数学分析148条件极值
数学分析第十八章极值与条件极值
(
D
:
0
x
12,
0
2
)
令 Ax 24sin 4x sin 2x sin cos 0 A 24x cos 2x2 cos x2 (cos2 sin 2 ) 0
sin 0 , x 0
12 2x x cos 0
24cos 2x cos x(cos2 sin 2 ) 0
最值可疑点
稳定点，偏导数不存在的点
边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P)为极小(大) 值
f (P)为最小(大) 值
第五页，课件共29页
第二节 条件极值与拉格朗日乘数法
三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
第一节 极值与最小二乘法
一、 多元函数的极值
定义: 若函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内有 f (x, y) f (x0 , y0 ) (或 f (x, y) f (x0, y0 ))
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值
统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处 A 12, B 0, C 6, AC B2 12 6 0, A 0,
远离原点时，函数将 f 趋于正无
穷。因此，函数 f 的唯一极小值
点是函数的 最小值点，即
条件极值
现在引入函数 L ，称它为拉格朗日函数：
L ( x, y , u , v ) = f ( x, y, u , v) + ag ( x, y, u , v) + β h( x, y, u , v)
我们知道，函数 L 存在极值的必要条件为
Lx = 0, Ly = 0, Lu = 0, Lv = 0,
dF = dL = Lx dx + Ly dy + Lu du + Lv dv,
从而 F 的二阶微分有
d 2 F = d (dL)
= (dLx )dx + (dLy )dy + (dLu )du + Lu d 2u + (dLv )dv + Lv d 2 v,
但因为在极值点满足必要条件 Lu = 0 和 Lv = 0 ,所以
其中函数 g 和 h 都具有对各个变元的连续偏导数,并且 , 它们的雅可比行列式
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
我们要求函数 f ( x, y, u, v) 在限制条件
g(x, y,u,v) = 0,h(x, y,u,v) = 0
先来考虑极值的必要条件.
下的极值.
若函数 f ( x, y, u, v) 在某一点 M ( x, y, u, v) 达到极值,这里
α , β 称为拉格朗日乘数,也称为待定乘数.由于
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
总能求得不全为零的 α 和 β 使
∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂u ∂u ∂u ∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂v ∂v ∂v
这时, (4) 式化为
条件极值——精选推荐
于是 grad f ( x0, y0 ) 和 gradg(x0, y0 ) 平行 ．
再假定 gradg(x0, y0 ) ≠ 0 , 于是存在常数 λ ，使得 grad f (x0, y0 ) = λgradg(x0, y0 ) ．
f (x, y) 称为目标函数 ；g(x, y) = 0 称为约束条件 ．
此时 (x0, y0 ) 称为问题的一个解．
二元函数条件极值的拉格朗日乘子法
为了求解条件极值问题：
⎧min f (x, y)
⎩⎨s.t g(x, y) = 0 .
１
构造辅助函数 L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
⎪⎧min(max)
⎨ ⎪⎩s.t.
x2 +
f (x, y) = y2 −1= 0
x2
+
2x2
y
+
y2
．
1
构造辅助函数
L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
L( x, y, z,λ ) = x2 + 2x2 y + y2 − λ ( x2 + y2 − 1) .
列方程组：
3
3
3
例3 要设计一个容量为V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y ,
z 使在条件 x y z = V0 下水箱表面积 S = 2(xz + y z) + x y
11.3.条件极值
2
2
将数 a 分成n个 个 最大. 最大 与平面
为抛物面 z = x2 + y2 上任一点， P 则 上任一点，
到平面 x + y − 2z − 2 = 0 的距离为
问题归结为 下的最小值. 下的最小值
6d
2
在约束条件
z− x − y =0
2 2
作函数 F = ( x + y − 2z − 2)2 + λ(z − x2 − y2 )
由实际意义最小值存在 , 故
7 = 4 6
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z=x +y
2
2
例3. 求圆柱面 与平面 相交所成椭圆的面积. ， 相交所成椭圆的面积
机动
目录
上页
下页
返回
结束
内容小结
函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 ( ( 思考与练习 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),
x2 y2 + =1 (x > 0, y > 0) 圆周上求一点 C, 使 试在椭圆 9 4
△ABC 面积 S△最大. 最大
思考与练习 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),
x2 y2 + =1 (x > 0, y > 0) 圆周上求一点 C, 使 试在椭圆 9 4 最大. △ABC 面积 S△最大 y A
满足联系方程组
的极值点， 的极值点，则存在常数 下列方程组： 满足下列方程组：
，而
和该点的坐标必同时
引入辅助函数
令函数
关于
第十五章极值和条件极值
第十五章 极值和条件极值§1. 极值和最小二乘法一 极值定义1 设(),f x y 在()000,M x y 的邻域内成立不等式()()00,,f x y f x y ≤则称函数(,)f x y 在点0M 取到极大值，点()000,M x y 称为函数的极大点，若在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≥则称函数(,)f x y 在点0M 取到极小值，点()000,M x y 称为函数的极小点。
极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。
定义 2 设D 是2R 内的一个区域，()00,x y 是D 的一个内点，如果()00,0f x y x ∂=∂，()00,0f x y y∂=∂，则称()00,x y 是f 的一个驻点。
根据费玛定理，可知定理1 二元函数的极值点必为0f f x y∂∂==∂∂的点或至少有一个偏导数不存在的点。
注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。
例：z xy =在()0,0点。
例：z x =在()0,0点。
怎样进一步判断是否有极值？定理2 设f 在点),(00y x 的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点),(00y x 是f 的一个驻点，),(0022y x x f A ∂∂=，),(0022y x yf C ∂∂=，),(002y x y x f B ∂∂∂=，2A B H AC B B C ==-，则：（1）若0,0H A >>，则f 在点),(00y x 有极小值；（2）若0,0H A ><，则f 在点),(00y x 有极大值；（3）若0H <，则f 在点),(00y x 没有极值；（4）若0H =，则须进一步判断。
例：求)1(by a x xy z --= )0,0(>>b a 的极值。
例：求333z axy x y =--的极值。
多元函数的最大（小）值问题设函数),(y x f 在某一有界闭区域D 中连续且可导，必在D 上达到最大（小）值。
§18.4 条件极值 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
*点击以上标题可直接前往对应内容问题引入很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义域上自由变化, 而是要受到某些条件的约束.例1 要设计一个容积为V 的长方形无盖水箱, 试问长、宽、高各等于多少时, 可使得表面积最小?若设长、宽、高各等于x, y, z, 则=++S z x y x y2();目标函数:=x yz V.约束条件:后退前进目录退出极值（最值）定义12(,,,)0,1,2,,().:k n x x x k m m n ϕΦ==<为简便起见, 记 并设 12(,,,),n P x x x ={|,()0,1,2,,}.k P P D P k m Ωϕ=∈==00()(),(;)(),f P f P P U P P ΩδΩ≤∀∈⋂∀∈或0,0,P Ωδ使得∈>若存在0()f P ()f P Φ则称是 在约束条件 之下的极小值 (或最小值) ,类似地又可定义条件极大 (或最大) 值.1212(,,,),(,,,)R ;n n n y f x x x x x x D =∈⊂设目标函数为 约束条件为如下一组方程:0P 称 是相应的极小值点 (或最小值点).拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法探源 形说起, 即设目标函数与约束条件分别为(,)(,)0.(1)z f x y x y ϕ==与(,)0x y ϕ=(),y y x =若由确定了隐函数 (,()).z f x y x =标函数成为一元函数d d 0,d d x x y x y y z y f f f f x xϕϕ=+⋅=-⋅=00000(,)(,()),P x y x y x =求出稳定点 0()0.x y y x P f f ϕϕ-=再由 先从 n = 2, m =1 的最简情 则使得目 在此点处满足00000((),())((),())(0,0).x y x y f P f P P P λϕϕ+=由此推知:0,λ存在比例常数 满足(,)f x y z =f 这表示 的等值线P 0(,)f x y z =(,)0x y ϕ=(,)f x y c =(,)0x y ϕ=与曲线在 0P 有公共切线，见图. 点 这又表示: 对于函数(,,)(,)(,),L x y f x y x y λλϕ=+在点处恰好满足: 000(,,)x y λ0()0.x y y x P f f ϕϕ-=(,)(,)0,(,)(,)0,(2)(,)0.x x x y y y L f x y x y L f x y x y L x y λλϕλϕϕ=+=⎧⎪=+=⎨⎪==⎩也就是说 , (2) 式是函数在其极值点处所 (,,)L x y λ满足的必要条件.通过引入辅助函数把条件极值问题 (1) (,,),L x y λ转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题. 由此产生了一个重要思想: 即称此函数为拉格朗日函数, 其中称 12,,,m λλλ为拉格朗日乘数.拉格朗日乘数法 目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数12121(,,,)(,,,).(3)m n k k n k f x x x x x x λϕ==+∑1212(,,,,,,,)n m L x x x λλλ对于前面定义中所设的一般1111rank ,n mm P n x x m x x ϕϕϕϕ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥=⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦(0)(0)(0)012(,,,)n P x x x 是该条件极值问 题的极值点, 且(0)(0)(0)12,,,,m λλλ则存在 m 个常数 在区域 D 上有连续一阶偏导数.k f ϕ与设上述条件极值问题中的函数(1,2,,)k m =若D 的内点 使得注 对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说明； 对一般情形的证明, 将放到二十三章的定理23.19 中进行.个方程的解:1120,1,2,,;(,,,)0,1,2,,.m k k k i i i n k k L f i n x x x L x x x k m ϕλϕλ=⎧∂∂∂=+==⎪∂∂∂⎪⎨∂⎪===⎪∂⎩∑为拉格朗日函数 (3) 的稳定点, (0)(0)(0)12(,,,,n x x x (0)(0)(0)12,,,)mλλλn m +即它是如下应用举例定理 18.6 指出的方法称为拉格朗日乘数法.用这种方法先来求解本节开头给出的例题.()2.S xz yz xy V xyz 求+在例约束件1条下的极值=+=解 此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如 代入目标函数后, 转而求解 ,V z x y =2()V S x y x y x y=++的普通极值问题. 就无法进行了. 无法将条件式作显化处理时,此法 下面2()(),L xz yz xy xyz V λ=+++-20,x L z y yz λ=++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩并求解以下方程组:现在作拉格朗日函数为消去 , 将前三式分别乘以 x , y , z , 则得λ2,2,2().xz x y x yz yz x y x yz z x y x yz λλλ+=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩20,y L z x xz λ=++=2()0,z L x y x y λ=++=0.L x yz V λ=-=332,2 2.x V y z V ===两两相减后立即得出再代入第四式,得 2,x y z ==注 由以上结果还可以得到一个不等式 ( 这是获得 不等式的一种好方法 ). (表面积) 的最小值:32333min 22(22)(2)2V S V V V =⋅++消去 V 后便得不等式 322()34(),0,0,0.z x y x y x yz x y z ++≥>>>于是有 其中 322()34,z x y xy V ++≥.V x yz =那就是具体算出目标函数 3234V =221..z x y x y z 抛物面被平面截成一个椭圆求该椭圆到原点的最长和最例2短距离=+++=()222,,f x y z x y z 这个问题的目标函数是解 ++求解以下方程组: 为了计算方便，把目标函数改取距离的平方 (这是 22222()(1).L x y z x y z x y z λμ=++++-+++-等价的), 221z x y x y z 在条件及下的最值问题.=+++=即设22220,220,20,0,10.x y z L x x L y y L z L x y z L x y z λμλμλμλμ⎫=++=⎪=++=⎪⎪=-+=⎬⎪=+-=⎪⎪=++-=⎭由此又得 (1)()0.x y x y λ+-=⇒=式, 继而得到: ( 这里 否则将无解 )1,λ≠-22210,x x +-=13,1(13)23.2x y z -±===--±=2()2()2.x x y y z λλλ+⎧⎪⇒=+⎨⎪=-⎩再代入条件这是拉格朗日函数的稳定点.222222(13)(23)4x y z -±++=+1(133)443393,2⎧-++-+=-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分 别为min max 953,95 3.d d =-=+最大值和最小值，所以由于所求问题存在 1(1233)4339 3.2+++++=+分析 (i) 如果能求得该椭圆的长、短半轴 a 与 b , 则椭圆面积为 ;ab π(ii) 由方程 (4) , 此圆柱面关于坐标原点是对称的, 故此圆柱面的中心轴是通过坐标原点的某一直线; (iii) 因为所给平面也是通过坐标原点的, 平面上的椭圆截线必以坐标原点为其中心点. 它与平面相交得一椭圆, 试求此椭 0x y z +-=圆的面积. 例3 已知圆柱面22210,(4)x y z x y yz zx ++----=所以此解 由以上分析, 自原点至椭圆上任意点 ( x , y , z )的距离 之最大、小值， 222d x y z =++椭圆的长、短半轴.类似, 但在具体计算策略上将有较大差异. ) 并令设拉格朗日函数为222(1),x y z x y yz zx μ-++----222()L x y z x y z λ=++++-就是该( 说明: 本例的题型与例 2 相2222(2)0,(5)2(2)0,(6)2(2)0,(7)0,(8)(1)0.(9)x y z L x x y z L y y z x L z z x y L x y z L x y z x y yz zx λμλμλμλμ⎧=+---=⎪=+---=⎪⎪=----=⎨⎪=+-=⎪⎪=-++----=⎩对 (5), (6), (7) 三式分别乘以 x , y , z 后相加, 得到 2222()0,x y z x y yz zx μ-++---=2222()()x y z x y z λ++++-借助 (8), (9) 两式进行化简, 又得2222.d x y z μ=++=这说明的极值就是这里的 ( 即 的极值就是 μ2d d μ,λ消去 得到一个线性方程组:(2)2(2)0,2(2)(2)0,0.x y z x y z x y z μμμμμμ-++-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-=⎩它有非零解 ( x , y , z ) 的充要条件是 .μ问题便转而去计算 为此先从 (5)－(8) 式由前面讨论知道, 方程 (10) 的两个根就是 12,μμ122.S ab μμ=π==π2212;4,a b μμ=与而2d 的最大、小值, 即 2222222320120,111μμμμμμμμ----=-+-=-22040.(10)3μμ即-+=说明 (i) 一旦由方程 (5) －(9) 能直接求得椭圆的 长、短半轴, ( x , y , z ) 了, 这使解题过程简单了许多. 于是 那就不必再去计算椭圆的顶点坐标(ii) 若用解析几何方法来处理本例的问题, 出纬圆半径 和纬圆面积 23r =2;3A π=的法线与 l 夹角的余弦0x y z +-=(1,1,1)(1,1,1)1cos .333θ⋅-==⋅先求出圆柱面的中心轴所在直线 l : ,x y z ==然后根据面积投影关系最后求得椭圆 cos ,A S θ=面积为 212.33cos A S θπ===π则需要 再求还有平面0P 0Q Γ:(,)0.F x y Γ=例4 设光滑封闭曲线Γ证明: 上任意两个相距最远点 处的切线互相平行, 且垂直于这两点间的连线.220;x y F F +≠且 (ii) 在 上必有相距最远的点.ΓΓ证 由于是光滑封闭曲线, 所以满足: Γ(i) F 在一个包含 的开域内有连续的一阶偏导数,22(,,,)()()f x y u v x u y v =-+-(,)0,(,)0F x y F u v ==000000(,),(,)P x y Q u v Γ设为 上相距最远的两点, 00000(,,,)M x y u v 则点为目标函数 在约束条件之下的极大值点. 22()()(,)(,)L x u y v F x y F u v λμ=-+-++的稳定点. 从而满足 000,,M λμ使点成为拉格朗日函数 于是由拉格朗日乘数法, 存在前者表示 000P Q P Γ与在的切线垂直,000P Q Q Γ与在的切线垂直.示 0Q 00.P Q 两点处的切线互相平行, 且垂直于 000000000000000000002()(,)0,2()(,)0,2()(,)0,2()(,)0.x y u v x u F x y y v F x y x u F u v y v F u v λλμμ-+=⎧⎪-+=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩0000(,)(,),x y P x u y v F F --∥由前两式与后两式分别得到 00000(,)(,).u v Q x u y v F F --∥后者表Γ0,P 所以 在*例5 试求函数111(,,)(0,0,0)f x y z x y z x y z=++>>>3(0)xyz a a =>在条件 下的最小值, 并由此导出相 应的不等式.3111(),L x yz a x y zλ=+++-并使解 设222310,10,10,0.x y z L x yz L y xz L z x y L x yz a λλλλ⎧=-+=⎪⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=-=⎪⎩由此方程组易得,(,,)3.x y z a f a a a a ====并有3:.(,,),0,S x yz a x y z S x y 记当且或=∈→→(,,),0,0x y z S x yδ∈<≤<当且,0,z δδ≤<≤时(,,)3.f x y z a >使得0,0,z →时或(,,).f x y z →+∞都有 下面给出 3a 是条件最小值的理由. 故存在(02),a δδ<<{}1(,,)(,,),,,.S x y z x y z S x y z δδδ=∈≥≥≥又设1S 上存在最大值和最小值. (,,)min (,,)x y z S f x y z ∈3,a 1S f 的值已大于 故 f 在 S 上的最小值必在1S (,,),a a a 又因内部只有惟一可疑点 所以必定有1S f 由于 为一有界闭集,为连续函数, 1\S S 1S ∂而在 及 上,的内部取得. 因此 f 在 1(,,)min (,,)3.x y z S f x y z a ∈==经整理后, 就是 “调和平均不大于几何平均” 这 个著名的不等式: 131113,0,0,0.x yz x y z x y z -⎛⎫++≤>>> ⎪⎝⎭31113,0,0,0.x y z x y zx yz++≥>>>1113,(,,)x y z S x y z a++≥∈最后, 在不等式中, 用 代入, 3a x yz =就得到一个新的不等式::(0,0,0,0).x y z a x y z a Φ++=>>>>23(,,),f x y z x y z =证 设目标函数为23(),L x y zx y z a λ令并使=+++-233220,20,30,0.x y z L y z L x yz L x y z L x y z a λλλλ⎧=+=⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪=++-=⎩*例6 利用条件极值方法证明不等式623108,0,0,0.6x y z x y z x y z ⎛++⎫≤>>>⎪ ⎭⎝约束条件为下面来说明这个稳定点必定是条件最大值点.(,,)f x y z 3RΦΦΦ=⋃∂∈为简单起见, 考虑 在 Φf 由于 为有界闭集,为连续函数 , 因 f Φ此 在 上存在最大、小值.(,,)min (,,)0,x y z f x y z Φ∈=Φ∂这在 上 ( x = 0, 或 y = 0, 或 z = 0 ) 取得. 60()4320,f P a =>0,P Φ∈且故有稳定点0000(,,)(6,3,2).P x y z a a a =由前三式解出代入第四式后得到 2,3,y x z x ==首先, 显然有 上的情形. 而6(,,)(,,)max (,,)max (,,).432x y z x y z a f x y z f x y z ΦΦ∈∈==由此得到不等式623,(,,).432a x y z x y z Φ≤∈又因在 上满足 把它代入上式 , Φ,a x y z =++6623()108.4326x y z x y z x y z ++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭证得注1 在用条件极值方法证明不等式时, 设置合适 的目标函数与约束条件是解决问题的关键. 本例来说 , 也可把上面的条件极大值问题改述为 条件极小值问题: (,,)f x y z x y z=++23x y z a =在条件 约束之下的极小值. 一个问题的这两种处理形式 , 俗称为目标函数与约束条件在形式上的对偶性.p.180 上的例3 同样也是对偶问题. 题的确切提法, 请参阅后面复习思考题的第 5 题. 对于求目标函数前面例5 和教材下册 有关对偶性问注2 如何判断所得稳定点是条件极大 (小) 值点? 这有多种方法可供选用. 用的说理方式; 矩阵, 用极值的充分条件去判别, 只是计算过程十 分繁琐, 不如例5 的做法更加理性 ( 这是利用对偶 性带来的好处 ). 际意义说明所作判断的合理性. 例5 与例6 提供了两种常 教材下册 p.180 例3 通过计算黑赛 此外, 很多实际问题还可借助实1. 例3 的解法对例2 是否适用? 请实践一下, 并作出分析.2. 把例4 关于光滑封闭曲线的命题推广至关于光滑封闭曲面的情形, 并加以证明.3. 例6 论述稳定点是条件极值点的方法能否适用于例5 ? 请说出理由.4. 模仿例1, 例5 和例6, 用条件极值方法证明几个以前熟知的重要不等式; 或者创立几个新不等式.5. 以二元函数为例, 证明一个条件极值问题与它的对偶问题是等价的. 即若函数(,)(,)f x y g x y 与000(,)P x y 在点近旁满足连续可微性条件, 且0010020000(,),(,),(,)0,(,)0,y y f x y c g x y c f x y g x y ==≠≠则有如下命题:02(,)P f g x y c =为目标函数在约束条件之下的稳定点.01(,)P g f x y c =为目标函数在约束条件之下的稳定点.⇔。
条件极值简介
11.3条件极值
极值问题
不带约束条件的极值问题，称为
无条件极值问题.
附有约束条件的极值问题，称为
条件极ห้องสมุดไป่ตู้问题.
高州师范学院
11.3条件极值
极值问题特点
无条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围是目标函数的定 义域.
条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围还要受到自变量 附加条件的限制.
这种方法称为拉格朗日乘数法, 辅助函数(x, y, )称为拉格朗日函数, 辅助变量 称为拉格朗日乘数.
高州师范学院
11.3条件极值
推广: 一般而言
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在约束条件组 F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F ( x , x ,..., x ) 0 2 1 2 n (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的条件极值.
高州师范学院
11.3条件极值
例如P204例7：水箱设计问题
目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
高州师范学院
11.3条件极值
条件极值问题的一般形式
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在满足函数方程组(限制条件) F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F2 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 (1) (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的极值. 这就是条件极值.函数方程组 称为联系方程组.
条件极值
问题归结为求 S 的最大值，先求稳定点
S x 24x sin 4 x sin 2 x sin cos 0 S 24x cos 2 x 2 cos x 2 sin 2 x 2 cos2 0 解方程组，得符合题意的唯一一组稳定点 x 8, 3
那末有以下结论：
⑴ 当 H 0 时，函数有极值；
若
A 0，则函数有极大值。
若 A 0 ，则函数有极大值。 ⑵ 当 H 0 时，函数没有极值； ⑶ 当 H 0 时，函数有无极值还需进一步考察判定。
2 2 例 1 求 f ( x, y) x 5 y 6x 10y 6 的极值。 解 分别对 x 和 y 求偏导数并令其等于零，得方程组
如何从驻点中找出极值点，关键在于判定表达式
f f ( x, y) f ( x0 , y0 )
当点 ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 附近变动时是否有恒定的符号。 为此我们考察
f f ( x, y) f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
这是交于 Y 轴的两个平面。虽然， x 0 的点都是函数的极 小点，但是当 x 0 时，偏导数不存在。 综上所述，函数的极值点只可能在偏导数等于零的点和偏导数
不存在的点中产生。因此要求函数的极值，首先要求出所有使
偏导数等于零的点（驻点）和偏导数不存在的点。然后考察该 点周围函数的变化情况，以进一步判定是否有极值。
则
令
F ( x , y , z ) xyz ( 2 xy 2 yz 2 xz a 2 ),
Fx yz ( 2 y 2 z ) 0, F xz ( 2 x 2 z ) 0, y 则 Fz xy ( 2 y 2 x ) 0, 2 xy 2 yz 2 xz a 2 0. (1) yz 2 ( y z ) xz 2 ( x z ) ( 2) 即 ( 3) xy 2 ( x y ) 2 2 xy 2 yz 2 xz a 0 ( 4) 因 x 0, y 0, z 0, 由(2), (1)及(3), (2)得 x xz, y x y , y yz z xz
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x0 a2
(x
x0 )
y0 b2
(y
y0 )
z0 c2
(z
z0 )
0,
化简为
x x0 a2
y y0 b2
z z0 c2
1,
该切平面在三个轴上的截距各为
x a2 ，y b2 ，z c2 ,
x0
y0
z0
所围四面体的体积 V 1 xyz a 2b2c2 ,
6
6x0 y0z0
在条件 x02 a2
1
x1
1
xn
m
x1
m
xn
P0
的秩为m,
则存在m个常数1(0)
,(0) 2,源自,(0 m)
,
使得
( x1(0) ,
,
x(0) n
,
(0 1
)
,
,
(0) m
)
为拉格朗日函数 (1)的
稳定点.
即
(
x(0) 1
,
,
xn(0
)
,
(0 1
)
,
,
(0) m
)
为下述方程的解
:
Lx1
f x1
m
k
k 1
z2 c2
1的
切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体
体积最小，求切点坐标.
解 设P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点,
令F ( x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
则Fx
|P
2 x0 a2
，
Fy
|P
2 y0 b2
，
Fz
|P
2z0 c2
过P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为
x yz r 则目标函数 f ( x, y, z) xy z( x, y) F ( x, y).
计算出 zx , z y , Fx , Fy , Fxx , Fxy , Fyy , HF (3r,3r )正定,
故稳定点(3r,3r,3r)为极小值点, 进而最小值点. 所以 xyz (3r)3 , ( x, y, z, r 0 且 1 1 1 1)
2.
若
(
x(0) 1
,
,
xn(0
)
,
(0) 1
,
,
(0) m
)是L的稳定点,
记
P0 (
x(0) 1
,
x(0) 2
,
则:
,
x(0) n
)
D,
HL(P0 )
2L x jxk
P0
1. 如HL(P0 )正定, 那么f在P0取条件极小值;
2. 如HL(P0 )负定, 那么f在P0取条件极大值.
证明 : 利用n元函数的泰勒公式.
L ( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中 x, y就是可能的极值点的坐标.
一般形式： 在条件组
k ( x1, x2 , , xn ) 0, k 1,2, , m, (m n) 的限
制下, 求目标函数 y f ( x1, x2 , , xn ) 的极值. 其拉格朗日函数是：
L( x1 , x2 , , xn , 1 , 2 , m )
( x, y, z, r 0)下的极小值.
解 : 设拉格朗日函数为
L( x, y, z, ) xyz ( 1 1 1 1).
x yzr
Lx 0
由
L
y
0
Lz 0
L 0
知L稳定点为 : x y z 3r,
(3r)4
判断 f (3r,3r,3r) (3r)3 是否为条件极值? 把条件 1 1 1 1 看成隐函数z z( x, y),
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法
找函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0
下的可能极值点，
先构造函数 L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y)
其中 为某一常数，可由
Lx Ly
f x ( x, y) x ( x, y) 0, f y ( x, y) y ( x, y) 0,
k
x1
0
Lxn
f xn
m
k
k 1
k
xn
0
L1
1 ( x1 ,
, xn )
0
Lm m ( x1 , , xn ) 0
用拉格朗日乘数法求解条件极值问题的一般步骤 :
1. 根据问题确立目标函数和条件组;
2. 作拉格朗日函数
m
L( x1 , x2 , , xn ,1 ,2 , m ) f kk k 1
x yz r
令 x a, y b, z c, 则 r (1 1 1)1 abc
代入 xyz (3r)3 得
abc [3(1 1 1)1 ]3 abc
或
3(1 1 1)1 3 abc .
abc
例2 : 教材 P174(例4).
例3
在第一卦限内作椭球面
x2 a2
y2 b2
3. 根据问题本身的特点来判断. 如果某实际问题确有极值, 而其拉格朗日函数 仅有一个稳定点,且在定义域的边界上 (或逼近 边界时)不取极值, 则这个稳定点就是所求的 条件极值点.
1. 2. 计算量大, 一般不用. 3. 较为常用.
例1 : 求f ( x, y, z) xyz在条件 1 1 1 1 x yz r
3. 求出拉格朗日函数的所 有稳定点, 这些稳定点 就是可能的条件极值点;
4. 对每一个可能的条件极值点, 据理说明确实是.
据什么理?
1. 如条件组k ( x1, x2 , , xn ) 0, k 1,2, , m,
满足隐函数定理的条件, 则在n个变量 x1, x2 , , xn中唯一确定了其中 m个变量为其余n m个变量的一组隐函数. 将这m个函数代入目标函数 f , 得到一个有 n m个独立变量函数. 应用隐函数求导法则, 算出此函数的黑赛矩阵, 由此判断极值点的 类型.
2009／04／20
§14.8 条件极值
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两
种急需物品：光盘和磁带，设他购买 x 张光 盘，y 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数 为 U( x, y) ln x ln y．设每张光盘8元，
每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达 到最佳效果．
问题的实质：求 U( x, y) ln x ln y 在条 件 8x 10 y 200下的极值点．
y02 b2
z02 c2
1下求 V 的最小值,
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )
m
f ( x1 , x2 , , xn ) kk ( x1 , x1 , , xn ) (1) k 1
其中1 ,2 , m 为拉格朗日常数.
定理1：设 f 和k (k 1,2, , m)如上, 均在D内有
连续的一阶偏导数, 若
P0 ( x1(0) ,
x(0) 2
,
,
x(0) n
)
D
是
上述问题的极值点, 且雅可比矩阵