北京东城五中分校2016-2017学年八年级下学期期中数学试题(含解析)

北京五中分校2016—2017学年度第二学期期中考试直升班数学一、选择题（每题3分，共30分）1．若关于的x 方程230x x a ++=有一个根为1-，则a 的值为（ ）．A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】C【解析】解：将1x =-代入方程，130a ++=，所以2a =，故答案为：C ．2．二次函数224y x x =-++的最大值为（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】解：利用配方法配成顶点式，224y x x =-++2(211)4x x =--+-+ 2(1)5x =--+．当1x =时，y 有最大值为5，故答案为：C ．3．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,2)-，AB x ⊥轴于点B ，以原点O 为位似中心，将OAB △放大为原来的2倍，得到11OA B △，且点1A 在第二象限，则点1A 的坐标为（ ）．A ．(2,4)-B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(2,4)-D ．(2,4)【答案】A【解析】解：∵点A 的坐标为(1,2)-，以原点O 为位似中心， 将OAB △放大为原来的2倍，得11OA B △，且点1A 在第二象限， ∴点1A 的坐标为(2,4)-，故答案为：A ．4．在平面直角坐标系中，点B 的坐标为(3,1)，则点B 关于原点的对称点的坐标为（ ）．A ．(3,1)-B ．(3,1)-C ．(1,3)--D ．(3,1)--【答案】D【解析】解：一个点关于原点成中心对称，横纵坐标均变成相反数， 当(3,1)B 时，关于原点的对称点坐标为(3,1)--，故答案为：D ．5．某学校组织学生进行社会主义核心价值观的知识竞赛，进入决赛的共有20名学生，他们的决赛成绩如下表所示：决赛成绩/分 9590 85 80人数4 682那么20名学生决赛成绩的众数和中位数分别是（ ）．A ．85，90B ．85，87.5C ．90，85D ．95，90【答案】B【解析】解：众数：一组数据中出现次数最多的数． 中位数：排序后，奇数列，中间位置的数；偶数列，中间． 两数的平均数，故答案为：B ．6．若二次函数2y x bx =+的图像的对称轴是经过点(2,0)且平行于x 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x =【答案】D【解析】解：对称轴22bx a=-=， ∴22b-=，则4b =-．∴245x x -=， 2450x x --=， (5)(1)0x x -+=．15x =，21x =-， 故答案为：D ．7．如图，在ABC △中，DE BC ∥，6AD =，3DB =，则ADEABCS S △△的值为（ ）．A ．12B ．23C ．45D ．49E BAD C【答案】D【解析】解：∵DE BC ∥， ∴62633AD AB ==+， ∴22439ADE ABC S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△， 故答案为：D ．8．如图，点D 、E 分别在ABC △的AB 、AC 边上，增加下列条件中的一个： ①8AED ∠=∠，②ADE C ∠=∠，③AE DE AB BC =，④AD AEAC AB=，⑤2AC AD AE =⋅， 使ADE △与ACB △一定相似的有（ ）．A ．①②④B ．②④⑤C ．①②③④D ．①②③⑤CDA BE【答案】A【解析】解：①AED B ∠=∠，且DAE CAB ∠=∠， ∴ADE ACB △△∽，成立． ②ADE C ∠=∠且DAE CAB ∠=∠， ∴ADE ACB △△∽，成立． ③AE DEAB BC=，但AED △比一定与B ∠相等，故ADE △与ACD △不一定相似． ④AD AEAC AB=且DAE CAB ∠=∠， ∴ADE ACB △△∽，成立．⑤由2AC AD AE =⋅，得AC AEAD AC=无法确定出ADE △， 故不能证明：ADE △与ABC △相似． 故答案为：A ．9．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 为斜边AB 的中点，动点P 从B 点出发，沿B C A →→运动，如图1所示，设S DPB y =△，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图像如图2所示，则ABC △的面积为（ ）．图1DPABC图2xy47OA ．4B ．6C ．12D ．14【答案】B【解析】解：∵D 是斜边AB 的中点， ∴根据函数的图像可知：4BC =，3AC =， ∵90ACB =︒△， ∴12ABC S AB =△，13462BC =⨯⨯=， 故答案为：B ．10．二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图像位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图像位于x 轴的上方，则m 的值为（ ）．A ．8B ．10-C ．42-D ．24-【答案】D【解析】解：∵抛物线22282(2)8y x x m x m =-+=--+的对称轴为直线2x =．由抛物线在21x -<<-时，它的图像位于x 轴的下方，当67x <<时，它的图像位于x 轴的上方． ∴抛物线过点(2,0)-(6,0)，将(2,0)-代入228y x x m =-+得24m =-， 故答案为：D ．二、填空题（每题3分，共18分）11．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为__________． 【答案】2820y x x =-+【解析】解：抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+向上平移2个单位， 再向右平移3个单位得：22(4)4820y x x x =-+=-+， 故答案为：2820y x x =-+． 12．若34a b =，则a bb +的值为_________． 【答案】74【解析】解：由34a b =得34a b =，设34a bk ==， ∴3a k =，4b k =． 原式34744a b k k b k ++===， 故答案为：74．13．ABC △的三边长分别为5，12，13，与它相似的DEF △的最小边长为15，则DEF △的周长为__________． 【答案】90【解析】相似三角形的周长比等于相似比， 则55121315DEFc ++=△， ∴90DEF c =△， 故答案为：90．14．如图，矩形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，则AFE △与BCF △的面积比等于__________．E CBAD【答案】1:4【解析】解：相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∵E 为AD 的中点，ABCD 为矩形， ∴12AE BC =， ∴21124AEF BCF S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△．15．如图是跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，以O 为横板AB 的中点，AB 绕点O 上下转动，横板AB 的B 端最大高度h 是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设2m AB =，0.5m OC =，通过计算得到此时的1h ，再将横板AB 换成横板A B ''，O 为横板A B ''的中点，且3m A B ''=，此时B '点的最大高度为2h ，由此得到1h 与2h 的大小关系是：1h __________2h （填“>、“=”或“<”）可进一步得出，h 随横板的长度的变化而__________（填“不变”或“改变”）．CA'B'OBA【答案】= 不变【解析】解：过B 作BD AD ⊥，B D A D ''''⊥， ∵OC 是ABD △与A B D '''△的中位线， ∴2BD B D OC ''==， ∴12h h =， 故答案为：12h h =．h 随横板的长度的变化而不变．A'B'D'D ABC O16．如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1:2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为__________． 【答案】10或8 【解析】解：如图所示： （1）当1AE =，2DE =时， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴3BC AD ==，AB CD =，AD BC ∥， ∴AEB CBE ∠=∠， ∵BE 平分ABC ∠， ∴ABE CBE ∠=∠， ∴ABE AEB ∠=∠， ∴1AB AE ==，∴平行四边形ABCD 的周长2()8AB AD =+=． （2）当2AE =，1DE =， 同理：2AB AE ==，∴平行四边形ABCD 的周长2()10AB AD =+=， 故答案为：10或8．DA BCE三、解答题（共52分）17．（每问3分）（1）分解因式22322mx mx x m -+--． （2）解方程：2610x x --=． 【答案】（1）见解析 （2）310±【解析】（1）22322mx mx x m -+--22(31)2(1)mx m x m =---+(2)(21)x mx m =-++．（2）2610x x --= 26910x x -+=2(3)10x -=130x =+．2310x =-．18．（5分）如图，ABC △中，D 为BC 上一点，BAD C ∠=∠，6AB =，4BD =，求CD 的长．CB AD【答案】5【解析】解：∵BAD BCA ∠=∠，ABD CBA ∠=∠， ∴ABD CBA △△∽， ∵6AB =，4BD =， ∴BD ABAB BC=． ∴236BC =， 则9BC =， ∵CD BC BD =-， ∴5CD =．19．（6分）已知：抛物线22(21)1y x m x m =+-+-经过坐标原点，且当0x <时，y 随x 的增大而减小．（1）求抛物线的解析式．（2）结合图像写出0y <时，对应的x 的取值范围．（3）设点A 是该抛物线上位于x 轴下方的一个动点，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D ，再作AB x ⊥轴于点B ，DC x ⊥轴于点C ，当1BC =时，直接写出矩形ABCD 的周长． 【答案】（1）2y x x =+ （2）03x << （3）6【解析】解：抛物线22(21)1y x m x m =+-+-经过原点， ∴210m -=， ∴1m =±，∵当0x <时，y 随x 的增大而减小， ∴02bx a=->， ∴2102m -->，12m <， ∴1m =-，∴抛物线解析式为：23y x x =-． （2）当0y <时，230x x -<， 由图像得：03x <<．（3）根据二次函数的对称性当1BC =时，32x =， ∴(1,0)B ，(2,0)C ， 将1x =代入23y x x =-， ∴2y =-．∴(1,2)A -，(2,2)D -， ∴矩形ABCD 的周长为：6．1212120DA B Cxy20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数2y x =与反比例函数ky x=的图像交于A 、B 两点，点A 的横坐标为2，AC x ⊥轴于点C ，连接BC ．（1）求反比例函数的表达式． （2）若点P 是反比例函数ky x=图像上一点，且满足OPC △的面积是ABC △面积的一半，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）8y x=（2）(2,4)P 或(2,4)P --【解析】解：（1）将2x =代入2y x =，得4y =， ∴(2,4)A ，将(2,4)A 代入解析式ky x=中． 解得，8k =， ∴8y x=． （2）根据反比例函数和正比例函数的中心对称性可得：A 与B 关于原点成中心对称，∴(2,4)B --， ∵AC x ⊥轴， ∴(2,0)C ，∵ABC AOC BOC S S S =+△△△，∴11||22ABC A B S OC y OC y =⋅+⋅△，11242422=⨯⨯+⨯⨯ 8=．∵12OPC ABC S S =△△，∴14||2OPC P S OC y ==⋅△，∴||4P y =， ∴当4P y =时，84x=，2x = ∴(2,4)P ， 当4P y =-时，84x-=，2x =， ∴(2,4)P --．综上所述：P 点坐标为(2,4)或(2,4)--．OxyAB C21．（5分）列方程或方程组解应用题：某公司在2013年的盈利额为200万，预计2015年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年级盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年均增长率是多少？【答案】10%【解析】解：设年平均增长率为x ，由题意得：2200(1)242x +=， 解得1110x =，22110x =-（舍）， 答：年平均增长率为10%．22．（6分）如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且ADE BAD ∠=∠，AE AC ⊥．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形．（2）如果DA 平分BDE ∠，5AB =，6AD =，求AC 的长．DA BCE F【答案】（1）见解析（2）485【解析】解（1）∵ADE BAD ∠=∠，∴AB DE ∥．∵AC AE ⊥，BD AC ⊥，∴AE BD ∥，∴四边形ABDE 是平行四边形．（2）∵DA 平分BDE ∠，∴ADE BDA ∠=∠，∴AB BD =，23．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28161(0)y mx mx m m =-+->与x 轴的交点分别为1(,0)A x ，2(,0)B x ．（1）求证：抛物线总与x 轴有两个不同的交点．（2）若2AB =，求此抛物线的解析式．（3）已知x 轴上两点(2,0)C ，(5,0)D ，若抛物线 28161(0)y mx mx m m =-+->与选段CD 有交点，请写出m 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）2815y x x =-+（3）14m ≥ 【解析】（1）当0y =时，281610mx m m -+-=224644(161)b ac m m m ∆=-=--264644m m m =-+4m =．∴0m >．∴40m >，∴0∆>，∴抛物线总与x 轴有两个不同的交点．（2）∵2b x a =-， ∴842m x m-=-=， ∵2AB =，∴(3,0)A ，(5,0)B ，将(3,0)代入28161y mx mx m =-+-中，解得：1m =．∴此时抛物线解析式为2815y x x =-+．（3）42b x a=-=， 将(2,0)代入28161y mx mx m =-+-中， 解得：14m =． ∵抛物线开口向上，当2x =时y ≥0，且抛物线与线段CD 有交点． ∴14m ≥．24．（6分）在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 是对角线AC 上任意一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF AE =，连接BE 、EF ．（1）如图1，当 E 是线段AC 的中点时，易证BE EF =．（2）如图2，当点E 不是线段AC 的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：__________（填“成立”或“不成立”）．（3）如图3，当点E 不是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由．图1D AC EB F 图2B F D AC E 图3D A B CE F【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）证明见解析【解析】解：（1）∵菱形ABCD ，60ABC ∠=︒，∴AB BC AC ==，BE AC ⊥，∵E 为AC 中点，AE CF =，∴CE CF =，∴30F CEF ∠=∠=︒，∴120BEF ∠=︒，∴30EBF ∠=︒，∴BE EF =．（2）成立，取AH AE =，连HE ，∵菱形ABCD ，60ABC ∠=︒，∴AB BC AC ==，60BAC ABC ∠=∠=︒， ∵AH AE =，60HAE ∠=︒，∴AHE △为等边三角形．∴HB EC =，120BHE ECF ∠=∠=︒，∵AE CF =，∴HE CF =，在HBE △和CEF △中，HE CF BHE ECF BH CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴HBE △≌(SAS)CEF △，∴BE EF =．DH ABC E F（3）成立． 取AH AE =，连HE ，由（2）得：ABC △、AEH △均为等边三角形， ∴AH AE HE ==，AB AC =，60H ACB ECF ∠=∠=∠=︒， ∵AE CF =，∴HE CF =，∴BH CE =，在BHE △和ECF △中，BH CE H ECF HE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BHE △≌(SAS)ECF △，∴BE EF =．MF E C BA D25．（7分）已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为1y ，2y ，都有点1(,)x y 、2(,)x y 关于点(,)x x 对称，则称这两个函数为关于y x =的对称函数，例如，112y x =和232y x =为关于y x =的对称函数， （1）判断：①13y x =和2y x =；②11y x =+和21y x =-；③211y x =+和221y x =-，其中为关于y x =的对称函数的是__________（填序号）． （2）若132y x =+和2(0)y kx b k =+≠为关于y x =的对称函数． ①求k 、b 的值．②对于任意的实数x ，满足x m >时，12y y >恒成立，则m 满足的条件为__________．（3）若21(0)y ax bx ca =++≠和22y x n =+为关于y x =对称函数，且对于任意的实数x ，都有12y y <，请结合函数的图像，求n 的取值范围．【答案】（1）②（2）①1k =-，2b =-；②1m -≥（3）14n > 【解析】解：（1）①13y x =和2y x =， 123222y y x x x x ++==≠， ∴1y 和2y 不关于y x =对称，②11y x =+和21y x =-，121122y y x x x +++-==， ∴1y 和2y 关于y x =对称，③211y x =+和221y x =-，222121122y y x x x x +++-==≠， ∴1y 和2y 不关于y x =对称，（2）①132y x =+和2(0)y kx b k =+≠为关于y x =的对称函数， 得：322x kx b x +++=， ∴(3)(2)2k x b x +++=， ∴32k +=，20b +=， 则1k =-，2b =-， ②当x m >时，12y y >恒成立得： 322x x +>--，1x >-， ∴1m -≥，（3）由21(0)y ax bx c a =++≠和22y x n =+为关于y x =的对称函数， 得：222ax bx c x n x ++++=， 计算得出：1a =-，2b =，c n =-． 对于任意的实数x ，都有12y y <， 得：222x n x x n +>-+-， 化简得：20x x n -+>， 2(1)410n ∆=--⨯⨯<， ∴14n >．。