北师大版八年级上册数学第一章勾股定理单元测试卷含答案解析

2018年秋八年级上学期第一章勾股定理单元测试卷数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全图②等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，则该飞镖状图案的面积（）A．6 B．12 C．24 D．2432．（4分）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．643．（4分）如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A ．B ．C ．D ．4．（4分）下列各组数中，是勾股数的为（ ） A ．1，2，3 B ．4，5，6 C ．3，4，5 D ．7，8，95．（4分）如图，小明将一张长为20cm ，宽为15cm 的长方形纸（AE ＞DE ）剪去了一角，量得AB=3cm ，CD=4cm ，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ）A ．5cmB ．12cmC ．16cmD ．20cm6．（4分）如图，长为8cm 的橡皮筋放置在x 轴上，固定两端A 和B ，然后把中点C 向上拉升3cm 至D 点，则橡皮筋被拉长了（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm7．（4分）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A ．π+13B ．23C ．2432π+D ．213π+8．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．若AC=3，AB=5，则CE 的长为（ ）A ．23 B ．34 C ．35D ．589．（4分）如图，将△ABC 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A ，B ，C 恰好在网格图中的格点上，那么△ABC 中BC 的高是（ ）A ．210B ．410 C ．510 D ．510．（4分）如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，AB 边如图所示，则使△ABC 是直角三角形的点C 有（ ）A ．12个B ．10个C ．8个D ．6个评卷人得 分二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．（5分）已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，满足a +b=10，ab=18，c=8，则此三角形为 三角形．12．（5分）如图，已知△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD= ．13．（5分）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．14．（5分）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=2，则CD=．评卷人得分三．解答题（共9小题，满分90分）15．（8分）如图，在△ADC中，∠C=90°，AB是DC边上的中线，∠BAC=30°，若AB=6，求AD的长．16．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=2，求△ABC的周长．17．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=2，求△ABC的面积．18．（8分）如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=5cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．19．（10分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．20．（10分）方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A和点B是格点，位置如图．（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有个．21．（12分）（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；（2）一个长宽高分别为l，b．h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？22．（12分）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？23．（14分）（1）阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如：5、12、13；9、40、41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3、4、5；是三个连续正整数组成的勾股数．解决问题：①在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？答：，若存在，试写出一组勾股数：．②在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．③在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．（2）探索升华：是否存在锐角△ABC三边也为连续正整数；且同时还满足：∠B＞∠C ＞∠A；∠ABC=2∠BAC？若存在，求出△ABC三边的长；若不存在，说明理由．2018年秋八年级上学期 第一章 勾股定理 单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．【分析】根据飞镖状图案的周长求出AB +AC 的长，在直角三角形AOB 中，利用勾股定理求出AC 的长，进而确定出OA 的长，求出三角形AOB 面积，即可确定出所求． 【解答】解：根据题意得：4（AB +AC ）=24，即AB +AC=6，OB=OC=3， 在Rt △AOB 中，根据勾股定理得：AB 2=OA 2+OB 2， 即（6﹣AC ）2=32+（3+AC ）2， 解得：AC=1， ∴OA=3+1=4， ∴S △AOB =21×3×4=6， 则该飞镖状图案的面积为24， 故选：C ．【点评】此题考查了勾股定理的证明，以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 2．【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED 的面积和正方形PRQF 的面积分别表示出PR 的平方及PQ 的平方，又三角形PQR 为直角三角形，根据勾股定理求出QR 的平方，即为所求正方形的面积． 【解答】解：∵正方形PQED 的面积等于225， ∴即PQ 2=225，∵正方形PRGF 的面积为289， ∴PR 2=289，又△PQR 为直角三角形，根据勾股定理得： PR 2=PQ 2+QR 2，∴QR 2=PR 2﹣PQ 2=289﹣225=64， 则正方形QMNR 的面积为64．故选：D ．【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 3．【分析】过C 作CD ⊥AB 于D ，依据AB=6，AC=8，可得CD ≤8，进而得到当CD 与AC 重合时，CD 最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC 的面积最大． 【解答】解：如图，过C 作CD ⊥AB 于D ， ∵AB=6，AC=8， ∴CD ≤8，∴当CD 与AC 重合时，CD 最长为8， 此时，∠BAC=90°，△ABC 的面积最大， ∴BC=2286 =10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10， 故选：C ．【点评】本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析． 4．【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．【解答】解：A 、错误，∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股数； B 、错误，∵42+52=41≠62=36，∴不是勾股数； C 、正确，∵32+42=25=52=25，∴是勾股数； D 、错误，∵72+82=113≠92=81，∴不是勾股数． 故选：C ．【点评】此题比较简单，只要对各组数据进行检验，看各组数据是否符合勾股定理的逆定理即可． 5．【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答． 【解答】解：延长AB 、DC 相交于F ，则BFC 构成直角三角形， 运用勾股定理得：BC 2=（15﹣3）2+（20﹣4）2=122+162=400， 所以BC=20．则剪去的直角三角形的斜边长为20cm ． 故选：D ．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长AB 、DC 相交于F ，构造直角三角形，用勾股定理进行计算． 6．【分析】根据勾股定理，可求出AD 、BD 的长，则AD +BD ﹣AB 即为橡皮筋拉长的距离． 【解答】解：Rt △ACD 中，AC=21AB=4cm ，CD=3cm ； 根据勾股定理，得：AD=22CD AC =5cm ； ∴AD +BD ﹣AB=2AD ﹣AB=10﹣8=2cm ； 故橡皮筋被拉长了2cm ． 故选：A ．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用． 7．【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A 、C 的最短距离为线段AC 的长．在Rt △ADC 中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD 为底面半圆弧长，AD=1.5π，所以AC=243233222ππ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，故选：C ．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 8．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF +∠CFA=90°，∠FAD +∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE ，即可得出EC=FC ，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F 作FG ⊥AB 于点G ， ∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ， ∴∠CDA=90°，∴∠CAF +∠CFA=90°，∠FAD +∠AED=90°， ∵AF 平分∠CAB ， ∴∠CAF=∠FAD ， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF ， ∴CE=CF ，∵AF 平分∠CAB ，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG ，∵∠B=∠B ，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG ∽△BAC ， ∴ACFGAB BF =， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴354FGFC =-， ∵FC=FG ，∴354FGFC =-， 解得：FC=23，即CE 的长为23．故选：A ．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE ． 9．【分析】根据所给出的图形求出AB 、AC 、BC 的长以及∠BAC 的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可． 【解答】解：根据图形可得： AB=AC=2221+=5， BC=103122=+， ∠BAC=90°，设△ABC 中BC 的高是x ， 则AC•AB=BC•x ，x •=⨯1055，x=210． 故选：A ．【点评】此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于x 的方程． 10．【分析】根据正六边形的性质，分AB 是直角边和斜边两种情况确定出点C 的位置即可得解．【解答】解：如图，AB 是直角边时，点C 共有6个位置，即有6个直角三角形， AB 是斜边时，点C 共有4个位置，即有4个直角三角形， 综上所述，△ABC 是直角三角形的个数有6+4=10个． 故选：B ．【点评】本题考查了正多边形和圆，难点在于分AB 是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．【解答】解：∵a +b=10，ab=18，c=8， ∴（a +b ）2﹣2ab =100﹣36 =64， c 2=64，∴a 2+b 2=c 2，∴此三角形是直角三角形． 故答案为：直角．【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则三角形ABC 是直角三角形． 12．【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而得出线段DE 是△ABC 的中位线，再利用勾股定理得出AD ，再利用线段垂直平分线的性质得出DC 的长． 【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴BC 2+AC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形， ∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE=EC=4，DE ∥BC ，且线段DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=3，∴AD=DC=22DE AE =5． 故答案为：5【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出AD 的长是解题关键． 13．【分析】将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求． 【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′，连接A′B ，则A′B 即为最短距离，A′B=22221216+=+'BD D A =20（cm ）． 故答案为20．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 14．【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF ，即可得出结论．【解答】解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ， 在Rt △ABC 中，∠B=45°， ∴BC=2AB=2，BF=AF=22AB=1， ∵两个同样大小的含45°角的三角尺， ∴AD=BC=2，在Rt △ADF 中，根据勾股定理得，DF=322=-AF AD ∴CD=BF +DF ﹣BC=1+3﹣2=3﹣1， 故答案为：3﹣1．【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．三．解答题（共9小题，满分90分） 15．【分析】求出AC 、CD ，利用勾股定理求出AD 即可； 【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=6， ∴BC=21AB=3， 在Rt △ABC 中，AC=3322=-BC AB ， ∵AB 是DC 边上的中线，∴DB=BC=3， 所以CD=6，在Rt △ACD 中，AD=()736332222=+=+CD AC ．答：AD 的长是37【点评】本题考查勾股定理，中线的定义，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．【分析】根据垂直求出∠ADB=∠ADC=90°，求出AC=2AD=4，AD=BD=2，根据勾股定理求出CD 和AB ，即可求出答案． 【解答】解：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADB=∠ADC=90°，∵在Rt △ADB 中，∠DAB=90°﹣∠B=90°﹣45°=45°=∠B ， ∴AD=BD=2，由勾股定理得：AB=222222=+； ∵在Rt △ADC 中，∠C=30°，AD=2， ∴AC=2AD=4，由勾股定理得：CD=322422=-，∴△ABC 的周长是AC +AB +BC=4+22+2+23=6+22+23．【点评】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识点，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键． 17．【分析】求出BD=AD=2，AC=2AD=22，根据勾股定理求出CD ，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ADB 中，∵∠B +∠BAD=90°，∠B=45°， ∴∠B=∠BAD=45°， ∴BD=AD=2，在Rt △ADC 中，∵∠C=30°， ∴AC=2AD=22， ∴CD=()()622222=-，BC=BD +CD=2+6，∴S △ABC =21×BC ×AD=21×（2+6）×2=1+3．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形的面积等知识点，能求出各个边的长度是解此题的关键． 18．【分析】连接BD ，根据勾股定理求得BD 的长，再根据勾股定理的逆定理证明△BCD 是直角三角形，则四边形ABCD 的面积是两个直角三角形的面积和． 【解答】解：连接BD ．∵∠A=90°，AB=2cm ，AD=5， ∴根据勾股定理可得BD=3， 又∵CD=5，BC=4， ∴CD 2=BC 2+BD 2，∴△BCD 是直角三角形，∴∠CBD=90°，∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =21AB•AD +21BC•BD=21×2×5+21×4×3=5+6（cm 2）．【点评】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，辅助线的作法是关键．解题时注意：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形． 19．【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．【解答】解：（1）11，60，61；（2）后两个数表示为212-n 和212+n ，又∵n ≥3，且n 为奇数，∴由n ，212-n ，212+n 三个数组成的数是勾股数．故答案为：11，60，61．【点评】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可． 20．【分析】（1）A 所在的水平线与B 所在的竖直线的交点就是满足条件的点； （2）根据勾股定理可求得AB=5，则到A 的距离是5的点就是所求；（3）到A 点的距离是5的格点有2个，同理到B 距离是5的格点有2个，据此即可求解．【解答】解：（1）（2）如图所示：（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有4个．故答案是：4．【点评】本题考查了等腰三角形，勾股定理，正确对等腰三角形的顶点讨论是关键．21．【分析】（1）如图1，设⊙O半径为r，纸盒长度为h'，则CD=3r，BC=23r．根据圆柱的体积和棱柱的体积公式分别求得圆柱型唇膏和纸盒的体积，然后求其比值；（2）求得易拉罐总体积和纸箱容积，然后求得比值；（3）利用（1）（2）的数据进行解答．【解答】解：（1）由题意，⊙O是△ABC内接圆，D为切点，如图1，连结OD，OC．设⊙O半径为r，纸盒长度为h'，则CD=3r，BC=23r则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为：∴第二种包装的空间利用率大．【点评】考查了勾股定理的应用，圆的有关计算，立体图形的体积公式，综合性较强，需要学生对所学知识的系统掌握． 22．【分析】（1）连接BD ，在直角三角形ABD 中，利用勾股定理求出BD ，再利用勾股定理的逆定理判断得到三角形BCD 为直角三角形，四边形ABCD 面积等于三角形ABD 面积+三角形BCD 面积，求出即可；（2）由（1）求出的面积，乘以200即可得到结果． 【解答】解：（1）连接BD ，在Rt △ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2=32+42=52， 在△CBD 中，CD 2=132，BC 2=122， 而122+52=132， 即BC 2+BD 2=CD 2， ∴∠DBC=90°，则S 四边形ABCD =S △BAD +S △DBC =21•AD•AB +21DB•BC=21×4×3+21×12×5=36；（2）所以需费用36×200=7200（元）．【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键． 23．【分析】（1）①6，8，10；②设这三个正整数为n ﹣1，n ，n +1，根据勾股定理列方程可得方程解x=4，得出还是3，4，5这三个数，可得结论不存在；③设这三个奇数分别为：2n ﹣1，2n +1，2n +3，同理列方程，方程无整数解，可知，不存在；（2）设AB=x ，AC=x +1，BC=x ﹣1，作辅助线，构建等腰三角形，证明△CAB ∽△CDA ，列比例式，可得方程，解出即可．【解答】解：（1）①存在三个连续偶数能组成勾股数，如6，8，10，（3分） 故答案为：存在；6，8，10； ②答：不存在，（4分）理由是：假设在无数组勾股数中，还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数， 设这三个正整数为n ﹣1，n ，n +1， 则（n ﹣1）2+n 2=（n +1）2，（5分） n 1=4，n 2=0（舍），当n=4时，n ﹣1=3，n +1=5， ∴三个连续正整数仍然是3，4，5，∴不存在其它的三个连续正整数能组成勾股数；（6分） ③答：不存在，（7分）理由是：在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成勾股数， 设这三个奇数分别为：2n ﹣1，2n +1，2n +3（n ＞1的整数）， （2n ﹣1）2+（2n +1）2=（2n +3）2，n 1=27，n 2=﹣21，∴不存在三个连续奇数能组成勾股数；（8分）（2）答：存在，三边长分别是4，5，6，（9分）理由是：如图，在△ABC 中，设AB=x ，AC=x +1，BC=x ﹣1，则：∠B ＞∠C ＞∠A ；∠ABC=2∠BAC ，延长CB 至D ，使BD=AB ，连接AD ，∴∠BAD=∠BDA ，（10分）∵∠ABC=∠BAD +∠BDA=2∠BDA ，∵∠ABC=2∠BAC ，∴∠BAC=∠BDA ，∵∠C=∠C ，∴△CAB ∽△CDA ， ∴AC BC CD AC ， ∴AC 2=BC•DC ， ∴（x +1）2=（x ﹣1）[（x ﹣1）+x ]， x=5或0（舍）， 当x=5时，x ﹣1=4，x +6， ∴BC=4，AB=5，AC=6， 答：满足条件的△ABC 三边的长为4，5，6．（12分） 【点评】本题是阅读材料问题，考查了勾股数的有关问题，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断，本题熟练掌握勾股定理列方程是关键．。