§4条件极值
条件极值
9+ 5 3, +
9+ 5 3 , +
所以该椭圆到原点的最长距离为 最短距离
9− 5 3 . −
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内容小结
1. 函数的极值问题 利用必要条件在定义域内找驻点. 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点 如对二元函数 z = f ( x, y) , 即解方程组
f x ( x, y) = 0 f y ( x, y) = 0
以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制， 以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制， 这样的极值称为无条件极值. 但还有很多极值问题， 这样的极值称为无条件极值 但还有很多极值问题， 除受自变量定义域限制外, 还受到其他条件的限制. 除受自变量定义域限制外 还受到其他条件的限制 例如， 的长方体开口水箱， 例如，要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱，试 问水箱的长、 高各为多少时，其表面积最小？ 问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？ 为此，设水箱的长、 为此，设水箱的长、宽、高分别为 x , y , z , 则表面 积为
代入⑶ 若 y − x = 0 ⇒ y = x, 代入⑶式得 y = x = − 4 λ , 代入⑴式得 y = x = 2z = −4 代入⑴ 代入⑷ 代入⑷式得 λ = − 4
3
λ
λ,
2V
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得唯一稳定点
−4 x = y = 2z = 2V , λ = 3 2V 由题意可知合理的设计是存在的, 由题意可知合理的设计是存在的
第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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§4条件极值.
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拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般
目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数
L( x1 , x2 ,
f ( x1 , x2 ,
, xn , 1 , 2 ,
, xn )
m k 1
, m )
, xn ). (3)
, m 称
从而 z f ( x, y) 在条件 ( x , y ) 0下可能的极值. 必要条件
f x ( x0 , y0 ) x ( x0 , y0 ) 0
f y ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 ) 0
( x0 , y0 ) 0
我们引入函数 L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y) 上述必要条件恰好是函数L(x,y,)的驻点。
§4 条 件 极 值
一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 三、应用举例
一、问题引入
例1 小王有400元钱，他决定用来购买两种急需物品： 计算机光盘和录音磁带，设他购买x张光盘，y盒录音磁 带达到最佳效果，效果函数为
U ( x , y ) ln x ln y
设每张光盘8元，每盒磁带10元， 问他如何分配这400元以达到最佳效果． 问题的实质： 在条件 8 x 10 y 400 下求 U ( x , y ) ln x ln y 的极值点． 很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义域上 自由变化, 而是要受到某些条件的约束，即极值点的 搜索范围要受到各自不同条件的限制. 条件极值：对自变量有附加条件的极值．上 页 下 页 返 回
例2 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试问长、 宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到最小?
高等数学第18章第4节条件极值
第十八章 隐函数定理及其应用§4条件极值以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制.例如 要设计一个容量为V 的长方形开口水箱，试问水箱的长ֽ宽ֽ高各等于多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长ֽ宽ֽ高分别为z y x ,,，则表面积为.)(2),,(xy yz xz z y x S ++=依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求)0,0,0(>>>z y x ，而且还须满足条件.V xyz = （1）这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.结论1：条件极值问题的一般形式是在条件组．．．．．．．．．．．．．．．．)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ （2）的限制下，求目标函数．．．．．．．．．．),,,(21n x x x f y = （．3．）．的极值．．．.．☆ 求条件极值的方法: 转化为无条件极值1、 用消元法将条件极值化为无条件极值问题来求解有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 如上面的例子，由条件（1）解出xy V z =，并代入函数),,(z y x S 中，得到.)11(2),,(),(xy xy V xy V y x S y x F ++== 然后按)0,0(),(=y x F F ，求出稳定点32V y x ==，并有3221V z =.最后判定在此稳定点上取得最小面积3243V S =.注．：1）在一般情形下要从条件组（2）中解出m 个变元并不总是可能的.下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.2、用拉格朗日乘数法在多数情况下较难把条件极值直接(例如消元法)转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.（1） 从较简单的情况入手设ϕ,f 均为二元函数，欲求函数),(y x f z = （4）在条件 0),(:=y x C ϕ （5） 的限制下的极值问题.我们有以下结论.结论2：若函数．．．),(y x f z =在．0),(=y x ϕ的附加条件下．．．．．．,．在点．．),(00y x 取得极值．．．．,．则．0),(00=y x ϕ, ．又如果．．．),(y x f z =在点．．0P 可微、．．．0),(=y x ϕ在点．．0P 的某邻域内能惟一确定可微的．．．．．．．．．．．．．隐函数．．．)(x g y =，．则有．．.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8) 上述等式等价于．．．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9） 如果引入辅助变量．．．．．．．．λ和辅助函数．．．．．),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= (10)则．(9)．．．中三式就是．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ (11)这样就把条件极值问题．．．．．．．．．．(4),(5)．．．．．．．转化为讨论函数．．．．．．．(10)．．．．的无条件极值问题．．．．．．．．.． 事实上:①0),(00=y x ϕ显然.②∵0),(=y x ϕ在点0P 的某邻域内能惟一确定可微的隐函数)(x g y =，∴0x x =必定是))(,(x g x f z =的极值点，所以，由),(y x f z =在0P 可微，)(x g y =在0x 可微，得到.0)('),(),(00000=+x g y x f y x f y x (6) 又 .),(),()('00000y x y x x g y x ϕϕ-= (7)把(7)代入(6)后又得到.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8)③由（8）可知方程组⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(0000P b P af P b P af y y x x ϕϕ 有非零解，不妨设0≠a ，令a b=0λ代如上试可得⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(000000P P f P P f y y x x ϕλϕλ.考虑到条件0),(00=y x ϕ即得⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9）④引入辅助变量λ和辅助函数),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= 则(9)中三式就是⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ ▋注．：1）上述结论就把条件极值问题转化为讨论函数(10)的无条件极值问题。
条件极值
现在引入函数 L ，称它为拉格朗日函数：
L ( x, y , u , v ) = f ( x, y, u , v) + ag ( x, y, u , v) + β h( x, y, u , v)
我们知道，函数 L 存在极值的必要条件为
Lx = 0, Ly = 0, Lu = 0, Lv = 0,
dF = dL = Lx dx + Ly dy + Lu du + Lv dv,
从而 F 的二阶微分有
d 2 F = d (dL)
= (dLx )dx + (dLy )dy + (dLu )du + Lu d 2u + (dLv )dv + Lv d 2 v,
但因为在极值点满足必要条件 Lu = 0 和 Lv = 0 ,所以
其中函数 g 和 h 都具有对各个变元的连续偏导数,并且 , 它们的雅可比行列式
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
我们要求函数 f ( x, y, u, v) 在限制条件
g(x, y,u,v) = 0,h(x, y,u,v) = 0
先来考虑极值的必要条件.
下的极值.
若函数 f ( x, y, u, v) 在某一点 M ( x, y, u, v) 达到极值,这里
α , β 称为拉格朗日乘数,也称为待定乘数.由于
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
总能求得不全为零的 α 和 β 使
∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂u ∂u ∂u ∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂v ∂v ∂v
这时, (4) 式化为
条件极值——精选推荐
于是 grad f ( x0, y0 ) 和 gradg(x0, y0 ) 平行 ．
再假定 gradg(x0, y0 ) ≠ 0 , 于是存在常数 λ ，使得 grad f (x0, y0 ) = λgradg(x0, y0 ) ．
f (x, y) 称为目标函数 ；g(x, y) = 0 称为约束条件 ．
此时 (x0, y0 ) 称为问题的一个解．
二元函数条件极值的拉格朗日乘子法
为了求解条件极值问题：
⎧min f (x, y)
⎩⎨s.t g(x, y) = 0 .
１
构造辅助函数 L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
⎪⎧min(max)
⎨ ⎪⎩s.t.
x2 +
f (x, y) = y2 −1= 0
x2
+
2x2
y
+
y2
．
1
构造辅助函数
L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
L( x, y, z,λ ) = x2 + 2x2 y + y2 − λ ( x2 + y2 − 1) .
列方程组：
3
3
3
例3 要设计一个容量为V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y ,
z 使在条件 x y z = V0 下水箱表面积 S = 2(xz + y z) + x y
§4泰勒公式与极值问题
这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2)
相等的一个充分条件．
定理 17.7 若 f x y ( x, y) 与 f y x ( x, y) 都在点 ( x0, y0 ) 连续，则
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一切 (0 1), 恒有 P( x1 ( x2 x1), y1 ( y2 y1) ) D.
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D
•
P1 •
•
P2
P D
凸
图 17 - 6
• P2 P D
•
D
P1•
非凸
定理17.8 ( 中值定理 ) 设 f ( x, y) 在凸区域 D R2 上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对 D 内任意两 点 P(a,b), Q(a h,b k) int D , (0 1),使得
y s
z y
s
y s
2z x 2z y x z 2x
x2
s
x
y
s
s
x
s2
2z yx
x s
2z y2
y s
y s
z y
2y s2
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2z x 2
2z x y
x2
s
2
xy s s
2z y2
y s
2
z x
2x s2
1 y2
2 f v2
,
2z xy
y
f u
1 y
f v
2 f u 2 f v 1 f
u2
y
uv
y
y2
v
1 y
11.3.条件极值
2
2
将数 a 分成n个 个 最大. 最大 与平面
为抛物面 z = x2 + y2 上任一点， P 则 上任一点，
到平面 x + y − 2z − 2 = 0 的距离为
问题归结为 下的最小值. 下的最小值
6d
2
在约束条件
z− x − y =0
2 2
作函数 F = ( x + y − 2z − 2)2 + λ(z − x2 − y2 )
由实际意义最小值存在 , 故
7 = 4 6
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z=x +y
2
2
例3. 求圆柱面 与平面 相交所成椭圆的面积. ， 相交所成椭圆的面积
机动
目录
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结束
内容小结
函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 ( ( 思考与练习 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),
x2 y2 + =1 (x > 0, y > 0) 圆周上求一点 C, 使 试在椭圆 9 4
△ABC 面积 S△最大. 最大
思考与练习 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),
x2 y2 + =1 (x > 0, y > 0) 圆周上求一点 C, 使 试在椭圆 9 4 最大. △ABC 面积 S△最大 y A
满足联系方程组
的极值点， 的极值点，则存在常数 下列方程组： 满足下列方程组：
，而
和该点的坐标必同时
引入辅助函数
令函数
关于
§4[1].3.2函数的极值及其求法
![§4[1].3.2函数的极值及其求法](https://img.taocdn.com/s3/m/4df853777fd5360cba1adb65.png)
的极大(小)点。(证明从略)
[ 注： （1）若 f ( x ) 在a,b]
[a 上连续，则f ( x ) 在 ,b]
上必
有最大值和最小值。
（2） f ( x ) 在(a,b) 内某点取得“最值” x 是 f ( x ) ，则 的极值点，从而 x 一定是 f ( x ) 的驻点或导数不 存在的点。
2 x2 1 而 f (1) ， lim f ( x ) lim x 2e x lim 2 0, x x x e x e
1 ∴最大值是 f (1) 。 e
例 4．设某银行中的总存款量与银行付给存户年利率的平 方成正比。若银行以 20%的年利率把总存款的 90%贷出， 问银行给存户的年利率定为多少，它才能获得最大利润？
解：设银行付给存户的年利率为 x ，
T 总存款量为Q( x ) ，总利润为 ( x ) ，则
Q( x ) kx 2 （ k 为 常数） ，
T ( x )900 0200 0Q( x ) xQ( x ) ，即
T ( x ) 0.18kx 2 kx 3 ( 0 x 1) ，
T ( x ) 0.36 kx 3kx 2 3kx (0.12 x ) ，
当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
则 f ( x ) 在点 x 取得极大值；
（2）若当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
则 f ( x ) 在点 x 取得极小值； （3）若 f ( x ) 在点 x 的左、右邻域内保持同号，
x 0 是 f ( x ) x 3 的驻点，但 x 0 不是极值点。 例如：
（3） 称为可能极值点 。 导数不存在的点 驻点
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f y( x0,
? y( x0,
y0 y0
) )
??
x ( x0 ,
y0 )
?
0
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fx ( x0 , y0 )?1 ?
f
y(
x0 ,
y0
)
??? ?
?
? ?
x( y(
x0 , x0 ,
y0 y0
) )
?? ?
?
0
f x ( x0 ,
y0 )
?
f y( x0,
? y( x0,
y0 ) y0 )
§4 条 件 极 值
一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 三、应用举例
一、问题引入
例1 小王有400元钱，他决定用来购买两种急需物品： 计算机光盘和录音磁带，设他购买x张光盘，y盒录音磁 带达到最佳效果，效果函数为
U ( x, y) ? ln x ? ln y
设每张光盘8元，每盒磁带10元，
问他如何分配这400元以达到最佳效果．
??
x ( x0 ,
y0 )
?
0
为了方便记忆， 令
?
?
?
f y( x0, y0 )
? y( x0, y0 )
从而 z ? f ( x, y) 在条件 ? ( x, y) ? 0下可能的极值 .
必要条件
f x( x0, y0 ) ? ?? x ( x0, y0) ? 0
f y( x0, y0 ) ? ?? y(x0, y0 ) ? 0
例2 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试问长、 宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到最小? 若设长、宽、高各等于 x, y, z,
则 目标函数: S ? 2z( x ? y) ? x y; 约束条件: x yz ? V .
条件极值问题的特点是: 对自变量有附加条件。 解决这类极值问题的方法叫做拉格朗日乘数法. 条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还能用来证 明或建立不等式.
为拉格朗日乘数 .
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定理 18.6 设上述条件极值问题中的函数 f 与 ? k
(k ? 1,2, , m) 在区域 D上有连续一阶偏导数 . 若 D 的内点 P0( x1(0) , x2(0) , , xn(0) ) 是该条件极值问
题的极值点 , 且
? ??1
? ?
?
x1
Hale Waihona Puke rank ?个方程的解 :
? ? ?
?L ?xi
?
?f ?xi
?
m
? ?k
k? 1
?? k
?xi
? 0, i ? 1,2,
, n;
? ? ??
?L
?? k
?
? k ( x1, x2 ,
, xn ) ? 0, k ? 1,2,
, m.
说明 对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说 明;
对一般情形的证明 , 在二十三章的 定理 23.19 给出了
0, 0,
??
? ( x, y) ? 0.
求其驻点，得出x , y, ? ，
其中x, y 就是可能的极值点坐标.
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拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况: 要找函数u=f(x , y , z , t)在条件
? ( x, y, z, t) ? 0 ? ( x, y, z, t) ? 0
? ( x0, y0) ? 0
我们引入函数 L( x, y,? ) ? f ( x, y) ? ?? ( x, y)
上述必要条件恰好是函数L(x,y,? )的驻点。 上页 下页 返回
由此产生了一个重要思想:
通过引入辅助函数 L( x, y,? ), 把条件极值问题转化
成为关于这个辅助函数的普通极值问题.
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三、应用举例
例1 求U ( x, y) ? ln x ? ln y 在8 x ? 10 y ? 400条件下的最值 .
解 F ( x, y, ? ) ? ln x ? ln y ? ? (8 x ? 10 y ? 400)
下的极值。 先构造函数
L( x, y, z,t) ? f ( x, y, z,t) ? ?1? ( x, y, z,t) ? ? 2? ( x, y, z,t) 求其驻点 可由 偏导数为零及条件解出 x, y, z,t, ?1,? 2 即得 x, y, z,t, 为可能的极值点坐标.
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问题的实质： 在条件 8 x ? 10 y ? 400
下求 U ( x, y) ? ln x ? ln y 的极值点．
很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义域上 自由变化, 而是要受到某些条件的约束，即极值点的 搜索范围要受到各自不同条件的限制. 条件极值：对自变量有附加条件的极值．上 页 下 页 返 回
? ?
??
m
?? ? x1
??1 ?
?
xn
? ?
? ? m,
?
?
m
? ?
? xn ?? P0
则存在
m
个常数
?
(0) 1
,?
(0) 2
,
,?
(0) m
,
使得
( x1(0) , x2(0) ,
,
xn(0)
,
?
(0) 1
,?
(0) 2
,
,?
(0) m
)
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为拉格朗日函数 (3) 的稳定点 , 即它是如下 n ? m
拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般
目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数
L( x1, x2 , , xn ,? 1, ? 2 , ,? m )
m
? f ( x1, x2, , xn ) ? ? ? k? k( x1, x2 , , xn ). (3)
k?1
称此函数为 拉格朗日函数 , 其中 ? 1,? 2, ,? m 称
即要找函数 z ? f ( x, y) 在条件 ? ( x, y) ? 0下可能的极值 .
先构造函数: L( x, y,? ) ? f ( x, y) ? ?? ( x, y)
可由
此函数称为拉格朗日乘数函数
?? ?
fx ( x, f y( x,
y) ? y) ?
?? ??
x ( x, y ( x,
y) ? y) ?
y ? ? ( x),
则z ? f ( x, ? ( x))在点x0处取得极值，
若z ?
f ( x, y)具有一阶连续偏导数
,
从而 dz dx
x? x0
?
0
即
fx ( x0, y0 )?1 ?
f
y
(
x0
,
y0
)
??? ?
?
? ?
x y
( (
x0 x0
, ,
y0 y0
) )
?? ?
?
0
fx(
x0 ,
y0 ) ?
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二、拉格朗日乘数法
要找函数 z ? f ( x, y) 在条件 ? ( x, y) ? 0下可能的极值 .
设z ? f ( x, y)在点( x0 , y0 )处取得极值，且? y ( x0 , y0 ) ? 0,
由隐函数定理知 ? ( x, y) ? 0在 U ( x0 , y0 )内确定函数