迎春杯六年级复赛试题与解析

2014“数学解题能力展示”读者评选活动复赛试题小学六年级（2０１4年２月6日）一、选择题（每小题8分，共32分)１．算式5258+172014201.42⨯÷-⨯的计算结果是( )． A.15 B ．16 C.17 Ｄ.182.对于任何自然数,定义!123n n =⨯⨯⨯⨯．那么算式2014!3!-的计算结果的个位数字是（ ）． A.２ Ｂ.4 Ｃ．６ D ．83.统统在计算有余数的除法时,把被除数472错看成了427,结果商比原来小5,但余数恰好相同,那么这个余数是( ）．A ．４B ．5 Ｃ.６ D.74．下图中,正八边形ABCDEFGH 的面积为１,其中有两个正方形ACEG 和PQRS .那么正八边形中阴影部分的面积（).H AA.12 B ．23 C ．35 D ．58二、选择题(每题10分,共７0分）5．右面竖式成立时的除数与商的和为（ ）．12642A.５89B.6５3C.７２3D.7336．甲乙丙三人进行一场特殊的真人C Ｓ比赛，规定：第一枪由乙射出，射击甲或者丙,以后的射击过程中,若甲被击中一次，则甲可以有６发子弹射击乙或丙,若乙被击中一次,则乙可以有5发子弹射击甲或丙，若丙被击中一次，则丙可以有4发子弹射击甲或乙,比赛结束后，共有１６发子弹没有击中任何人？则甲乙丙三人被击中的次数有( ）种不同的情况．A ．１ B.2 C.3 D ．４7．甲乙二人进行下面的游戏．二人先约定一个整数N ,然后由甲开始,轮流把1，2,3，4,5，6,7，8，9这九个数字之一填入下面任一方格中:□□□□□□,每一方格只填入一个数字，形成一个数字可以重复的六位数．若这个六位数能被N 整除，乙胜；否则甲胜.当N 小于15时，使得乙有必胜策略的N 有（ ）． Ａ．5 B.6 C ．7 D.８8.在纸上任意写一个自然数,把这张纸旋转180度,数值不变,如0、11、9６、８88等,我们把这样的数称为“神马数”．在所有五位数中共有( )个不同的“神马数”.A.1２B.36C.4８ Ｄ.6０９.如图,第(１)个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为3a ,第(2)个多边形由正方形“扩展”而来,边数记为4a ,……，依此类推,由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为n a (3n ≥ )，则34511112014++++6051n a a a a =,那么n =(）. (4)(3)(2)(1)A ．2０14B ．2０１5 Ｃ.２0１6 D ．２０１7１０.如右图所示,五边形ABCDEF 面积是2014平方厘米,BC 与CE 垂直于C 点,EF 与CE 垂直于E 点,四边形ABDF 是正方形,:3:2CD DE =.那么,三角形ACE 的面积是 （ ）平方厘米.FECB AＡ.１32５ B ．1４0０ C.1475 D ．１５０011.甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车的速度大于乙车．甲行驶了6０千米后和乙车在C点相遇．此后甲车继续向前行驶，乙车掉头与甲车同向行驶.那么当甲车到达B地时，甲乙两车最远相距()千米.A.1０B．15 C.25 D．30三、选择题(每题1２分,共4８分）12．在“爸爸去哪儿”的节目中有一个任务，五个参加任务的孩子(天天、石头、Kｉｍｉ、Cindy、Ange ｌa)需要换爸爸(每个小朋友可以选择除了自己爸爸之外其他四位父亲中的任何一位),那么最终五人有( )种不同的选择结果．Ａ.40 B.44 C．４８ D.5213．老师在黑板上从1开始将奇数连续地写下去，写了一长串数后，擦去了其中的两个数,将这些奇数隔成了3串,已知第二串比第一串多1个数，第三串比第二串多1个数,且第三串奇数和为4147,那么被划去的两个奇数的和是（)．A.18８B.１78C.１68D．15814.从一张大方格纸上剪下5个相连的方格（只有一个公共顶点的两个方格不算相连），要使剪下的图形可折叠为一个无盖的正方体,则共可以剪出（）种不同的图形（经过旋转或翻转相同的图形市委同一种）．Ａ.８Ｂ．9 Ｃ．１0 D．1１１5．老师把某个两位数的六个不同约数分别告诉了A F六个聪明诚实的同学.A和B同时说：“我知道这个数是多少了．”C和D同时说：“听了他们两人的话,我也知道这个两位数是多少了．”E：“听了他们的话，我知道我的数一定比F的大．”F:“我拿的数的大小在C和D之间．”那么六个人拿的数之和是( )Ａ.141 B．1５２ C.171 D.1７5ﻬ２014“数学解题能力展示”读者评选活动复赛试题小学六年级参考答案部分解析一、选择题（每小题8分,共32分)１.算式5258+172014201.42⨯÷-⨯的计算结果是( ）.A.15Ｂ.16C．17D．18【考点】计算【难度】☆☆【答案】D【解析】5258+1200 1.4201.41 72014201.42201.410201.42201.488⨯÷+=== -⨯⨯-⨯⨯2．对于任何自然数，定义!123n n=⨯⨯⨯⨯．那么算式2014!3!-的计算结果的个位数字是( ）．A.2B．４ C.６D．8【考点】定义新运算【难度】☆☆【答案】Ｂ【解析】2014!个位数字是0,3!1236=⨯⨯=，所以2014!3!-个位是4．3.童童在计算有余数的除法时,把被除数47２错看成了427，结果商比原来小５,但余数恰好相同,那么这个余数是（).A．4 B.5 C．6 Ｄ.7【考点】整除同余【难度】☆☆【答案】Ａ【解析】除数=(472427)59-÷=，4724(mod9)≡,所以余数是４．4．下图中，正八边形ABCDEFGH的面积为1,其中有两个正方形ACEG和PQRS．那么正八边形中阴影部分的面积()．HAＡ.12B.23Ｃ．35D．58【考点】几何【难度】☆☆☆【答案】A【解析】等积变形.H AAH H A所以刚好各占一半． 二、选择题(每题10分，共70分)５.右面竖式成立时的除数与商的和为().12642A.５89 B ．653 C ．72３ D ．７３3 【考点】数字谜 【难度】☆☆☆ 【答案】C【解析】首先根据倒数第三行可以确定0A =，4B =;241ECB A 60D22112611322440854815252824160120再根据顺数第三行最后一位为１可以确定，第一行D 和C 的取值为(1，１)或(3,7)或(9,9)或(7，3),根据尝试只有（1,１）符合题意．再依次进行推理,可得商和除数分别为：142和581.６．甲乙丙三人进行一场特殊的真人CS 比赛,规定:第一枪由乙射出,射击甲或者丙，以后的射击过程中,若甲被击中一次,则甲可以有6发子弹射击乙或丙,若乙被击中一次,则乙可以有５发子弹射击甲或丙，若丙被击中一次,则丙可以有4发子弹射击甲或乙,比赛结束后，共有１6发子弹没有击中任何人？则甲乙丙三人被击中的次数有（ )种不同的情况.A.1 B ．2 C.３ Ｄ.4 【考点】不定方程 【难度】☆☆☆ 【答案】Ｂ【解析】设甲乙丙分别被击中x 、y 、z 次则三人分别发射6x 、51y +，4z 次[6(51)4]()16x y z x y z +++-++=化简得54315x y z ++=7.甲乙二人进行下面的游戏.二人先约定一个整数N ,然后由甲开始,轮流把1，2,3,4,5，6,７，8,9这九个数字之一填入下面任一方格中:□□□□□□,每一方格只填入一个数字,形成一个数字可以重复的六位数.若这个六位数能被N 整除,乙胜;否则甲胜.当N 小于15时,使得乙有必胜策略的N 有( )． Ａ．5 B ．６ C.7 Ｄ．8 【考点】数论 【难度】☆☆☆ 【答案】B【解析】若N 是偶数,甲只需第一次在个位填个奇数,乙必败只需考虑N 是奇数．1N =，显然乙必胜.39N =，,乙只需配数字和1-8，2-7，3-6,4-5,9-9即可．5N =,甲在个位填不是５的数,乙必败．71113N =，，，乙只需配成100171113abcabc abc abc =⨯=⨯⨯⨯.8．在纸上任意写一个自然数，把这张纸旋转１80度，数值不变,如0、11、９6、8８8等,我们把这样的数称为“神马数”.在所有五位数中共有（ ）个不同的“神马数”.A.12 B ．36 Ｃ．４8 D ．60 【考点】数论 【难度】☆☆☆ 【答案】D【解析】设这个数为ABCBA ，A 位可以填11,88,69,96,4种情况，B 位可以填00,11,88,69,96,5种情况，C位可以填0,1,8,3种情况，453=60⨯⨯（个）.9.如图,第(1）个多边形由正三角形“扩展”而来,边数记为3a ，第（2)个多边形由正方形“扩展”而来,边数记为4a ,……，依此类推,由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为n a （3n ≥ )，则34511112014++++6051n a a a a =,那么n =( )．(4)(3)(2)(1)Ａ．2014Ｂ.２0１5C．２016D．2０１7【考点】找规律【难度】☆☆☆【答案】Ｃ【解析】33(22)34a=⨯+=⨯,44(23)45a=⨯+=⨯，55(24)56a=⨯+=⨯，……(21)(1)na n n n n=⨯+-=+，34511111111120143445(1)316051na a a a n n n++++=+++=-=⨯⨯⨯++,12017n+=，2016n=.10．如右图所示，五边形ABCDEF面积是2014平方厘米，BC与CE垂直于C点，EF与CE垂直于E点,四边形ABDF是正方形，:3:2CD DE=．那么，三角形ACE的面积是（）平方厘米.FECBAA．１３２5Ｂ．1400C．14７5D．1500【考点】几何【难度】☆☆☆【答案】A【解析】作正方形ABCD的“弦图”,如右图所示,IHGFEDCBA假设CD的长度为3a，DE的长度为2a，那么3BG a=,2DG a=，根据勾股定理可得2222229413BD BG DG a a a=+=+=，所以,正方形ABDF的面积为213a；因为CD EF=,BC DE=,所以三角形BCD和三角形DEF的面积相等为23a；又因为五边形ABCEF面积是２014平方厘米，所以222136192014a a a+==，解得2106a=, 三角形ACE的面积为：2255522a a a⨯÷=，即2510613252⨯=.１１．甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发,相向而行,甲车的速度大于乙车．甲行驶了60千米后和乙车在C点相遇.此后甲车继续向前行驶，乙车掉头与甲车同向行驶.那么当甲车到达B 地时,甲乙两车最远相距( ）千米.A ．10 Ｂ.15 Ｃ.25 D ．30 【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【答案】A【解析】假设甲走６0千米时,乙走了a 千米，甲到达B 地时，乙车应走26060a a a ⨯=千米，此时甲、乙相差最远为1(60)6060a a a a -=⨯-⨯，和一定,差小积大,60a a -=，30a =．甲、乙最远相差900301560-=（千米)．三、选择题（每题12分,共48分)12.在“爸爸去哪儿”的节目中有一个任务,五个参加任务的孩子（天天、石头、K ｉmi 、Ｃin ｄｙ、Ａngela ）需要换爸爸（每个小朋友可以选择除了自己爸爸之外其他四位父亲中的任何一位),那么最终五人有( )种不同的选择结果.A ．4０ B.44 Ｃ.4８ Ｄ.５2 【考点】排列组合 【难度】☆☆☆ 【答案】Ｂ【解析】设五个爸爸分别是A B C D E 、、、、，五个孩子分别是a b c d e 、、、、,a 有4种选择,假设a 选择B ,接着让b 选择，有两种可能,选择A 和不选择A ，（1)选择A ，c d e 、、 选择三个人错排，(2）不选择A ,则b c d e 、、、 选择情况同4人错排.所以5434()S S S =⨯+ 同理4323()S S S =⨯+ ，3212()S S S =⨯+，而10S =(不可能排错），21S =，所以32S =,49S =，544S =.１3．老师在黑板上从１开始将奇数连续地写下去,写了一长串数后，擦去了其中的两个数,将这些奇数隔成了3串,已知第二串比第一串多1个数，第三串比第二串多1个数,且第三串奇数和为４１47,那么被划去的两个奇数的和是( )．A.188 B ．17８ C.1６8 Ｄ.1５8 【考点】数论 【难度】☆☆☆ 【答案】Ｃ【解析】设第一段有n 个，则第2段有1n +个,第一个擦的奇数是21n +,第二个擦的奇数是45n +,和为66n +，是６的倍数.只有168符合．1４．从一张大方格纸上剪下5个相连的方格(只有一个公共顶点的两个方格不算相连），要使剪下的图形可折叠为一个无盖的正方体，则共可以剪出（ )种不同的图形(经过旋转或翻转相同的图形视为同一种）．Ａ．８ B ．9 C ．10 D ．11 【考点】立体几何 【难度】☆☆☆ 【答案】Ａ【解析】如下图15．老师把某个两位数的六个不同约数分别告诉了A F六个聪明诚实的同学．A和B同时说:“我知道这个数是多少了．”C和D同时说：“听了他们两人的话，我也知道这个两位数是多少了.”E：“听了他们的话，我知道我的数一定比F的大.”F:“我拿的数的大小在C和D之间．”那么六个人拿的数之和是（)A．１4１ B.１52 C．17１Ｄ.175【考点】数论【难度】☆☆☆☆【答案】A【解析】(1）这个数的因数个数肯定不低于6个（假定这个数为N,且拿到的6个数从大到小分别是、、、、、）A B C D E F(2）有两个人同时第一时间知道结果,这说明以下几个问题:第一种情况：有一个人知道了最后的结果，这个结果是怎么知道的呢？很简单，他拿到的因数在5099之间（也就是说A的２倍是3位数，所以A其实就是N）第二种情况：有一个人拿到的不是最后结果,但是具备以下条件：1）这个数的约数少于6个，比如：有人拿到36，单他不能断定N究竟是3６还是7２．2）这个数小于50，不然这个数就只能也是N了.3）这个数大于3３,比如：有人拿到29，那么他不能断定N是５8还是８7;这里有个特例是27,因为272=54⨯,因数个数少于6个，所以如果拿到２7可以判断⨯,因数个数不少于6个;273=81N只能为54)4）这个数还不能是是质数，不然不存在含有这个因数的两位数.最关键的是，这两人的数是2倍关系但是上述内容并不完全正确,需要注意还有一些“奇葩”数:１7、19、23也能顺利通过第一轮.因此,这两个人拿到的数有如下可能：(54,２７）（68，34）(7０，35)（7６，３8)（78，39）（９２，46）（98，49）(3）为了对比清晰,我们再来把上面所有的情况的因数都列举出来：(5４，2７，18，9，6，３,2，1）(68,34，1７，4,2，1）（×）(70,3５,14，１０,７,5，2，1）（76，38，19,4，2,1)（×）(78,3９，26,13,６,3,２,１）(９2，46，2３，４，2,１)(×)（９8，４９，１4,7,２，1）对于第一轮通过的数,我们用红色标注,所以N不能是68、76、９2中的任意一个．之后在考虑第二轮需要通过的两个数.用紫色标注的6、3、2、1，因为重复使用，如果出现了也不能判断N是多少，所以不能作为第二轮通过的数.用绿色标注的1４和7也不能作为第二轮通过的数,这样N也不是98．那么通过第二轮的数只有黑色的数．所以N只能是５4、70、78中的一个．我们再来观察可能满足E和F所说的内容:（54,27,18,9,6，3，2，１）（70，35,14，10，7,5,２,1)(７8，３９，26，１３，６,3,２,1)因为F说他的数在C和D之间,我们发现上面的数据只有当70、(１0和N=的时候，7F=,在C D5）之间，是唯一满足条件的一种情况.又因为E确定自己比F的大,那么他拿到的数一定是该组中剩余数里最大的.所以E拿到的是1４(70N=）．所以70N=，六个人拿的数之和为：70+35+14+10+7+5=141．。