高等数学函数的单调性和极值

故x0是f(x)的极小值点. 类似地可讨论 f(k)(x0)0的情况.
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例3 求函数 f(x)x(x4)31的极值. 解 f ( x ) ( x 4 ) 3 x 3 ( x 4 ) 2 ( x 4 ) 2 ( 4 x 4 ) 4 ( x 4 ) 2 ( x 1 )
则，函数单调性的判定定理(充要条件)如下：
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定理：设函数 yf(x)在 [a , b]上连续，在 (a, b)内可导， 若 x(a,b)有 f (x) 0，则 f (x)在[a , b]上单调增加.
若 x(a,b)有 f (x) 0，则 f (x)在[a , b]上单调减少.
定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然
成立.
求f(x)单调区间(判断单调性)的步骤
1.求f (x)的定义域，
2.求 f ( x)，
3.求 f (x)的驻点，不可导点， 4.列表判断.
应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实
根的个数和证明不等式.
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二、函数的极值及其求法
1、函数极值的定义 y
令 y 0，得 x0
1 x 1 x
x (1,0)
(0, )
y

y
则单调增加区间是：(0,)，单调递减区间是：(1,0).
定义：使 f(x)0的点x叫函数 f (x) 的驻点.
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例3 确定函数 f(x)2x39x21x2 3的单调区间. 解 D :(, ) .
不存在
y
极小值
(1,0) 0
0
极大值
(0,1) 1 (1,)
不存在
极小值
故极大值为：f (0) 3，极小值为：f(1)2.
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定理3(第二充分条件)设 f(x 0 ) f(x 0 ) f(k 1 )(x 0 ) 0 ,
f(k)(x0)0, 且 f (k)( x) 在 x0处连续，那么 (1)当k是奇数时，且 f(k)(x0)0时， f(x)在x0的某邻域
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证 设 f(k)(x0)0, 则 f (k)(x) 在x0的某邻域内恒大于0，
对该邻域内的x,有Tayler公式
f(x)f(x0)f(k k)!()(xx0)k,(介于 x0与 x之)间 f(x)f(x0)f(k k)!()(xx0)k,
若k是奇数，则由上式知，f(x)f(x0)与 (xx0)同号 , ， 故f(x)在该邻域内单调增加； 若k是偶数，由Tayler公式知 f(x)f(x0)0，
注意1:可导函数 f (x)的极值点一定是它的驻点，但
函数的驻点却不一定是极值点.
即 可导函数的极值点
驻点
如：y x3, yx00,x0是驻点，但x0不是极值点. 2:在 x 0 点连续但不可导，x 0 也可能是极值点.
如：y x , x0连续不可导，却是极小值点.
1
y
如：y x 3 , 在 x0处连续不可导，
(x) 在 1,上单调增加.
又(1)ee0， 所以当 x1时, (x)(1)0，即 exex0.
则得到 ex ex.
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例6 当 x0时，试证：ex 1x.
证 设 f(x)ex1x,显然 f ( x)在0, 上可导，
则 f(x)ex1. x 0，有 f(x)0,
复习
1.拉格朗日(Lagrange)中值定理
如果函数 f ( x)满足：
(1)在闭区间[a , b ]上连续，

(2)在开区间 (a, b)内可导，
则至少存在一点

(a,b)，使
f ()
f (b) f ba
(a)
或 f(b ) f(a ) f()b ( a ).
函数在点 x 0 有极小值 f (x0), 点 x 0 称为极小点.
(2)极值定义：极大值、极小值通称为极值.
极值点定义：极大点、极小点通称为极值点.
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注： 极值与最值的区别：
最值：是对整个区间而言，是整体的、绝对的、 唯一的.
极值：是对某个点的邻域而言、是局部的、 相对的、可以不是唯一的.
极大值不一定都大于极小值. 如何求极值？观察图形知：
f(x)4(x4)2(x1),令 f(x)0, 得驻点 x11,x24, f(x ) 1(x 2 4 )x ( 2 ), f(1)36,则 f(1)26是极小值. f(4)0; f(x)2(x 43)f,(4)24 0, 则 x4的邻域内 f (x)单调增加，驻点x4不是
4.列表判断.
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y x3, yx0 0, 但在区间 (,)上单调增加.
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3、利用单调性证明不等式
例5 当 x1时，证明 ex ex.
证 令(x)ex ex，显然 ( x)在1,上可导，
且当 x1时， 则(x)exe 0，
f(0)20＜0, 故极大值 f (0) 5.
f( 5)4＞ 00,故极小值 f ( 5 ) 20.
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例5 求函数 f(x)(x21)31的极值. 解 定义域为 (,)，f(x)6x(x21)2，
令 f(x)0得x1 1,x2 0, x3 1, 又 f(x)6 (x2 1 )5 (x2 1 )
0，
f(x0)x lxi0m 0f(xx) xf0(x0)0，
当
x
x0
时，xy
f(x)f(x0) xx0

0，
f (x0)x lxi0m 0f(xx) x f0(x0)0f (x0)存在，
f (x0)f (x0).只有 f(x0)0. 15
a x1 o x2 x 3
x4 x5 b x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
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(1)极值的定义设：函数 f (x) 在点 x 0的某个邻域内有定
义，对于该邻域内异于 x 0 的点x，如果对适合不等式
f(x)f(x0)，则称函数在点 x 0 有极大值 f (x0), 将点 x 0 称为极大点；如果对适合不等式 f(x)f(x0)，则称
点.
o x0 x
3.求极值的步骤:
(1)求定义域，求导数 f(x);
(2)求驻点，即方程 f(x)0的根，以及不可导点；
(3)检查 f (x)在驻点及不可导点左右的正负号，
判断出极值点； (4)求极值.
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例1 求出函数 f(x)x33x29x5的极值.
解 该函数的定义域为 (,)
f(x)6x21x81 26(x1)(x2)，
解方程 f(x)0得， x11,x22.
x (,1) (1,2) (2, )
y


y
则单调增加区间是：( ,1)， (2, ).
单调递减区间是：(1, 2 )
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例4 确定函数 f(x)3 x2的单调区间.
解 D:(, ) .
可导函数极值点的导数是零.
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定理1(必要条件)设函数 f (x) 在点 x 0 处可导，且在点
x 0 处取得极值，那么 f(x0)0.(费马定理)
证 设 f ( x0 ) 为极大值.则在 xU(xˆ0)时，f(x)f(x0)
于是当 x

x0时，
y x
f(x)f(x0)
xx0
f(x )3 x 2 6 x 93(x1)(x3)， 令 f(x)0，得驻点：x11,x23.列表讨论
x ( ,1) 1
f(x)
0
极
f (x)
大 值
(1,3) 3 (3,)
0
极 小 值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 2.2
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在 (,)内，y 3x2 0
且等号仅在 x0处成立.
则由单调性的判定法可知，
函数 y x3在 (,)内单调增加.
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例2 讨论函数 yxln1(x)的单调性.
解 函数 yxln1(x)的定义区间为 (1,)，
在定义域内连续、可导， 且y 1 1 x ，
知：f(0)6 0， 极小值 f (0) 0，f(1)f(1)0，
f(x)1x 0 (1x 0 21),
2.增减函数的定义：在某个区间上，函数值随着自变量
的增大而增大(减小)，就称函数为增(减)函数.
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§3-4 函数的单调性与极值
一、函数的单调性
1、利用导数的符号判断函数的单调性
y
yf(x) B
yA
yf(x) f(x)0
A
f(x)0
B
oa
bx
oa
bx
增函数 切线的倾角为锐角k0 f(x) 0， 减函数 切线的倾角为钝角k0f (x) 0，
f (x)在 [0,)单调增加，
当 x0时， f(x)＞f(0)
f(0)0, ex1x0,
即 ex 1x.
练习：当 x 0 时 e x 1 ， x ; x sx i ; x n l1 n x )(.
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4、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.
极值点.
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例4 求出函数 f(x)x41x 025的极值. 解 f(x ) 4 x 3 2x 0 4 x (x 2 5 )
令 f(x)0，得驻点：x15, x20,x35.
f(x)1x222,0 f( 5)40＞0, 故极小值 f ( 5) 20,
f(x) 2 , (x0) 33 x
当 x0时，导数不存在.
y3 x2
x
( ,0) (0, )
y

y
则单调增加区间是：(0,)，单调递减区间是：(,0).
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求f(x)单调区间(判断单调性)的步骤: