拉格朗日条件极值
条件极值拉格朗日乘数法例题
条件极值拉格朗日乘数法例题假设有一个函数 $f(x,y)=x^2+y^2$，同时有一个限制条件$g(x,y)=xy-1=0$，求在该约束条件下$f(x,y)$的最小值和最大值。
首先根据拉格朗日乘数法，可以得到如下的方程组：$$begin{cases}abla f(x,y)=lambdaabla g(x,y)g(x,y)=0end{cases}$$其中，$abla f(x,y)$ 和 $abla g(x,y)$ 分别是 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 的梯度向量。
对于本题来说，有：$$abla f(x,y) = begin{bmatrix} 2x 2y end{bmatrix}, qquad abla g(x,y) = begin{bmatrix} y x end{bmatrix}$$把上面的式子带入到拉格朗日方程组中可以得到：$$begin{cases}2x = lambda y2y = lambda xxy - 1 = 0end{cases}$$解这个方程组，我们可以得到两组解：$$begin{aligned}& (x, y, lambda) = (sqrt{2}, sqrt{2}, 2), (-sqrt{2}, -sqrt{2}, -2)& (x, y, lambda) = (-sqrt{2}, sqrt{2}, 2), (sqrt{2}, -sqrt{2}, -2)end{aligned}$$接下来需要判断这些解的类型，即是极大值还是极小值。
为了方便起见，我们可以先计算函数 $f(x,y)$ 在条件$g(x,y)=0$ 下的取值范围。
根据限制条件 $g(x,y)=xy-1=0$，有$x=frac{1}{y}$，把它代入到函数 $f(x,y)$ 中可以得到：$$f(x,y) = left(frac{1}{y}ight)^2 + y^2 = frac{1}{y^2} + y^2$$由于 $yeq 0$，所以 $f(x,y)$ 的定义域为 $mathbb{R}-{0}$。
用拉格朗日乘数法求极值步骤
用拉格朗日乘数法求极值步骤全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日乘数法是一种常用的数学工具，用于求解带有约束条件的极值问题。
在实际问题中，很多情况下都会存在一些条件限制，而拉格朗日乘数法正是针对这种情况而提出的一种解决方法。
下面我们将详细介绍使用拉格朗日乘数法求极值的步骤。
我们先来看一个简单的例子，假设我们要求函数f(x, y) = x^2 +y^2 在条件g(x, y) = x + y = 1下的最小值。
这个问题可以用如下的拉格朗日函数表示：L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y) = x^2 + y^2 - λ(x + y - 1)λ为拉格朗日乘数。
接下来的步骤就是通过对L(x, y, λ) 求偏导数来确定函数f(x, y) 在条件g(x, y) 下的极值点。
步骤一：计算L(x, y, λ) 对x, y的偏导数，并令其等于0，即求解以下方程组：步骤二：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。
在本例中，解方程组可得x = y = 1/2，λ = 1。
代入原函数f(x, y) = x^2 + y^2 可得最小值为1/2。
问题的解是f(x, y) = 1/2。
上面是一个简单的例子，下面我们将详细介绍拉格朗日乘数法求极值的一般步骤：步骤一：建立带有约束条件的拉格朗日函数。
假设我们要求函数f(x1, x2, ..., xn) 在条件g(x1, x2, ..., xn) = 0下的极值，那么其对应的拉格朗日函数为：步骤二：求解拉格朗日函数的梯度，令其等于零。
即求解以下方程组：∂L/∂x1 = ∂f/∂x1 - λ∂g/∂x1 = 0∂L/∂x2 = ∂f/∂x2 - λ∂g/∂x2 = 0...∂L/∂xn = ∂f/∂xn - λ∂g/∂xn = 0g(x1, x2, ..., xn) = 0步骤三：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。
解方程组可能有多个解，需要通过二阶导数判断哪一个是极值点。
条件极值解方程组技巧(一)
条件极值解方程组技巧条件极值解方程组是高等数学中的一个重要内容，经常出现在数学建模和优化问题中。
在实际问题中，我们常常需要找到某个函数在一定条件下的最大值或最小值，这就需要我们利用条件极值解方程组的技巧来求解。
下面我们将详细介绍各种技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解条件极值问题的一种常用方法。
当我们需要在某个约束条件下求解函数的极值时，可以利用拉格朗日乘数法进行求解。
假设我们要求解函数f(x, y)在条件g(x, y)=c下的极值，可以构造拉格朗日函数L(x, y,λ)=f(x, y)+λ(g(x, y)-c)，然后通过对L(x, y, λ)分别对x, y, λ求偏导数，并令其为0，得到一组方程组，从而求解出极值点。
二、参数化方法参数化方法是另一种求解条件极值问题的有效技巧。
当给定的条件较为复杂时，可以考虑通过参数化的方式来简化问题。
我们可以通过引入参数，将问题转化为在参数空间中求解，然后再将参数空间中的解映射回原空间，从而得到满足条件的极值点。
三、消元法消元法是一种基本的解方程组的技巧，在求解条件极值问题中同样有着重要的作用。
当我们遇到复杂的方程组时，可以考虑通过消元的方式来简化问题。
通过适当的消元操作，我们可以将原方程组转化为更简单的形式，从而更方便地求解出极值点。
四、几何法几何法是一种直观的解题方法，在求解条件极值问题中也可以发挥作用。
我们可以将问题转化为几何图形上的求解问题，通过几何图形的性质来求解出极值点。
这种方法通常适用于二维平面上的问题，对于三维空间中的问题同样可以通过几何的方式进行求解。
五、综合运用在实际问题中，往往需要综合运用多种技巧来求解条件极值问题。
我们可以根据具体的问题特点，灵活运用各种技巧，从而更高效地求解出极值点。
有时候可能需要先通过参数化方法简化问题，再利用拉格朗日乘数法求解，最后再通过消元和几何法来验证解的正确性。
总结条件极值解方程组技巧是高等数学中的一个重要内容，通过本文的介绍，我们详细阐述了拉格朗日乘数法、参数化方法、消元法、几何法和综合运用这五种技巧。
条件极值拉格朗日乘数法
F (x, y) x2 2 y2 (x2 y2 1)
则 Fx 2x 2x 0 Fy 4 y 2y 0
x2 y2 1 0
解得可能条件极值点为 （0，1）（, 0，1）（, 1，0）（, 1，0）
计算出 f (0,1) f (0,1) 2, f (1,0) f (1,0) 1,
曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在同一
平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
切平面方程为
Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
2 y
2z,2z
2 x,2 x
2
y 1,2,1
2 3,0,3 61,0,3
切线方程：
x1 y2 z1
1
0
1
法平面方程： x - z = 0
(Tangent plane and normal line of surface)
1 设曲面方程为
F(x, y, z) 0
n
T
在曲面上任取一条通
0
z02 c2
1
0
y0
b， 3
z0
c 3
当切点坐标为 (a，b，c
)时,
333
四面体的体积最小Vmin
3 abc. 2
多元函数的极值
（取得极值的必要条件、充分条件）
无条件极值
多元函数的最值
条件极值
拉格朗日乘数法
11.4 微分法在几何上的应用
(Applications of differential calculus in geometry)
多元函数求条件极值的原理
多元函数求条件极值的原理多元函数的条件极值是指在一定条件下使函数取得极大值或极小值的点。
求条件极值的原理包括拉格朗日乘数法和边界条件法两种方法。
一、拉格朗日乘数法：当多元函数在一定的约束条件下取得条件极值时，可以使用拉格朗日乘数法来求解极值点。
其基本思想是在考虑目标函数值的同时，引入一个约束函数，通过寻找约束函数和目标函数的共同极值点来得到条件极值。
设多元函数为f(x1,x2,...,xn)，约束条件为φ(x1,x2,...,xn)=0，其中φ(x1,x2,...,xn) 表示n-1 个关于x1,x2,...,xn 的函数，同样需要求导来得到其极值点。
具体步骤如下：1. 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn)，其中λ是拉格朗日乘数。
2. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数，并令其等于0。
3. 解方程组，得到x1,x2,...,xn 和λ的取值。
4. 将x1,x2,...,xn 和λ的取值代入f(x1,x2,...,xn) 计算函数值，得到条件极值。
拉格朗日乘数法的原理和求解过程比较复杂，但是可以通过引入拉格朗日乘数将约束条件转化为一个等式来求解条件极值问题。
二、边界条件法：边界条件法用于求解多元函数在给定边界条件下的条件极值问题。
当约束条件形式为不等式时，可以通过将不等式约束条件转化为等式约束条件，并在约束区域的边界上求解得到条件极值。
具体步骤如下：1. 将不等式约束条件转化为等式约束条件，得到约束函数φ(x1,x2,...,xn)=0。
2. 对多元函数f(x1,x2,...,xn) 和约束函数φ(x1,x2,...,xn) 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn)，其中λ是拉格朗日乘数。
3. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数，并令其等于0。
条件极值拉格朗日乘数法
0, 0,
2 xy 2 yz 2 xz a2 0.
yz 2( y z)
(1)
即
xz 2( x z)
xy
2( x
y)
( 2) ( 3)
2xy 2 yz 2xz a2 0 (4)
因 x 0, y 0, z 0, 由(2), (1)及(3), (2)得
x y
x y
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
切平面 上点的 竖坐标 的增量
函数z f (x, y)在点(x0, y0 )的全微分
z f ( x, y)在( x0 , y0 )的全微分，表示曲 面 z f ( x, y)在点( x0 , y0 , z0 )处的切平面
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 , 曲面在M处的法线方程为
x x0 y y0 z z0 . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
3 全微分的几何意义 因为曲面在M处的切平面方程为
由于连续函数x2 2 y2在有界闭集 {(x, y) / x2 y2 1}上必有最值， 所以所求得的最大值为2，最小值为1。
例 9 在第一卦限内作椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1的切平面，使切平面与三个坐
标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.
解 设 P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点,
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法
要找函数 z f (x, y) 在条件 (x, y) 0 下的可能 极值点,
先构造函数 F(x, y) f (x, y) (x, y)，其中
条件最值问题用拉格朗日乘子法
条件最值问题用拉格朗日乘子法条件最值问题是数学中一个重要的问题类型，常常需要用到拉格朗日乘子法来解决。
拉格朗日乘子法是一种求多元函数在约束条件下取得极值的方法，其原理和步骤复杂而深奥，但是却能帮助我们解决许多实际问题中的最值求解。
我们来看一下条件最值问题的基本概念。
条件最值问题是指在一定条件下，求一个函数的最大值或最小值。
比如在一定的约束条件下，求某个函数的最大值或最小值。
这类问题在实际生活中随处可见，比如求某一形状的最大面积、最小周长等等。
接下来，大家可能会想到的是如何用拉格朗日乘子法来解决这类问题。
拉格朗日乘子法的基本思想是将原问题转化为一个新的无约束问题，通过引入拉格朗日乘子来构造一个新的函数，然后利用该函数的极值来解原问题的极值。
这一方法在求解带约束条件的最值问题时非常实用，尤其是对于复杂的多元函数函数。
在应用拉格朗日乘子法解决条件最值问题时，我们首先需要构造拉格朗日函数。
拉格朗日函数是原函数与约束条件的函数之和，用拉格朗日乘子来引入新的变量，构造一个新的函数。
通过对新函数求偏导数，并令其等于零，可以得到极值点的一些约束条件。
结合这些约束条件，就能解出原问题的最值点。
举个简单的例子，我们来求函数f(x, y)在g(x, y)=0的约束条件下的最值点。
我们可以构造拉格朗日函数L(x, y, λ)=f(x, y)+λg(x, y)，然后对L(x, y, λ)分别对x, y, λ求偏导，并令其等于零，得到关于x, y, λ的方程组。
通过求解这个方程组，就能得到原问题的最值点。
在实际应用中，拉格朗日乘子法能够帮助我们解决许多复杂的条件最值问题。
无论是在经济学、物理学、工程学还是其他领域，都可以看到拉格朗日乘子法的应用。
它不仅帮助我们求解最值问题，更重要的是提供了一种通用的方法，使我们能够将带约束条件的最值问题转化为一个无约束问题。
综合以上的讨论，我们可以得出结论：拉格朗日乘子法是一种强有力的工具，在解决条件最值问题时非常实用。
条件极值与拉格朗日乘数法
§4条件极值一、何谓条件极值在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。
决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。
我们知道点),,(z y x 到点),,(000z y x 的距离为202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题.又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值22221n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21 )0(>i x 的限制下，求函数f 的极小值问题。
这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 .分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ限制下， 求目标函数),,,(21n x x x f y =的极值.对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例 1 由V xyz =解出 xyVz =, 并代入函数),,(z y x S 中, 得到xy xy V y x F ++=)11(2),(, 然后按)0,0(),(=y x F F , 求出稳定点32V y x ==, 并有3221V z =, 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243V S =.然而, 在一般情形下条件组中解出m 个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法. 二、条件极值的必要条件设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有0)(='+=x g f f dx dzy x .代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,即 x f -y ϕy f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使 (x f , y f ) + λ(x ϕ , y ϕ)0=.亦即 ⎩⎨⎧=+=+. 0, 0y yx x f f λϕλϕ三、 Lagrange 乘数法:由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 . 例2 求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
拉格朗日乘子法的简单证明(不知道对不对)
应用例题：已知有一个体积为a 的铁块。
把这个铁块打造成一个长方体，求其表面积s 的极小值。
解:依据题意有如下关系式
)1(a xyz = )2()(2222z y x s ++=
构造函数M 如下：
)3()
()(2),,,(222a xyz c z y x c z y x M -+++=
只要求M 函数的极值，即为s 的极值。
)4(04=+=∂∂cyz x x
M )5(04=+=∂∂cxz y y M )6(04=+=∂∂cxy z z M )7(0=-=∂∂a xyz c M
以上四个方程可解出四个未知数x ，y ，z ，c 。
将(7)带入(4)，(5)，(6)后得：
)8(4442
22z y x ac ===-
可得: )9(431
a z y x ac
====- )01(431
-a c -=
此时，面积s 为：
)9(632a
s =
证明过程：拉格朗日乘子法，拉格朗日条件极值。
已知，自变量x 和y 符合关系式(1)，求表达式(2)的极值。
)1(0),(==y x F z )2(),(y x f )3(?)(y =x
解:若可以从(1)式中求出y 的表达式(3)，则可以把(3)式带入(2)式。
此时，就变成求单个自变量的函数极值问题，即为(4)式。
)4(0))(,())(,(=+=dx
dy x y x f x y x f dx dz y x
对(1)进行全微分，可得(5)式,进而得到(6)式。
)6()5(0),(Y x
y x F F dx dy dy F dx F y x dF -==+=
将(6)式带入(4)式可得(7)式。
)7(0))(,())(,())(,())(,(=-=-=x y
y x y x y x F F x y x f x y x f F F x y x f x y x f dx dz
)8(),()
,(y x F y x f y y -=λ 设极值点坐标为(x 0,y 0),则此时将极值点坐标带入(7)，并采用(8)式记号后得(9)式 )9(0),(),()
,(),(),(),(000000000000=-=-=y x F y x f y x F y x F y x f y x f dx dz x x y x y x λ
)9(0),(),(0000=-=y x F y x f dx dz x x λ 反过来，我们假设存在(10)式，则将极值点的坐标(x 0,y 0)带入后可得(10)式等于0。
)10(0?),(),(==-=y x F y x f dx dz x x λ
依据(8)式定义知当坐标(x 0,y 0)确定后λ(x 0,y 0)为一常数(但此前λ(x,y)为变数)。
类似可得(11)式
)11(0),(),(0000=-=y x F y x f dy dz y y η
反过来，我们假设存在(12)式，则将极值点的坐标(x 0,y 0)带入后可得(12)式等于0。
)12(0?),(),(==-=y x F y x f dy
dz y y η
)31(),()
,(y x F y x f x x -=η 对于符合限制条件的自变量，在极值点处有(14)式成立,进而可得(15)式 )15()14(0
),(Y x
y x f f dx dy dy f dx f y x df -==+=
在极值点处(6)式和(15)式同时成立。
对比(6)式和(15)式后得出(16)式。
)16(Y x
Y x f f F F -=-
因此，(6)式中的λ和(13)式中η相等。
以上事实提示我们可以预先构造出如下函数
)71(),(),(),,(y x F y x f y x g μλ+= 通过以上分析可知，在g 函数的极值(x 0,y 0)处，则必有以下三式同时成立 )81(0=∂∂+∂∂=∂∂x
F x f x g μ )91(0=∂∂+∂∂=∂∂y
F y f y g μ )20(0),(==∂∂y x F g μ
在极值点的时候，以上三个式子联立可以求得x 0,y 0,μ。