专题13.4 作轴对称图形(专项练习)(人教版)

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人教版八年级数学上册第13章《轴对称》单元测试 (含解析)

第13章《轴对称》单元测试一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．书法是我国传统文化的重要组成部分，被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐．下列是用小篆书写的“魅力宁德”四个字，其中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，是线段的垂直平分线，垂足为点，，是上两点．下列结论不正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．将长方形纸片沿AC 折叠后点B 落在点E 处，则线段BE 与AC 的关系是（）A ．B ．C ．且D ．且平分4．在平面直角坐标系xOy 中，点A （2，1）与点B （0，1）关于某条直线成轴对称，这条直线是（）AB CD G E F AB EC CD =EC ED =CF DF =CG DG=AC BE =AC BE ⊥AC BE ⊥AC BE =AC BE ⊥AC BEA ．轴B ．轴C ．直线（直线上各点横坐标均为1）D ．直线（直线上各点纵坐标均为1）5．一副三角板和如图摆放，，，若，，则下列结论错误的是（）A ．平分B ．平分C ．D ．6．如图，在中，点O 是内一点，连接、，垂直平分，若，，则点A 、O 之间的距离为（）A ．4B ．8C ．2D ．67．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，中，，是边上的高，是延长线上一点，平分，若，，，则下列等式一定成立的是（）x y 1x =1y =ABC DEF 45BAC ∠=︒60EDF ∠=︒GA FD ∥AB EF ∥EC FED ∠CB FCE ∠BC DE ∥30GAB ∠=︒ABC ABC OB OC OD AB OBC OCB ∠=∠4OC =ABCD AC ABC AC ABC 2B C ∠=∠AD BC E BA AC DAE ∠AB m =BC p =BD q =A ．B ．C ．D ．9．如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（）A ．B ．C ．D ．10．如图，和是两个等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，，，下列三个结论：①；②；③点在线段的中垂线上；④；⑤；⑥．其中正确的结论的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．若点与点关于x 轴对称，则．12．如图，在平面直角坐标系中，是由经过平移和关于坐标轴对称等变换得到的，m q p +=2m q p +=2m q p +=12q m p +=P O ∠A B O ∠PAB ∆O ∠APB ∠2O APB∠=∠2O APB ∠=∠180O APB ∠+∠=︒2180O APB ∠+∠=︒ABP CDP △APD △AD AC BC BD APC BPD △≌△ABD BCA △≌△P BC 15PBC ∠=︒AD BC ∥PC AB ⊥()12A a -，()21B b -，a b +=A B C ''' ABC其中点P 与是变换前后图形上的一对对应点．若点P 的坐标为，则点的坐标为（用含a 、b 的代数式表示）．13．如图，在一张纸片上将翻折得到三角形，并以为边作等腰，其中，且E ，A ，C 三点共线，，则的度数是．14．如图，，，，，若，，且长为奇数，则的长为．15．如图，是等腰三角形，，且B ，C ，D 三点共线．连接，分别交于点M ，N ，连接，则＝．16．如图，A 是直线外的一点，于点H ，，P 是上一动点，是等边三角形，连接，则线段的最小值是．P '(),a b P 'BED AED AB ABC AB AC =42EBC ∠=︒BAC ∠AE BD =CE CD =E D ∠=∠60DCE ∠=︒52BD =32CD =AB AB ,ABC ECD 60ACB ECD ∠=∠=︒,BE AD ,AC EC MN NMC ∠︒MN AH MN ⊥4AH =MN APQ △HQ HQ17．如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角，等题直角做了一个探究活动：将的直角顶点M 放在的斜边的中点处，设，猜想此时重叠部分四边形的面积为．18．如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P 在线段上，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）已知如图所示，（1）画出中边上的高线，在内部作射线使得，交边于点，请你依题意补全图形；MNK △ACB △MNK △ACB △AB AC BC a ==CEMF ABC A B C ''△B C B '，，A C 'AP BP +ABC ABC BC AD ADC ∠DE EDC C ∠=∠AC E（2）判断与之间的关系，并说明理由．20．（8分）如图，，．求证：直线是线段的垂直平分线．DAE ∠ADE ∠AB AC =MB MC =AM BC21．（10分）如图，为等腰直角三角形，，点D 在上，点E 在的延长线上，且．（1）求证：；（2）若，求的度数．22．（10分）如图，，，垂足分别为D 、C ，，且．连接．（1）求证：．（2）若，，求的度数．ABC 90BCA ∠=︒CA BC BD AE =BCD ACE ≌△△80BAE ∠=︒DBA ∠ED AB ⊥FC AB ⊥AE BF ∥AE BF =CE AC BD =CD DE =25A ∠=︒AEC ∠23．（10分）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于．（1）当时，，；点从向的运动过程中，逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当等于多少时，，请说明理由．（3）在点的运动过程中，与的长度可能相等吗？若可以，请直接写出的度数，请说明理由．24．（12分）解答题（1）问题发现如图1，把一块三角板（，）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，发现与始终相等的角是，与线段相等的线段是；ABC 2AB AC ==40B C ∠=∠=︒D BC D B C AD 40ADE ∠=︒DE AC E 115BDA ∠=︒EDC ∠=︒DEC ∠=︒D B C BDA ∠DC ABD DCE △△≌D DA DE BDA ∠AB BC =90ABC ∠=︒U A B C 90D E ∠=∠=︒DAB ∠AD（2）拓展探究如图2，在中，点在边上，并且，．求证：．（3）能力提升如图3，在等边中，，分别为、边上的点，，连接，以为边在内作等边，连接，当时，请直接写出的长度．ABC D BC DA DE =B ADE C ∠=∠=∠ADB DEC △≌△DEF A C DE DF 4AE =AC AC DEF ABC BF 30CFB ∠=︒CD答案一、单选题1．C【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由此问题可求解．【详解】解：C 选项是轴对称图形，A 、B 、D 选项都不是轴对称图形；故选：C ．2．A【分析】根据垂直平分线的性质分析选项即可．【详解】解：∵是线段的垂直平分线，∴，，故D 选项结论正确，不符合题意；在和中，∴，∴，故B 选项结论正确，不符合题意；同理可知：，∴，故C 选项结论正确，不符合题意；利用排除法可知选项A 结论不正确，符合题意．故选：A3．D【分析】由翻折得到AE=AB ，CE=CB ，再根据线段的垂直平分线的判定即可得到答案．【详解】解：∵ACE 是由ABC 翻折得到，∴AE=AB,CE=CB∴AC ⊥BE 且AC 平分BE ，AB CD 90∠==︒CGE DGE CG DG =ECG EDG △CGE DGE CG DGEG EG ∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩()≌ECG EDG SAS △△EC ED =()≌FCG FDG SAS △△FC FD =故选D ．4．C【分析】利用成轴对称的两个点的坐标的特征，即可解题．【详解】根据A 点和B 点的纵坐标相等，即可知它们的对称轴为．故选：C ．5．B【分析】根据三角形板各角的特点，平行线的判定和性质即可求解．【详解】解：∵，，，∴，则，∴平分，故选项正确；∵，，如图所示，设与交于点，∴，由选项正确可得，∴在中，，在中，，∴，∴，∴平分错误，故选项错误；由上述证明可得，，∴，故选项正确；根据上述证明可得，，∵，且，∴，∴，20122A B x x x ++===90DEF ∠=︒45BAC ∠=︒AB EF ∥45BAC FEC ∠=∠=︒90904545DEC FEC ∠=︒-∠=︒-︒=︒EC FED ∠A 90B Ð=°AB EF ∥BC EF H 90EHC B ∠=∠=︒A 45FEC ∠=︒Rt CEH △45ECH ∠=︒Rt FCH △30EFC ∠=︒60FCH ∠=︒ECH FCH ∠≠∠CB FCE ∠B 60FCH EDF ∠=︒=∠BC DE ∥C 4560105ECF ECH FCH ∠=∠+∠=︒+︒=︒GA FD ∥45BAC ∠=︒180GAC ECF ∠+∠=︒180********GAC ECF ∠=︒-∠=︒-︒=︒∴，故选项正确；故选：．6．A【分析】连接，由垂直平分线的性质可得，由等角对等边可得，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴，故选：A ．7．B【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：在中，，∴，即，当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；若时，为等腰三角形，故选：B ．8．B【分析】过点C 作于点F ，易证（AAS ），得到，，，进而得到，因此．由于得到，又，得到，因此，所以．由得，变形得到．754530GAB GAC BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒D B OA OA OB =4OB OC ==OA OD AB OA OB =OBC OCB ∠=∠4OC =4OB OC ==4OA OB OC ===04AC <<ACD 2AD CD ==2222AC -<<+04AC <<4AC BC ==ABC 3AC AB ==ABC CF BE ⊥ACF ACD ≌CF CD BC BD p q ==-=-AD AF =DCA FCA ∠=∠22BCF BCA B ∠=∠=∠BF CF p q ==-90DAC CAF BCA ∠=∠=︒-∠()180121802902BAD BCA BCA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠=∠2B BCA ∠=∠BAD B =∠∠AD BD =AF BD q ==FB CF =m q p q +=-2m q p +=【详解】如图，过点C 作于点F是高，平分在和中（），，∵在中，，又，，即CF BE ⊥AD CF BE⊥90ADC AFC ∴∠=∠=︒AC DAF∠12∴∠=∠ADC △AFC △12ADC AFC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACF ACD ∴ ≌AAS AD AF ∴=CD CF =DCA FCA∠=∠Rt ACD △190ACD ∠=︒-∠12∠=∠()18012180211802902BAD ACD ACD∴∠=︒-∠-∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠2B ACD∠=∠ BAD B∴∠=∠AD BD q∴==AF AD q ∴==BF AB AF m q=+=+CD BC BD p q=-=- CF CD p q∴==-DCA FCA∠=∠ 2BCF DCA FCA DCA∴∠=∠+∠=∠2B DCA∠=∠ B BCF∴∠=∠BF CF∴=m q p q ∴+=-2m q p+=故选：B9．D【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称的性质可知△是等腰三角形，所以，推出，所以，即得出答案．【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称性质可知：，，，，，，，即，故选：D ．10．C【分析】利用等边三角形和等腰直角三角形的性质得到PA ＝PB ＝PD ＝PC ，∠APB ＝∠DPC ＝∠PAB ＝∠PDC ＝60°，∠APD ＝90°，∠PAD ＝∠PDA ＝45°，则根据“SAS ”可证明△APC ≌△BPD ，则可对①进行判断；根据线段垂直平分线的判定可对③进行判断；计算出∠BPC ＝150°，再利用PB ＝PC 和三角形内角和可计算出∠PBC ＝15°，则可对④进行判断；由于∠ABC ＝75°，∠BAD ＝105°加上BD ＝CA ，则可判断△ABD 与△BCA 不全等，从而可对②进行判断；求出∠ABC ＋∠BAD ＝75°＋105°＝180°，根据平行线的判定方法可对⑤进行判断；延长CP 交AB 于H ，计P OM P 'P ON P ''P P '''OM A ON B PAB ∆P P '''OP P '''2P OP AOP '''=∠180180222P OP AOB P P '''︒-∠︒-∠'''∠=∠==1802APB P P AOB '''∠=∠+∠=︒-∠P OM P 'P ON P ''OP 'OP ''P P '''P P '''OM A ON B PAB ∆P P '''OP OP '=OP OP ''=AOP AOP '∠=∠BOP BOP ''∠=∠2P OP AOP '''∴∠=∠180180222P OP AOB P P '''︒-∠︒-∠'''∴∠=∠==1802APB P P AOB '''∴∠=∠+∠=︒-∠2180O APB ∠+∠=︒算出∠CHB ＝90°，则可对⑥进行判断．【详解】解：∵△ABP 和△CDP 是两个等边三角形，△APD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，∴PA ＝PB ＝PD ＝PC ，∠APB ＝∠DPC ＝∠PAB ＝∠PDC ＝60°，∠APD ＝90°，∠PAD ＝∠PDA ＝45°，∴∠APC ＝∠BPD ＝150°，在△APC 和△BPD 中，，∴△APC ≌△BPD （SAS ），所以①正确；∵PB ＝PC ，∴点P 在线段BC 的中垂线上，所以③正确；∵∠BPA ＝∠CPD ＝60°，∠APD ＝90°，∴∠BPC ＝150°，∵PB ＝PC ，∴∠PBC ＝15°，所以④正确；∵∠ABC ＝60°＋15°＝75°，∠BAD ＝∠PAB ＋∠PAD ＝60°＋45°＝105°，BD ＝AC ，∴∠ABC ≠∠BAD ，∴△ABD 与△BCA 不全等，所以②错误；∵∠ABC ＋∠BAD ＝75°＋105°＝180°，∴AD ∥BC ，所以⑤正确；延长CP 交AB 于H ，如图，∵∠PCB ＝15°，∠ABC ＝75°，∴∠ABC ＋∠PCB ＝90°，∴∠CHB ＝90°，∴PC ⊥AB，所以⑥正确．PA PB APC BPD PC PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩正确的有5个，故选：C ．二、填空题11．2【分析】根据若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．【详解】解：∵点与点关于轴对称，∴，解得，∴．故答案为：2．12．【分析】根据点B 和的位置判断出平移方式和对称变换方式，继而求解．【详解】解：由图中可以看出，点只有向右平移2个单位才能和点的纵坐标相等，翻折可得到两点关于轴对称，此时两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．那么点也是如此转换得到．点的坐标为，向右平移2个单位后变为这点关于轴的对称点是．故答案为：．13．【分析】根据折叠得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形外角的性质得出，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可．【详解】解：根据折叠可知，，∴，∵，∴，∵，∴，x ()12A a -，()21B b -，x 1212a b -=-=-，31，==-a b 312a b +=-=()2,a b +-B 'B B 'x P P ' P (,)a b (2,)a b +x (2,)a b +-(2,)a b +-152︒EA EB =EAB EBA ∠=∠A ABC CB =∠∠42EBC EBA ABC ∠=∠+∠=︒14ACB ABC ∠=∠=︒EA EB =EAB EBA ∠=∠AB AC =A ABC CB =∠∠EAB ABC ACB ∠=∠+∠2EBA EAB ABC ∠=∠=∠∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．14．3【分析】由已知条件得，进而得出，，再根据得到为等边三角形，进而得到，最后根据三角形的三边关系即可求出．【详解】解：在和中，，，，，，为等边三角形，，，，，即，,长为奇数，，故答案为3．15．6042EBC EBA ABC ∠=∠+∠=︒242ABC ABC ∠+∠=︒14ABC ∠=︒14ACB ABC ∠=∠=︒180152BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒152︒AEC BDC ≌△△BC AC =BCD ACE ∠=∠60ACB DCE ︒∠=∠=ABC AB BC AC ==AEC △BCD △AE BD E DCE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS AEC BDC ∴ ≌BC AC ∴=BCD ACE ∠=∠DCE BCD ECB ∠=∠+∠ ACB ACE ECB ∠=∠+∠60ACB DCE ∴∠=∠=︒ABC ∴ AB BC AC ∴==52BD = 32CD =BD CD BC BD CD ∴-<<+14BC <<14AB ∴<<AB 3AB ∴=【分析】根据已知证明都是等边三角形，得到，即可证明，推出，进一步证明，可得，求出，证明是等边三角形，可得结果．【详解】解：∵都是等腰三角形，且，∴都是等边三角形，∴，∵，∴．在与中，，∴，∴．∵，∴．在与中，，∴，∴．∵，∴是等边三角形，∴，故答案为：60．16．2【分析】以为边作等边，连接，证明，得出，说明当最,ABC ECD ,AC BC CD CE ==()SAS ACD BCE △≌△CAN CBM ∠=∠(ASA)ACN BCM △≌△CM CN =MCN ∠MCN △,ABC ECD 60ACB ECD ∠=∠=︒,ABC ECD ,AC BC CD CE ==ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠ACD BCE ∠=∠ACD BCE AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ACD BCE △≌△CAN CBM ∠=∠60ACB ECD ∠=∠=︒60MCN ∠=︒ACN △BCM CAN CBM AC BCACN BCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)ACN BCM △≌△CM CN =6,0MCN CM CN ︒∠==MCN △60NMC ∠=︒AH AEH △PE AEP AHQ ≌HQ EP =EP小时，最小，根据垂线段最短，过点E 作于点B ，当点P 在点B 时，最小，即最小，根据含角的直角三角形的性质求出．【详解】解：以为边作等边，连接，如图所示：∴，，∴，∵为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴当最小时，最小，∵垂线段最短，∴过点E 作于点B ，当点P 在点B 时，最小，即最小，∵，，∴．故答案为：2．17．18．8【分析】连接，根据和都是边长为4的等边三角形，证明，可得，所以，进而可得当点P 与点C 重合时，的值最小，正好等于的长，即可求解．HQ EB MN ⊥EP HQ 30︒122EB EH ==AH AEH △PE 4AE EH AH ===60EAH AHE ∠=∠=︒906030EHM ∠=︒-︒=︒APQ △AP AQ =60PAQ ∠=︒PAQ EAH ∠=∠EAH HAP HAP PAQ ∠+∠=∠+∠EAP HAQ ∠=∠AEP AHQ ≌HQ EP =EP HQ EB MN ⊥EP HQ 906030EHM ∠=︒-︒=︒90EBH ∠=︒122EB EH ==214a PE ABC A B C ''△ACP B CP '△≌△AP B P '=AP BP BP B P '+=+AP BP +BB '【详解】解：如图，连接，∵和都是边长为4的等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴当点P 与点C 重合时，点A 与点关于对称，的值最小，正好等于的长，∴的最小值为，故答案为：8．三、解答题19．（1）解：如图：先作交于点，作的垂直平分线与交于点，即为所求．（2）解：，理由如下：∵，即，∴，PB 'ABC A B C ''△60AC B C ACB A CB '''=∠=∠=︒，60ACA '∠=︒ACA A CB '''∠=∠ACP △B CP '△AC B C ACA A CB CP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪='''⎩'()SAS ACP B CP '△≌△AP B P '=AP BP BP B P '+=+B 'A C 'AP BP +BB 'AP BP +448+=AD BC ⊥BC D CD AC E D AE AD E ∠=∠AD BC ⊥90ADC ∠=︒90C DAE +=︒∠∠∵，且，∴．20．证明：，点在线段的垂直平分线上．，点在线段的垂直平分线上．直线是线段的垂直平分线．21．（1）解：∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中，∴；（2）∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴．22．（1）证明：∵，，∴，∵，∴，在△ADE 与中，90EDC ADE ∠+∠=︒EDC C ∠=∠D AE AD E ∠=∠ AB AC =∴A BC MB MC =∴M BC ∴AM BC ABC AC BC =90BCA ∠=︒90ACE ∠=︒Rt BCD Rt ACE BC AC BD AE=⎧⎨=⎩()Rt Rt HL BCD ACE ≌△△ABC 45CAB CBA ∠=∠=︒80BAE ∠=︒35CAE BAE CAB ∠=∠-∠=︒BCD ACE ≌△△35CAE CBD ∠=∠=︒10DBA CBA CBD ∠=∠-∠=︒ED AB ⊥FC AB ⊥90ADE BCF ∠=∠=︒AE BF ∥A B ∠=∠BCF △，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴．23．（1）解：，，，，，，，，点从向的运动过程中，逐渐增大，逐渐变小，故答案为：；；小；（2）解：当时，，理由如下：，，又，，，，当时，ADE BCF A BAE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ADE BCF ≌△△AD BC =AC BD =CD DE =90CDE ∠=︒45DCE CED ∠=∠=︒25A ∠=︒452520AEC DCE A ∠=∠-∠=︒-︒=︒115BDA ∠=︒ 18011565ADC ∴∠=︒-︒=︒40ADE ∠=︒ 25EDC ADC ADE ∴∠=∠-∠=︒40C ∠=︒ 180115DEC EDC C ∴∠=︒-∠-∠=︒180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒ 180BDA BAD B ∴∠=︒-∠-∠ D B C BAD ∠BDA ∴∠251152DC =ABD DCE △△≌40B C ∠=∠=︒ 180140DEC EDC C ∴∠+∠=︒-∠=︒40ADE ∠=︒ 180ADB ADE EDC ∠+∠+∠=︒140ADB EDC ∴∠+∠=︒ADB DEC ∴∠=∠2DC =，，在和中，，，即当时，，；（3）解：在点的运动过程中，与的长度可能相等，理由如下：，，，，，，，，．24．（1）解：，，，，在和中，，，，故答案为：，；（2），，2AB AC == AB DC ∴=ABD △DCE △B C ADB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ABD DCE ∴≌ 2DC =ABD DCE △△≌D DA DE DA DE = DAE DEA ∴∠=∠40ADE ∠=︒ ()1180702DEA ADE ∴∠=︒-∠=︒AED C EDC ∠=∠+∠ 40C ∠=︒30EDC DEA C ∴∠=∠-∠=︒70ADC ADE EDC ∴∠=∠+∠=︒180110BDA ADC ∴∠=︒-∠=︒90D ABC ∠=∠=︒ 90DAB ABD ∴∠+∠=︒90ABD EBC ∠+∠=︒BAD EBC ∴∠=∠ABD △BCE D E DAB EBC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ABD BCE ∴ ≌AD BE ∴=EBC ∠BE ADC ADE CDE B BAD ∠=∠+∠=∠+∠ B ADE ∠=∠，在和中，，；（3）如图，过点作交于点，、是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，CDE BAD ∴∠=∠ADB DEC B C BAD CDE AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ADB DEC ∴ ≌3B BM EF ∥DF M DEF ABC DE DF ∴=AC BC =60D DFE ACB ∠=∠=∠=︒30CFB ∠=︒ BM EF ∥603030BFE MBF ∴∠=︒-︒=︒=∠MBF CFB ∴∠=∠60CMB MBF CFB ∠=∠+∠=︒BM FM ∴=60D ACB ∠=∠=︒ 120DAC ACD ∴∠+∠=︒120ACD BCM ∠+∠=︒DAC BCM ∴∠=∠ACD CBM D CMB DAC BCM AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ACD CBM ∴ ≌CD BM FM ∴==AD CM =22DF CD CM FM CD CM CD AD ∴=++=+=+DE AD AE DF =+=，，．2AE CD ∴=4AE = 2CD ∴=。

13.4轴对称最短路径问题专题练习人教版2024—2025学年八年级上册

13.4轴对称最短路径问题专题练习人教版2024—2025学年八年级上册题型一、两定点一动点作图问题1.如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使P A+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（）A．B．C．D．2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．3.如图，直线l是一条公路，A、B是两个村庄．欲在l上的某点处修建一个车站，直接向A、B两地提供乘车服务．现有如下四种建设方案，图中实线表示铺设的行走道路，则铺设道路最短的方案是（）A．B．C．D．4.为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道l上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（）A．B．C．D．5.如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（）A．A点B．B点C．C点D．D点题型二、两定点一动点求线段和最小值1.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD⊥BC于D点，AB＝12，．若点E、F分别是线段AD、线段AB上的动点，则BE+EF的最小值是（）A．6B．12C．D．2.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（）A．21B．7C．6D．3.53.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，CD平分∠BCA交AB于点D，点P，Q分别是CD，AC上的动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是（）A．6B．5C．4.8D．44.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值（）A．2.4B．4C．5D．4.85.如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（）A．8B．9C．10D．126.如图，已知等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，AE＝2BD．以DE为边向右作等边△DEF，则AF+BF的最小值为（）A．4B．4C．4D．47.数形结合是重要的数学思想，借助图形，求解的最小值为．8.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．9.如图，A，B两个小镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为AC＝6千米，BD＝14千米，且CD＝15千米，现要在河边建一自来水厂，同时向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最省，并求出总费用是多少？题型三、两定点一动点求周长最小值1.如图，在△ABC中，直线m是线段BC的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点．若AB＝7，AC＝4，BC＝5，则△APC周长的最小值是（）A．12B．11C．9D．72.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（）A．8B．3C．6D．43.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．65.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC 外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若BC＝5，∠CAB＝30°，点P是直线DE 上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（）A．15B．17C．18D．206.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2，3），P A⊥x轴，PB⊥y轴，C是OA的中点，D是OB上的一点，当△PCD的周长最小时，点D的坐标是（）A．（0，1）B．C．D．（0，2）7．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为______8.如图，点A（1，﹣1），B（2，﹣3）（1）点A关于x轴的对称点的坐标为．（2）若点P为坐标轴上一点，当△APB的周长最小时，点P的坐标为．三、一定点二动点线段或周长问题1.如图，在五边形中，∠BAE＝140°，∠B＝∠E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当△AMN的周长最小时，求∠AMN+∠ANM的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°2.如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则△CPD周长的最小值为．3.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，则MQ+PQ+PN的最小值为．四、一定点二动点角度问题1.如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D ＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．100°B．90°C．70°D．80°2，如图，∠MON＝45°，P为∠MON内一点，A 为OM上一点，B为ON上一点，当△P AB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°3.如图，点P为∠AOB内一点，点M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN的周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB的度数是（）A．55°B．50°C．40°D．45°4.已知点P在∠MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若∠MON＝50°，求∠GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当△P AB的周长最小值为6时，求∠MON的度数．五、二定点二动点1.如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°2.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，BC＝3，DC＝4，点E在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE的周长的最小值为．3.如图，锐角∠MON内有一定点A，连结AO，点B、C分别为OM、ON边上的动点，连结AB、BC、CA，设∠MON＝α（0°＜α＜90°），当AB+BC+CA取得最小值时，则∠BAC＝．（用含α的代数式表示）4.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）5.已知B，C是平面直角坐标系中与x轴平行且距离x轴1个单位长度的直线上的两个动点（点B在点C左侧），且BC＝2，若有点A（0，5）和点D（3，3），则当AB+BC+CD的值最小时，点C的坐标为．6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°8.如图，∠MON＝α，α＜30°，点A为ON上一定点，点C为ON上一动点，B，D为OM上两动点，当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝（）A．5αB．6αC．90°﹣αD．180°﹣α9.如图，直线l 1，l 2表示一条河的两岸，且l 1∥l 2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A 经桥过河到村庄B 的路程最短，应该选择路线（）A ．B ．C ．D ．10.如图，直线l 1、l 2表示一条河的两岸，且l 1∥l 2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A 经桥过河到村庄B 的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（）方案一：①将点A 向上平移d 得到A '；②连接A 'B 交l 1于点M ；③过点M 作MN ⊥l 1，交l 2于点N ，MN 即桥的位置．方案二：①连接AB 交l 1于点M ；②过点M 作MN ⊥l 1，交l 2于点N ．MN 即桥的位置．A ．唯方案一可行B ．唯方案二可行C ．方案一、二均可行D ．方案一、二均不可行六、线段差的最大值1.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（）A．2B．3C．D．2.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|P A﹣PB|的最大值为．七、多条线段和的最小值1.如图所示，已知A、B、C、D，请在图中找出一点P，使P A+PB+PC+PD最小．2.如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF．若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE 的值最小时，E点坐标为；若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为．。

八年级数学上册《第十三章轴对称》同步训练题及答案(人教版)

八年级数学上册《第十三章轴对称》同步训练题及答案(人教版) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．在一些汉字的美术字中，有一些是轴对称图形，下面四个美术字中，可以近似地看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出，该球最后落入1号袋，经过反射的次数是( )A．4次B．5次C．6次D．7次3．如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中，不一定正确的是（）A．AC=A′C′B．AB∥B′C′C．AA′⊥MN D．BO=B′O 4．如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm5．如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，并交AC于点D，连接BD．若AD=3cm，AC=9cm 则BD的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cmAC的长为半径画弧，6．如图，在△ABC中∠B=65°，∠C=27°，分别以点A和点C为圆心，大于12两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．61°B．70°C．65°D．55°7．如图，将长方形纸片沿AC折叠后点B落在点E处，则下列关于线段BE与AC的关系描述正确的是（）A．AC=BE B．AC和BE相互垂直平分C．AC⊥BE且AC=BE D．AC⊥BE且AC平分BE8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm二、填空题9．在平面镜中看到一辆汽车的车牌号：，则该汽车的车牌号是．10．如图是3×3的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分成为轴对称图形，这样的小正方形有个．11．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC=20°，∠PCB=30°则∠APB的度数为．12．为了庆祝神舟十五号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小彬计划制作一个如图所示的简易飞机模型.已知该模型是一个关于AC对称的轴对称图形，若AB＝30cm，AC＝22cm，则AD ＝cm.13．如图，△ABC中∠B=50°，∠C=20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G连接AE，则∠EAG=．三、解答题14．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线AE=4cm，△ABC的周长为23cm，求△ABD的周长．15．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD=24°，∠ACB=66°求证：BE=AC．16．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D， DM丄AB与M， DN丄AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现.17．如图，在△ABC中AB>AC.（1）用直尺和圆规作BC的中垂线，交AB于点D（要求保留作图痕迹）；（2）连结CD，若AB=8，AC=4求△ACD的周长.18．如图，在ΔABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=6，求ΔADE的周长；（2）若∠BAC=130°，求∠DAE的度数．参考答案1．C2．C3．B4．B5．A6．A7．D8．B9．M64537910．511．100°12．3013．40°14．解：∵DE是AC的垂直平分线∴AD=CD，AC=2AE=8(cm)．∵△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+DC+AC=23(cm)∴AB+AC=23−8=15(cm)∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=23−8=15(cm)．即△ABD的周长为15cm．15．证明：连接AE∵∠ACB=66°，∠DAC=24°∴∠ADC=180°−∠DAC−∠ACB=180°−24°−66°=90°∴AD⊥EC∵点D为CE的中点∴DE=DC∴AD 是线段CE 的垂直平分线∴AE =AC∵EF 垂直平分AB∴AE =BE∴BE =AC ．16．解：BM =CN 证明如下：如图，连接BD ，CD∵AD 平分∠BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC∴DM =DN∵DE 垂直平分BC∴BD =CD在Rt △BMD 与Rt △CND 中{DM =DN BD =CD∴Rt △BMD ≅Rt △CND(HL)∴BM =CN .17．（1）解：如图（2）解：∵MN 垂直平分BC∴DC=BD∴△ACD 的周长为AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=4+8=1218．（1）解：在ΔABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E∴AD=BD，CE=AE又BC=6∴ΔADE的周长=AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=6（2）解：∵∠BAC=130°∴∠B+∠C=50°∵AD=BD，CE=AE∴∠BAD=∠B，∠EAC=∠C∴∠BAD+∠EAC=50°∴∠DAE=∠BAC−(∠BAD+∠EAC)=130°−50°=80°。

人教版八年级数学试题： 13.1-13.2轴对称和画轴对称图形精练题(含答案)

精练题（轴对称）1．如图，这是小亮制作的风筝，为了平衡做成轴对称图，已知OC是对称轴，∠A=35°，∠ACO=30°，那么∠BOC= °【答案】115°．2．如图是一辆汽车车牌在水中的倒影，则该车的牌照号码是（）A．W17639 B．W17936C．M17639 D．M17936【答案】D．3．如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD等于（）A．108°B．144°C．126°D．129°【答案】C．4．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线E F对称．（1）画出直线EF；（2）直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系．【答案】（1）作A′A″或B′B″或C′C″的垂直平分线．图略．（2）由轴对称的性质可知∠BOB″＝2∠α．A B C D 5．以给定的图形“○○，△△，＝”（两个圆，两个三角形，两条平行线）为构件，构思独特而有意义的轴对称图形，如上图所示，是符合要求的图形，请你构思出其他的一幅图形，并写出一两句贴切、诙谐的解说词．【参考答案】6．如图，l 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD BC ∥，则有以下结论：①AB CD ∥②AB BC =③AB BC ⊥④AO CO =．那么其中正确的结论序号是_ __．【答案】①②④．7．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）【答案】C ．8．如图，将长方形纸片ABCD （图1）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图2）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE 的度数为：A ． 60°B ． 67.5°C ． 72°D ． 75° 【答案】B ．9. 若点P 关于x 轴的对称点为P 1(2a +b ，-a +1)，关于y 轴的对称点为P 2(4-b ，b +2)，则P 点的坐标为（）A ．(9，3)B ．(－9，3)C ．(9，－3)D ．(－9，－3) 【答案】D ．10．如图，在平面直角坐标系xoy 中，(15)A -，，(10)B -，，(43)C -，．（1）求出ABC △的面积．（2）在图5中作出ABC △关于y 轴的对称图形111A B C △．（3）写出点111A B C ，，的坐标．【解】（1）1155322ABC S =⨯⨯=△（或7.5）（平方单位）．（2）如上右图．（3）A 1（1，5），B 1（1，0），C 1（4，3）．精练题（画轴对称图形）1. 如图所示，下列图案中，是轴对称图形的是()A ．（1）（2）B ．（1）（3）（4）C ．（2）（3）D ．（1）（4）【答案】B ．2．如图，牧童在A 处放牛，他的家在B 处，L 为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮一饮水，饮水的地点选在何处，牧童所走的路程最短？作法：（1）作点A 关于直线L 的对称点A ′；（2）连接A′B 交L 于点P ；所以点P 就是所求的点．3．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．【答案】8．4．如图，一条直的河流l 同侧有A 、B 两个村庄，要把A 处的产品运往B 处．按计划这批产品在河岸M 处装上船，沿水路行a 千米后在N 处上岸，要使总路程最短，M 、N 两点应选在河岸l 什么地方？lAB【答案】如图所示，B'l作法：⑴过点A作AE∥l，在l上截取AA´=a；⑵作点B关于直线l的对称点B´，连接A´B´交直线l于点N；⑶过点A作AM∥A´B´，交直线l于点M．则点M、N即为所求．5．已知点P（x+1，2x-1）关于x轴对称的点在第一象限，试化简：│x+2│-│1-x│【答案】2x+1．6．如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB•表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，•且到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．作法：（1）作∠MON的平分线OC；（2）连接MN，作线段MN的中垂线DE，交OC于点P．点P即为仓库所建位置．7．如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．【答案】参考图如下图：8．已知:∠AOB内一点P．求作：在OA、OB上各找一点M、N，使△PMN的周长最短．B【答案】B∴点M 、N 即为所求．9．试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填下表格中．【答案】3，4，5，6，7，8，n ．10. 如图所示，将标号为A ，B ，C ，D 的正方形沿图中的虚线剪开后，拼成标号为 P ，Q ，M ，N 的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个轴对称图形”的对应关系填空：A 与对应；B 与对应； C与对应；D 与对应. 【答案】M P Q N11.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ,CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE =∠B +∠ECD证明：延长线段CE ，交AB 于点F ， ∵AD ⊥CE ，CD∴∠AEC=∠AEF=90°∵AD平分∠BAC，∴∠F AE=∠CAE，∴∠AFC=∠ACF，∵∠AFC=∠B+∠ECD，∴∠ACE=∠B+∠ECD12. 为了美化环境，需在一块正方形的空地上分别种植四种不同的花草，现将这块空地按下列要求分成：（1）分割后的图形必须是轴对称图形；（2）四块图形形状相同；（3）四块图形面积相等．现已有两种不同的分法：○1分别作两条对角线，如图（1）所示○2过一条边的四等分点作对边的垂线段，如图（2）所示，两个图形的分割看作同一个方法．请你按照上述三个要求分别在所给的三个正方形中给出另外的三种不同的分割方法．13.在△ABC中，点E在AC上，点D在BC上，在AB上找一点F，使△EDF的周长最小，并说明理由.BD【正确答案】因为欲使△EDF 的周长最小，即ED+DF+EF 最小，而ED 为定长，则必有DF+EF 最小，又因为点F 在AB 上，且E 、D 在AB 的同侧，由轴对称的性质，可作点E 关于直线AB 的对称点E ´，连接E ´D 与AB 的交点即为点F ，此时，FE+FD 最小，即△EFD 的周长最小.D14．如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：(1) 由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A '的坐标为（2，0），请在图中分别标明B (5,3) 、C (-2,5) 关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标: B ' 、 C ' ；归纳与发现：(2) 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P (a,b)关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为（不必证明）；运用与拓广：(3) 已知两点D (1,-3)、E (-1,-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小．【解】（1）如图：(3,5)B '，(5,2)C '-(2) (b ，a )(3)由(2)得，D (1,-3) 关于直线l 的对称点D '的坐标为(-3,1)，连接D 'E 交直线l 于点Q ，此时点Q 到D 、E 两点的距离之和最小15．已知：△ABC 中，AB ＝AC ,过点A 的直线MN ∥BC ，点P 是MN 上的任意点求证：PB ＋PC ≥2AB分析：本题是要证PB ，PC ，及2AB 之间的大小关系，联想到三角形两边之和大于第三边，设法将这些线段集中到在一个三角形中。

轴对称图形练习题及答案

轴对称图形练习题及答案轴对称图形是一种在几何学中常见的图形，它具有对称轴，使得图形的任何一部分都可以沿着这条轴对折，与另一部分完全重合。

下面是一些轴对称图形的练习题及答案，供学生练习和理解轴对称图形的概念。

练习题1：在下列图形中，哪一个是轴对称图形？A. 正方形B. 圆形C. 五角星D. 所有选项答案：D. 所有选项解析：轴对称图形的定义是：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

正方形、圆形和五角星都满足这个条件，因此它们都是轴对称图形。

练习题2：如果一个轴对称图形的对称轴是垂直于地面的直线，那么这个图形的对称轴与地面的夹角是多少度？答案：90度解析：垂直于地面的直线与地面的夹角是90度，这是根据垂直的定义得出的。

练习题3：在平面直角坐标系中，如果点A(2,3)关于x轴对称的点是B，求点B的坐标。

答案：点B的坐标是(2,-3)解析：在平面直角坐标系中，如果一个点关于x轴对称，那么这个点的x坐标保持不变，而y坐标的值变为其相反数。

因此，点A(2,3)关于x轴对称的点B的坐标是(2,-3)。

练习题4：给定一个轴对称图形，如果图形的对称轴是y=x，那么这个图形的中心点是什么？答案：图形的中心点是(0,0)解析：如果一个图形的对称轴是y=x，这意味着图形关于这条直线对称。

对于任何点(x,y)在图形上，其对称点是(y,x)。

因此，图形的中心点是对称轴与原点的交点，即(0,0)。

练习题5：在一个轴对称图形中，如果图形的对称轴是一条斜线y=mx+b，那么这个图形的中心点坐标是什么？答案：图形的中心点坐标是(-b/m, b)解析：对于斜线y=mx+b，这条直线与x轴的交点是(-b/m, 0)，与y轴的交点是(0, b)。

由于图形是轴对称的，图形的中心点将位于这两个交点的中点，即(-b/m, b)。

通过这些练习题，学生可以加深对轴对称图形的理解，并掌握如何识别和应用对称轴。

轴对称图形练习题及答案

轴对称图形练习题及答案轴对称图形是指在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴。

以下是一些轴对称图形的练习题及答案。

练习题1：判断下列哪些图形是轴对称图形，并找出它们的对称轴。

- 三角形- 矩形- 圆形- 等边三角形- 等腰梯形答案1：- 三角形：不是所有三角形都是轴对称图形，只有等腰三角形和等边三角形是轴对称图形。

- 矩形：是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线。

- 圆形：是轴对称图形，有无数条对称轴，每条都是通过圆心的直线。

- 等边三角形：是轴对称图形，有三条对称轴，分别是三条中线。

- 等腰梯形：是轴对称图形，有一条对称轴，是两底边的垂直平分线。

练习题2：如果一个轴对称图形的对称轴是垂直于地面的直线，那么这个图形在地面上的投影是什么形状？答案2：如果轴对称图形的对称轴垂直于地面，那么这个图形在地面上的投影将是该图形的轴对称图形的一半，且投影的形状与原图形相同。

练习题3：给定一个轴对称图形，如果将其沿对称轴旋转180度后，图形的位置和形状会发生什么变化？答案3：如果将一个轴对称图形沿其对称轴旋转180度，图形的位置会发生变化，但是形状不会改变。

旋转后，图形的每个点都会移动到其对称点上，但整个图形的形状与原来完全相同。

练习题4：在几何设计中，如何利用轴对称性来简化设计过程？答案4：在几何设计中，可以利用轴对称性来简化设计过程。

首先，设计图形的一半，然后通过对称轴复制另一半，这样可以确保图形的对称性和平衡性。

这种方法可以减少设计时间，提高设计效率。

练习题5：如果一个轴对称图形的对称轴是水平的，那么这个图形的对称点之间有什么关系？答案5：如果一个轴对称图形的对称轴是水平的，那么这个图形的对称点之间在垂直方向上是等距离的。

也就是说，对称点的垂直坐标相同，而水平坐标则关于对称轴对称。

通过这些练习题和答案，可以帮助学生更好地理解和掌握轴对称图形的概念和性质。

轴对称图形练习题及答案

轴对称图形练习题及答案轴对称图形练习题及答案图形是我们生活中不可或缺的一部分，而轴对称图形更是我们常常会遇到的一种特殊图形。

轴对称图形是指通过一个轴线将图形分成两个完全相同的部分，这个轴线称为对称轴。

今天，我们就来练习一些轴对称图形，并给出相应的答案。

练习题一：请你画出以下图形的对称轴，并判断图形是否有轴对称性。

1. 正方形2. 矩形3. 圆形4. 五角星5. 心形答案：1. 正方形：对称轴可以是任意一条连接正方形两个对角线中点的线段。

正方形具有轴对称性。

2. 矩形：对称轴可以是连接矩形两个对边中点的线段。

矩形具有轴对称性。

3. 圆形：对称轴可以是任意一条经过圆心的直径线。

圆形具有无限个轴对称。

4. 五角星：对称轴可以是连接五角星两个对边中点的线段。

五角星具有轴对称性。

5. 心形：对称轴可以是连接心形两个对称部分的线段。

心形具有轴对称性。

练习题二：请你找出以下图形的对称中心，并判断图形是否有轴对称性。

1. 三角形2. 椭圆3. 马蹄形4. 蝴蝶形5. 鱼形答案：1. 三角形：对称中心可以是三角形的重心，即三条中线的交点。

三角形具有轴对称性。

2. 椭圆：椭圆没有对称中心，因此没有轴对称性。

3. 马蹄形：对称中心可以是马蹄形的中心点。

马蹄形具有轴对称性。

4. 蝴蝶形：对称中心可以是蝴蝶形的中心点。

蝴蝶形具有轴对称性。

5. 鱼形：对称中心可以是鱼形的中心点。

鱼形具有轴对称性。

练习题三：请你找出以下图形的对称轴，并判断图形是否有轴对称性。

1. 梯形2. 菱形3. 五边形4. 月亮形5. 雪花形答案：1. 梯形：梯形没有对称轴，因此没有轴对称性。

2. 菱形：对称轴可以是连接菱形两个对角线中点的线段。

菱形具有轴对称性。

3. 五边形：五边形没有对称轴，因此没有轴对称性。

4. 月亮形：对称轴可以是连接月亮形两个对称部分的弧线。

月亮形具有轴对称性。

5. 雪花形：对称轴可以是连接雪花形两个对称部分的线段。

雪花形具有轴对称性。

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专题13.4 作轴对称图形（专项练习）
一.选择题
1. 下列说法中，正确的是（）
A ．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形
B ．全等三角形是关于某直线对称的
C ．两个图形关于某条直线对称，这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D ．若点A 、B 关于直线MN 对称，则AB 垂直平分MN
2. 如果点A （x ﹣y ，x+y ）与点B （5，﹣3）关于y 轴对称，那么x ，y 的值是（）
A.x=4，y=﹣1
B.x=﹣4，y=﹣1
C.x=4，y=1
D.x=﹣4，y=1
3. 如图，△ABC 与△关于直线MN 对称，P 为MN 上任一点，下列结论中错误的是( )
A ．△是等腰三角形
B ．MN 垂直平分，
C ．△ABC 与△面积相等
D ．直线AB 、的交点不一定在MN 上
4. 已知点（，5）与（2，－1）关于轴的对称，则的值为（）
A.0
B.－1
C.1
D.
5. 平面直角坐标系内的点A （﹣1，2）与点B （﹣1，﹣2）关于（）
A ．y 轴对称
B ．x 轴对称
C ．原点对称
D ．直线y=x 对称
6. 如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴，若∠AFC ＋∠BCF ＝150°，则∠AFE ＋∠BCD 的大小是（）
111A B C 1AA P 1AA 1CC 111A B C 11A
B 1P 1a -2P b x ()2011a b +()20113
-
A.150°
B.300°
C.210°
D.330°
二.填空题
7. 已知△ABC 和△关于MN 对称，并且AB ＝5，BC ＝3，则的取值范围是_________.
8. 已知点A （，2），B （－3，）.若A ，B 关于轴对称，则＝_____，＝_____.若A ，B 关于轴对称，则＝_____，＝_________.
9. 若点P （，）关于轴的对称点是，关于轴对称点为，且坐标为（－3，4）则＝________，＝_______.
10. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（2，﹣3），作点A 关于x 轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y 轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是（，）．
11. 如图，这是小龙制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知OC 所在的直线为对称轴，
且∠A ＝32°，∠ACO ＝24°，则∠BOC ＝________.
12. 平面直角坐标系中的点P
关于x 轴的对称点在第四象限，则m 的取值范
围为
．
三.解答题
13. 如图，在正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两
种方法分别在下图方格内．．．
添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形.
14. 如图，点M 在锐角∠AOB 内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 边的距离之和最小
A B C '''A C ''a b x a b y a b a b y 1P 1P x 2P 2P a b 34⨯
15. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都
在格点上．
（1）在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；
（2）在网格中画出△A1B1C1关于直线m对称的△A2B2C2；
（3）在直线m上画一点P，使得C1P+C2P的值最小．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A ；
【解析】C 项这两个图形有可能相交，D 项是MN 垂直平分
AB.
2. 【答案】D ；
【解析】解：∵点A （x ﹣y ，x+y ）与点B （5，﹣3）关于y 轴对称，
∴
，解得：，故选：D ．
3. 【答案】D ；
【解析】对应线段所在直线的交点一定在对称轴上或平行于对称轴.
4. 【答案】B ；
【解析】＝3, ＝－4，＋＝－1.
5. 【答案】B ；
6. 【答案】B ；
【解析】对称轴两边的图形全等，∠AFE ＋∠BCD ＝2（∠AFC ＋∠BCF ）＝300°.
二.填空题
7. 【答案】2＜＜8；
【解析】△ABC 和△关于MN 对称，∴△ABC ≌△，大于两边之
差，小于两边之和.
8. 【答案】－3，－2； 3, 2；
【解析】关于轴对称的点横坐标一样，纵坐标相反；关于轴对称的点，横坐标相反，
纵坐标一样.
9. 【答案】3，－4；
【解析】（－3，－4），P （3，－4）.
10.【答案】-2,3；
【解析】解：∵点A 的坐标是（2，﹣3），作点A 关于x 轴的对称点，得到点A′，
∴A′的坐标为：（2，3），
∵点A′关于y 轴的对称点，得到点A″， a b a b ''A C '''A B C '''A B C ''A C x y 1P
∴点A″的坐标是：（﹣2，3）．
故答案为：﹣2；3．
11.【答案】124°；
【解析】成轴对称的图形全等，∠BOC ＝180°－32°－24°＝124°.
12.【答案】0＜m ＜2；
【解析】∵P 1（2﹣m ，﹣m ）在第四象限，∴
，解得0＜m ＜2，
∴m 的取值范围为 0＜m ＜2．
三.解答题
13.【解析】
答案不唯一，参见下图.
14.【解析】
作法如下：
作M 点关于OB 的对称点，过作⊥于OA 于H ，交OB 于P ，点P 为所求.
15.【解析】
解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；
（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求；
（3）连接C 1C 2交直线m 于点P ，则点P 即为所求点．
M 'M 'MH
'。

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