高等数学函数的单调性与极值.
高等数学自考3.3函数的单调性与极值
上单调增加； 在 上单调增加 （i）如果在 b)内f ′(x) > 0，则f (x)在[a, b]上单调增加； ）如果在(a, 内 ， 上单调减少。 （ii）如果在 b)内f ′(x) <0，则f (x)在[a, b]上单调减少。 ）如果在(a, 内 ， 在 上单调减少
例1 讨论函数 y = e x − x − 1的单调性 . 的单调性 解 Q y′ = e x − 1. 又 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
的极值点与极值。 例4 求 f (x) = (x −1) x 的极值点与极值。
3 2
解
定义域（ 定义域（−，+）
2 5x − 2 f ′( x) = x + ( x −1) x = 3 , 3 3 x 2 当 x = 时 , f ′( x ) = 0; 5 当 x = 0时 , f ′( x )不存在
4 3
′(x) = 12x3 −12x2 = 12x2 ( x −1), 解 f
令 得驻点: f ′( x) = 0 得驻点 x = 0, 1.
′′( x) = 36x2 − 24x = 12x(3x − 2) f
f ′′(0) = 0, f ′′(1) = 12 > 0.
由极值第二判别法, 由极值第二判别法 ξ=1时, 时 f (ξ)有极小值 f (1)=4. 有极小值: ξ 有极小值 由于 f ′′( 0 ) = 0 所以,需用极值第一判别法判定 所以 需用极值第一判别法判定: 需用极值第一判别法判定
O x
y = x3
定理2 极值存在的一阶充分条件） 定理2（极值存在的一阶充分条件） 在该邻域（ 可除外）可导， 在该邻域（x0可除外）可导， 设f (x)在x0的某邻域内连续， 在 的某邻域内连续， 不存在的点。 x0为f (x)的驻点或使 ′(x) 不存在的点。 的驻点或使f 的驻点或使 (i) 若当 < x0 时，f ′(x) > 0；当x > x0 时，f ′(x) < 0， 若当x ； ， 则 f (x0) 是f (x)的极大值； 的极大值； 的极大值 (ii) 若当 < x0 时，f ′(x) < 0； 当x > x0 时，f ′(x) >0， 若当x ； ， 的极小值； 则 f (x0) 是f (x)的极小值； 的极小值 (iii) 若在 0的两侧，f ′(x)不变号， 若在x 的两侧， 不变号， 不变号 不是极值。 则f (x0)不是极值。 不是极值
大专大一高数知识点
大专大一高数知识点高等数学作为大一学生的必修课程，是一门基础且重要的学科。
掌握了高数的基本知识点，对于后续专业课程的学习以及日常生活中的实际问题解决都有着重要的帮助。
本文将对大专大一高数的知识点进行系统整理和介绍。
一、函数与极限1. 函数与映射关系：函数的定义，自变量、因变量和函数值的概念，函数图像的性质等。
2. 极限与连续：数列的极限概念，函数极限的定义与性质，常见极限运算法则，连续函数的定义与判定等。
3. 一元函数的导数与微分：导数的定义与性质，常见导数运算法则，函数的微分与微分近似计算等。
二、一元函数的应用1. 函数的增减性与极值：函数单调性的判定方法，函数的极大值与极小值的求解等。
2. 函数的单调性与曲线的凹凸性：函数的凹凸性与拐点的判定方法，曲线的拐点与凹凸区间等。
3. 常用函数与数学模型：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数的性质与应用。
三、二元函数与多元函数1. 二元函数的概念与性质：二元函数的定义与图像，二元函数的极限、连续与偏导数等。
2. 多元函数的极限与连续：多元函数的定义与性质，多元函数的极限定义与计算，多元函数的连续性与判定等。
3. 多元函数的偏导数与全微分：多元函数的偏导数与偏导数的计算方法，全微分的概念与计算等。
四、多元函数的应用1. 多元函数的极值与条件极值：多元函数的极值与条件极值的求解方法，拉格朗日乘数法等。
2. 多元函数的偏导数与梯度：多元函数的偏导数在几何上的意义，梯度的概念与性质等。
3. 二重积分与三重积分：二重积分的定义与计算方法，三重积分的定义与计算方法等。
五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：常微分方程的定义与分类，初值问题的理解与解的存在唯一性定理等。
2. 一阶常微分方程的解法：可分离变量方程、线性方程、齐次方程、一阶齐次线性方程等的求解方法。
3. 高阶线性常微分方程：高阶常微分方程的解法，常系数线性齐次方程的解法，常系数线性非齐次方程的特解与通解等。
大学高等数学上册：4-1单调性与极值
(非严格意义的) 注意
闭区间[a, b]上上述结论不一定成立． o a
bx
y
y
oa
bx o a
bx
1．闭区间上连续函数的最值
闭区间[a, b]上连续函数f (x) 的最大最小值 M，m 的求法． (1) 求出f (x) 在(a, b) 内的所有临界点：x1, x2 , , xn. (2) 求出函数值 f ( x 1), f ( x 2), , f ( x n) 及 f (a)，f (b)． (3) 比较以上这些函数值的大小即可得：
令 f ( x) 0 得驻点x = －1, 0, 1. f ( x) 6( x2 1)(5 x2 1)
x ( ,1) 1 (1,0) 0 (0, 1) 1
(1, )
f ( x) －
0
－
0
+
0
+
f ( x)
0
+
0
f (x)
非极值
极小值 f (0) = 0
非极值
三、最值
最值是整体概念而极值是局部概念. 结论：若f (x) 在 (a, b) 内有最值点 x0，则 x0 必是极值点.
例如
y x3
y x
x = 0 是驻点但非极值点 x = 0 是极小值点但 y (0) 不存在
结论：极值点必是临界点
极值点的必要条件
问题：如何判别临界点是否为极值点？
3．极值点的充分条件
y x2
y x3
y 3 x2
(1)一阶充分条件：
设 x0 是f ( x )的临界点， f ( x )在某N ( x0 )内连续，在
f ( x )的驻点．
(4) 函数的单调性是一个区间上的性质，不能用一点
函数单调性和求极值点、最值(知识点及相关练习)
函数单调性和求极值点、最值(知识点及相关练习)本文档将介绍函数的单调性以及如何求函数的极值点和最值。
这些概念是在研究高等数学中非常重要的一部分。
函数的单调性函数的单调性描述了函数图像在定义域内的变化趋势。
一个函数可以是递增的（单调递增），也可以是递减的（单调递减），或者在某个区间内既递增又递减。
判断函数的单调性需要观察函数的导数。
如果函数的导数恒大于零（导函数递增），则函数单调递增；如果导数恒小于零（导函数递减），则函数单调递减。
如果导数在某个区间内既大于零又小于零，则函数在该区间内既递增又递减。
下面是一些相关联系。
练题：1. 设函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$，求 $f(x)$ 的单调区间。
- 解答：- 首先求导数：$f'(x)=3x^2-6x$- 然后求解 $f'(x)=0$ 的解，即 $3x^2-6x=0$ ，解得 $x=0, 2$- 将 $x=0$ 和 $x=2$ 代入 $f'(x)$ 的导数符号表，得到如下结果：| $x$ | $(-\infty,0)$ | $(0,2)$ | $(2,+\infty)$ |- 由上表可以看出，函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上递减，在区间 $(0,2)$ 上递增，而在区间 $(2,+\infty)$ 上递增，所以函数的单调区间分别为 $(-\infty, 0)$ 和 $(2,+\infty)$。
求函数的极值点和最值函数的极值点是函数某一段上的极大值或极小值点。
函数的最大值和最小值是函数在整个定义域上的最大值和最小值。
为了求函数的极值点和最值，我们需要找到函数的临界点和边界点。
- 临界点：函数定义域内导数为零或不存在的点。
- 边界点：函数定义域的端点。
对于一个函数，如果它有极值点，那么极值点一定在函数的临界点和边界点处。
下面是一些相关练。
练题：1. 设函数 $g(x)=x^3-6x^2+9x+2$，求 $g(x)$ 的极值点和最值。
高等数学：函数的单调性及其极值
函数的单调性及其极值单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。
本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。
一、函数的单调性1、函数单调性的判定为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图133--)(a 、)(b 。
图133--)(a 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向上升，除点))(,(ξξf 处的切线平行于x 轴外，)(a )(b 图133--曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为锐角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为正；而图133--)(b 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为钝角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为负。
由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。
反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。
设函数)(x f 在区间I 内可导，在I 内任取两点1x 和2x （21x x <），在区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，得)()()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ） （1）由于在（1）式中012>-x x ，因此，若在I 内导数)(x f '的符号保持为正，即0)(>'x f ，那么也有0)(>'ξf ，于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f <表明函数)(x f 在区间I 上单调增加。
同理，若在I 内导数)(x f '的符号保持为负，即0)(<'x f ，那么也有0)(<'ξf ，于是0)()()()(1212<-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f > 表明函数)(x f 在区间I 上单调减少。
高等数学定理
数学基础知识总结第一部分高数第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、函数的单调性、奇偶性、周期性（指最小正周期）3、数列的极限定理(极限的唯一性) 数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。
●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n +1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
4、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理（极限的局部保号性）如果lim (x→x0)时f(x)=A，而且A>0（或A<0），就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x) >0（或f(x) >0），反之也成立。
●函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)= f(x 0+0)，若不相等则lim f(x)不存在。
●一般的说，如果lim（x→∞）f(x)=c，则直线y=c是函数y= f(x)的图形水平渐近线。
如果lim（x →x0）f(x)=∞，则直线x=x0是函数y= f(x)图形的铅直渐近线。
高等数学 第3章
显然 x 0 时，f (x) 不存在；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) 3 x2 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加（如图3-1所示）。
图3-1
我们将导数为零的点，称为函数的驻点。将连续不可导点 称为函数的尖点。
比较可得 f (x) 在 x 1 和 x 3 处，取得最大值 3 9 ，在 x 0 和 x 2
处，取得最小值0。
如果连续函数 f (x) 在一个开区间（a ，b）内有惟一的一个 极值时，那么这个极大（或极小）值就是函数 f (x)在该区间 内最大（或最小）值（如图3-3，3-4所示）。
图3-3
（3）当 x x0 与 x x0 时，f (x) 的符号保持不变，那么函数f (x) 在 x0 处没有极值。
于是，若函数 f (x) 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处 可导，则可以按下列步骤来求 f (x)在该区间内的极值点和相应的 极值：
（1）写出函数的定义域； （2）求导数 f (x) ，并找出定义域内的全部驻点和尖点； （3）考察 f (x) 的符号在每个驻点或尖点的左、右邻域的情形， 以确定该点是否为极值点。为方便起见，可列表进行讨论； （4）求出各极值点的函数值，得函数 f (x) 的全部极值。
f
(
x)
1
2
x x
2
显然 x 0 时，f (0) 0 ；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) ln(1 x2 ) 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加。
例2 讨论函数 f (x) 3 x2 单调性。 解 f (x) 3 x2 的定义域为 ( ， )，
《高等数学(上册)》课件 第三章
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解 此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么 在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为 常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日 中值定理条件？假设满足，找出点．
解 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使
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O a x1 x2
x3 x4 b x
【问题探究】问题:函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?
问题:f (x)全部零点或不可导点一定是极值点吗？
y
y
o
x0
xo
x0
y
y
x (是极值点情形)
y
o
x0
xo
x0
xO
x0
x
(不是极值点情形)
驻点只是函数的极值可 疑点.
使得函数导数不存在的点也是极值可疑点.
➢观察与思考：
在 (, 2) , (2, )内单调增加； 在 (2, 0) , (0, 2)内单调减少.
列表可使问题明朗化
【复习与思考】
二、导数的简单应用
1. 导数在几何中的简单应用 (1) 求曲线 y f (x) 在某点处的切线方程和法线方程. (2) 求两条相交的曲线在交点处的交角.
2. 导数在物理学中的简单应用 (1) 求物体运动的速度、加速度或变量的变化率. (2) 求变量间的相关变化率.
O
x0
x
练习 讨论 y 2x 8 的单调性. x
解 1.定义域 : (, 0) (0, )
2. y 2 8 x2
2 x2
(x2
4)
3.令 y 0 , 得 x12, 0) 0 (0, 2) 2 (2, )
y
0
0
y
5. 综上所述, 函数 y 2x 8 x
函数极值怎么定义？ 有谁来说一说.
极值定义请同学们自己看书.
【函数极值的定义】
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， (1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的 函数值都大，即f(x)<f(x0)，则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值。记作:y极大值=f(x0) (2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的 函数值都小，即f(x)>f(x0)，则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值。记作:y极小值=f(x0)
解 (1) 函数的定义域为( )
(2) f (x) x2e –x (3 x)
(3)导数为零的点为x10 ，x２3, (4)列表分析
极大值与极小值统称为极值，
x0叫做函数的极值点。
y
f ( x3 )
f ( x4 )
f ( x1 )
f (x2)
O a x1 x2
x3 x4 b x
观察上述图象，试指出该函数的极值点与极值， 并说出哪些是极大值点，哪些是极小值点。
【关于极值概念的几点说明】
(1)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点 不能成为极值点;
练习
2
２1５ 确定函数f(x) x 3 x 3 的单调区间和极值
2
解 (1) 函数的定义域为
(2) f (x)
(3)导数为零的点
(4)列表分析
x ？ ？？
？
f (x)
f (x)
,不可导点为
(5)函数f(x)在区间(
] 单调减少
在区间[ )上单调增加 极小值 f ( )
例２1４ 确定函数f(x) x3e -x的单调区间和极值
(5)求出极值点处的函数值，得到极值.
四、例题讲解 例1 讨论 y 2x 8 的单调性.极值 x
解 1.定义域 : (, 0) (0, )
2. y 2 8 2 (x2 4)
x2
x2
3.令 y 0 , 得 x1 2 , x2 2 ,
４. x ( , 2) 2 (2, 0) 0 (0, 2) 2 (2, )
如何找极值点？ 找单调上升，下降分界点
y
y f (x)
✓导数等于零的点和不可导点.
f (x)全部零点(驻点)或不可导点
o x2 x3
x4
x5 x6 b x
极值判可断疑点
请同学总结求极值的步骤
三.求函数y = f (x)极值的一般步骤是：
（1）确定函数的定义域 (2) 求导数 f (x); (3)找出所给函数的驻点和导数不存在的点； (4)顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列 成表格,考察上述点两侧导数的符号，确定极值点；
f (x)
＋ ０ －０ ＋
f (x)
↗
(5)函数f(x)
极 大
↘
值
极
小 值
↗
极大值 f (1) 2,
y2x39x212x3
极小值 f (2) 9.
练习：见习题册2.13
2．13、求函数 f (x) 3 2x x2 2 的极值和单调区间．
解 定义域 ,, f (x) 2 2 - 2x 令f (x) 0 x 1 3 3 2x x2
第三章第三讲 函数的极值与导数
【复习与思考】
一、函数的单调性与导数符号的关系
导数大于零f (x)>0 ，函数f (x)单调增加 导数小于零f (x)<0 ，函数f (x)单调减少。
y
f (x)=0
f (x)>0
f (x)>0 f (x)>0 f (x)>0
f (x)<0 f (x)<0
f (x)<0 f (x)<0
３。求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45角发射炮弹 时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。
【函数极值】
一、函数极值的定义
y
y f (x)
称为极值点
a x1 o x2
称f (x2)为极y大值
x4
b x5 x6
x
y
极小值f (x１)
o
x 2
x
o
x
6
x
函数的极大值与极小值统称为极值,使函 数取得极值的点称为极值点.
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的 极大值未必大于极小值;
(4) 极值是一个局部概念,反映了函数在某一点 附近的大小情况。
【问题探究】
问题:函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?
y
f ( x3 )
f ( x4 )
f ( x1 )
f (x2)
y
0
0
y
极 大
极 小
值
值
5. 极大值 f (2) 8, 极小值 f (2) 8.
例２ 确定函数f(x)2x39x212x3的极值
解 (1) 函数的定义域为( )
(2) f (x)6x218x126(x1)(x2) １
(3)导数为零的点为x11、x22 (4)列表分析
x ( 1) 1 (1 2) 2 (2 )
f (x)不存在点为 x 0、x 2
x ,0 0 (0,1) 1
f (x)
不存在 0
(1,2) 2 2,
不存在
f (x) 极小值 极大值 极小值
极大值f(1)=1, 极小值f (0) 0、f (2) 0
单调增加区间 (0,1) (2,), 单调减少区间 (-,0) (1,2)