高等数学D88多元函数的极值与最值PPT课件
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多元函数极值与最值课件
x4 y6x2
z ( 4, 2) 64
y
x y6
D
o
x
所以在 D 的边界上 , max z 0 , min z z ( 4, 2) 64 .
与 z (P) z ( 2, 1) 4 相比较 , 得 : z ( 4, 2) 64 为最小值 , z ( 2, 1) 4 为最大值 .
三、条件极值
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0时, 没有极值. 3) 当AC B2 0时, 不能确定 , 需另行讨论.
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例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
y
在点 (0,0) 无极值.
y xx y
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2、驻点
使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点
f x ( x0 , y0 ) 0
fy(
x0 ,
y0 )
0
( x0 , y0 ) 为驻点
注 驻点 意
极值点
如 z x y 点 (0 , 0) 是驻点但不是极值点
如
z ( 4, 2) 64
y
x y6
D
o
x
所以在 D 的边界上 , max z 0 , min z z ( 4, 2) 64 .
与 z (P) z ( 2, 1) 4 相比较 , 得 : z ( 4, 2) 64 为最小值 , z ( 2, 1) 4 为最大值 .
三、条件极值
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0时, 没有极值. 3) 当AC B2 0时, 不能确定 , 需另行讨论.
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例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
y
在点 (0,0) 无极值.
y xx y
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2、驻点
使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点
f x ( x0 , y0 ) 0
fy(
x0 ,
y0 )
0
( x0 , y0 ) 为驻点
注 驻点 意
极值点
如 z x y 点 (0 , 0) 是驻点但不是极值点
如
《DA88极值与最值》课件
结论：DA88极值与最值在实际应用中具有重要意义
问题背景：在物流、交通等领域，需要找到从起点到终点的最优路径
应用DA88极值与最值：通过计算路径长度、时间等指标，找到最优路径
实际案例：某物流公司需要规划从A地到B地的最优路径，通过DA88极值与最值算法，找到了最短路径
效果评估：通过最优路径规划，降低了物流成本，提高了运输效率
生产计划：根据生产成本和销售预测，确定最优生产计划
力学：计算物体的运动轨迹和速度
热力学：计算物体的温度和热能
电磁学：计算电磁场的强度和方向
光学：计算光的折射和反射角度
结构优化：通过计算极值和最值，优化结构设计，提高结构稳定性和可靠性
材料选择：根据极值和最值，选择合适的材料，提高材料的性能和寿命
成本控制：通过计算极值和最值，优化生产工艺和流程，降低生产成本
PART SEVEN
理论基础：数学、物理、计算机科学等学科的发展
应用领域：工程、金融、生物医学等
发展趋势：智能化、自动化、大数据分析等
挑战与机遇：解决实际问题、提高计算效率、拓展应用领域等
应用领域：金融、经济、工程等领域
发展趋势：智能化、自动化、大数据分析等
技术挑战：算法优化、数据安全、隐私保护等
质量控制：通过计算极值和最值，控制产品质量，提高产品质量和可靠性
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添加标题
物理学：用于研究物体运动和能量转换规律
经济学：用于分析市场价格波动和预测未来趋势
生物学：用于研究基因表达和蛋白质合成过程
工程学：用于优化产品设计和生产流程
PART SIX
问题描述：如何用最少的成本生产出最多的产品
拉格朗日乘数法：通过引入拉格朗日乘子，求解多元函数的最值
问题背景：在物流、交通等领域，需要找到从起点到终点的最优路径
应用DA88极值与最值：通过计算路径长度、时间等指标，找到最优路径
实际案例：某物流公司需要规划从A地到B地的最优路径，通过DA88极值与最值算法，找到了最短路径
效果评估：通过最优路径规划，降低了物流成本，提高了运输效率
生产计划：根据生产成本和销售预测，确定最优生产计划
力学：计算物体的运动轨迹和速度
热力学：计算物体的温度和热能
电磁学：计算电磁场的强度和方向
光学：计算光的折射和反射角度
结构优化：通过计算极值和最值，优化结构设计，提高结构稳定性和可靠性
材料选择：根据极值和最值，选择合适的材料，提高材料的性能和寿命
成本控制：通过计算极值和最值，优化生产工艺和流程，降低生产成本
PART SEVEN
理论基础：数学、物理、计算机科学等学科的发展
应用领域：工程、金融、生物医学等
发展趋势：智能化、自动化、大数据分析等
挑战与机遇：解决实际问题、提高计算效率、拓展应用领域等
应用领域：金融、经济、工程等领域
发展趋势：智能化、自动化、大数据分析等
技术挑战：算法优化、数据安全、隐私保护等
质量控制：通过计算极值和最值，控制产品质量，提高产品质量和可靠性
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物理学：用于研究物体运动和能量转换规律
经济学：用于分析市场价格波动和预测未来趋势
生物学：用于研究基因表达和蛋白质合成过程
工程学：用于优化产品设计和生产流程
PART SIX
问题描述：如何用最少的成本生产出最多的产品
拉格朗日乘数法：通过引入拉格朗日乘子，求解多元函数的最值
高等数学(下) 第3版课件-多元函数的极值
x2 2a3
y2
0, 0,
因为 x 0, y 0，解方程组，得 x y 3 2a ，代
入 z a3 中，得 z 3 2 a ，于是驻点惟一，所以当长方
xy
2
体容器的长与宽取 3
3
2am ，高取
2 am时，所需的材料
2
最省．
例 7 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用 是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )元,求取得最大利润时，
大值与极小值统称为极值，使函数获得极值的点 P0(x0, y0) 称 为极值点．
例 1 函数 f (x, y) x2 y2 在点(0,0) 取得极小值 0 ，因
为当 x 0, y 0时: f (x, y) x2 y2 0 f (0, 0) ， 这一函数的图形就是下页左图中的曲面，在此曲面上 (0, 0, 0)
是极值点，需另行判断.
例 4 求函数 z x3 y3 3xy的极值．
解 设 f (x, y) x3 y3 3xy．
则 fx (x, y) 3x2 3y ，
f y (x, y) 3y2 3x,
解方程组
3x2 3y 0,
3 y
2
3x
0,
得函数的驻点为(0,0) ，(1,1) ．
两种产品的产量各多少?
解 设 L(x, y)表示产品甲与乙分别生产 x与 y 单位
时所得的总利润．因为总利润等于总收入减去总费用，所以
L(x, y) (10x 9 y) [400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )]
8x 6 y 0.01(3x2 xy 3y2 ) 400,
Fx Fy
y2
0, 0,
因为 x 0, y 0，解方程组，得 x y 3 2a ，代
入 z a3 中，得 z 3 2 a ，于是驻点惟一，所以当长方
xy
2
体容器的长与宽取 3
3
2am ，高取
2 am时，所需的材料
2
最省．
例 7 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用 是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )元,求取得最大利润时，
大值与极小值统称为极值，使函数获得极值的点 P0(x0, y0) 称 为极值点．
例 1 函数 f (x, y) x2 y2 在点(0,0) 取得极小值 0 ，因
为当 x 0, y 0时: f (x, y) x2 y2 0 f (0, 0) ， 这一函数的图形就是下页左图中的曲面，在此曲面上 (0, 0, 0)
是极值点，需另行判断.
例 4 求函数 z x3 y3 3xy的极值．
解 设 f (x, y) x3 y3 3xy．
则 fx (x, y) 3x2 3y ，
f y (x, y) 3y2 3x,
解方程组
3x2 3y 0,
3 y
2
3x
0,
得函数的驻点为(0,0) ，(1,1) ．
两种产品的产量各多少?
解 设 L(x, y)表示产品甲与乙分别生产 x与 y 单位
时所得的总利润．因为总利润等于总收入减去总费用，所以
L(x, y) (10x 9 y) [400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )]
8x 6 y 0.01(3x2 xy 3y2 ) 400,
Fx Fy
多元函数的极值及求法课件
详细描述
在交通网络、通信网络或其他类型的网络中，最短路 径问题是一个重要的优化问题。通过使用多元函数的 极值理论，可以找到网络中两点之间的最短路径，或 者从一个点出发到另一个点的最短路径。这有助于节 省时间和资源，提高效率。
生产成本最小化问题
要点一
总结词
生产成本最小化问题是企业经常面临的问题，通过最小化 生产成本来提高利润。
在工程领域的应用
结构优化设计
在工程设计中，如何优化设计方案以使 得结构性能最优是一个重要问题。多元 函数的极值理论可以用来解决这类问题， 通过找到使得结构性能函数最大的最优 解，得到最优的结构设计方案。
VS
控制工程问题
在控制工程中，如何确定控制系统的参数 以使得系统性能最优是一个重要问题。多 元函数的极值理论可以用来解决这类问题， 通过找到使得性能函数最大的最优解，得 到最优的控制系统参数。
04
多元函数极的展
偏导数与极值的关系
偏导数
在一元函数中，导数描述了函数值随自变量变化的速率。在多元函数中，偏导数描述了 函数值随某个自变量变化，而其他自变量保持不变的速率。
极值必要条件
如果一个多元函数在某点的偏导数都为0，那么这个点可能是函数的极值点。然而，这 个条件只是必要条件，不是充分条件，也就是说，偏导数都为0的点不一定是极值点。
生产成本最小化
在生产过程中，企业希望通过优化生产要素的投入比例，使 得生产成本最小化。多元函数的极值理论可以用来解决这类 问题，通过找到使得成本函数最小的最优解，实现生产成本 的最小化。
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化经济效益 是经济领域中常见的问题。多元函数的极值理论可以用来解 决这类问题，通过找到使得收益函数最大的最优解，实现资 源的最优配置。
多元函数的极值ppt课件
u u u 即 , , 0 x y z
一般地，多元函数 f 在点P0取得极值的必要条件用 梯度向量可表示为： gradf
P0
0
8.8.2 极值的充分条件
( x0 , y0 ) 的某 定理 2（充分条件）设函数z f ( x , y ) 在点 邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，
得区域D 内唯一驻点( 2,1) , 且 f ( 2,1) 4 ,
再求 f ( x , y ) 在D 边界上的最值， 在边界 x 0 和 y 0 上 f ( x , y ) 0 ,
在边界 x y 6 上，即 y 6 x
y
于是 f ( x, y ) x (6 x )(2) ,
( x 1)(70 5 x 4 y ) ( y 1.2)(80 6 x 7 y )
求最大收益即为求二元函数的最大值.
8.8.1 多元函数的极值概念和极值的必要条件
观察二元函数 z xy e
x2 y2
的图形
播放
1、二元函数极值的定义
设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有 定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： f ( x , y ) f ( x 0 , y0 ) ， 若 则称 f ( x 0 , y 0 ) 为极大值，( x 0 , y 0 ) 为极大值点；
未来的组织要解决总部业务能力逐渐弱化的问题要逐步整合各项目的能力形成总部的能力提高集团公司的核心竞争力题的意义判定出是极大极值点再根据实际问驻点就是可能的解出再求其驻点有时不必先构造拉格朗日函数在实际计算条件极值时未来的组织要解决总部业务能力逐渐弱化的问题要逐步整乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形
第六节 多元函数的极值及其求法PPT课件
4
说 明 一 元 函 数 f ( x , y 0 ) 在 x x 0 处 有 极 大 值 , 必 有 f x ( x 0 ,y 0 ) 0 ; 类 似 地 可 证 f y ( x 0 ,y 0 ) 0 .
推广：如果三元函数u f (x, y,z) 在点P(x0, y0,z0) 具有偏导数，则它在P(x0, y0,z0)有极值的必 要条件为 fx(x0, y0,z0) 0， fy(x0, y0,z0) 0， fz(x0, y0,z0) 0.
12
例 5*
求
z
x y x2 y2 1
的最大值和最小值.
解 令 zx(x2(y x2 2 1y )2 21 x)(2xy)0,
zy(x2(y x2 2 1y )2 21 y)(2xy)0,
得 驻 点 (1,1)和 (1,1),
22
22
因为xl i mx2xy2y10
y
即边界上的值为零.
13
5
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点.
注意： 偏导数存在的极值点
驻点
例 如 ， 点 ( 0 , 0 ) 是 函 数 z x 的 驻 y 点 ， z x y ,z x (0 ,0 ) 0 ; zyx , zy(0 ,0 )0 .
但 点 (0 ,0 )不 是 极 值 点 .
Lx Ly
f x ( x, y) x ( x, y) 0, f y ( x, y) y ( x, y) 0,
L ( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中 x, y就是可能的极值点的坐标.
17
拉 格 朗 日 乘 数 法 可 推 广 到 自 变 量 多 于 两 个 的 情 况 ：
当A0时有极大值，当A0时有极小值； (2) ACB2 0时没有极值； (3) ACB2 0时可能有极值,也可能没有极值，
说 明 一 元 函 数 f ( x , y 0 ) 在 x x 0 处 有 极 大 值 , 必 有 f x ( x 0 ,y 0 ) 0 ; 类 似 地 可 证 f y ( x 0 ,y 0 ) 0 .
推广：如果三元函数u f (x, y,z) 在点P(x0, y0,z0) 具有偏导数，则它在P(x0, y0,z0)有极值的必 要条件为 fx(x0, y0,z0) 0， fy(x0, y0,z0) 0， fz(x0, y0,z0) 0.
12
例 5*
求
z
x y x2 y2 1
的最大值和最小值.
解 令 zx(x2(y x2 2 1y )2 21 x)(2xy)0,
zy(x2(y x2 2 1y )2 21 y)(2xy)0,
得 驻 点 (1,1)和 (1,1),
22
22
因为xl i mx2xy2y10
y
即边界上的值为零.
13
5
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点.
注意： 偏导数存在的极值点
驻点
例 如 ， 点 ( 0 , 0 ) 是 函 数 z x 的 驻 y 点 ， z x y ,z x (0 ,0 ) 0 ; zyx , zy(0 ,0 )0 .
但 点 (0 ,0 )不 是 极 值 点 .
Lx Ly
f x ( x, y) x ( x, y) 0, f y ( x, y) y ( x, y) 0,
L ( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中 x, y就是可能的极值点的坐标.
17
拉 格 朗 日 乘 数 法 可 推 广 到 自 变 量 多 于 两 个 的 情 况 ：
当A0时有极大值，当A0时有极小值； (2) ACB2 0时没有极值； (3) ACB2 0时可能有极值,也可能没有极值，
《极值与最值》课件
THANKS
感谢观看
性方程、积分方程等问题时非常有效。
在日常生活中的应用
要点一
建筑设计
在建筑设计中，极值理论用于优化设计方案。通过找到结 构强度、稳定性等性能指标的极值点，可以设计出既美观 又安全的建筑结构。
要点二
资源分配
在日常生活中，我们经常面临资源分配的问题。极值理论 可以帮助我们找到最优的资源分配方案，使得总体效益达 到最大或损失最小。例如，在旅行计划中，我们可以使用 极值理论找到最短的旅行路线或最低的旅行成本。
《极值与最值》ppt 课件
目录
• 极值与最值的定义 • 极值的性质 • 最值的性质 • 极值与最值的计算方法 • 极值与最值的应用
01
极值与最值的定义
极值的定义
极值是函数在某点附近的小邻域内的最大值或最 01 小值。
极值点是函数的一阶导数为零的点，或者一阶导 02 数不存在的点。
极值点可以是局部最大值或局部最小值，取决于 03 一阶导数的符号变化。
05
极值与最值的应用
在经济领域的应用
金融分析
极值与最值理论在金融领域中用于风险 评估和投资决策。通过对历史数据的分 析，确定资产价格的最大值和最小值， 以及达到这些极值的概率，从而评估投 资风险。
VS
供需分析
在经济学中，极值理论用于分析供需关系 ，确定市场价格的可能波动范围。通过对 需求和供给曲线的极值点进行分析，可以 预测市场价格的最高点和最低点。
判别式法
总结词
通过求解一元二次方程的判别式，确定函数的极值点。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的一元二次函数，通过求解判别式$Delta = b^2 4ac$，可以确定函数的极值点。当$Delta > 0$时，函数有两个实根，此时在两根之间
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f(1,0)5为极小值;
16.08.2020
多元函数
6
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在点(1,2) 处 A 1 ,B 2 0 ,C 6 A C B 2 1 2 ( 6 ) 0 ,f(1,2)不是极值;
在点(3,0) 处 A12, B0, C6, A C B 2 1 2 60,f(3,0)不是极值;
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有
AC B20 zx3y3在(0,0)点邻域内的取值
正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值.
z
o xy
0
当 x2y20时 , z(x2y2)2z(0,0) 0 因此 z(0 ,0 ) (x2y2)2(0 ,0 ) 0 为极小值.
在点(3,2) 处 A 1 ,B 2 0 ,C 6 A C B 2 1 2 ( 6 ) 0 ,A0, f(3,2)3为1极大值.
fxx(x,y)6x6, fxy(x,y)0, fyy(x,y)6y6
A
B
C
16.08.2020
多元函数
7
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例2.讨论函数 zx3y3及 z(x2y2)2在点(0,0)
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.
例如, zxy有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.
16.08.2020
多元函数
4
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定理2 (充分条件) 若函数 z f(x ,y )在 (x 0 ,点 y 0 )的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
解方程组
fx(x,y)3x26x90 fy(x,y) 3y26y0
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx(x,y)6x6, fxy(x,y)0, fyy(x,y)6y6
A
在点(1,0) 处 A12, B0, C6, A C B 21 2 60,A0,
16.08.2020
多元函数
8
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二、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大) 值
16.08.2020
多元函数
fx ( x 0 ,y 0 ) 0 ,fy ( x 0 ,y 0 ) 0 令 A f x x ( x 0 , y 0 ) , B f x y ( x 0 , y 0 ) , C f y y ( x 0 , y 0 )
则: 1) 当AC B20时, 具有极值
A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值
统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
例如 :
z
z3x24y2在点 (0,0) 有极小值;
z z
z x2y2 在点 (0,0) 有极大值; x
y
zxy在点 (0,0) 无极值.
y xx y
16.08.2020
多元函数
3
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x
242x
11
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A 2 x s4 i2 x n 2 s ix 2 n cs o is n
(D :0 x 1,0 2 2 )
令
Ax 2s4in4xsin 2 x si c n o 0s
A 2x4 co s2x2cos x2(c2 o ssi2 n ) 0
定理1 (必要条件) 函数 zf(x ,y )在 (x 0 ,点 y 0 )存在 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有
fx ( x 0 ,y 0 ) 0 ,fy ( x 0 ,y 0 ) 0 证:因 z f(x ,y )在 (x 0 ,点 y 0 )取得极值 , 故
zf(x,y0)在 xx0 取得极值 zf(x0,y)在 y y0取得极值
第八节
第八章
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值
16.08.2020
多元函数
1
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整体概述
概述一
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概述二
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概述三
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2
一、 多元函数的极值
定义: 若函数 zf(x ,y )在 (x 0 ,点 y 0 )的某邻域内有 f(x ,y ) f(x 0 ,y 0 )( 或 f(x ,y ) f(x 0 ,y 0 ))
sin0, x0
1 2 x 2 x co 0s 2 c4 o 2 x c s o x (s 2 c s o 2 i ) s n 0
2) 当 AC B20时, 没有极值.
3) 当 AC B20时, 不能确定 , 需另行讨论.
证明见 第九节(P65) .
16.08.2020
多元函数
5
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例1. 求函数 f( x ,y ) x 3 y 3 3 x 2 3 y 2 9 x 的极值.
解: 第一步 求驻点.
根据实际问题可知最小 即当长、宽均为 3 2
高为 2
3 23
16.08.2020
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
多元函数
10
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例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面
9
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例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 m 3的有盖长方体水
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
A2xy
y
2 xy
x
2 xy
2xy2 x2 y
x y
0 0
令 Ax2(yx22)0得驻点 (3 2,3 2) Ay2(xy22)0
积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积
为
1
A 2
(
2 2 4 x 2 x co 2s 4 2 x)xsin
2 x s 4 i 2 x n 2 si x 2 n cs ois n
(D :0 x 1,0 2 2 )
x 24
16.08.2020
多元函数