8-7条件极值与拉格朗日乘数法

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拉格朗日乘数法
要找函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0 下的 可能极值点， 1. 先构造函数 F ( x , y ) f ( x , y ) ( x , y )， 其中 为拉格朗日乘数. 2. 由
f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0. 解出 x , y , ，其中( x , y )就是可能的极值点的坐
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思考题解答
思考题解答
不是.
例如 f ( x , y ) x y ,
2 2
2 ( 0,0) 取极大值; 当 x 0 时， f ( 0, y ) y 在
(0,0) 取极小值; 当 y 0 时， f ( x ,0) x 在
2
(0,0) 不取极值. 但 f ( x, y) x y 在
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回顾：求极值的一般步骤
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步
定出 B
2Baidu Nhomakorabea
AC 的符号，再判定是否是极值.
标.
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更一般的情形
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数 u f ( x , y , z , t ) 在条件 ( x , y , z , t ) 0 ， ( x , y , z , t ) 0 下的极值， 先构造函数 F ( x , y , z , t ) f ( x , y , z , t ) 1 ( x , y , z , t ) 2 ( x , y , z , t ) 其中 1 , 2 均为拉格朗日乘数，可由 偏导数为零及 约束条件解出 x , y , z , t ，即得可能的极值点的坐标.
根据具体情况从实际问题的物理、几何、经济意义 可以判断是否为最值
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例题2
x y 在区域{( x , y ) | x y 50} 上,求z 2 2 x y 1
2 2
的最大值和最小值.
解 由
( x 2 y 2 1) 2 x ( x y ) zx 0, 2 2 2 ( x y 1) ( x 2 y 2 1) 2 y( x y ) zy 0, 2 2 2 ( x y 1)
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例题1
将正数 12 分成三个正数 x , y , z 之和 使得 u x 3 y 2 z 为最大.
解 令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
Fx 3 x 2 y 2 z 0 3 F 2 x yz 0 y 则 解得唯一驻点(6,4,2) ， 3 2 Fz x y 0 x y z 12 3 2 故最大值为 umax 6 4 2 6912.
10 10 1 1 51 50 5 2
比较可知
1 1 最大值为 ，最小值为 . 2 2
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小结
求条件极值的方法:
1. 转化为无条件极值.
2. 利用拉格朗日乘数法. 注意要正确 地写出目标函数和约束条件.
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思考题
思考题
若 f ( x 0 , y ) 及 f ( x , y 0 ) 在( x 0 , y 0 ) 点均取得 极值， 则 f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 是否也取得极值？
2 2
1 1 1 z( , ) , z ( 1 , 1 ) 1 , 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 , ) 和( , ) , 得驻点( 2 2 2 2
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例题2续
x y z 2 x y2 1
在边界上 {( x, y ) | x 2 y 2 50} 利用拉格朗日乘数法得可能的最值点为 （5，5）以及（－5，－5）： z(5,5)=10/51 z(-5,-5)=-10/51
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回顾：多元函数的最值的求法
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值. 设函数在有界闭区域 D 上连续，在D内 可微且只有有限个驻点。
则可按如下方法求最值： 将函数在区域 D 内的所有驻点处的 函数值及在D 的边界上的最大值和最小 值相互比较，其中最大者即为最大值， 最小者即为最小值.
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7.7 条件极值与拉格朗日乘数法
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
实例：求表面积为 S(固定) 、体积最大的长方 体的体积 V ( x , y , z ) xyz 求极值
2 xy 2 yz 2 zx S
限制条件
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求条件极值的方法
1. 转化为无条件极值问题.
2. 利用拉格朗日乘数法.