8-7条件极值与拉格朗日乘数法

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多条件极值拉格朗日乘数法推导

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拉格朗日乘数法原理

拉格朗日乘数法原理
拉格朗日乘数法是一种优化问题的求解方法，它的原理是将约束条件引入目标函数中，通过求解构造出的拉格朗日函数的极值来得到最优解。

具体来说，假设我们要求解一个优化问题，其中有若干个约束条件。

我们可以将这些约束条件用等式或不等式的形式表示出来，然后将它们加入目标函数中，构造出一个新的函数，称为拉格朗日函数。

拉格朗日函数的形式为：
L(x, λ) = f(x) + λg(x)
其中，x 是优化问题的决策变量，f(x) 是目标函数，g(x) 是约束条件，λ是拉格朗日乘数。

接下来，我们需要求解拉格朗日函数的极值。

为了找到极值点，我们需要对L(x, λ) 分别对x 和λ求偏导数，并令它们等于0。

也就是说，我们需要求解以下方程组：
∂L/∂x = 0
∂L/∂λ= 0
求解这个方程组可以得到x 和λ的值，从而得到目标函数的最优解。

需要注意
的是，拉格朗日乘数λ的值是由约束条件决定的，它的物理意义是在满足约束条件的前提下，目标函数的变化率。

拉格朗日乘数法的优点在于它可以将约束条件转化为目标函数中的一部分，从而使得求解问题更加简单。

此外，它还可以应用于多个约束条件的情况，而不需要对每个约束条件都进行单独的求解。

拉格朗日乘子法

拉格朗⽇乘⼦法拉格朗⽇乘数法（Lagrange multiplier）有很直观的⼏何意义。

举个2维的例⼦来说明：假设有⾃变量x和y，给定约束条件g(x,y)=c，要求f(x,y)在约束g下的极值。

我们可以画出f的等⾼线图，如下图。

此时，约束g=c由于只有⼀个⾃由度，因此也是图中的⼀条曲线（红⾊曲线所⽰）。

显然地，当约束曲线g=c 与某⼀条等⾼线f=d1相切时，函数f取得极值。

两曲线相切等价于两曲线在切点处拥有共线的法向量。

因此可得函数f(x,y)与g(x,y)在切点处的梯度（gradient）成正⽐。

于是我们便可以列出⽅程组求解切点的坐标(x,y)，进⽽得到函数f的极值。

想法就是：能够碰到极⼤极⼩值点的必要条件是：梯度场与切空间垂直，也就是梯度场不能够有任何流形切空间上的分量，否则在切空间⽅向有分量，在流形上沿分量⽅向⾛，函数值会增加，沿反⽅向⾛，函数值会减少，不可能为局部极⼩或者极⼤值点。

⼀.⼀个基本的例⼦：假设你⽣活在三维欧⽒空间中，z⽅向的坐标数值上代表海拔⾼度。

如果你会飞，那么anyway，你想飞多⾼飞多⾼，所以你的海拔可以任意⾼也可以任意⼩，根本就没有最⼤值。

假定你是⼀个普通⼈类，你在⼀座⼭上，你的⽬标是爬到⼭顶，也就是说你希望⾃⼰的海拔⾜够⾼：当你真正到达⼭腰时，很容易“只缘⾝在此⼭中，不识此⼭真⾯⽬”，这时候如何判断是真的在往上爬呢，还是在往下⾛呢？在⾁眼所能看见的⼩范围内，你可以通过周边的局部地形来判断，假设它⼤概是这样：你就知道应该往⾼处（⼤概为红箭头⽅向）⾛，⽽不是绿箭头⽅向。

当然不⼀定⼀直沿这个⽅向直线式上升，可能还需要⾛到某个地⽅，再次做⼀下这种局部的考察，调整⼀下⽅向，保证⾃⼰能向⾼处⾛。

不过，什么是“⾼”的⼀边？这个概念究竟是如何形成的？我们知道，海拔，我们希望能够找到⼭⾯上的海拔最⾼点（⼭顶）。

梯度关于梯度⼀个很⾃然的结论就是：沿梯度⽅向是f增长最快的⽅向，反⽅向是下降最快的⽅向。

条件极值拉格朗日乘数法

切平面方程为
Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
法平面方程：
Fy Gy
Fz Gz
x
x0
Fz Gz
Fx Gx
y
y0
Fx Gx
Fy Gy
z
z0
0
例2、求曲线 x2 y2 z2 6 , x y z 0 在点
（ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程。
解：
2 y 2z
T
1
1
即：
2z 2x ,
11
2x 2y
, 1
1
1, 2 ,1
T
1
,
y
' t
2t
,
z
' t
3t 2
在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1
T
1
,
2
,
3
切线方程：
x1 y1 z1
1
2
3
法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0
即： x + 2 y + 3 z = 6
2
y x
:
z
x
M0 x0 , y0 , z0
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 , 曲面在M处的法线方程为

浅谈拉格朗日乘数法在条件极值的应用

浅谈拉格朗日乘数法在条件极值的应用
作者：李强
来源：《现代职业教育·高职高专》2018年第07期
[摘要] 求多元函数最值问题和一元函数很类似，一元函数是通过求导数来判断函数的走势，找出极值，进一步找出最值，类似的，多元函数的最值也是通过求多元函数的极值，进一步找出最值。

以二元函数为例，先来讨论多元函数的无条件极值问题，再考虑有附加条件的极值，无条件极值问题往往讨论的是其极值点的搜索范围是目标函数的自然定义域，但是在生产实际中还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制，例如，一个直角三角形斜边长为l，自变量为两个直角边长x，y，现在要求直角三角形的周长最大值为多少，所以自变量x，y之间还必须满足x2+y2=l2这个附加条件。

像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值，无附加条件的极值为无条件极值。

考虑到将条件极值化为无条件极值并不是很容易，更多的条件极值还无法变成无条件极值，所以要寻找一种“万能”的求条件极值的方法，该方法可以直接寻求条件值的方法，可以不必先把条件极值化为无条件极值的问题，这种方法就是拉格朗日乘数法。

[关键词] 多元函数；条件极值；拉格朗日条件极值；数学建模
[中图分类号] O172 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）19-0110-02。

含边界在内的一般极值的必要条件与拉格朗日乘数法

第27卷第1期大学数学V ol.27,l.1 2011年2月COLLEGE M AT H EM AT ICS Feb.2011含边界在内的一般极值的必要条件与拉格朗日乘数法张新建,朱健民(国防科技大学理学院数学与系统科学系,长沙410073)[摘要]讨论包括定义域边界点在内的极值,称为一般极值.对可导的一元和多元函数给出了一般极值点的必要条件,这些必要条件与经典极值的必要条件是相容的.还利用一般极值的必要条件导出了条件极值的拉格朗日乘数法.[关键词]一般极值;必要条件;拉格朗日乘数法[中图分类号]O13[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2011)01-0179-03在高等数学的教材中[1,2]都规定函数的极值点(无论是一元还是多元函数)必须是函数定义域的内点,即不能是边界点,以下称这种极值点为经典极值点.这样的规定是为了方便地建立极值点的判断条件,例如,当函数可导时,则函数在某点处取(经典)极值的必要条件是函数在该点处的一阶导数等于零.这一必要条件成立就是以极值点必须是定义域内点为前提的.众所周知,若函数在定义域的边界上某点取极值,即使函数在该点(单侧)可导,导数也不一定为零.本文讨论包括定义域边界点在内的极值,称为一般极值.我们对可导函数给出了取一般极值的必要条件,这些必要条件与经典极值的必要条件是相容的.文中还利用一般极值的必要条件导出了条件极值的拉格朗日乘数法.1一元函数的一般极值定义1设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,x0I[a,b],若存在D>0,使得当x I N0(x0,D)H[a,b]时,恒有f(x)>f(x0),则称x0为f(x)在区间[a,b]上的一般极小值点,称f(x0)为f(x)在[a,b]上的一般极小值.这里N0(x0,D)={x:0<x-x0<D}.类似地定义一般极大值(点).一般极小值(点)和一般极大值(点)统称为一般极值(点).在定义1中,当x0是区间[a,b]的内点时,就是通常的极值点,即经典极值点;当x0是区间[a,b]的端点时,称为边界极值点.若设f c(x0)存在,则我们知道:当x0为经典极值点时,f c(x0)=0;当x0为边界极值点时,则要分情况.例如若x0为极小值点,则当x0为左端点时,f c(x0)\0;x0为右端点时, f c(x0)[0.下面的定理将给出统一描述.定理1设x0是f(x)在区间[a,b]上的一般极小值点,且f c(x0)存在,则存在D>0,当0<h<D 且x0+h I[a,b]时,恒有f c(x0)h\0.(1)证由一般极小值点的定义知,存在G>0,当0<|h|<G且x0+h I[a,b]时,有f(x0+h)-f(x0)>0.(2)又因为f(x)在x0处可导,则存在A(h)满足A(h)y0(h y0),使f(x0+h)-f(x0)=[f c(x0)+A(h)]h.(3)若f c(x0)=0,则(1)式显然成立.当f c(x0)X0时,存在0<D<G,当h<D时,[f c(x0)+A(h)]与[收稿日期]2008-03-27;[修改日期]2009-02-27180大学数学第27卷f c(x0)同号,再由(2)式知f c(x0)h>0(当h<D且x0+h I[a,b]时).综上知定理成立.根据定理1,当经典极小值点x0是区间[a,b]内点时,则(1)式中的h可正可负,从而f c(x0)=0;当x0是[a,b]的端点时,例如x0=a,则(1)式中的h只能为正,从而f c(x0)\0.同理,当x0=b时, f c(x0)[0.因此,定理1包含极值点的有关经典结果.定理1中的x0若为f(x)的一般极大值点,则相应于(1)式有f c(x0)h[0.2多元函数的一般极值以二元函数为例,以下的平面集合D在未声明时是指开或闭的连通集.定义2设二元函数f(x,y)在平面集合D上有定义,P0(x0,y0)I D.称P0是f(x,y)在D上的一般极小值点是指:存在D>0,当P(x,y)I N0(P0,D)H D时,有f(x,y)>f(x0,y0),其中N0(P0,D)是P0的空心D-圆形邻域.称f(x0,y0)为f(x,y)在D上的一般极小值.定义3设P0(x0,y0)I D.向量h={h1,h2}称为P0关于D的允许向量,如果存在向量函数r(D) ={r1(D),r2(D)},r(D)=o(D),和D0>0,使得当0<D<D0时,有P(x0+D h1+r1(D),y0+D h2+r2(D))I D.P0关于D的允许向量全体记为H(P0,D).定理2设f(x,y)在平面集合D上有定义,P0(x0,y0)I D为f(x,y)在D上的一般极小值点,且f(x,y)在P0处可微,则对任意的h I H(P0,D),有f c x(P0)h1+f c y(P0)h2\0.(4)证由一般极小值的定义知,存在D1>0,当P(x,y)I N0(P0,D1)H D时,有f(x,y)>f(x0,y0).对任意h={h1,h2}I H(P0,D),存在D0>0和向量值函数r(D)={r1(D),r2(D)}(r(D)=o(D)),使得P D(x0+D h1+r1(D),y0+D h2+r2(D))I D(0<D<D0).不妨取D0充分小,使P D I N0(P0,D1),于是f(P D)-f(P0)>0.再由f(x,y)在P0处可微知f(P D)-f(P0)=f c x(P0)(D h1+r1(D))+f c y(P0)(D h2+r2(D))+o(D)=[f c x(P0)h1+f c y(P0)h2]D+o(D),D y0.(5)若f c x(P0)h1+f c y(P0)h2=0,则(4)式成立.若f c x(P0)h1+f c y(P0)h2X0,则当D充分小时,上式右端与[f c x(P0)h1+f c y(P0)h2]D同号.而D>0,f(P D)-f(P0)>0,故f c x(P0)h1+f c y(P0)h2\0.即(4)式成立.若定理2中的P0为一般极大值点,则相应于(4)式有f c x(P0)h1+f c y(P0)h2[0.推论1若一般极值点P0为D的内点,则f c x(P0)=f c y(P0)=0.证当P0为D的内点时,知H(P0,D)包含所有二维向量,故由定理1知结论成立.推论2设P0为一般极值点,若H(P0,D)中至少有两个线性无关的向量使得(4)式等于零,则f c x(P0)=f c y(P0)=0.证将两个线性无关向量的坐标分别代入(4)式,再由线性代数方程组解理论即知.推论3设P0为一般极值点,若至少有两个线性无关的向量h,g使得?h,?g I H(P0,D),则f c x(P0)=f c y(P0)=0.证利用H(P0,D)含有?h,?g,即知h,g使(4)式等于零.再由推论2即得证.上述(1)式和(4)式给出了可导函数取一般极值的必要条件,与经典极值的必要条件是相容的.3拉格朗日乘数法求函数f(x,y)((x,y)I D)在约束条件g(x,y)=0下的极小值,就是求f(x,y)在集8={(x,y):(x,y)I D,g(x,y)=0}(6)上的一般极小值.首先给出下述引理.引理1 设由(6)式定义的8是连通集,P 0(x 0,y 0)I 8,g (x ,y )在P 0处可微,则对任意的向量h ={h 1,h 2}I H (P 0,8),有g c x (P 0)h 1+g c y (P 0)h 2=0.(7)证因为h I H (P 0,8),则存在D 0>0和r (D )={r 1(D ),r 2(D )},r (D )=o (D ),当0<D <D 0时,有P D (x 0+D h 1+r 1(D ),y 0+D h 2+r 2(D ))I 8.类似于(5)式得g(P D )-g (P 0)=[g c x (P 0)h 1+g c y (P 0)h 2]D +o (D ),又因为P 0,P D I 8,即g(P D )=g(P 0)=0,于是g c x (P 0)h 1+g c y (P 0)h 2=0.引理2 设在(6)式中D 为开集,P 0(x 0,y 0)I 8,f (x ,y ),g(x ,y )在P 0处可微,且g c x (P 0),g c y (P 0)不同时为零.则使(7)式成立的任意向量h ,必有h I H (P 0,8).证因为g cx (P 0),g c y (P 0)不同时为零,则存在数A 1,A 2,使得g c x (P 0)A 1+g c y (P 0)A 2=1.记u(D ,r )=g(x 0+D h 1+A 1r,y 0+D h 2+A 2r ),注意到上式,知u(0,0)=0,u c r (0,0)=1.由隐函数定理知,存在可导函数r =r (D )满足r (0)=0,且在D =0的某邻域内有u(D ,r (D ))=0,也即g(x 0+D h 1+A 1r (D ),y 0+D h 2+A 2r (D ))=0.又由隐函数求导法则和(7)式,知r c D (0)=-u c D (0,0)/u c r (0,0)=0,结合r (0)=0知r(D )=o (D ).因D 为开集,当D 充分小时,P D (x 0+D h 1+A 1r (D ),y 0+D h 2+A 2r(D ))I D,故P D I 8.综上知h I H (P 0,8).根据引理2知,h ={h 1,h 2}I H (P 0,8)的充分必要条件是(7)式成立.定理3(拉格朗日乘数法) 设D 为开集,由(6)式定义的8是连通集,P 0I D 为函数f (x ,y )((x ,y)I D)在条件g(x ,y )=0下的极值,且f (x ,y ),g(x ,y )在P 0处可微,g c x (P 0),g c y (P 0)不同时为零,则存在K X 0,使得f c x (P 0)=Kg c x (P 0), f c y (P 0)=K g cy (P 0).(8)证若(8)式不成立,则代数方程组g c x (P 0)h 01+g c y (P 0)h 02=0,f c x (P 0)h 01+f c y (P 0)h 02=1有惟一解h 0={h 01,h 02}.取h *={h *1,h *2}=-h 0,代入上式有g c x (P 0)h *1+g c y (P 0)h *2=0,则由引理2知h *I H (P 0,8).但是f c x (P 0)h *1+f c y (P 0)h *2=-1<0,与定理2矛盾.第2节和第3节关于一般极值的所有结果及其证明方法均可推广到n 元函数的情形.[参考文献][1] 菲赫金哥尔兹 .微积分学教程(第一卷第一分册)[M ].叶彦谦,等译.北京:人民教育出版社,1978.[2] 朱健民,李建平.高等数学[M ],北京:高等教育出版社,2007.Necessary Condition for General Local Extremum of Functionsand Lagrange Multiplier RuleZH AN G X in -j ian , ZH U J ian -min(Colleg e of Science,N ational U niv.o f Defense T echno lo gy ,Chang sha 410073,China)Abstract:N ecessary conditions fo r a class of g ener al lo cal extr emum of one -var iable and multiv ariate funct ions ar e pr oposed,these general local ex trema may occur at boundar y po ints o f the do g rang e multiplier r ule is deduced by the necessar y conditio n o f the g ener al ex tremum.Key words:general local extr emum;necessary co ndition;L ag range multiplier rule 181第1期张新建,等:含边界在内的一般极值的必要条件与拉格朗日乘数法。

用拉格朗日乘数法求极值步骤

用拉格朗日乘数法求极值步骤全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日乘数法是一种常用的数学工具，用于求解带有约束条件的极值问题。

在实际问题中，很多情况下都会存在一些条件限制，而拉格朗日乘数法正是针对这种情况而提出的一种解决方法。

下面我们将详细介绍使用拉格朗日乘数法求极值的步骤。

我们先来看一个简单的例子，假设我们要求函数f(x, y) = x^2 +y^2 在条件g(x, y) = x + y = 1下的最小值。

这个问题可以用如下的拉格朗日函数表示：L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y) = x^2 + y^2 - λ(x + y - 1)λ为拉格朗日乘数。

接下来的步骤就是通过对L(x, y, λ) 求偏导数来确定函数f(x, y) 在条件g(x, y) 下的极值点。

步骤一：计算L(x, y, λ) 对x, y的偏导数，并令其等于0，即求解以下方程组：步骤二：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。

在本例中，解方程组可得x = y = 1/2，λ = 1。

代入原函数f(x, y) = x^2 + y^2 可得最小值为1/2。

问题的解是f(x, y) = 1/2。

上面是一个简单的例子，下面我们将详细介绍拉格朗日乘数法求极值的一般步骤：步骤一：建立带有约束条件的拉格朗日函数。

假设我们要求函数f(x1, x2, ..., xn) 在条件g(x1, x2, ..., xn) = 0下的极值，那么其对应的拉格朗日函数为：步骤二：求解拉格朗日函数的梯度，令其等于零。

即求解以下方程组：∂L/∂x1 = ∂f/∂x1 - λ∂g/∂x1 = 0∂L/∂x2 = ∂f/∂x2 - λ∂g/∂x2 = 0...∂L/∂xn = ∂f/∂xn - λ∂g/∂xn = 0g(x1, x2, ..., xn) = 0步骤三：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。

解方程组可能有多个解，需要通过二阶导数判断哪一个是极值点。

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比较可知最大值为 1 ，最小值为 1 .
2
2
7-7
小结 12
求条件极值的方法: 1. 转化为无条件极值.
2. 利用拉格朗日乘数法. 注意要正确地写出目标函数和约束条件.
7-7
13 思考题
思考题
若 f ( x0 , y)及 f ( x, y0 ) 在( x0 , y0 ) 点均取得极值，则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )是否也取得极值？
7-7
1 回顾：求极值的一般步骤
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步定出 B 2 AC 的符号，再判定是否是极值.
Fx 3 x2 y2z 0
则
Fy 2x3 yz 0 Fz x3 y2 0
解得唯一驻点(6,4,2) ，
x y z 12
故最大值为 umax 63 42 2 6912.
根据具体情况从实际问题的物理、几何、经济意义
可以判断是否为最值
7-7
8 例题2
在区域{( x,
7-7
5 拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0 下的
可能极值点，
1. 先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
其中为拉格朗日乘数.
2. 由
f f
x y
( (
x x
, ,
y y
) )
x y
( (
x x
, ,
y y
) )
y) |
x2
y2
50}上,求z
x2
x y y2 1
的最大值和最小值.
解
zx
(x2
y2 1) 2x( x ( x2 y2 1)2
y)
0,
由
( x2 y2 1) 2 y( x y)
zy
( x2 y2 1)2
0,
得驻点( 1 , 1 )和( 1 , 1 ),
22
22
z( 1 , 1 ) 1 , 22 2
1 ( x, y, z, t ) 2 ( x, y, z, t )
其中1 ,2均为拉格朗日乘数，可由偏导数为零及
约束条件解出 x, y, z, t ，即得可能的极值点的坐标.
7-7
7 例题1
将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和使得 u x3 y2z 为最大.
解令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),
0, 0,
( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中(x, y )就是可能的极值点的坐
标.
7-7
6 更一般的情形
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：
要找函数u f ( x, y, z,t)在条件
( x, y, z,t) 0， ( x, y, z, t) 0
下的极值，
先构造函数F ( x, y, z,t) f ( x, y, z,t)
7-7
3 7.7 条件极值与拉格朗日乘数法
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
实例：求表面积为 S(固定) 、体积最大的长方
体的体积
V ( x, y, z) xyz
求极值
2xy 2 yz 2zx S 限制条件
7-7
4 求条件极值的方法
1. 转化为无条件极值问题. 2. 利用拉格朗日乘数法.
7-7
14 思考题解答
思考题解答
不是. 例如 f ( x, y) x 2 y 2,
当x 0时， f (0, y) y2在(0,0) 取极大值;
当 y 0时， f ( x,0) x 2在(0,0) 取极小值;
但 f ( x, y) x2 y2在(0,0) 不取极值.
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2 回顾：多元函数的最值的求法
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.
设函数在有界闭区域 D 上连续，在D内可微且只有有限个驻点。
则可按如下方法求最值：
将函数在区域 D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小
值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.
z( 1 , 1 ) 1 ,
22
2
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9 例题2续
x y z x2 y2 1 在边界上 {( x, y) | x2 y2 50}
利用拉格朗日乘数法得可能的最值点为（5，5）以及（－5，－5）：
z(5,5)=10/51
z(-5,-5)=-10/51
Байду номын сангаас
10 10 1 1
51 50 5 2