2条件极值
极值点的判定条件
极值点的判定条件极值点，也称为极大值点或极小值点，是函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
判定一个函数是否存在极值点，可以通过一些特定的条件来进行判断。
本文将介绍极值点的判定条件。
1. 极值点的定义在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在某个数c，使得函数在c处的值比它的邻近点的值都要大（或都要小），那么函数在点c处取得极大值（或极小值），这个点c就被称为极值点。
2. 导数的零点对于一元函数f(x)，我们可以通过求导数来找到它的极值点。
导数表示函数在给定点的变化率，当导数为零时，函数在该点可能取得极值。
所以，判定一个函数是否有极值点的第一步是找出导数的零点。
具体做法可以通过求函数f(x)的导数f'(x)，然后将f'(x)等于零的方程解出，得到它的零点。
这些零点即是函数可能的极值点。
3. 导数的符号变化在找到导数的零点后，我们还需要根据导数的符号变化来判定这些零点是否为极值点。
如果在导数的零点的左边，导数由正变负，那么这个零点将对应一个极大值点。
如果在左边导数由负变正，那么这个零点将对应一个极小值点。
对于导数为连续的函数来说，导数的符号变化和函数的极值点是一一对应的。
4. 二阶导数在某些情况下，导数的符号变化无法明确判定极值点的类型，此时可以通过二阶导数来进一步判断。
二阶导数表示函数的导数的导数，即f''(x)。
在一个极值点处，函数的二阶导数存在且不为零。
如果f''(x)大于零，那么这个极值点是一个极小值点；如果f''(x)小于零，那么这个极值点是一个极大值点。
需要注意的是，如果二阶导数不存在，或者为零，那么这个方法就失效了，还需要考虑其他的判定条件。
5. 边界点假设给定的函数在一个区间[a, b]上连续，那么该区间的边界点a和b也可能为极值点。
需要额外检查函数在边界点上的取值来判断是否为极值点。
6. 示例例如，给定函数f(x) = x^2 - 4x + 5。
16第十六讲 函数极值的第一和第二充分条件
即 x0 是 f ( x)的一个极小值点 .
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
定理6.12（极值的第二充分条件）
设 f (x) 在点 x0 的某领域 U ( x0;δ )内可导，f ′′( x0 )
存在. 若 f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) ≠ 0 ,
0
0
f ( x) ≥ f ( x0 ) , x ∈ ( x0 − δ , x0 ) .
同理可证 f ( x) 在 [ x0, x0 + δ ) 上递增,故
于是
f ( x) ≥ f ( x0 ) , x ∈ ( x0, x0 + δ ) . f ( x0 ) ≤ f ( x) , x ∈U ( x0; δ ) ,
极值判别
最大值与最小值
定理6.11（极值的第一充分条件）
设函数 f (x) 在 x0 连续，在某邻域U ( x0;δ )上可导. (i) 若当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时,f ′( x) ≤ 0, 当 x ∈ ( x0, x0 + δ )
时，f ′( x) ≥ 0, 则 f ( x) 在点 x0 取得极小值 .
(ii) 若当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时, f ′( x) ≥ 0, 当 x ∈ ( x0, x0 + δ )
时，f ′( x) ≤ 0, 则 f ( x) 在点 x0 取得极大值 .
证 根据导函数的符号判别函数单调性的方法, 可以
知道该定理的几何意义十分明显. 在这里仅给出 (i)
从而当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时, f ′( x) < 0 ;
高数(二)——二元函数的极值、概率论初步
二元函数的极值1.二元函数极值定义：某一个邻域内有定义，在设)0,0(),(y x y x z [])0,0(),(),0,0(),(y x z y x z y x z y x z ≥≤或若,)(),()0,0(值或极小的一个极大是则称y x z y x z 值点。
或极小的一个极大是称)(),()0,0(y x z y x ☆极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。
2.极值的必要条件：)0,0()0,0(),(y x y x y x f z 有极值，且在在点若=两个一阶偏导数存在，则：0)0,0(0)0,0(='='y x y f y x x f ，的点使)0,0(0)0,0()0,0(1y x y x y f y x x f ='='的驻点。
称为),(y x f z =的必要条件，定理的结论是极值存在2而非充分条件。
例：122+-=xyz ⎩⎨⎧===+='=-='0000202y x y yz x x z 解出驻点1)0,0(=z 112),0(0,0>+=≠=yy z y x 时，当112)0,(0,0<+-==≠xx z y x 时，当∴驻点不一定是极值点。
3.极值的充分条件：的某个领域内在设：函数)0,0(),(y x y x f y =为驻点，有二阶偏导数，且)0,0(y x [])0,0()0,0(2)0,0(y x yy f y x xx f y x xy f p ''⋅''-''=若：⎩⎨⎧⇒>''⇒<''<为极小值。
时，为极大值。
时，且当：)0,0(0)0,0()0,0(0)0,0(0y x f y x xx f y x f y x xx f p 不是极值。
当：)0,0(,0y x f p ⇒>不能确定。
极值点的第一充分条件和第二充分条件
极值点的第一充分条件和第二充分条件一、极值点的概念1. 极值点是函数在某一区间内的取值最大或最小的点。
极值点分为最大值和最小值两种。
2. 函数的极值点在数学和实际问题中具有重要的意义，它们可以帮助我们找到函数的最优解，比如最大利润、最小成本等。
3. 如果函数在某一点的导数为0，那么该点就有可能是函数的极值点。
二、极值点的第一充分条件1. 极值点的第一充分条件是：如果函数f(x)在点x0处可导，并且在x0的某个邻域内，f'(x)的符号在x0的两侧是相反的，即f'(x0-)与f'(x0+)异号，则x0就是函数f(x)的极值点。
2. 以求取极小值为例，当f'(x0-)表示x0左侧的导数，而f'(x0+)表示x0右侧的导数，如果f'(x0-) < 0且f'(x0+) > 0，那么x0就是函数f(x)的极小值点。
3. 以求取极大值为例，当f'(x0-) < 0且f'(x0+) > 0时，x0就是函数f(x)的极大值点。
4. 第一充分条件告诉我们，通过观察函数在极值点邻域内的导数符号变化，就可以初步判断出该点是否为极值点。
三、极值点的第二充分条件1. 极值点的第二充分条件是：如果函数f(x)在点x0处具有二阶导数，并且f'(x0) = 0，f''(x0)存在，则- 当f''(x0) > 0时，x0就是函数f(x)的极小值点；- 当f''(x0) < 0时，x0就是函数f(x)的极大值点。
2. 第二充分条件告诉我们，在满足第一充分条件的基础上，通过观察函数在极值点的二阶导数符号，可以进一步确定该点是极大值还是极小值。
3. 值得注意的是，第二充分条件只适用于具有二阶导数的函数，对于一阶导数不连续或者无法求导的函数则不适用。
四、极值点的实际应用1. 极值点的求解在实际问题中具有广泛的应用，比如在经济学中，可以通过求取函数的极值点来确定最大利润或最小成本；在物理学中，可以通过求解极值点来确定最短路径或最大速度等。
极值的判定方法详解
极值的判定方法详解极值是数学中一个重要的概念，它在优化问题、微积分和数学建模等领域中有着广泛的应用。
判定一个函数的极值是数学分析中的基本问题之一，本文将详细介绍极值的判定方法。
一、极值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在一个点x0，使得在x0的某个邻域内，对于任意的x，都有f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值或极小值，同时称x0为极值点。
二、一阶导数法判定极值一阶导数法是判定极值的常用方法之一。
根据函数的导数可以判断函数在某一点的增减性，从而判定极值。
1. 极值点的必要条件若函数f(x)在x0处可导且x0为极值点，则f'(x0)=0。
这是极值点的必要条件，但不是充分条件。
2. 极值点的充分条件若函数f(x)在x0处二阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)>0，则x0为f(x)的极小值点；若f''(x0)<0，则x0为f(x)的极大值点。
三、二阶导数法判定极值二阶导数法是判定极值的另一种常用方法。
通过函数的二阶导数可以判断函数在某一点的凹凸性，从而判定极值。
1. 极值点的必要条件若函数f(x)在x0处可导且x0为极值点，则f''(x0)=0。
这是极值点的必要条件，但不是充分条件。
2. 极值点的充分条件若函数f(x)在x0处二阶可导，且f''(x0)>0，则x0为f(x)的极小值点；若f''(x0)<0，则x0为f(x)的极大值点。
四、边界点和无界区间的极值判定除了在内部点判定极值外，还需要考虑函数在边界点和无界区间的极值情况。
1. 边界点的极值判定若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且在a处或b处的导数不存在，则f(x)在[a, b]上的极值点可能出现在a或b处。
2. 无界区间的极值判定若函数f(x)在区间(-∞, +∞)上连续，在(-∞, +∞)内可导，且当x→±∞时，f(x)趋于某个常数L，则f(x)在(-∞, +∞)上的极值点可能出现在x→±∞时。
拉格朗日乘数法二阶条件
拉格朗日乘数法二阶条件一、引言拉格朗日乘数法是数学中的一种优化方法，用于求解约束条件下的优化问题。
在实际问题中，经常会遇到需要优化一个函数的情况，但是又受到一些约束条件的限制。
拉格朗日乘数法提供了一种有效的方法，通过引入对应的拉格朗日乘子，将约束转化为优化目标的约束，从而使得原问题可以转化为无约束优化问题。
本文将详细介绍拉格朗日乘数法的二阶条件，以及其在如何判断极值点的方法。
二、拉格朗日乘数法概述拉格朗日乘数法是一种用于求解约束优化问题的方法，其基本思想是将约束条件转化为目标函数的约束条件。
假设我们要优化一个目标函数f(x)的同时满足一个或多个约束条件g(x)=0，其中x=(x1,x2,…,xn)为待优化的变量。
首先，我们定义拉格朗日函数L(x,λ)如下：L(x,λ) = f(x) - λg(x)其中，λ=(λ1,λ2,…,λm)为拉格朗日乘子，是引入的约束条件的系数。
然后，我们求解目标函数和约束函数的梯度为零的点，即∇f(x) - λ∇g(x) = 0。
找到这些点后，我们还需要判断是否为极值点，这就是拉格朗日乘数法的二阶条件。
三、拉格朗日乘数法二阶条件的推导在求解梯度为零的点时，我们得到了一组方程∇f(x) - λ∇g(x) = 0。
为了判断这些点是否为极值点，我们需要求解拉格朗日乘数法二阶条件的判别式，即判别矩阵的行列式。
具体来说，我们定义Hessian矩阵H(x,λ)和雅可比矩阵J(x)如下：H(x,λ) = ∇²f(x) - λ∇²g(x)J(x) = [∇g(x)]^T其中，∇²f(x)表示目标函数f(x)的二阶偏导数矩阵，∇²g(x)表示约束函数g(x)的二阶偏导数矩阵。
那么，拉格朗日乘数法的二阶条件可表示为：det(H(x,λ) - J(x)^TJ(x)) = 0其中，det表示方阵的行列式。
当判别式等于0时，说明该点可能是极值点，需要进一步判断。
极大值与极小值2
练习1：若函数f ( x) x3 ax2 ax没有极值，求a的取值范围.
练习2：求函数f ( x) x3 3ax b(a 0)的单调区间与极值点.
3 3 2
∴a=2.
例3:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处
有极值，求a、b的值
解： y ' (a ln x bx 2 x) '
a 2bx 1 x 因为在x=1和x=2处,导数为0
2 a a 2b 1 0 3 a 1 4b 1 0 b 2 6
∴
例4.若函数f ( x) x ax bx a
3 2
2
在x 1处有极值10，求a+b的值
例5.已知f ( x) 2ln( x a) x2 x在x 0处取得极值.
(1)求实数a的值； （2）若关于x的方程f ( x) b 0在区间[-1,1]上 恰有两个不同的实数根，求b的范围
分析：f(x)在 x 处有极值，根据一点是极值点的
必要条件可知， f
'(
3
3
) 0可求出a的值.
1 解： f '( x) (a sin x sin 3x) ' a cos x cos 3 x 3 ∵ f '( ) 0 ， 3 1 ∴ a cos cos(3 ) 0 a 1 0
4、极大值与极小值之间无确定的大小关 系即一个函数的极大值未必大于极小值， 如下图所示， x4 是极小值 x1 是极大值点， 点，而 f ( x4 ) f ( x1 )
例1:下列函数中，x=0是极值点的函数 是(
B
经济数学7.函数的极值判定定理(第二充分条件)
解： 因为函数 f (x)的定义域为 (,)， 且 f (x) 3x2 6x 9， 令 f (x) 0 ，得驻点 x1 1 , x2 3 ,
又 f (x) 6x 6。
经济数学
例题
求函数 f (x) x3 3x2 9x 2 的极值。
经济数学
f (x) 6x 6
解： 因为 f (1) 12 0，
所以函数 f (x) 在 x1 1处取得极大值， 且极大值为 f (1) 7 ；
因为 f (3) 12 0 ，
所以函数 f (x) 在 x2 3处取得极小值， 且极小值为 f (3) 25。
经济数学在线开放课程
函数极值判定定理 （第二充分条件）
授课教师：陈笑缘教授
经济数学
1
定理
2
例题
经济数学
1
定理
经济数学
经济数学
定理
定理4.6 （极值的第二充分条件）
设 x0是函数 f ( x) 的驻点，且 f (x0 ) 存在， 则
（1） 当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x)在 x0处取得极大值。 （2）当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x) 在 x0 处取得极小值。 （3）当 f (x0 ) 0 时，函数 f (x)在 x0处有无极值需另外判断。
经济数学
思考
1.为什么当 f (x0 ) 0 ，则 f (x0 ) 是否为函数 f ( x)的极值还
需要进一步判断？ 2.什么情况下用极值判断的第一充分条件？什么情况下用第二充 分条件？其利弊是什么?
经济数学在线开放课程经济源自学谢谢!经济数学二次函数 f (x) ax2 bx c , f (x) 2ax b , f (x) 2a ,