上任取两点，则这两点之间的距
离小于12的概率为
3 4
.
4.随机抽样 (1)简单随机抽样 实现简单随机抽样，主要有两种方法：抽签法和随机 数表法. (2)系统抽样 ①采用随机的方法将总体中的个体编号. ②确定分段间隔. ③在第 1 段用简单随机抽样确定起始的个体编号. ④按照事先确定的规则抽取样本. (3)分层抽样 当已知总体由差异明显的几部分组成时常用分层抽 样.
B
)
பைடு நூலகம்
A.s2＞m i＝1
B.s2＜m
C.s2＝m
D.s2 与 m 无法比较大小
③某班 40 人随机平均分成两组，两组学生一次考试的
成绩情况如下表：
统计量
组别
平均分
方差
第1组
80
16
第2组
90
36
则全班的平均分为 85 ，方差为 51 .
精品回扣练习
1.(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,
第 10 讲 概率与统计
高考要点回扣
1.随机事件的概率 (1)随机事件的概率 0≤P(A)≤1(若事件 A 为必然事件，则 P(A)＝1，若事 件 A 为不可能事件，则 P(A)＝0). (2)古典概型 P(A)＝mn (其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数， m 为事件 A 在试验中包含的基本事件个数).
3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P
的横、纵坐标，则点 P 在直线 x＋y＝5 下方的概率
为 1
A.6 1
C.12
( A) 1 B.4 1 D.9
解析 位于 x＋y＝5 下方的点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)， (2,2)，(3,1)共 6 个， ∴P＝366＝16.
高三数学 概率与统计 ppt课件
4、离散型随机变量：
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出， 这样的随机变量叫做离散型随机变量。
引例1:抛掷一枚骰子,设得到的点数为ξ,则ξ的可能取 值为__1_,2_,_3,_4,_5_,6,ξ取各值的概率分别为____ 用表格表示为:
ξ1 2 3 4 5 6
11 111 1
P6 6 6 6 6 6
引例2:在写有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，抽 取两张，记ξ为这两张卡片的数字之和，则ξ的可能 取值与ξ取各值的概率用表格表示为
ξ3 4 5 6789
P
1 10
1 10
1 5
1111
5
5 10 10
1、分布列
设离散型随机变量 ξ可能取的值为
x , x , x ,x ,,
123
i
ξ取每一个值 xi (i 1,2,的) 概率 P( xi ) pi
问： 3, 9 表示什么意思？
引例2：某次产品检验，在可能含有次品的100件 产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品数的 的结果。
我们用表示含有的次品数 则是一个随机变量
0 表示含有0个次品； 1 表示含有1个次品； 2 表示含有2个次品；
3 表示含有3个次品； 4 表示含有4个次品；
例1 某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7的概率”
1、注意写法 2、一般的，离散型随机变量在某一范围内取值 的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
例2 一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为 二，两次分裂为四，如此继续分裂，设分裂n次 终止的概率是 1 (n 1,2,3,) ，记ξ为原物体在
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出， 这样的随机变量叫做离散型随机变量。
引例1:抛掷一枚骰子,设得到的点数为ξ,则ξ的可能取 值为__1_,2_,_3,_4,_5_,6,ξ取各值的概率分别为____ 用表格表示为:
ξ1 2 3 4 5 6
11 111 1
P6 6 6 6 6 6
引例2:在写有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，抽 取两张，记ξ为这两张卡片的数字之和，则ξ的可能 取值与ξ取各值的概率用表格表示为
ξ3 4 5 6789
P
1 10
1 10
1 5
1111
5
5 10 10
1、分布列
设离散型随机变量 ξ可能取的值为
x , x , x ,x ,,
123
i
ξ取每一个值 xi (i 1,2,的) 概率 P( xi ) pi
问： 3, 9 表示什么意思？
引例2：某次产品检验，在可能含有次品的100件 产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品数的 的结果。
我们用表示含有的次品数 则是一个随机变量
0 表示含有0个次品； 1 表示含有1个次品； 2 表示含有2个次品；
3 表示含有3个次品； 4 表示含有4个次品；
例1 某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7的概率”
1、注意写法 2、一般的，离散型随机变量在某一范围内取值 的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
例2 一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为 二，两次分裂为四，如此继续分裂，设分裂n次 终止的概率是 1 (n 1,2,3,) ，记ξ为原物体在
高三数学第一轮复习讲义
高三数学第一轮复习讲义高三数学第一轮复习讲义相互独立事件的概率一．复习目标：1．了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率； 2．会计算事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率．二．知识要点：1．相互独立事件的概念：．2．是相互独立事件，则次试验中某事件发生的概率是，则次独立重复试验中恰好发生次的概率是．三．课前预习：1．下列各对事件（1）运动员甲射击一次，“射中环”与“射中环”，（2）甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中环”与“乙射中环”，（3）甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”，（4）甲、乙二运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有（1），（3）．相互独立事件的有（2）．2．某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第次击中目标的概率是；②他恰好击中目标次的概率是；③他至少击中目标次的概率是，其中正确结论的序号①③ ． 3．件产品中有件次品，从中连续取两次，（1）取后不放回，（2）取后放回，则两次都取合格品的概率分别是．4．三个互相认识的人乘同一列火车，火车有节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是（）5．口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套只，白色手套只，现从中随机地取出两只手套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是（）甲多乙多一样多不确定四．例题分析：例1．某地区有个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的），假定工厂之间的选择互不影响．（1）求个工厂均选择星期日停电的概率；（2）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率．解：设个工厂均选择星期日停电的事件为．则．（2）设个工厂选择停电的时间各不相同的事件为．则，至少有两个工厂选择同一天停电的事件为．小结：个工厂均选择星期日停电可看作个相互独立事件．例2．某厂生产的产品按每盒件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒件产品中任抽件进行检验，若次品数不超过件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒产品中有件次品．（1）求该盒产品被检验合格的概率；（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．解: (1)从该盒件产品中任抽件，有等可能的结果数为种，其中次品数不超过件有种，被检验认为是合格的概率为．(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为．答：该盒产品被检验认为是合格的概率为；两次检验得出的结果不一致的概率为．例3．假定在张票中有张奖票（个人依次从中各抽一张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，（1）分别求第一，第二个抽票者抽到奖票的概率，（2）求第一，第二个抽票者都抽到奖票的概率．解：记事件：第一个抽票者抽到奖票，记事件：第一个抽票者抽到奖票，则（1）小结：因为，故A与B是不独立的．例4．将一枚骰子任意的抛掷次，问点出现（即点的面向上）多少次的概率最大？解：设为次抛掷中点出现次的概率，则，∵由，得，即当时，单调递增，当时，单调递减，从而最大．五．课后作业：班级学号姓名1．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数的正方体玩具）先后抛掷次，至少出现一次点向上的概率是 ( )2．已知盒中装有只螺口与只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第次才取得卡口灯炮的概率为：（）3．一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是；4．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.求该题被乙独立解出的概率。
新高考一轮复习人教A版9.5 二项分布与超几何分布正态分布课件(50张)
第九章 概率与统计
9. 5 二项分布与超几何分布、正态分布
1. 通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实 际问题. 2. 通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 3. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 通过具体实例，借助频率直方图的 几何直观，了解正态分布的特征. 4. 了解正态分布的均值、方差及其含义.
Z0 2 4
P
8 27
40 81
17 81
所以 E(Z)＝0×287＋2×8410＋4×1871＝18418.
【点拨】 在求 n 重伯努利试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的值，再准确利用
公式求概率.
(2020 辽宁调兵山一中高三月考)某检疫部门对可能遭受污染的某海产品在进入 餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售. 已知该海 产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格 相互没有影响. (1)求该海产品不能销售的概率； (2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利 40 元；如果该海产品不能销售，则每件 产品亏损 80 元(即获利－80 元). 已知一箱中有该海产品 4 件，记一箱该海产品获利 X 元，求 X 的分布列.
考点一 二项分布
命题角度 1 n 重伯努利试验 (2021 届湖南师大附中第二次月考)现有 4 个人去参加某项娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可
供参加者选择. 为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷 出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 Z＝|X－Y|，求随机变量 Z 的分布列与数 学期望 E(Z).
9. 5 二项分布与超几何分布、正态分布
1. 通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实 际问题. 2. 通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 3. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 通过具体实例，借助频率直方图的 几何直观，了解正态分布的特征. 4. 了解正态分布的均值、方差及其含义.
Z0 2 4
P
8 27
40 81
17 81
所以 E(Z)＝0×287＋2×8410＋4×1871＝18418.
【点拨】 在求 n 重伯努利试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的值，再准确利用
公式求概率.
(2020 辽宁调兵山一中高三月考)某检疫部门对可能遭受污染的某海产品在进入 餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售. 已知该海 产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格 相互没有影响. (1)求该海产品不能销售的概率； (2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利 40 元；如果该海产品不能销售，则每件 产品亏损 80 元(即获利－80 元). 已知一箱中有该海产品 4 件，记一箱该海产品获利 X 元，求 X 的分布列.
考点一 二项分布
命题角度 1 n 重伯努利试验 (2021 届湖南师大附中第二次月考)现有 4 个人去参加某项娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可
供参加者选择. 为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷 出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 Z＝|X－Y|，求随机变量 Z 的分布列与数 学期望 E(Z).
高考数学一轮总复习第十一章计数原理和概率2排列与组合课件理
A．60 种
B．63 种
C．65 种 答案 D
D．66 种
解析 共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使和为偶数，
则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数 2 个偶数，故不同的
取法有 C54＋C44＋C52C42＝66 种．
第十一页，共55页。
6．(2018·上海春季高考题)某校组队参加辩论赛，从 6 名学 生中选出 4 人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参 赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为________(结果用数值 表示)．
第2课时(kèshí) 排列与组合
第一页，共55页。
…2018 考纲下载… 1．理解排列、组合的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 3．能解决简单的实际问题． 请注意 1．排列、组合问题每年必考． 2．以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分 类讨论的思想及解决问题的能力． 3．以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合 进行考查．
第二十四页，共55页。
(6)(捆绑法)把甲、乙及中间 3 人看作一个整体，第一步先排 甲乙两人，有 A22 种方法；第二步从余下 5 人中选 3 人排在甲乙 中间，有 A53 种；第三步把这个整体与余下 2 人进行全排列，有 A33 种方法．故共有 A22·A53·A33＝720 种．
(7)(消序法)A277＝2 520. (8)(间接法)A77－2A66＋A55＝3 720. 位置分析法：分甲在排尾与不在排尾两类．
【解析】 甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排 尾的排法有：
方法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时 一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有 A52 种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A44 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑” 进行排列有 A22 种方法，所以这样的排法一共有 A52A44A22＝960 种 方法．
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
Page 12
目录 CONTENTS
第二章
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程
函数
2.10 函数模型及其应用
第一讲：三角函数
S ABC=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2ah，可得sinA=√15/8，sinC=√15/4。
∴cosA=7/8,cosC=1/4，
∴cos（A-C）=7/8 x 1/4 + √15/8 x √15/4
=11/16 c=2
A
b=2
h=√15/2
Page 21
B
C 1/2 a
1/2
C、﹙1，＋∞﹚
D、[1，＋∞﹚
解析：由于3x＞0，所以3x+1＞1，所以f（x）＞0，集合表示为（0，＋∞），答案为A
2、已知函数y=2x＋1的值域为（5,7），则对应的自变量x的范围为（
）
A、[2,3）
B、[2,3]
C、(2,3)
D、（2,3]
解析：根据题意：5＜2x+1＜7,解得2＜x＜3，用集合表示为（2,3），答案为C
A [1,2]
解析：解二元一次不等式x2 +2x-8≤0，可得-4≤x≤2，所以M为[-4,2]; 解不等式3x-2≥2x-1,可得x≥1,所以N为[1,＋∞﹚。此时我们可以应用数轴马 上解决问题：
-4 0 1 2
如图所示，阴影部分即为所求。答案：A 启示：掌握好数轴工具，在集合、函数问题（ B
B、﹙－∞，5]
）
D、[5，＋∞﹚
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第一步，编号 第二步，确定起始位置和读数方向
第三步，读数，抽取的样本号码构成样本
系统抽样
当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部 分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体， 得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样．
系统抽样的步骤
① 采用随机的方式将总体中的个体编号 ② 为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定 分段的间隔k， 当 N/n（N为总体中的个体的个数，n为样本容量） 是整数时，k= N/n ； 当N/n 不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩 下的总体中个体的个数N‘ 能被 n 整除，这时k = N’/n ③ 在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号 ④ 按照事先确定的规则抽取样本（通常是将l加上间隔 k，得到第2个编号 l+k,第3个编号 l+2k，这样继续下去 直到获取整个样本）
x2 2
1 相应的密度函数表示式是 f ( x) e 2
, x R
1 正态曲线的性质 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x (, )
1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交f ( x) 0 2)曲线关于直线x 对称 f ( x) f ( x)
概率与统计复习
随机变量 离散型随机变量
离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量ξ可能取的值为
ξ取每一个值 xi (i 1, 2,) 的概率 P( xi ) p则表 i
x1 , x2 ,, xi
xi …
ξ
x1
x2
…
P
p1
p2
…
pi
…
称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
离散型随机变量的分布列具有下述两个性质
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
…
k
k k Cn p (1 p)nk
…
n
1 1 P Cn0 p0 (1 p)n Cn p (1 p)n1 …
… Cnn pn (1 p)0
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作 ~ B(n, p)
E np, D np(1 p)
(1) pi 0, i 1 ， 2， 3， (2) p1 p2 p3 1
离散型随机变量的期望
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ p x1 p1 x2 p2 x3 p3 …… …… xn pn …… ……
称Eξ= x1 p1+ x2p2+…+ xn pn+… 为ξ的数学期望或平均数、 均值，数学期望又简称为期望。
几何分布
在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验次数ξ
1, 2,3.
ξ
P
P( k ) (1 p)
2 3
(1-p)2p
k 1
p
k …
…
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
1
p
…
…
(1-p)p
(1-p)k-1p
称ξ服从几何分布，并记
g (k , p) (1 p)k 1 p
“正面向上”记为0 “反面向上”记为1
0.3
0.2 0.1
试验结果
0
频率/ 组距
1
频率分布直方图
25.235
25.295 25.355 25.415
25.475
25.565
总体分布的估计的解题步骤
1、计算极差:随机变量最大值与最小值的差 2、决定组距与组数 （组距=极差/组数） 3、决定分点 4、列出频率分布表 5、画频率分布直方图
1 1 p E , D p p2
统计复习
统计学的基本思想：用样本去估计总体 抽样方法：简单随机抽样
设一个总体含有有限个个体，并记其个体数为N，如果通过 逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个 体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样 如果用简单随机抽样从个体数为N 的总体中抽取一个容量为 n 的样本，那么每个个体被抽到的概率都等于n/N
分层抽样
当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样 本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几个部 分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽 样叫做“分层抽样”，
总体分布的估计
样本的频率分布估计总体的概率分布 离散型总体分布估计
0.7 频率
0.6
频率分布条形图
连续型总体分布估计
0.5 0.4
标准正态分布表
在标准正态分布表中相应于 x 0 的值 ( x 0 )是指总体取值 小于 x 0 的概率，即
( x0 ) P( x x0 ) ( x0 0)
( x0 ) P( x x0 ) 1 ( x0 ) ( x0 0)
P( x x0 ) 1 P( x x0 ) 1 P( x x0 ) 1 ( x0 )
它体现了离散型随机变量取值的平均水平。
E (a b) aE b
5
离散型随机变量的方差
若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ P
x1 p1
x2 p2
… …
xi pi
… …
D ( x1 E )2 p1 ( x2 E )2 p2 ( xi E )2 pi
则这组数据的方差为
2 + ( x – x )2 +…+ ( x – x )2 ( x – x ) 1 2 n S2= n
二项分布
在一次试验中某事件发生的概率是p，在n次独立重复试验 中，试验中该事件发生的次数为ξ
0,1, 2,, n
k k P( k ) Cn p (1 p)nk
正态分布
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
, x (, )
( 0) 是参数,分别表示总体的平均数 式中的实数 、 与标准差，其分布叫做正态分布，图象被称为正态曲线
正态分布常记作 N ( , 2 )
标准正态分布
当时 0, 1 正态总体称为标准正态总体，记 N (0,1)
叫做随机变量ξ的均方差，简称ห้องสมุดไป่ตู้差
标准差 D 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与 波动，和期望的相对集中与分散的程度。
D E( E )2
D(aξ+ b)= a2· Dξ
一组数据的方差
在一组数：x1， x2 ，… x n 中，各数据的平均数为
1 x ( x1 x2 xn ) n
3) 在x 时位于最高点 f ( x) max f ( )
1 2
4) 当x 时，曲线上升；当x 时，曲线下降 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐进线. 5）一定时，曲线的形状由确定 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； 越小．曲线越“瘦高”，总体分布越集中
简单随机抽样体现了抽样的公平性
简单随机抽样的方法：抽签法
1）编号：先将总体中的所有个体编号
2）作标签：并把号码写在形状、大小相同的号签上；
3）然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀 搅拌。 4）抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取n次，就得 到一个容量为n的样本。
简单随机抽样的方法：用随机数表法进行抽取
( x0 ) ( x0 ) 1 P( x x0 ) P( x x0 ) 1
正态总体在任一区间取值概率。
一般的正态总体N , 2 ，均可以化为标准正态 总体N 0,1来研究。
x F x .
第三步，读数，抽取的样本号码构成样本
系统抽样
当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部 分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体， 得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样．
系统抽样的步骤
① 采用随机的方式将总体中的个体编号 ② 为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定 分段的间隔k， 当 N/n（N为总体中的个体的个数，n为样本容量） 是整数时，k= N/n ； 当N/n 不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩 下的总体中个体的个数N‘ 能被 n 整除，这时k = N’/n ③ 在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号 ④ 按照事先确定的规则抽取样本（通常是将l加上间隔 k，得到第2个编号 l+k,第3个编号 l+2k，这样继续下去 直到获取整个样本）
x2 2
1 相应的密度函数表示式是 f ( x) e 2
, x R
1 正态曲线的性质 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x (, )
1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交f ( x) 0 2)曲线关于直线x 对称 f ( x) f ( x)
概率与统计复习
随机变量 离散型随机变量
离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量ξ可能取的值为
ξ取每一个值 xi (i 1, 2,) 的概率 P( xi ) p则表 i
x1 , x2 ,, xi
xi …
ξ
x1
x2
…
P
p1
p2
…
pi
…
称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
离散型随机变量的分布列具有下述两个性质
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
…
k
k k Cn p (1 p)nk
…
n
1 1 P Cn0 p0 (1 p)n Cn p (1 p)n1 …
… Cnn pn (1 p)0
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作 ~ B(n, p)
E np, D np(1 p)
(1) pi 0, i 1 ， 2， 3， (2) p1 p2 p3 1
离散型随机变量的期望
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ p x1 p1 x2 p2 x3 p3 …… …… xn pn …… ……
称Eξ= x1 p1+ x2p2+…+ xn pn+… 为ξ的数学期望或平均数、 均值，数学期望又简称为期望。
几何分布
在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验次数ξ
1, 2,3.
ξ
P
P( k ) (1 p)
2 3
(1-p)2p
k 1
p
k …
…
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
1
p
…
…
(1-p)p
(1-p)k-1p
称ξ服从几何分布，并记
g (k , p) (1 p)k 1 p
“正面向上”记为0 “反面向上”记为1
0.3
0.2 0.1
试验结果
0
频率/ 组距
1
频率分布直方图
25.235
25.295 25.355 25.415
25.475
25.565
总体分布的估计的解题步骤
1、计算极差:随机变量最大值与最小值的差 2、决定组距与组数 （组距=极差/组数） 3、决定分点 4、列出频率分布表 5、画频率分布直方图
1 1 p E , D p p2
统计复习
统计学的基本思想：用样本去估计总体 抽样方法：简单随机抽样
设一个总体含有有限个个体，并记其个体数为N，如果通过 逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个 体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样 如果用简单随机抽样从个体数为N 的总体中抽取一个容量为 n 的样本，那么每个个体被抽到的概率都等于n/N
分层抽样
当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样 本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几个部 分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽 样叫做“分层抽样”，
总体分布的估计
样本的频率分布估计总体的概率分布 离散型总体分布估计
0.7 频率
0.6
频率分布条形图
连续型总体分布估计
0.5 0.4
标准正态分布表
在标准正态分布表中相应于 x 0 的值 ( x 0 )是指总体取值 小于 x 0 的概率，即
( x0 ) P( x x0 ) ( x0 0)
( x0 ) P( x x0 ) 1 ( x0 ) ( x0 0)
P( x x0 ) 1 P( x x0 ) 1 P( x x0 ) 1 ( x0 )
它体现了离散型随机变量取值的平均水平。
E (a b) aE b
5
离散型随机变量的方差
若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ P
x1 p1
x2 p2
… …
xi pi
… …
D ( x1 E )2 p1 ( x2 E )2 p2 ( xi E )2 pi
则这组数据的方差为
2 + ( x – x )2 +…+ ( x – x )2 ( x – x ) 1 2 n S2= n
二项分布
在一次试验中某事件发生的概率是p，在n次独立重复试验 中，试验中该事件发生的次数为ξ
0,1, 2,, n
k k P( k ) Cn p (1 p)nk
正态分布
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
, x (, )
( 0) 是参数,分别表示总体的平均数 式中的实数 、 与标准差，其分布叫做正态分布，图象被称为正态曲线
正态分布常记作 N ( , 2 )
标准正态分布
当时 0, 1 正态总体称为标准正态总体，记 N (0,1)
叫做随机变量ξ的均方差，简称ห้องสมุดไป่ตู้差
标准差 D 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与 波动，和期望的相对集中与分散的程度。
D E( E )2
D(aξ+ b)= a2· Dξ
一组数据的方差
在一组数：x1， x2 ，… x n 中，各数据的平均数为
1 x ( x1 x2 xn ) n
3) 在x 时位于最高点 f ( x) max f ( )
1 2
4) 当x 时，曲线上升；当x 时，曲线下降 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐进线. 5）一定时，曲线的形状由确定 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； 越小．曲线越“瘦高”，总体分布越集中
简单随机抽样体现了抽样的公平性
简单随机抽样的方法：抽签法
1）编号：先将总体中的所有个体编号
2）作标签：并把号码写在形状、大小相同的号签上；
3）然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀 搅拌。 4）抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取n次，就得 到一个容量为n的样本。
简单随机抽样的方法：用随机数表法进行抽取
( x0 ) ( x0 ) 1 P( x x0 ) P( x x0 ) 1
正态总体在任一区间取值概率。
一般的正态总体N , 2 ，均可以化为标准正态 总体N 0,1来研究。
x F x .