条件极值简介
高等数学第18章第4节条件极值
第十八章 隐函数定理及其应用§4条件极值以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制.例如 要设计一个容量为V 的长方形开口水箱，试问水箱的长ֽ宽ֽ高各等于多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长ֽ宽ֽ高分别为z y x ,,，则表面积为.)(2),,(xy yz xz z y x S ++=依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求)0,0,0(>>>z y x ，而且还须满足条件.V xyz = （1）这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.结论1：条件极值问题的一般形式是在条件组．．．．．．．．．．．．．．．．)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ （2）的限制下，求目标函数．．．．．．．．．．),,,(21n x x x f y = （．3．）．的极值．．．.．☆ 求条件极值的方法: 转化为无条件极值1、 用消元法将条件极值化为无条件极值问题来求解有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 如上面的例子，由条件（1）解出xy V z =，并代入函数),,(z y x S 中，得到.)11(2),,(),(xy xy V xy V y x S y x F ++== 然后按)0,0(),(=y x F F ，求出稳定点32V y x ==，并有3221V z =.最后判定在此稳定点上取得最小面积3243V S =.注．：1）在一般情形下要从条件组（2）中解出m 个变元并不总是可能的.下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.2、用拉格朗日乘数法在多数情况下较难把条件极值直接(例如消元法)转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.（1） 从较简单的情况入手设ϕ,f 均为二元函数，欲求函数),(y x f z = （4）在条件 0),(:=y x C ϕ （5） 的限制下的极值问题.我们有以下结论.结论2：若函数．．．),(y x f z =在．0),(=y x ϕ的附加条件下．．．．．．,．在点．．),(00y x 取得极值．．．．,．则．0),(00=y x ϕ, ．又如果．．．),(y x f z =在点．．0P 可微、．．．0),(=y x ϕ在点．．0P 的某邻域内能惟一确定可微的．．．．．．．．．．．．．隐函数．．．)(x g y =，．则有．．.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8) 上述等式等价于．．．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9） 如果引入辅助变量．．．．．．．．λ和辅助函数．．．．．),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= (10)则．(9)．．．中三式就是．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ (11)这样就把条件极值问题．．．．．．．．．．(4),(5)．．．．．．．转化为讨论函数．．．．．．．(10)．．．．的无条件极值问题．．．．．．．．.． 事实上:①0),(00=y x ϕ显然.②∵0),(=y x ϕ在点0P 的某邻域内能惟一确定可微的隐函数)(x g y =，∴0x x =必定是))(,(x g x f z =的极值点，所以，由),(y x f z =在0P 可微，)(x g y =在0x 可微，得到.0)('),(),(00000=+x g y x f y x f y x (6) 又 .),(),()('00000y x y x x g y x ϕϕ-= (7)把(7)代入(6)后又得到.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8)③由（8）可知方程组⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(0000P b P af P b P af y y x x ϕϕ 有非零解，不妨设0≠a ，令a b=0λ代如上试可得⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(000000P P f P P f y y x x ϕλϕλ.考虑到条件0),(00=y x ϕ即得⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9）④引入辅助变量λ和辅助函数),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= 则(9)中三式就是⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ ▋注．：1）上述结论就把条件极值问题转化为讨论函数(10)的无条件极值问题。
条件极值
现在引入函数 L ，称它为拉格朗日函数：
L ( x, y , u , v ) = f ( x, y, u , v) + ag ( x, y, u , v) + β h( x, y, u , v)
我们知道，函数 L 存在极值的必要条件为
Lx = 0, Ly = 0, Lu = 0, Lv = 0,
dF = dL = Lx dx + Ly dy + Lu du + Lv dv,
从而 F 的二阶微分有
d 2 F = d (dL)
= (dLx )dx + (dLy )dy + (dLu )du + Lu d 2u + (dLv )dv + Lv d 2 v,
但因为在极值点满足必要条件 Lu = 0 和 Lv = 0 ,所以
其中函数 g 和 h 都具有对各个变元的连续偏导数,并且 , 它们的雅可比行列式
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
我们要求函数 f ( x, y, u, v) 在限制条件
g(x, y,u,v) = 0,h(x, y,u,v) = 0
先来考虑极值的必要条件.
下的极值.
若函数 f ( x, y, u, v) 在某一点 M ( x, y, u, v) 达到极值,这里
α , β 称为拉格朗日乘数,也称为待定乘数.由于
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
总能求得不全为零的 α 和 β 使
∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂u ∂u ∂u ∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂v ∂v ∂v
这时, (4) 式化为
条件极值——精选推荐
于是 grad f ( x0, y0 ) 和 gradg(x0, y0 ) 平行 ．
再假定 gradg(x0, y0 ) ≠ 0 , 于是存在常数 λ ，使得 grad f (x0, y0 ) = λgradg(x0, y0 ) ．
f (x, y) 称为目标函数 ；g(x, y) = 0 称为约束条件 ．
此时 (x0, y0 ) 称为问题的一个解．
二元函数条件极值的拉格朗日乘子法
为了求解条件极值问题：
⎧min f (x, y)
⎩⎨s.t g(x, y) = 0 .
１
构造辅助函数 L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
⎪⎧min(max)
⎨ ⎪⎩s.t.
x2 +
f (x, y) = y2 −1= 0
x2
+
2x2
y
+
y2
．
1
构造辅助函数
L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
L( x, y, z,λ ) = x2 + 2x2 y + y2 − λ ( x2 + y2 − 1) .
列方程组：
3
3
3
例3 要设计一个容量为V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y ,
z 使在条件 x y z = V0 下水箱表面积 S = 2(xz + y z) + x y
计算条件极值
计算条件极值
条件极值是指在一定的条件下，函数取得的最大值或最小值。
计算条件极值需要使用拉格朗日乘数法。
假设有一个函数f(x,y)，需要在条件g(x,y)=0的情况下求出f(x,y)的极值。
首先，我们需要构造一个拉格朗日函数L(x,y,λ)，它的表达式为：
L(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)
其中，λ是拉格朗日乘数。
接下来，我们需要求出L(x,y,λ)对x、y和λ的偏导数，并令它们等于0：
∂L/∂x = ∂f/∂x + λ∂g/∂x = 0
∂L/∂y = ∂f/∂y + λ∂g/∂y = 0
∂L/∂λ= g(x,y) = 0
解这个方程组，就可以求出x、y和λ的值。
将这些值代入原函数f(x,y)中，就可以得到条件极值。
需要注意的是，拉格朗日乘数法只能求出条件极值，而不能求出无条件极值。
此外，如果条件g(x,y)不是光滑的函数，那么拉格朗日乘数法也无法求出极值。
拉格朗日乘数法是一种非常重要的数学工具，它在物理、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
多元函数条件极值
多元函数条件极值本文讨论的是多元函数条件极值问题。
极值是指函数的极大值和极小值，而条件极值是函数在某特定条件下的极大值或极小值。
多元函数条件极值是指在多个变量的条件限制下，函数的极大或极小值。
例如，f（x，y）= x2 + y2，其中x = 1，y = 2。
这意味着我们已经将变量x和y约束在特定的值之内，这样就可以求出条件极值。
因此，在这种情况下，条件极值为5。
多元函数条件极值的求解原理也与一元函数条件极值的求解原理相同，即要找到函数在约束条件下的极大/极小值，就必须找到当前函数极大/极小处的偏导数为0的解。
举例来说，假设我们有函数f（x，y）= x2 + y2，其中x = 1，y = 2。
我们首先要求函数的偏导数，得到：f/x = 2xf/y = 2y现在，我们必须将上述偏导数置于0，得到：2x = 02y = 0将x = 1，y = 2带入此方程，得到：2*1 = 02*2 = 0显然，这两个方程都是不成立的，这说明此处没有极值。
因此，在x = 1，y = 2处，f（x，y）= x2 + y2的极值为5。
另一种情况，我们考虑函数f（x，y）= x2 + y2，其中x = 3，y = -2。
此时，我们求得偏导数为：f/x = 2xf/y = 2y将偏导数置于0，得到：2x = 02y = 0将x = 3，y = -2带入此方程，得到：2*3= 02*（-2）= 0此时，这两个方程都成立，这说明此处有一个极值，称为条件极值。
因此，在x = 3，y = -2处，f（x，y）= x2 + y2的条件极值为13。
总之，多元函数条件极值是指在多个变量的条件限制下，函数的极大或极小值。
它的求解方法是将函数的偏导数等于0，并将满足条件的变量值带入方程，以计算极大极小值。
条件极值
一、极值
二、 条件极值拉格朗日乘数法
一、极值
若函数 f ( x, y) 在点 M 0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内成立
不等式
f ( x, y) f ( x0 , y0 )
则称 f ( x, y) 在点 M 0 取到极大值 f ( x0 , y0 ) ，点 M 0
称为函数 f ( x, y) 的极大点；
利用拉格朗日乘数法求函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x, y) 0 下的极值步骤如下： 1. 作拉格朗日函数
L( x , y, ) f ( x , y ) ( x, y )
2. 求拉格朗日函数的极值 先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组：
再考察稳定点是否是极值点
3. 函数的最值问题
第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别 • 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值
练习题 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.
解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则
x y z 2 ,
2z y y z 0
解方程组
⑴ ⑵ ⑶
2z x x z 0 2( x y ) x y 0 x yz V 0
⑷
( y x )(1 z ) 0 1 z 0, 于是 z 1 , 代入⑴式得 若 2 0, 不合题意. 若 y x 0 y x , 代入⑶式得 y x 4 ,
这是交于 Y 轴的两个平面。虽然， x 0 的点都是函数的极 小点，但是当 x 0 时，偏导数不存在。 综上所述，函数的极值点只可能在偏导数等于零的点和偏导数
条件极值
极值点,
Lx f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, Lx f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0.
4
由于dx和dy是相互独立的, 要使上式成立，必须 f x f y g h dx＝0 x x g h dy＝0 y y
7 8
§2. 条件极值
所以函数f x , y , u, v 在某点M x , y , u, v 达到条件极值, 则在该点处应满足(5), (6), (7), (8)及g 0, h 0.
§2. 条件极值
条件极值：对自变量有附加条件的极值问题，称为条件 极值问题． 求f x, y, u, v 在条件
g x , y , u, v 0 h x , y , u, v 0
约束下的极值.
下面讨论f 在点 x, y, u, v 取到极值的必要条件.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .
则问题就是条件 求函数 令
2 xy 2 yz 2 xz a 2 0
下，
V xyz ( x 0, y 0, z 0) 的最大值.
2
L( x, y, z ) xyz (2 xy 2 yz 2 xz a ),
由于连续函数x 2 2 y 2在有界闭集 {( x , y ) / x 2 y 2 1}上必有最值， 所以所求得的最大值为2，最小值为1。
§2. 条件极值
d L Lxx dx Lyy dy Lzz dz 2 Lxy dxdy 2 Lxz dxdz
高等数学：第十三讲 条件极值
方法1 代入法.
在条件 φ(x, y) 0 下，求函数 z f (x, y) 的极值.
转 化
从条件φ(x, y) 0 中解出 y ψ(x)
求一元函数 z f (x,ψ(x)) 的无条件极值问题.
02 拉格朗日乘数法
方法2 拉格朗日乘数法. 目标函数
约束条件
求函数 u f (x, y, z) 在条件 φ(x, y, z) 0下的极值.
条件极值
目录
01
条件极值
02 拉格朗日乘数法
01 条件极值
无条件极值：对自变量只有定义域限制. 极值问题
条件极值：对自变量除定义域限制外，还有其它条件限制.
条件极值的一般提法
求函数
z f (x, y)
在条件
φ(x, y) 0
下的极值.
目标函数 约束条件
01 条件极值
条件极值的求解方法
谢谢
先构造拉格朗日函数 F (x, y, z, λ) f (x, y, z) λφ(x, y, z)
然后解方程组 Fx fx(x, y, z) λφx (x, y, z) 0
Fy f y(x, y, z) λφy (x, y, z) 0
Fz
fz(x, y, z) λφz (x, y, z) 0
Fλ φ(x, y, z) 0
得出的解 x、y、z、λ 即为函数 u f (x, y, z) 在条件 φ(x, y, z) 0 下
可能取得极值的点的坐标．
例题：
求表面积为 a2 而体积为最大的长方体体积.
解 设长方体的长、宽、高分别为 x、y、z，则问题就是在条件
2xy 2 yz 2zx a2，即 φ(x, y, z) 2xy 2 yz 2zx a2 0 下求函数 V xyz (x 0, y 0, z 0) 的最大值. 构造拉格朗日函数 F (x, y, z, λ) xyz λ(2xy 2 yz 2zx a2 )， 则 Fx yz 2λ( y z)， Fy xz 2λ(x z)，
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11.3条件极值
极值问题
不带约束条件的极值问题，称为
无条件极值问题.
附有约束条件的极值问题，称为
条件极ห้องสมุดไป่ตู้问题.
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11.3条件极值
极值问题特点
无条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围是目标函数的定 义域.
条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围还要受到自变量 附加条件的限制.
这种方法称为拉格朗日乘数法, 辅助函数(x, y, )称为拉格朗日函数, 辅助变量 称为拉格朗日乘数.
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11.3条件极值
推广: 一般而言
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在约束条件组 F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F ( x , x ,..., x ) 0 2 1 2 n (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的条件极值.
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11.3条件极值
例如P204例7：水箱设计问题
目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
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11.3条件极值
条件极值问题的一般形式
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在满足函数方程组(限制条件) F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F2 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 (1) (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的极值. 这就是条件极值.函数方程组 称为联系方程组.
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11.3条件极值
若点P 0 ( x0 , y0 )是条件极值问题的极值点.其必要 条件恰好是点( x0 , y0 , 0 )是辅助函数(x, y, )的 稳定点.
由此产生了一个重要思想 : 通过引入辅助函数(x, y, )把条件极值问题, 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.
0 0 0 而方程组又只有一个稳定点P0 ( x1 , x2 ,..., xn ),
该点必为所求问题的极值点.
0 0 0 把极值点( x1 , x2 ,..., xn )代入目标函数,求得极值.
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11.3条件极值
例：用拉格朗日乘数法,重新求水箱设计问题: 目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
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11.3条件极值
求条件极值问题步骤:
1、引入拉格朗日函数 ( x1 , x2 , , xn , 1 , 2 , , m ) f ( x1 , x2 , , xn ) k Fk ( x1 , x2 , , xn ) .
k 1 m
f 1F1 m Fm .
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11.3条件极值
解：作辅助函数
(x , y , z , ) 2( xz yz ) xy ( xyz V ),
解方程组: x 2 z y yz 0, y 2 z x xz 0, 2( x y ) x y 0, z x yz V 0.
Fx( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 ) 1 f y ( x0 , y0 ) 0. Fy ( x0 , y0 )
f x( x0 , y0 )
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( x0 , y0 ) fy ( x0 , y0 ) Fy
Fx( x0 , y0 ) 0.
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11.3条件极值
如果引入辅助变量和辅助函数 (x, y, ) f ( x, y) F ( x, y)
x (x0 , y0 , 0 ) f x( x0 , y0 ) 0 Fx( x0 , y0 ) 0 y (x0 , y0 , 0 ) f y ( x0 , y0 ) 0 Fy ( x0 , y0 ) 0 ( x , y , ) F ( x , y ) 0 0 0 0 0 0
11.3条件极值
条件极值
条件极值的定义 条件极值的求法 拉格朗日乘数法
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11.3条件极值
例如P204例7：水箱设计问题
例7、用钢板制造容积为V的无盖长方形水箱，问 怎么选择水箱的长、宽、高才最省钢板.
目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
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11.3条件极值
引入辅助函数 ( x1 , x2 , , xn , 1 , 2 , , m ) f ( x1 , x2 , , xn ) k Fk ( x1 , x2 , , xn ).
k 1 m
称此函数为拉格朗日函数, 其中
1 , 2 , , m 称为拉格朗日乘数.
为消去 , 将前三式分别乘以 x , y , z , 则得
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11.3条件极值
2 xz x y x yz , 2 yz x y x yz , 2 z ( x y ) x yz .
两两相减后立即得出 x y 2 z , 再代入第四式,
n n
求函数 x1 x2 xn 并证明:
x1 x2 xn x1 x2 xn n
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11.3条件极值
为了便于记忆, 令0 = f y ( x0 , y0 ) Fy ( x0 , y0 ) .
若点P . 0 ( x0 , y0 )是条件极值问题的极值点 其必要条件是点( x0 , y0 )应满足方程:
f x( x0 , y0 ) 0 Fx( x0 , y0 ) 0 f y ( x0 , y0 ) 0 Fy ( x0 , y0 ) 0 F (x , y ) 0 0 0
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11.3条件极值
2、求拉格朗日函数的稳定点.
即求下述n m个方程的解.
m f Fk 0, i 1, 2, , n; k xi xi k 1 xi F ( x , x ,..., x ) 0, k 1, 2, , m; k 1 2 n k
3
x =y 2 z
Smin 2
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4 2V , 3 2V
3
3
2V 3 ( 2V 3 2V ) ( 2
2V )2 3
3
4V 2
11.3条件极值
例2：
设n个正数xi的和为定值a, 即 x1 x2 xn a 的条件下, u 的最大值.
设解是M 0
0 0 0 0 0 0 x1 , x2 ,..., xn , 1 , 2 ,..., m
,
求解过程可以消去 k , (k 1, 2, , m),
0 0 0 求得满足方程组得稳定点P0 ( x1 , x2 ,..., xn )
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11.3条件极值
3、由问题的实际意义,如果函数必存在条件极值,
将 y g ( x)代入目标函数f ( x, y )之中, f 化为 关于 x 的一元函数, z f x, g ( x) h( x).
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11.3条件极值
若点P0 ( x0 , y0 )是条件极值问题的极值点. 那么点x x0必定也是z h( x)的极值点.
从而有一元函数极值的必要条件可知, 点x x0必定是z h( x)的稳定点.
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11.3条件极值
注:
1、消元法并不是对所有的条件极值都是可行 的.比如约束条件是由隐函数组给出，而隐函 数组的解不一定是初等函数. 2、变量的平等性受到破坏.
所以我们要去寻找新的一般的方法。
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11.3条件极值
例: 求条件极值
目标函数: z f ( x, y ) 约束条件: C : F ( x, y) 0.
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11.3条件极值
寻找必要条件：
设z f ( x, y )在点P0 ( x0 , y0 )处取得极值，即 点P0 ( x0 , y0 )是条件极值问题的极值点. 那么P0 ( x0 , y0 )的坐标应满足什么样的条件?
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11.3条件极值
为此,设函数 f , F 的所有偏导数在点P0 的 ( x0 , y0 ) 0, 某邻域G连续, 且 Fy 则有隐函数定理,F ( x, y ) 0在G确定函数 y g ( x).
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11.3条件极值
条件极值的求法:
用消元法化为无条件极值. 拉格朗日乘数法.
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11.3条件极值
例如P204例7：
目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
1 1 V F ( x, y ) S x, y, xy 2V xy y x ( x 0, y 0)
dz h( x0 ) 0. 即 dx x x0
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11.3条件极值
f x( x0 , y0 ) 1 f y ( x0 , y0 ) g( x0 ) 0.
Fx( x0 , y0 ) 由隐函数定理 g ( x0 )= ,代入上式. Fy ( x0 , y0 )