微分方程练习题基础篇答案.docx

常微分方程基础练习题答案

求下列方程的通解

dy

dy

x 2

Ce 2

， C 为任意常

数

1.xy 分离变量

xdx ， y

dx

y

dy x dx ， y Ce

1 x

2

2.xydx 1 x 2 dy 0 分离变量

1 ， C 任意常数

y

x 2

dy 1 3.xy y ln y 0 分离变量

dx ， y Ce x

y ln y

x

4.( xy 2

2

y y)dy 0 分离变量 ydy

xdx

2

)(1

2

) C

x)dx ( x

y 2

1 x

2，(1

y

x

1

5.

dy

(2 x y 5)

2

令 u

2x y 5 则

du

2 dy ， du

2 dx ， 1 arctan u

x C 1 dx

dx

dx u 2 2 2

dy x y dy 1 y

y ， dy u x

du

，代入得 2

x ，令 u 1 u du 1

dx

6.

x ，原方程变为

dx

dx

y

1 y x dx

dx 1 u 2

x

x

2arctan u u

ln x

C ， u

y x

回代得通解

2arctan

y x

ln x

y

x

C

dy

y y 2

y du

dx 7.xy y x

2

y 2

0 dx

x

x

x

1 u 2

x

1 ，令 u

，代入得

arctanu ln x C

， u

y 回代得通解 arctan y

ln x y C

x x

x

8.x

dy

y ln

y

，方程变形为

dy

y

ln y

，令 u y du dx e

Cx 1

，

yxe

Cx 1

，

， u

dx x

dx x x x u(ln u 1)

x

9. dy

2xdx

2 xdx

dx C) Ce

x

2

2xy 4x ，一阶线性公式法 y e

( 4 xe

2

dx 10.

dy

y

2x 2

1 ( 2x 2e

1

dx C) x 3

Cx

dx

dx

dx x

11.( x 2

1)y

2xy 4x 2

，方程变形为 y

2x

y 4x 2

1 (

4

3

C)

2

x 2

一阶线性公式法 y

1 x

2 x

x 1

1

3

12.( y 2 6x)

dy

2y

0，方程变形为

dx

3 x

1 y 一阶线性公式法 y 1 y

2 Cy 3

dx

dy y

2

2

13. y 3xy xy

2

，方程变形为 1 dy

3x

1

x 伯努利方程，令 z y 1

,

dz

y 2

dy

代入方程得

y 2 dx

y

dx

dx

dz 3xz x 一阶线性公式法再将 z 回代得 1

3 x 2

Ce

2

dx

y

1

3

14.

dy

1 y

1

(1 2x) y 4 ，方程变形为 1 dy

1 1 1 (1 2x) 伯努利方程，令 dx 3

3 y

4 dx

3 y 3

3

z

y 3, dz

3y 4

dy

代入方程得 dz

z 2x 1，一阶线性公式法再将

z 回代得

dx dx

dx

1 Ce x

2x 1

y 3

15.y

5y 6 y 0 ，特征方程为 r 2 5r 6 0 ，特征根为 r 1

2, r 2

3 ，通解

y C 1e 2x C 2e 3x

16.16y 24y 9y

0，特征方程为 16r

2

24r 9 0 ，特征根为 r 1,2

3 ，通解

4

3 x

y

(C 1 C 2 x)e 4