高等数学极值与最值
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高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件
3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值
高等数学-第3章-3.4-函数的极值和最值-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN§3.4 函数的极值与最值本节利用导数讨论函数的极值与最值的问题，具体来说，讨论函数在局部与全局的最大值、最小值（简称最值）问题，它在实际应用中有着重要的意义。
一、函数的极值 1. 极值的定义观察图 3.11，可以发现，函数()y f x =在点14,x x 的值比其邻近点的值都大，曲线在该点处达到“峰顶”；在点25,x x 的值比其邻近点的值都小，曲线在该点处达到“谷底”。
对于具有这种性质的点，我们引入函数的极值的概念.定义 3.3 设函数)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意一点x （x ≠0x ），恒有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），则称)(0x f 是函数)(x f 的极大值（或极小值），称0x 是函数)(x f 的极大值点（或极小值点）。
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 注：（1）函数的极值是一个局部性的概念，如果)(0x f 是函数)(x f 的极大值（或极小值），只是就0x 邻近的一个局部范围内，)(0x f 是最大的（或最小的），而对于函数)(x f 的整个定义域来说就不一定是最大的（或最小的）了。
图3.112（2）函数的极值只能在定义域内部取得。
2. 极值的判别法继续观察图 3.4可以发现，在函数取得极值处，若曲线的切线存在（即函数的导数存在），则切线一定是水平的，即函数在极值点处的导数等于零。
由此，有下面的定理.定理 3.4 (极值存在的必要条件) 如果函数)(x f 在点0x 可导，且在0x 处取得极值，则)(0x f '=0.证明从略。
定义3.4 使()0f x '=的点,称为函数()f x 的驻点.根据定理3.4，可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点。
高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值
o
x
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？ 分析 陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元 （其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能 立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货 量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用 最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).
高等数学 函数的极值与最大值、最小值
解：（1）设平均成本为 y ，则 y = 25000 + 200 + x
x
40
由
y′
=
−
25000 x2
+
1 40
=
0
，得
x1
= 1000
，
x2
=
−1000
（舍去）
因为 y′′ |x=1000 = 5×10−5 > 0 ，所以当 x = 1000 时， y 取极小值，
也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。
2009年7月3日星期五
21
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（2） 利润函数为
L(x)
=
500x
−
⎛ ⎜⎝
问 x = a 是为 f (x) 的极值点？如果是极值点， f (x) 在
x = a 取得极大值还是极小值？（课本 例 3）
解题思路：
（1） f ′(x) 在点 x = a 处连续
lim f ′(x) = f ′(a)
x→a
（2） f ′(a) = lim f ′(x) = lim f ′(x) × (x − a) = (−1) × 0 = 0
又因为 f ′′(x) = − 1 < 0 ， 25
所以当 x = 1800 时， f (x) 取得最大值，
即房租定为 1800 元时，可获得最大收入。
2009年7月3日星期五
17
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例8
证明
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
(0 ≤ x ≤ 1, p > 1) ．
高考数学复习知识点讲解课件39---函数的极值、最值
例2 (1)函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为
－29(a>0)，则a，b的值为
A.a＝2，b＝－29
B.a＝3，b＝2
√C.a＝2，b＝3
D.以上都不对
解析 函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减， 由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增， 即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减， 即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值， 则f(0)＝b＝3， 则f(x)＝ax3－6ax2＋3， f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3， 则f(－1)>f(2)， 即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29， 计算得出a＝2，b＝3.
e－2b＋12(a－1)2＝e－a＋12(2b－1)2 化为12(a－1)2－e－a＝12(2b－1)2－e－2b， 即f(a)＝f(2b)⇒a＝2b.
方法三 当a>0时，根据题意画出函数f(x)
的大致图象，如图3所示，观察可知b>a.
当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致
图象，如图4所示，观察可知a>b.
综上，可知必有ab>a2成立.
图3
图2 图4
(2)(2021·湘潭模拟)已知函数 f(x)＝ex－ax2＋2ax 有两个极值点，则 a 的
画出该函数的图象如图1所示，可知x＝1为函数f(x)
的极大值点，满足题意.
从而，根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误；
图1
当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)， 画出该函数的图象如图2所示，可知x＝－1为函数 f(x)的极大值点，满足题意. 从而，根据a＝－1，b＝－2可判断选项A错误.
极值和最值讲解
x0 处具有二阶连续偏导数，且 f ( x0 ) 0, (1) 如果 H(x0) 正定，则 x0 为 f (x)的极小值点；
(2) 如果 H(x0) 负定，则 x0 为 f (x)的极大值点；
(3) 如果 H(x0) 不定，则 x0 为 f (x)的鞍点;
(4) 如果 H(x0) 半正定，则需要进一步判别.
高等数学分级教学A2班教学课件
例4. 求函数
在区域
上的最大值和最小值.
解: 先求函数在区域 D 内的驻点.
Dept. Math. & Sys. Sci. 应用数学教研室
驻点为 (0, 0).
由于
所以
为函数的最小值.
再求函数在区域边界上的驻点. 将区域 D 的边界曲线方程改写成参数方程
高等数学分级教学A2班教学课件
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
A 2xy
y
2 xy
x
2 xy
2 x
y
2 x
2 y
x y
0 0
令
Ax
2( y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
高等数学分级教学A2班教学课件
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
Dept. Math. & Sys. Sci.
应用数学教研室
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
高等数学第三章 第5节 函数的极值与最值
极小值 f ( 3) 22.
9
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
10
例2. 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 .
2 3
2 3
2 x 5 5 2 f ( x ) x ( x 1 ) x 解: 1) 求导数 3 3 3 x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x ) 0 , 得 x1 5 x2 0 导数不存在的点
所以 ( x0 , f ( x0 ))是y f ( x)的一个拐点。
18
因为当 x x0时， 有f ( x) f ( x0 ) 0,
当x x0时，有f ( x) f ( x0 ) 0,
所以f ( x0 )是f ( x )的极小值，
即
f ( x) f ( x0 ) 0 所以f ( x)单增，
y y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
7
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1)确定函数的定义域；
(2) 求函数的驻点及导数不 存在的点 ; (3) 由定理判断极值点 ; (4) 求极值.
8
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
x0不是f ( x)的极小值点。
19
二、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存 在.
y
y
高等数学-第五节 极值与最值
3
3 27
唯一驻点为极大值点，
y x2 T
B
Cx
s(16) 4096 为所有三角形中面积的最大者. 3 27
练习 求内接于椭圆x2 y 2 1而面积最大的矩形的各边长． a2 b2
提示：设M(x, y)是内接于椭圆的矩形在第一象限的点
则面积为s 2x 2 y 4b x a2 x2 (0 x a) a
x (, 0) 0 (0 , 52)
2 5
(52 , )
f (x)
0
f (x)
0
0.33
是极大点，其极大值为
是极小点，其极小值为
例2:求 f ( x) ( x 1)2 ( x 1)3 的单调增减区间和极值 解：（1）先求导数
f '(x) 2(x 1) ( x1) 3 3(x 1)2 (x 1)2
计算 f (3) 23; f (2) 34;
7; f (1)
f (4) 142; y 2x3 3x2 12x 14
比较得 最大值 f (4) 142，
最小值 f (1) 7.
例2. 求函数
在闭区间
上的最大值和最小值 .
y
解: 显然
且
(2x3 9x2 12x),
1 4
x
Hale Waihona Puke 02x3 9x2 12x,
（1）求导数 f (x) ； （2）求出 f (x) 的全部驻点，即 f (x) = 0 的点； （3）找出 f (x) 的所有不可导的点； （4）对每一个驻点，用定理 2 或定理 3 判
断其是否为极值点，对每一个不可导点， 用定理 2 判断其是否为极值点；
（5）计算出各极值点处的函数值，即为所求函 数的全部极值。
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的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0 令 A f xx (x0 , y0 ) , B f x y (x0 , y0 ) , C f y y (x0 , y0 )
则: 1) 当AC B2 0 时, 具有极值
A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.
(x, y, z) 0下的极值.
12 2x x cos 0
24cos 2x cos x(cos2 sin2 ) 0
解得:
π 60 , x 8 (cm)
3
由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有
一个驻点, 故此点即为所求.
三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
引入辅助函数 F f (x, y) (x, y)
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f (x, y, z) 在条件 (x, y, z) 0,
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值;
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
不是极值;
在点(3,2) 处
AC B2 12 (6) 0, A 0,
为极大值.
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
分析：如方法 1 所述, 设 (x, y) 0 可确定隐函数
y (x), 则问题等价于一元函数 z f (x, (x))的极
值问题, 故极值点必满足
dz dx
fx
fy
dy dx
0
因d y dxLeabharlann x y,故有
fx
f
y
x y
0
记
fx fy
x y
极值点必满足
fx x 0 f y y 0 (x, y) 0
A
B
C
例3.讨论函数
及
在点(0,0)
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有
z
在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值.
O
x
y
0
当 x2 y2 0 时, z (x2 y2 )2 z (0,0) 0
因此
为极小值.
条件极值的求法:
还有其他条件限制
方法1 代入法. 例如 ,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值
转 从条件(x, y) 0中解出 y (x)
化
求一元函数 z f (x, (x)) 的无条件极值问题
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值.
箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解: 设水箱长,宽分别为 x , y ,则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
2x y
2 x
2 y
令
Ax
2( y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
2( x
2 y2
)
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
二、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
类似于一元函
函数 f 在闭域上可达到最值
驻点，可能是极值点，也可能不是 最值可疑点 边界上的最值点，要与驻点上的极值
点比较，最后得到最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P)为极小值
(大)
f (P)为最小值
(大)
例4. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水
证:
取得极值 , 故
取得极值 分别将y和 取得极值 x看作常量
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.
例如,
有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.
定理2 (充分条件) 若函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
例5. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面
积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积
为
1 (24 2x 2x cos
2
) x sin 梯形面
24xsin 2x2 sin x2 cos sin
2) 当 AC B2 0 时, 没有极值.
3) 当 AC B2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
例2. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
(
D
:
0
x
12,
0
π 2
)
x 24
x
24 2x
A 24x sin 2x2 sin x2 cos sin
(
D
:
0
x
12,
0
π 2
)
令
Ax 24sin 4xsin 2xsin cos 0 A 24x cos 2x2 cos x2 (cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0
第八节
第八章
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值
一、 多元函数的极值
定义: 若函数
的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值
统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
例如 :
z
在点 (0,0) 有极小值;
zz
在点 (0,0) 有极大值; x O y
在点 (0,0) 无极值.
O yy xO
x
例1. 已知函数
则( A )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.
(2003 考研)
提示: 由题设
定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有
存在
f x(x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0
f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0 令 A f xx (x0 , y0 ) , B f x y (x0 , y0 ) , C f y y (x0 , y0 )
则: 1) 当AC B2 0 时, 具有极值
A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.
(x, y, z) 0下的极值.
12 2x x cos 0
24cos 2x cos x(cos2 sin2 ) 0
解得:
π 60 , x 8 (cm)
3
由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有
一个驻点, 故此点即为所求.
三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
引入辅助函数 F f (x, y) (x, y)
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f (x, y, z) 在条件 (x, y, z) 0,
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值;
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
不是极值;
在点(3,2) 处
AC B2 12 (6) 0, A 0,
为极大值.
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
分析：如方法 1 所述, 设 (x, y) 0 可确定隐函数
y (x), 则问题等价于一元函数 z f (x, (x))的极
值问题, 故极值点必满足
dz dx
fx
fy
dy dx
0
因d y dxLeabharlann x y,故有
fx
f
y
x y
0
记
fx fy
x y
极值点必满足
fx x 0 f y y 0 (x, y) 0
A
B
C
例3.讨论函数
及
在点(0,0)
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有
z
在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值.
O
x
y
0
当 x2 y2 0 时, z (x2 y2 )2 z (0,0) 0
因此
为极小值.
条件极值的求法:
还有其他条件限制
方法1 代入法. 例如 ,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值
转 从条件(x, y) 0中解出 y (x)
化
求一元函数 z f (x, (x)) 的无条件极值问题
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值.
箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解: 设水箱长,宽分别为 x , y ,则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
2x y
2 x
2 y
令
Ax
2( y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
2( x
2 y2
)
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
二、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
类似于一元函
函数 f 在闭域上可达到最值
驻点，可能是极值点，也可能不是 最值可疑点 边界上的最值点，要与驻点上的极值
点比较，最后得到最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P)为极小值
(大)
f (P)为最小值
(大)
例4. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水
证:
取得极值 , 故
取得极值 分别将y和 取得极值 x看作常量
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.
例如,
有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.
定理2 (充分条件) 若函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
例5. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面
积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积
为
1 (24 2x 2x cos
2
) x sin 梯形面
24xsin 2x2 sin x2 cos sin
2) 当 AC B2 0 时, 没有极值.
3) 当 AC B2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
例2. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
(
D
:
0
x
12,
0
π 2
)
x 24
x
24 2x
A 24x sin 2x2 sin x2 cos sin
(
D
:
0
x
12,
0
π 2
)
令
Ax 24sin 4xsin 2xsin cos 0 A 24x cos 2x2 cos x2 (cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0
第八节
第八章
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值
一、 多元函数的极值
定义: 若函数
的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值
统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
例如 :
z
在点 (0,0) 有极小值;
zz
在点 (0,0) 有极大值; x O y
在点 (0,0) 无极值.
O yy xO
x
例1. 已知函数
则( A )
的某个邻域内连续, 且
(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.
(2003 考研)
提示: 由题设
定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有
存在
f x(x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0