条件极值对自变量有附加条件的极值问题(精)
条件极值
9+ 5 3, +
9+ 5 3 , +
所以该椭圆到原点的最长距离为 最短距离
9− 5 3 . −
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内容小结
1. 函数的极值问题 利用必要条件在定义域内找驻点. 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点 如对二元函数 z = f ( x, y) , 即解方程组
f x ( x, y) = 0 f y ( x, y) = 0
以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制， 以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制， 这样的极值称为无条件极值. 但还有很多极值问题， 这样的极值称为无条件极值 但还有很多极值问题， 除受自变量定义域限制外, 还受到其他条件的限制. 除受自变量定义域限制外 还受到其他条件的限制 例如， 的长方体开口水箱， 例如，要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱，试 问水箱的长、 高各为多少时，其表面积最小？ 问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？ 为此，设水箱的长、 为此，设水箱的长、宽、高分别为 x , y , z , 则表面 积为
代入⑶ 若 y − x = 0 ⇒ y = x, 代入⑶式得 y = x = − 4 λ , 代入⑴式得 y = x = 2z = −4 代入⑴ 代入⑷ 代入⑷式得 λ = − 4
3
λ
λ,
2V
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得唯一稳定点
−4 x = y = 2z = 2V , λ = 3 2V 由题意可知合理的设计是存在的, 由题意可知合理的设计是存在的
第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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条件极值论文：条件极值引出的问题解决
条件极值论文：条件极值引出的问题解决在高等数学中，我们会遇到大量求多元函数的最值问题，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有着密切的联系.同时，求多元函数的极值时，还会遇到对自变量有附加条件的极值问题，即条件极值.对自变量无附加条件约束的极值称为无条件极值.教学中，当讲到拉格朗日乘数法时，学生往往会对条件极值提出很多质疑，本文就条件极值的若干问题加以探讨.一、极值是什么，怎样求极值条件极值与极值有密切的关系，它们都刻画的是函数在局部范围的最值问题.同济大学数学系编的《高等数学》教材上关于二元函数极值的定义是：定义设函数z=f(x,y)的定义域为d，p0(x0,y0)为d的内点.若存在p0的某个邻域u(p0) d，使得对于该邻域内异于p0的任何点(x,y)，都有f(x,y)f(x0,y0)，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极小值f(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数z=f(x,y)的极小值点.极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为函数的极值点.把二元函数推广到n元函数，即得多元函数极值的概念：设n元函数u=f(p)在点p0的某一邻域u(p0)内有定义，如果对于该邻域内异于p0的任何点p都有f(p)f(p0))，则称函数u=f(p)在点p0有极大值(或极小值)f(p0).求z=f(x,y)的极值的一般步骤为：第一步解方程组fx(x,y)=0，fy(x,y)=0，求出f(x,y)的所有驻点.第二步求出函数f(x,y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处a，b，c的值，并根据ac-b2的符号判定各个驻点是否为极值点.最后求出函数f(x,y)在极值点处的极值.二、条件极值是什么，如何求条件极值是高等数学多元函数极值理论中一类重要的问题，但是教材没有给出严格的定义，都以叙述的形式表达.如“求多元函数的极值时，对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，往往还受其他附加条件的限制，我们把这种对自变量有其他附加条件约束的极值称为条件极值”等等.关于怎样求条件极值，教材交代了两种方法.其一,求解约束条件比较简单的条件极值问题时，可以把条件极值化为无条件极值，然后加以解决.其二，直接寻求求条件极值的方法，也是教材花大篇幅介绍的方法，即拉格朗日乘数法.先引入lagrange函数l,再求出此函数的驻点，然后做进一步的判断.用拉格朗日乘数法虽然很方便，但极值点的判定却比较麻烦.三、求极值的方法和拉格朗日乘数法运用的异同是什么二元函数的极值问题，一般是利用偏导数来解决.拉格朗日乘数法是通过引入lagrange函数l，从而将有约束条件的极值问题化为普通的无条件的极值问题.从思想上看，两种方法均是缩小自变量的取值范围，先找出候选点（即可能的极值点），再试图缩小范围得到真的极值点.四、能否先求驻点和偏导数不存在的点，再筛选教材在条件极值的定义上存在着不严谨之处，导致的结果是在教学过程中，学生往往会产生这样的困惑：既然极值是在驻点和偏导数不存在的点中寻找，而条件极值只不过是对自变量附加了额外的条件，那求条件极值时完全可以采用先求函数的驻点和偏导数不存在的点，再根据附加条件对驻点加以筛选和排除，最终对剩余的驻点和偏导数不存在的点做进一步真伪判断即可，何苦要引入拉格朗日函数使得问题复杂化呢？关于这个问题，有一种办法是通过某题按照不同的方法得出不同的结果加以反驳，但最好的办法是揭示二者的本质区别.事实上，以二元函数为例来说，设函数z=f(x,y)的定义域为d，若函极的极值点为p0(x0,y0)，极值为z0，表明在曲面z=f(x,y)上，点(x0,y0,z0)是它较小周围中最高的或者最低的一个点，也可以说点(x0,y0,z0)是它较小周围最凸的或者最凹的点，还可以说在点p0(x0,y0)的较小周围（即存在p0的某个邻域u(p0) d），p0(x0,y0)的函数值z0是最大的或者最小的.然而，对同样的函数z=f(x,y)，附加条件g(x,y)=0后，若条件极值为z1，对应的极值点为p1(x1,y1) ，表明的是在曲面z=f(x,y)上，点(x1,y1,z1)不一定是它较小周围中最高的或者最低的一个点，而是沿着柱面g(x,y)=0与曲面z=f(x,y)的交线看，点(x1,y1,z1)是它附近最高的或者最低的一个点，也可以说沿着柱面g(x,y) =0与曲面z=f(x,y)的交线看，点(x1,y1,z1)是它附近最凸的或者最凹的点，还可以说在xoy平面上沿着g(x,y) =0看，在点p1(x1,y1)的附近，p1(x1,y1)的函数值z1是最大的或者最小的.因此，尽管极值和条件极值都是函数值互相比较大小的结果，是局部小范围的最值，但这两种情况下要考察的自变量的取值范围却有很大的区别：无条件极值互相比较函数值的考察范围是在点p0(x0,y0)的邻域u(p0)中，此领域是一个圆形区域，而条件极值互相比较函数值的考察范围是在g(x,y)=0这条曲线上点p1(x1,y1)的附近，此“附近”是一段曲线弧，当自变量在附加条件形成的区域中取值时，临靠近条件极值点时，以条件极值为最值.反映在函数图像上，前者是面上的考量，后者是线上的考量.显然，当无条件极值的极值点同时也满足条件极值附加条件g(x,y)=0的情况发生时，这样的无条件极值点一定也是条件极值点，另一方面，当满足g(x,y)=0的条件极值点确定后，这样的条件极值点不一定是无条件极值点.条件极值点和无条件极值点可以有非空交集，也可以交集为空.附加条件不是g(x,y)=0情形可做类似分析.有了上述剖析，学生的困惑就迎刃而解.如若“先求函数的驻点和偏导数不存在的点，再根据附加条件对驻点加以筛选和排除”，这样就会漏掉一些可能的条件极值点，使得解题不全面.五、结语在约束条件g(x,y)=0下讨论二元函数z=f(x,y)的极值问题时，如果由g(x,y)=0能求得x或y，此时把求二元函数的条件极值可转化为求一元函数的极值.但有时通过方程g(x,y)=0解得x或y并不是一件容易的事情，使用这种方法就困难了.在教授学生新知识、新概念时，教师对学生容易或者可能出现的错误要有足够的认识，对学生产生的疑难，要从本质上加以解决，给学生留下深刻的印象，防止日后重犯错误.。
高考数学中的条件极值问题详解
高考数学中的条件极值问题详解随着高考的临近，每年的高考数学考试都是很多考生最为头疼的一部分。
其中，条件极值问题就是很多考生容易遇到的难题。
本文将从条件极值问题的定义、解题思路和常见例题等方面来详解这一难点。
一、条件极值问题的定义条件极值问题是指在满足一定条件下，求出目标函数的最大值或最小值。
所谓目标函数，就是表示问题中要求最大值或最小值的那个函数式。
条件则是问题给出的限制条件。
例如，假设有一个长为 L、宽为 W 的矩形，求其面积最大值，那么这个“最大值” 就是目标函数，而长和宽的限制条件则是其长度 L、宽度 W 必须满足的限定范围。
二、解题思路1. 确定目标函数在解题过程中，首先要明确目标函数是什么，根据题目描述确定目标函数，通常来说是在条件下求出某个量的最大值或最小值。
2. 确定限制条件由题目中的条件限制，列出等式或不等式，这些条件是问题的限制条件，限定了问题中变量的取值范围。
3. 消去无关变量有时候，为了方便计算，我们需要将无关变量进行消去，只留下一个或两个有关的变量。
4. 联立目标函数和条件将目标函数和限制条件进行联立，并进行化简，得到一条或多个关于有关变量之间的等式或不等式关系。
5. 求导数如果是求最值，那么需要对目标函数进行求导，然后将导函数等于零的解代入原函数中，并判断取得最大值或最小值的点是否在条件限制范围之内。
三、常见例题解析1. 一个质量为 m 的圆柱体，其长度为 L，求将它铸成一个底面积为 A 的球体，所需要的最少金属材料的量。
分析：目标函数为金属的总重量，即重量 W；限制条件可以根据推导得出表达式4πR^2 = A 和V = πR^2L。
其中，R 表示球体的半径，V 表示圆柱体的体积。
根据重量 W 以 R 为单变量函数求导数，并求出导数等于零的解 R0，将其代入 W 中求得最小值。
2. 在所有等边三角形 ABC 中，以 AK、BL、CM 为三边所成的三角形P 的面积最大。
证明此三角形是等边三角形，并求其面积。
§4条件极值.
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拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般
目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数
L( x1 , x2 ,
f ( x1 , x2 ,
, xn , 1 , 2 ,
, xn )
m k 1
, m )
, xn ). (3)
, m 称
从而 z f ( x, y) 在条件 ( x , y ) 0下可能的极值. 必要条件
f x ( x0 , y0 ) x ( x0 , y0 ) 0
f y ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 ) 0
( x0 , y0 ) 0
我们引入函数 L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y) 上述必要条件恰好是函数L(x,y,)的驻点。
§4 条 件 极 值
一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 三、应用举例
一、问题引入
例1 小王有400元钱，他决定用来购买两种急需物品： 计算机光盘和录音磁带，设他购买x张光盘，y盒录音磁 带达到最佳效果，效果函数为
U ( x , y ) ln x ln y
设每张光盘8元，每盒磁带10元， 问他如何分配这400元以达到最佳效果． 问题的实质： 在条件 8 x 10 y 400 下求 U ( x , y ) ln x ln y 的极值点． 很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义域上 自由变化, 而是要受到某些条件的约束，即极值点的 搜索范围要受到各自不同条件的限制. 条件极值：对自变量有附加条件的极值．上 页 下 页 返 回
例2 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试问长、 宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到最小?
条件极值拉格朗日乘数法
Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
法平面方程：
Fy Gy
Fz Gz
x
x0
Fz Gz
Fx Gx
y
y0
Fx Gx
Fy Gy
z
z0
0
例2、求曲线 x2 y2 z2 6 , x y z 0 在点
（ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程。
解：
2 y 2z
T
1
1
即：
2z 2x ,
11
2x 2y
, 1
1
1, 2 ,1
T
1
,
y
' t
2t
,
z
' t
3t 2
在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1
T
1
,
2
,
3
切线方程：
x1 y1 z1
1
2
3
法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0
即： x + 2 y + 3 z = 6
2
y x
:
z
x
M0 x0 , y0 , z0
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 , 曲面在M处的法线方程为
条件极值对自变量有附加条件的极值问题
条件极值：对自变量有附加条件的极值问题，称为条件 极值问题．
求f x, y,u,v在条件
g x, y, u,v 0
h
x,
y,
u,
v
0
约束下的极值.
下面讨论f 在点 x, y,u,v取到极值的必要条件.
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§2. 条件极值
设f 在M x, y,u,v点取到极值，则
yztdx
xztdy
xytdz
xyzdt
在点c,c,c,c处, L的二阶微分
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§2. 条件极值
d
2
L
2 c
dxdy
dydz
dxdz
dt
dx
dy
dz
将方程xyzt c4两端微分,在点c, c, c, c处有
dx dy dz dt 0 即
dt dx dy dz
Lt ( x, y, z, t) 0,
g(
x,
y,
z,
t
)
0,
h( x, y, z, t) 0.
解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.
§2. 条件极值
在可能的极值点 x, y, z,t ,
计算 d 2 L Lxxdx2 Lyydy2 Lzzdz2 2Lxydxdy 2Lxzdxdz
令
Lx 1 yzt 0
Ly
1
xzt
0
Lz
1
xyt
0
Lt
1
xyz
0
xyzt c4
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§2. 条件极值
解得
x
多元函数求导经典例题 (1)可修改文字
注意 驻点
极值点
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0 ， 令
f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
12.复合函数求导法则
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性
设函数z f x, y在x, y处偏导数
存在,函数对x的相对改变量
xz z
f x x, y f x, y f x, y
多元函数习题课
一 学习要求
(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的 几何意义;
(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念, 以及有界闭域上连续函数的性质;
极多 限元 及函 连数 续的
概 念
(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微
分,了解全微分存在的必要和充分条件,了 解全微分形式不变性;
高等数学下册第7章多元函数微分法及其应用 (7)
故当 y y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
5
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
必有
f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0.
从几何上看，这时如果曲面 z f ( x, y) 在点
21
例6
求椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 的内接长方体,
使长方体的体积为最大.
解 设长方体与椭球面在第一卦限内的接点坐标为
(x, y, z),则内接长方体的体积为8x构yz造, 函数
F
( x,
y,
z)
8 xyz
(
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1),
得方程组
8
yz
2x a2
0,
8 xz
2y b2
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
8
例1 求函数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值.
解 先解方程组
f x ( x, y) 3x2 6x 9 0,
x y 1 3，z 2 3 和 2
x y 1 3，z 2 3 2
dmax 9 5 3, dmin 9 5 3.
25
例8. 求函数f(x, y)=xy在闭区域x2 y2 1上的
最大值与最小值
解 由fx(x, y)=y=0, fy(x, y)得=x到=0函, 数在区域内 的唯一驻点为(0,0),且 f(0,0)下=0面.考虑函数在区域 的边界x2+ y2=1上的最大值与最小值.设
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若d L x , y , z , t 0, 有极小值；
2 2
若d L x , y , z , t 0, 有极大值。
注： 该方法可推广到一个函数受n个函数约束的条件.
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§2. 条件极值
拉格朗日乘数法 要找函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0 下的可能
由一阶微分形式不变性,有 df dL Lx dx Ly dy Ludu Lv dv
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§2. 条件极值
从而 d 2 f d 2L
2 dLx dx dLy dy dLu du Lud 2 u dLv dv L2 d v v
先构造函数 L( x, y) f ( x, y) ( x, y) ，其中 为某一常数，可由
极值点,
Lx f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, Lx f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0.
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§2. 条件极值
下面进一步讨论充分条件.
设从方程组 g x , y , u, v 0 h x , y, u, v 0
中确定了唯一一组函数u u x日函数L中得 L x , y , u, v L x , y , u x , y , v x , y f x , y , u x , y , v x , y
Lx yz (2 y 2 z ) 0 L xz (2 x 2 z ) 0 y Lz xy (2 y 2 x ) 0 2 2 xy 2 yz 2 xz a 0
则
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解出 x , y , ，其中 x , y 就是可能的极值点的坐标.
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§2. 条件极值
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数 u f ( x , y , z , t ) 在条件 g( x , y , z , t ) 0 ，
h( x , y, z , t ) 0 下的极值。
d L Lxx dx Lyy dy Lzz dz 2 Lxy dxdy 2 Lxz dxdz
2 2 2 2
2 Lyz dydz
若d 2 L x , y , z , t 0, 有极小值； 若d 2 L x , y , z , t 0, 有极大值。
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§2. 条件极值
解得
1 x y z c, 3 . c
于是点 c, c, c, c 是可能的极值点.
由于 1 L x y z t 3 xyzt c 4 , c
故
在点 c, c, c, c 处, L的二阶微分
§2. 条件极值
即
yz 2 ( y z ) xz 2 ( x z ) xy 2 ( x y ) 2 2 xy 2 yz 2 xz a 0
(1) ( 2) ( 3) ( 4)
因 x 0, y 0, z 0, 由(2), (1)及(3), (2)得
构造函数（其中1 , 2都是常数）
Lx ( x , y , z , t ) 0, Ly ( x , y , z , t ) 0, Lz ( x , y , z , t ) 0, 求解方程组 Lt ( x , y , z , t ) 0, g ( x , y , z , t ) 0, h( x , y , z , t ) 0.
这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，
最大值一定存在， 所以， 最大值就在此点处取得。 6 a 6 a 6 a 6 a3 . V 故，最大值 max 6 6 6 36
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§2. 条件极值
例3
将正数 12 分成三个正数 x , y , z 之和 使得
x xz, y yz
于是， x y z .
y x y , z xz 代入条件，得
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§2. 条件极值
2 x x 2 x x 2 x x a 2 0. 6x2 a2 , 6 6 6 a, y a, z a. 解得 x 6 6 6
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§2. 条件极值
设f 在M x, y, u, v 点取到极值，则
f f f f df dx dy du dv 0 x y u v g g g g dg dx dy du dv 0 x y u v h h h h dh dx dy du dv 0 x y u v
现在引入函数L, 它称为拉格朗日函数 :
L x, y, u, v f x, y, u, v g x, y, u, v h x, y, u, v
函数L的直接极值的必要条件为 Lx 0, Ly 0, Lu 0, Lv 0
这正好是方程 5 , 6 , 7 , 8 .从这四个方程再加上 g 0和h 0, 可解出函数f 的可能有条件极值点 M x , y , u, v 和待定系数 , .
§2. 条件极值
条件极值：对自变量有附加条件的极值问题，称为条件 极值问题． 求f x, y, u, v 在条件
g x , y , u, v 0 h x , y , u, v 0
约束下的极值.
下面讨论f 在点 x, y, u, v 取到极值的必要条件.
4
, 称为拉格朗日系数，也称为待定系数. D g, h 由于 0, 总能求得不全为零的数 和 使 D u, v f g h
u u u 0
5
f g h 0 v v v
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6
§2. 条件极值
这时(4)式化为 f g h g h f x x x dx y y y dy＝0
4
由于dx和dy是相互独立的, 要使上式成立，必须 f x f y
§2. 条件极值
例1. 求函数f x y z t 在限制条件 xyzt c 4 下的极值. 解 : 作拉格朗日函数
令
L x y z t xyzt c 4
Lx 1 yzt 0 Ly 1 xzt 0 Lz 1 xyt 0 L 1 xyz 0 t 4 xyzt c
L x , y, z , t f x , y , z , t 1 g x , y , z , t 2h x , y , z , t
解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.
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§2. 条件极值
在可能的极值点 x, y, z, t , 计算
所以 1 2 d L dx dy dz dx 2 dy 2 dz 2 0 c
2
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§2. 条件极值
因此函数f 在点 c, c, c, c 达到极小值, 极小值为4c.
至于实际问题，可由实际意义来判断是否有极值.
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由 (1)，(2) 得 由 (1)，(3) 得
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y 2 x, 3 z 1 x, 3
(5) (6)
§2. 条件极值
将 (5)，(6) 代入 (4)：
x 2 x 1 x 12 3 3
于是，得
x 6, y 4,
z 2.
即，得唯一驻点(6, 4, 2) ， 这是唯一可能的极值点。
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g h dx＝0 x x g h dy＝0 y y
7 8
§2. 条件极值
所以函数f x , y, u, v 在某点M x , y, u, v 达到条件极值, 则在该点处应满足(5), (6), (7), (8)及g 0, h 0.
因为由问题本身可知，最大值一定存在， 所以， 最大值就在这个可能的极值点处取得。 故，最大值 umax 63 42 2 6912.
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§2. 条件极值
例4
求函数f ( x , y ) x 2 2 y 2在方程
x 2 y 2 1约束条件下的最大与最小值。 解 构造拉格朗日函数，
u x 3 y 2 z 为最大.
解 令
F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
(1) ( 2) ( 3) ( 4)
Fx 3 x2 y2z 0 3 x 2 y 2 z , 3 3 F 2 x yz 0 y 则 2 x yz , 3 2 3 2 Fz x y 0 x y , x y z 12 x y z 12,
1 2 3
然后相加，得 1 1, 2 , 3 ，
Yunnan University
§2. 条件极值
f g h g h f x x x dx y y y dy g h g h f f u u u du v v v dv 0