第十五章 值和条件极值
第十五章 极值和条件极值
§1. 极值和最小二乘法
一 极值
定义1 设(),f x y 在()000,M x y 的邻域内成立不等式
()()00,,f x y f x y ≤
则称函数(,)f x y 在点0M 取到极大值，点()000,M x y 称为函数的极大点，若在()000,M x y 的邻域内成立不等式
()()00,,f x y f x y ≥
则称函数(,)f x y 在点0M 取到极小值，点()000,M x y 称为函数的极小点。
极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。
定义 2 设D 是2R 内的一个区域，()00,x y 是D 的一个内点，如果()00,0f x y x
∂=∂，()00,0f x y y ∂=∂，则称()00,x y 是f 的一个驻点。
根据费玛定理，可知
定理1 二元函数的极值点必为0f f x y
∂∂==∂∂的点或至少有一个偏导数不存在的点。
注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。
例：z xy =在()0,0点。
例：z x =在()0,0点。
怎样进一步判断是否有极值？
定理2 设f 在点),(00y x 的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点),(00y x 是f 的一个驻点，
),(0022y x x f A ∂∂=，),(0022y x y
f C ∂∂=，),(002y x y x f B ∂∂∂=，2A B H AC B BC ==-，则：（1）若0,0H A >>，则f 在点),(00y x 有极小值；（2）若0,0H A ><，则f 在点),(00y x 有极大值；（3）若0H <，则f 在点),(00y x 没有极值；（4）若0H =，则须进一步判断。
例：求)1(b
y a x xy z --= )0,0(>>b a 的极值。
例：求333z axy x y =--的极值。
多元函数的最大（小）值问题
设函数),(y x f 在某一有界闭区域D 中连续且可导，必在D 上达到最大（小）值。
若这样的点0M 位于
区域内部，则在这点显然函数有极大（小）值。
因此，在这种情形函数取到最大（小）值的点必是极值点之
一。
然而函数),(y x f 的最大（小）值最可能在区域的边界上达到。
因此，为找出函数),(y x f z =在区域D 上的最大（小）值，必须找出一切有极值的内点，算出这些点的函数值，再与区域边界上的函数值相比较，这些数值中最大数（或最小数）就是函数在闭区域D 上的最大（小）值。
通常可根据问题的实际意义来判断。
例：有一块宽24cm 的矩形薄铁皮，把两边折起来，做成一个梯形水槽，问x 和θ各自为何值时，水槽的流量是最大？
例：试在x 轴，y 轴与直线2x y π+=围成的三角形区域上求函数()sin sin sin u x y x y =+-+的最大值。
二 最小二乘法
例：已知11(,)x T ，22(,)x T ，…(,)n n x T 服从线性关系：b ax y +=
问：如何根据这组数据来合理地确定系数a 和b ？
解：总偏差为
()2
1n i i i T ax b ε==--∑，
确定系数,a b ，使总偏差最小。
这种确定系数的方法叫做最小二乘法。
令
00a b
εε∂⎧=⎪⎪∂⎨∂⎪=⎪∂⎩ 即可解得,a b 。
几个疑问：1）如果0)(1212=-∑∑==n
i i n i i x x
n 怎么办？2）这样求出的b a 、 就是达到极小值的点？3）在选取 b a 、时，为什么不取各个偏差的代数和
∑=n i i 1ε作为总偏差？ 例：已知2y ax bx c =++，现测得一组数据(),i i x y ，1,2,,i n =L ，利用最小二乘法，求系数,,a b c 所满
足的三元一次方程组。
§2 条件极值
一 何谓条件极值
在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。
决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。
我们知道点),,(z y x 到点),,(000z y x 的距离为202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=。
现在的问题是要求出曲面0),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小。
即，问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题。
又如，在总和为C 的几个正数n x x x Λ,,21的数组中，求一数组，使函数值2
2221n x x x f +++=Λ为最小，这是在条件C x x x n =+++Λ21 )0(>i x 的限制下，求函数f 的极小值问题。
这类问题叫做条件极值问题。
二 条件极值的必要条件
为了方便起见，同时又不不失一般性，我们仅讨论以下情形。
前提：设函数),,,(v u y x f 具有对各个变元的连续偏导数，而这些变元v u y x ,,,之间又受到以下条件的限制： ⎩
⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x h v u y x g 其中),,,(v u y x g 和),,,(v u y x h 都具有对各个变元的连续偏导数，并且它们的行列式(,)0(,)
D g h D u v ≠。
目标：我们要求函数),,,(v u y x f 在限制条件0,0==h g 下的极值的必要条件。
定理1（限制极值的必要条件）),,,(v u y x f 在限制条件⎩
⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x h v u y x g 下于点),,,(0000v u y x 取得极值，那么必存在常数1λ，2λ使得在该点有：
00001000020000grad (,,,)grad (,,,)grad (,,,)f x y u v g x y u v h x y u v λλ=+
称1λ，2λ是lagrange 乘数（待定乘数）。
这一结果可推广靠n 元函数。
三 条件极值的求法
在具体解题时，例如在限制条件⎩
⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x h v u y x g 下求),,,(v u y x f 的极值，可如下进行： 1． 引入函数L （lagrange 函数）：),,,(),,,(),,,(),,,(21v u y x h v u y x g v u y x f v u y x L λλ--=。
2． 求L 的极值（视v u y x ,,,为独立变量）：由
0),,,(21=∂∂-∂∂-∂∂=∂∂x
h x g v u y x x f x L λλ，0),,,(21=∂∂-∂∂-∂∂=∂∂y h y g v u y x y f y L λλ， 0),,,(21=∂∂-∂∂-∂∂=∂∂u h u g v u y x u f u L λλ，0),,,(21=∂∂-∂∂-∂∂=∂∂v
h v g v u y x v f v L λλ， 0),,,(=v u y x g ，0),,,(=v u y x h 。
解得可能的极值点。
3. 求L 的二阶全微分2d L 。
若20d L >，则),,,(v u y x f 取得极小值；若2
0d L <，则),,,(v u y x f 取得极大值。
例：求空间内一点),,(c b a 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离。
例：要制造一容积为163m 的无盖长方形水箱，问水箱长、宽、高为多少时，所用材料最省？。
条件极值
9+ 5 3, +
9+ 5 3 , +
所以该椭圆到原点的最长距离为 最短距离
9− 5 3 . −
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内容小结
1. 函数的极值问题 利用必要条件在定义域内找驻点. 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点 如对二元函数 z = f ( x, y) , 即解方程组
f x ( x, y) = 0 f y ( x, y) = 0
以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制， 以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制， 这样的极值称为无条件极值. 但还有很多极值问题， 这样的极值称为无条件极值 但还有很多极值问题， 除受自变量定义域限制外, 还受到其他条件的限制. 除受自变量定义域限制外 还受到其他条件的限制 例如， 的长方体开口水箱， 例如，要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱，试 问水箱的长、 高各为多少时，其表面积最小？ 问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？ 为此，设水箱的长、 为此，设水箱的长、宽、高分别为 x , y , z , 则表面 积为
代入⑶ 若 y − x = 0 ⇒ y = x, 代入⑶式得 y = x = − 4 λ , 代入⑴式得 y = x = 2z = −4 代入⑴ 代入⑷ 代入⑷式得 λ = − 4
3
λ
λ,
2V
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得唯一稳定点
−4 x = y = 2z = 2V , λ = 3 2V 由题意可知合理的设计是存在的, 由题意可知合理的设计是存在的
第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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条件极值的推导过程
条件极值的推导过程要推导条件极值，首先需要了解什么是条件极值。
在数学中，函数的极值是指函数的最大值或最小值。
当函数在其中一点的导数为零或不存在时，这一点称为函数的极值点。
而条件极值指的是在一定条件下，函数的最大值或最小值。
假设我们有一个函数f(x)，需要求在一个区间[a,b]上的极值，但不仅是在这个区间上，我们还有一个条件g(x)=0。
那么我们需要利用这个条件来求解函数的条件极值。
接下来，我们将通过一个具体的例子来详细推导条件极值的过程。
例子：求函数f(x)=x^2在条件g(x)=x-1=0下的极值。
首先，我们需要找到函数的极值点。
函数f(x)=x^2的导数为f'(x)=2x。
令f'(x)=0，我们可以求得x=0。
接下来，我们需要确定x=0是否满足条件g(x)=x-1=0。
将x=0代入g(x)我们发现，当x=0时，g(x)=0-1=-1，而不满足条件。
因此，x=0不是函数的条件极值点。
此时，我们还需要考虑边界点。
根据条件g(x)=x-1=0，我们可以确定边界点为x=1对于边界点，我们同样需要对函数进行分析。
将x=1代入函数f(x)，我们得到f(1)=1^2=1、此时，x=1满足条件g(x)=0，因此x=1是函数的一个条件极小值点。
综上所述，函数f(x)=x^2在条件g(x)=x-1=0下的条件极值为极小值，且极小值点为x=1通过这个例子步骤1：求函数的导数f'(x)。
步骤2：令f'(x)=0，求出所有的极值点。
步骤3：对于每个极值点，将其代入条件g(x)并判断是否满足条件。
步骤4：对于满足条件的极值点，判断其是极小值还是极大值。
步骤5：对于非边界点的条件极值点，需要进行极值的验证。
需要注意的是，这个例子只是简单的说明了条件极值的推导过程。
实际上，在实际问题中，推导条件极值可能会更加复杂。
因此，在解决实际问题时，需要根据具体情况灵活应用这些步骤。
总之，通过求解函数的导数、确定极值点、验证边界点和条件，我们可以推导出函数的条件极值。
条件极值对自变量有附加条件的极值问题
条件极值：对自变量有附加条件的极值问题，称为条件 极值问题．
求f x, y,u,v在条件
g x, y, u,v 0
h
x,
y,
u,
v
0
约束下的极值.
下面讨论f 在点 x, y,u,v取到极值的必要条件.
Yunnan University
§2. 条件极值
设f 在M x, y,u,v点取到极值，则
yztdx
xztdy
xytdz
xyzdt
在点c,c,c,c处, L的二阶微分
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§2. 条件极值
d
2
L
2 c
dxdy
dydz
dxdz
dt
dx
dy
dz
将方程xyzt c4两端微分,在点c, c, c, c处有
dx dy dz dt 0 即
dt dx dy dz
Lt ( x, y, z, t) 0,
g(
x,
y,
z,
t
)
0,
h( x, y, z, t) 0.
解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.
§2. 条件极值
在可能的极值点 x, y, z,t ,
计算 d 2 L Lxxdx2 Lyydy2 Lzzdz2 2Lxydxdy 2Lxzdxdz
令
Lx 1 yzt 0
Ly
1
xzt
0
Lz
1
xyt
0
Lt
1
xyz
0
xyzt c4
Yunnan University
§2. 条件极值
解得
x
条件极值的求法
条件极值的求法条件极值是指在一定条件下，函数取得的最大值或最小值。
在解决实际问题时，我们经常需要求解条件极值。
本文将介绍条件极值的求法，包括拉格朗日乘数法、KKT条件法和梯度下降法等。
1. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求解有约束条件的极值问题的方法。
其基本思想是将原问题转化为一个无约束条件的最优化问题，然后求解该最优化问题得到原问题的解。
设函数f(x, y)为原问题的目标函数，g(x, y)为约束条件。
则原问题的拉格朗日函数为：L(x, y, λ) = f(x, y) + λ·g(x, y)其中，λ为拉格朗日乘数。
求解原问题的步骤如下：(1) 对目标函数f(x, y)求偏导数，并令偏导数等于0，得到无约束条件的最优化问题；(2) 对约束条件g(x, y)求偏导数，并令偏导数等于0，得到约束条件；(3) 将无约束条件的最优化问题与约束条件联立，求解得到原问题的解。
2. KKT条件法KKT条件法是拉格朗日乘数法的一种推广，可以用于求解更复杂的有约束条件的极值问题。
KKT条件包括：(1) 梯度下降方向：对于无约束条件的最优化问题，梯度下降方向为负梯度方向；对于有约束条件的最优化问题，梯度下降方向为负梯度方向与拉格朗日乘数的比值。
(2) 边界条件：当梯度下降方向指向可行域外时，需要满足一定的边界条件。
常见的边界条件有：梯度下降方向与可行域边界的交点处的梯度必须大于等于零；梯度下降方向与可行域边界的交点处的拉格朗日乘数必须大于等于零。
(3) 非负约束：对于有非负约束的问题，需要满足非负约束条件。
即目标函数的值必须大于等于零。
3. 梯度下降法梯度下降法是一种迭代求解无约束条件的最优化问题的方法。
其基本思想是通过计算目标函数在当前点的梯度，沿着梯度的负方向进行搜索，直到找到局部最优解或满足停止准则。
梯度下降法的迭代公式为：x(k+1) = x(k) - α·∇f(x(k))其中，x(k)表示第k次迭代的解，α为学习率，∇f(x(k))表示目标函数在x(k)处的梯度。
极值和条件极值.
条件极值
一、极值
若函数 f ( x, y) 在点 M 0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内成立
不等式
f ( x, y) f ( x0 , y0 )
则称 f ( x, y) 在点 M 0 取到极大值 f ( x0 , y0 ) ，点 M 0
称为函数 f ( x, y) 的极大点；
x x
24厘米
槽的梯形截面面积为
x
24 2 x
x
1 S ( x, ) [(24 2 x) (24 2 x 2 x cos )] x sin 2 (24 2 x x cos ) x sin 24x sin 2 x 2 sin x 2 sin cos
解出 x , y , ，其中 x , y 就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数 u f ( x , y , z , t ) 在条件 ( x , y , z , t ) 0 ，
( x , y , z , t ) 0 下的极值。
先构造函数（其中 1 , 2 均为常数）
F ( x , y , z ) xyz ( 2 xy 2 yz 2 xz a 2 ),
Fx yz ( 2 y 2 z ) 0, F xz ( 2 x 2 z ) 0, y Fz xy ( 2 y 2 x ) 0, 2 xy 2 yz 2 xz a 2 0.
因此，为了找出函数在区域
D 上的最大值
（或最小值），必需要找出所有有极值的内点，算出这些 点的函数值，再与区域边界上的函数极值相比较，这些数 值
Ch 15 极值与条件极值
Ch 15 极值与条件极值计划课时：8 时P 186 — 2042005. 08. 20.Ch 15 极值与条件极值 ( 8 时 )§ 1 极值和最小二乘法:一、极值1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.2． 极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 1 设为函数的极值点 . 则当和存在时 , 有0P )(P f )(0P f x )(0P f x =. ( 证 ))(0P f y 0=函数的驻点，不可导点，函数的可疑点。
3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实 )二次型 . 其矩阵为 222),(cy bxy ax y x g ++= . ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛c b b a ⅰ> 是正定的, 顺序主子式全,),(y x g ⇔0 > 是半正定的,),(y x g ⇔ 顺序主子式全; 0 ≥ⅱ> 是负定的, , 其中为阶顺序主子式.),(y x g ⇔0||) 1(1>−k ij k a k ij a 1||k 是半负定的, . ),(y x g ⇔0||) 1(1≥−kij k a ⅲ> < 0时, 是不定的.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛c b b a ),(y x g 充分条件的讨论: 设函数在点某邻域有二阶连续偏导数 . 由Taylor 公式 , 有),(y x f ),(000y x P )()(!21)(),() , (20200000ρD +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂=−++P f y k x h P f y k x h y x f k y h x f + + =)(0P f x h )(0P f y k[])()()(2)(!21220020ρD +++k P f hk P f h P f yy xy xx . 令 , , , 则当为驻点时, 有)(0P f A xx =)(0P f B xy =)(0P f C yy =0P [])(221),() , (2220000ρD +++=−++Ck Bhk Ah y x f k y h x f . 其中22k h +=ρ.可见式),() , (0000y x f k y h x f −++的符号由二次型完全决定.称该二次型的矩阵为函数的Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有222Ck Bhk Ah ++),(y x f ⅰ> , 为 ( 严格 ) 极小值点 ;0 , 02>−>B AC A 0 P ⇒ⅱ> , 为 ( 严格 ) 极大值点 ;0 , 02>−<B AC A 0 P ⇒ⅲ> 时, 不是极值点;0 2<−B AC 0P ⅳ> 时, 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .0 2=−B AC 0P 综上 , 有以下定理 .Th 4 设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数 , 是驻点 . 则)(P f 0P 0P ⅰ> ()0)( , 0)(020>−>P f f f P f xy yy xx xx 时 , 为极小值点;0P ⅱ> ()0)( , 0)(020>−<P f f f P f xy yy xx xx 时 , 为极大值点;0P ⅲ> ()0)( 02<−P f f f xy yy xx 时 , 不是极值点;0P ⅳ> ()0)( 02=−P f f f xy yy xx 时 , 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 0P 例1—4 P 189—191 . 二． 最小二乘法：215三．函数的最值：例5 求函数),(y x f y x y xy x 4102422+−−+=在域D = 上的最值 . } 4 , 0 , 0 |),( {≤+≥≥y x y x y x 解 令 解得驻点为. ⎩⎨⎧=+−==−+=.04 44),(,01042),(y x y x f y x y x f yx ) 2 , 1 (1) 2 , 1 (−=f . 在边界上 , , 驻点为) 40 ( 0≤≤=y x y y y f 42),0(2+−=1=y , ;2)1,0(=f 在边界上 , , 没有驻点;) 40 ( 0≤≤=x y x x x f 10)0,(2−=在边界) 40 ( 4≤≤−=x x y 上 , , 16185)4 , (2−+−=−x x x x f 驻点为, .8.1=x 2.0)8.14 , 8.1(=−f 又24)0,4( , 16)4,0( , 0)0,0(−=−==f f f .于是 , ==)}0,4( , )4,0( , )0,0( , )2.2 , 8.1( , )1,0( , )2,1(max{),(max f f f f f f y x f D2.0} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 max{=−−−=.),(min y x f D24} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 min{−=−−−=. Ex P 195 .§ 2 条件极值 ( 1 时 )一、条件极值问题 : 先提出下例:例 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以x 、y 和表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件之下求函数z V xyz =xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 . 条件极值问题的一般陈述 . 二、 条件极值点的必要条件 :设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数的极值 . 当满足约束条件的点是函数的条件极值点 , 且在该点函数=z ),(y x f ),(00y x ),(y x f ),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点就是一元函数0x 216217 )()( , x g x f z =的极限点 , 有0)(=′+=x g f f dxdz y x . 代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ−=′, 就有 0),(),(),(),(00000000=−y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ, ( 以下、、x f y f x ϕ、y ϕ均表示相应偏导数在点的值 . ) ),(00y x 即 x f y ϕ—y f x ϕ0= , 亦即 ( , ) x f y f (⋅y ϕ ,x ϕ−)0= .可见向量( , )与向量x f y f (y ϕ , x ϕ−)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ−)正交, 即得向量( , )与向量x f y f (x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使( , ) + x f y f λ(x ϕ , y ϕ)0=.亦即 ⎩⎨⎧=+=+. 0 , 0y yx x f f λϕλϕ三、Lagrange 乘数法 :由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组 的解.⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ倘引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 ) 则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x 以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 .四、 用Lagrange 乘数法解应用问题举例 :例1．求容积为V 的长方体形开口水箱的最小表面积 .例2．抛物面被平面z y x =+221=++z y x 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离.例3． 求函数在条件xyz z y x f =),,()0,0,0,0( 1111>>>>=++r z y x rz y x 下的极小值. 并证明不等式 311113abc c b a ≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛++− , 其中 为任意正常数 . c b a , ,218。
第十五章极值和条件极值(精)
（ 3）若 H 0 ，则 f 在点 (x0 , y0 ) 没有极值；
（ 4）若 H 0 ，则须进一步判断。
例 3：求 z xy(1 x y ) (a 0, b 0) 的极值。 ab
例 4：求 z
3axy
3
x
3
y 的极值。
多元函数的最大（小）值问题
设函数 f ( x, y) 在某一有界闭区域 D 中连续且可导，必在 D 上达到最大（小）值。若
统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。
定义 2： 设 D 是 R2 内的一个区域， x0 , y0 是 D 的一个内点，如果
f x0 , y0 0 ， f x0, y0 0 ，
x
y
则称 x0, y0 是 f 的一个驻点。
根据费玛定理，可知
龙岩学院数计院
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定理 1： 二元函数的极值点必为 f
这样的点 M 0 位于区域内部，则在这点显然函数有极大（小）值。因此，在这种情形函数取
到最大（小）值的点必是极值点之一。然而函数
f ( x, y) 的最大（小）值最可能在区域的边
界上达到。因此，为找出函数 z f ( x, y) 在区域 D 上的最大（小）值，必须找出一切有极
值的内点， 算出这些点的函数值，再与区域边界上的函数值相比较，这些数值中最大数
法，求系数 a, b, c 所满足的三元一次方程组。
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f x, y f x0 , y0 则称函数 f ( x, y) 在点 M 0 取到极大值， 点 M 0 x0, y0 称为函数的极大点， 若在 M 0 x0, y0
的邻域内成立不等式
f x, y f x0 , y0
则称函数 f ( x, y) 在点 M 0 取到极小值， 点 M 0 x0 , y0 称为函数的极小点。 极大值和极小值
第15章 极值和条件极值(ppt)
L = f (x, y,u,v) +α g(x, y,u,v) + β h(x, y,u,v) ,
于是所求极值点满足：
进一步，
⎧Lx = Ly = Lu = Lv = 0,
⎪ ⎨Lα
=
g
=
0,
⎪ ⎩
Lβ
=
h
=
0.
d 2L = (dLx )dx + (dLy )dy + (dLu )du + (dLv )dv.
例 15.3. 求 u = sin x + sin y − sin(x + y) 在闭区域 D (如下图)上的最大值和 最小值.
例 15.4. 有一块长方形薄铁皮，宽 b = 24cm . 问如何设计才能使槽的横 截面积最大.
二、最小二乘法 问题: 已知平面上的 n 个点 (x1, y1) , (x2, y2 ) ,L, (xn , yn ) ，求一个一次函数 （称为目标函数） y = ax + b ，使其能代表 n 个点，即怎样合理选择系 数a,b？
(1)
注 1. 条 件 (1)不 是 充 分 的 , 例 如 马 鞍 面 z = x2 − y2 , 在 (0,0) 点 , 有
fx (0, 0) = 0 = fy (0, 0) . 但在（0,0）不取极值.
注 2. 偏导数不存在的点, 也有可能是极值点. 例如,
z
=
⎧ ⎨ ⎩
x −
x
x≥0 x<0
第十五章 极值和条件极值 第一节 极值和最小二乘法
一、极值
定义. 给定二元函数 z = f (x, y) , 若在点 M0 (x0, y0 ) 的领域内，有 f (x, y) ≤ f (x0, y0 ) (或 f (x, y) ≥ f (x0, y0 ) )
第14-15章极值和条件极值隐函数
500第十四章 极值和条件极值在工程技术领域，经常会遇到诸如用料最省、收益最大、效率最高等问题，尽管这些问题具体背景不同，但其实质是函数的极值问题，在单变元微积分学中，我们已经建立了一元函数的极值理论。
本章我们采用类似的思想，以二元函数为例，建立多元函数的极值理论。
§1 无条件极值一、基本概念：设),(y x f u =定义在区域D 上，D y x M ∈),(000。
定义1：若在0M 的某领域)(0M U 内成立：≤),(y x f ),(00y x f ，对任意(,)x y ∈)(0M U ，称),(y x f 在0M 点达到极大值),(00y x f ，点),(000y x M 称为),(y x f 的极大值点。
注：类似可定义极小值（点）。
注：极值是一个局部概念，且只有区域的内点才有可能成为极值点。
类似一元函数的极值理论，我们先建立极值点的必要条件。
设),(000y x M 为),(y x f 的极值点且设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在。
考虑一元函数),(0y x f ，则),(0y x f 在0x 点取得极值，因而：00(,)|x df x y dx=0， 由多元函数偏导数的定义，则0(,)|0M f x y x∂=∂。
类似：0(,)|0M f x y y∂=∂。
故，若0M 是极值点，则必有0(,)|M f x y x∂=∂0， 0(,)|0M f x y y ∂=∂。
501定义2：若),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，且满足0(,)|M f x y x∂=∂0，0(,)|0M f x y y ∂=∂，称0M 为函数),(y x f 的驻点。
定理1：设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，则点0M 是)(M f 的极值点的必要条件是0M 是)(M f 的驻点。
上述定理1给出了偏导数存在的条件下点),(000y x M 成为极值点的必要条件。
高数多元函数的极值和条件极值教师教材.ppt
,
得
x
y
z
2
3
x y z 2 0
故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为
Smax
R2 2
3sin
2
3
3 3 R2 4 青苗辅导
.
xyz
24
2. 求平面上以 a ,b , c , d 为边的面积最大的四边形 ,
试列出其目标函数和约束条件 ?
a b
提示:
d
目标函数 : S 1 ab sin 1 cd sin
2
2
(0 ,0 )
c
约束条件 : a2 b2 2ab cos c2 d 2 2cd cos
答案: , 即四边形内接于圆时面积最大 .
青苗辅导
25
f (P) 为最小(大) 值
青苗辅导
10
例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水箱
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解:
设水箱长,宽分别为
x
,
y
m
,则高为
2 xy
m,
则水箱所用材料的面积为
2x y
2 x
2 y
令
Ax
2( y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则
x y z 2 , x 0 , y 0 , z 0
它们所对应的三个三角形面积分别为
S3
1 2
R2
sin
z
设拉氏函数 F sin x sin y sin z (x y z 2 )
cos x 0 解方程组 cos y 0