拉格朗日法求条件极值-更新

1原问题：函数()12,n f x x x ，在满足()12,0n g x x x = 情况下的极值点满足什么条件？
1.1注意：该问题的极值不一定满足
()
12,0n k
f x x x x ∂=∂ ，举例来说，
()22,f x y x y y =++，约束条件为(),0g x y x y =-=。

显然原问题等价于求()22z x x x =+的极值，
14104
z x x x ∂-=+=⇒=∂，根据(),0g x y x y =-=得到1
4
y -=
所以：
()
()()()
()()()11,,1144,,4
411,,1144,,4
4,20
,210
x y x y x y x y f x y x x f x y y y ⎛⎫=-- ⎪⎛⎫⎝⎭
=--
⎪⎝⎭
⎛⎫=-- ⎪⎛⎫⎝⎭
=--
⎪⎝⎭
∂=≠∂∂=+≠∂
1.2该问题的极值满足的条件分析
极值点满足：
设()12,0n g x x x = 确定的隐函数为()12n x x x ψ= ，原问题等价于求无约束函数
()()22,n n z f x x x x ψ= 的极值，函数()()22,n n z f x x x x ψ= 的极值点满足：
0k
z
x ∂=∂，即{}102,3,k k f f k n x x x ψ∂∂∂+==∂∂∂
1.2.1隐函数求导方法1：
由()12,0n g x x x = 确定的函数()12n x x x ψ= 求导计算： 在()12,0n g x x x = 情况下：()()121,0n
n k k k
g
g x x x x o x ρ=∂∆=∆+=∂∑
对于()12,0n g x x x = ，
把23,n x x x 作为自变量，把1x 作为因变量，
1
2
x x ∂∂的意思是在3n x x 不变的情况下，2x 的
变化2x ∆引起1x 的变化1x ∆之间的如下数学式子值21
02
lim x x x ∆→∆∆，在3n x x 不变、2x 变化的情
况下，
(
)
121
12
22
1111
211
,012122n
n k k k
g
g g
g x x x x o x x o x x x g g
o x x x
g g g g x x x x x x x g
x g x =∂∂∂∆=∆+=
∆+∆+=⇒
∂∂∂∂∂∆∂∂=--=--=
∂∂∂∂∆⋅∆⋅∆∂∂∂∂∂∂--
∂∂∑ 222200111lim lim 12x x g g x x x g g x x x ∆→∆→⎛∂∂ ∆∂∂=-+
=- ∂∂∆
∂∂ ⎪⎝
⎭
对于()12,0n g x x x = 确定的隐函数()12n x x x ψ= 有：2
2
11g
x x
g x x ∂∂∂=-∂∂∂
同理：01
lim
1
k k x k
g x x g x x ∆→∂∂∆=-∂∆∂ 即对于()12,0n g x x x = 确定的隐函数()12n x x x ψ= 有：{}12,31k
k
g x x
k n g x x ∂∂∂=-∈∂∂∂ ，
即
{}1
2,3k k
g x k n g x x ψ
∂∂∂=-∈∂∂∂
1.2.2隐函数求导方法2（来自参考书）
问题：设()12n x x x ψ= 是由等式()12,0n g x x x = 确定的函数，试求
{}2,3k
k n x ψ∂∈∂ 。

解:()12n x x x ψ= 是由等式()12,0n g x x x = 确定的函数，即把任意2,n
x x 带入方程()12,0n g x x x = 解出的1x 满足()12n x x x ψ= ，或者说对于任意
2,n x x ，把()12,n x x x ψ= 带入()12,n g x x x 能使得()12,0n g x x x = ，即对于任意2,n x x 有()()22,,,0n n g x x x x ψ= 成立。

所以如果我们设()()()222,,,n n n f x x g x x x x ψ= ，那么对于任意2n
x x 有()20n f x x = 成立。

所以
()()222323022
,,,,lim 0n n x f x x x x f x x x f
x x ∆→+∆-∂==∂∆ 而根据复合函数求导法则：
2122
f g g x x x x ψ∂∂∂∂=+∂∂∂∂， 所以：
122
0g g
x x x ψ∂∂∂+=∂∂∂
所以：
22
1g x x x ψ
∂∂∂=-∂∂ 同理：
{}1
2,3k k
g x k n g x x ψ
∂∂∂=-∈∂∂∂
注意：这里()12,0n g x x x = 并不是说对于任意12,,n x x x 都有
()12,0n g x x x = 成立，这里的()12,0n g x x x = 是个约束条件，即这里的
()12,0n g x x x = 是12,,n x x x 需要满足的等式。

比如()123123,,0g x x x x x x =++=，
并不是说对于任意123,,x x x 都有()123
123,,0g x x x x x x =++=成立，而是说
()123123,,0g x x x x x x =++=是一个约束条件，是123,,x x x 需要满足的等式，但是
如果我们通过这个等式解出()()12323,x x x x x ψ==-+，我们发现对于任意23,x x 有()()()232323,,,,0f x x g x x x x ψ==成立。

1.2.3：求解原问题取极值时满足的必要条件
结合
{}102,3,k k
f f
k n x x x ψ∂∂∂+==∂∂∂
所以：
{}1102,3,k
k g x f f k n g x x x
∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪-+==∂∂∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭
即：
{}112,3,k
k
f f
x x k n g g x x ∂∂∂∂==∂∂∂∂
即在满足()10200,0n g x x x = 情况下函数()12,n f x x x 的极值点满足：
{}112,3,k
k
f f
x x k n g g x x ∂∂∂∂==∂∂∂∂ 。

2原问题用拉格朗日方法求条件极值：
设函数
()()()121212,,,,n n n L x x x f x x x g x x x λλ=-
设()102000,,n x x x λ 是函数()12,,n L x x x λ 的极值点，那么()10200,n x x x 就是函数
()12,n f x x x 的极值点，且满足()10200,0n g x x x =
为什么呢？
因为()102000,,n x x x λ 是函数()12,,n L x x x λ 的极值点，所以
()
()()
{}()()()121020001210200012,,,,12,,,,,,01,2,,0n n n n n k x x x x x x n x x x x x x L x x x k n x L x x x λλλλλλλ==⎧∂=∈⎪
∂⎪⎨
∂⎪=⎪∂⎩
即：
()()()(){}()()()12102000121020001212,,,,12,,,,,,01,2,0n n n n n n k k x x x x x x n x x x x x x f x x x g x x x k n x x g x x x λλλλλ==⎧∂∂⎛⎫
-=∈⎪ ⎪⎪∂∂⎝
⎭⎨⎪
=⎪⎩
即：
()
()()
()()(){}
()()()12102000121020001210200012,,,,12
,,,,12,,,,,1,2,,0
n n n n n n n k
x x x x x x n k
x x x x x x n x x x x x x f x x x x k n g x x x
x g x x x λλλλλλλ===⎧∂⎪
∂⎪=∈⎪∂⎨⎪∂⎪
⎪=⎩
显然，
()
()()
()
()()
{}1
2
102000
1
2
102000
12,,,,12,,,,,1,2, n
n n
n n k
x x x x
x x n k
x x x x
x x f x x x x k n g x x x x λλλλλ==∂∂=∈∂∂ 跟{}
112,3,k
k
f f
x x
k n g g x x ∂∂∂∂==∂∂∂∂ 是等价的。

所以如果()102000,,n x x x λ 是函数()12,,n L x x x λ 的极值点，那么()10200,n x x x 就满足
()12,0n g x x x = 情况下函数()12,n f x x x 的极值点条件{}112,3,k
k
f f
x x
k n g g x x ∂∂∂∂==∂∂∂∂ ，
且()10200,0n g x x x = 。