同济高等数学极值和最值共27页
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高等数学课件 同济四版
2
2. 判别定理 定理1(必要条件 必要条件) 定理 必要条件 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 )处偏导数 处取得极大值. 证明 不妨设 z = f ( x , y )在点 ( x 0 , y0 ) 处取得极大值 存在,并取得极值 存在 并取得极值, 则 f x ( x 0 , y 0 ) = 0, f y ( x 0 , y 0 ) = 0 并取得极值 处取得极大值。 则一元函数 f ( x , y 0 )在 x = x 0 处取得极大值。 由一元函数极值必要条件知, 由一元函数极值必要条件知
) 例如 z = −x2 + y2 (鞍形面
z
O
y
x
4
定理2 充分条件 充分条件) 定理 (充分条件 设函数 z = f ( x , y )在点( x 0 ,
y 0 )某邻域内
有一阶及二阶连续偏导,且 有一阶及二阶连续偏导 且 f x ( x 0 , y 0 ) = 0, f y ( x 0 , y 0 ) = 0 令 A = f xx ( x 0 , y 0 ), B = f xy ( x 0 , y 0 ), C = f yy ( x 0 , y 0 ) 时有极大值. A < 0 时有极大值 有极值, (1) 若 AC − B > 0,有极值 且 时有极小值. A > 0 时有极小值 (保证 、C同号的不等式 保证A、 同号的不等式 同号的不等式) 保证
1.定义 定义 设函数 z = f ( x , y )在点 P ( x 0 , y 0 )某邻域 内有定义, 内有定义 对于该邻域内异于点 P ( x 0 , y 0 ) 的任 意点 ( x , y ), 若恒有 1) f ( x , y ) < f ( x0 , y0 ), 则称该函数在点P处有极大值 则称该函数在点 处有极大值 f ( x 0 , y 0 ) 处有 2) f ( x , y ) > f ( x 0 , y0 ) 则称该函数在点P处有极小值 f ( x 0 , y 0 ) 则称该函数在点 处有极小值 处有 极大值与极小值统称为极值 极大值与极小值统称为极值. 极值
2. 判别定理 定理1(必要条件 必要条件) 定理 必要条件 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 )处偏导数 处取得极大值. 证明 不妨设 z = f ( x , y )在点 ( x 0 , y0 ) 处取得极大值 存在,并取得极值 存在 并取得极值, 则 f x ( x 0 , y 0 ) = 0, f y ( x 0 , y 0 ) = 0 并取得极值 处取得极大值。 则一元函数 f ( x , y 0 )在 x = x 0 处取得极大值。 由一元函数极值必要条件知, 由一元函数极值必要条件知
) 例如 z = −x2 + y2 (鞍形面
z
O
y
x
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定理2 充分条件 充分条件) 定理 (充分条件 设函数 z = f ( x , y )在点( x 0 ,
y 0 )某邻域内
有一阶及二阶连续偏导,且 有一阶及二阶连续偏导 且 f x ( x 0 , y 0 ) = 0, f y ( x 0 , y 0 ) = 0 令 A = f xx ( x 0 , y 0 ), B = f xy ( x 0 , y 0 ), C = f yy ( x 0 , y 0 ) 时有极大值. A < 0 时有极大值 有极值, (1) 若 AC − B > 0,有极值 且 时有极小值. A > 0 时有极小值 (保证 、C同号的不等式 保证A、 同号的不等式 同号的不等式) 保证
1.定义 定义 设函数 z = f ( x , y )在点 P ( x 0 , y 0 )某邻域 内有定义, 内有定义 对于该邻域内异于点 P ( x 0 , y 0 ) 的任 意点 ( x , y ), 若恒有 1) f ( x , y ) < f ( x0 , y0 ), 则称该函数在点P处有极大值 则称该函数在点 处有极大值 f ( x 0 , y 0 ) 处有 2) f ( x , y ) > f ( x 0 , y0 ) 则称该函数在点P处有极小值 f ( x 0 , y 0 ) 则称该函数在点 处有极小值 处有 极大值与极小值统称为极值 极大值与极小值统称为极值. 极值
高等数学3_5极值与最值
2 1 2 2 w=1 b h = b ( d − b ), 6 6
b ∈( 0 , d )
令 得 从而有 即
2 2 w′ = 1 ( d − 3 b ) =0 6
b=
1 3
d
2d 3
h = d 2 − b2 =
d h b
d : h : b = 3 : 2 :1
由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求 结果就是最好的选择 .
f ′′′(±1) ≠ 0
−1
1
x
说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如: 2 1) , x≠0 2 − x ( 2 + sin ⎧ x f ( x) = ⎨ x=0 ⎩2 ,
f (0) = 2 为极大值 , 但不满足定理1 ~ 定理3 的条件.
5μ g ] , α ∈ [0, π F= 2 cosα + μ sin α ϕ (α ) = cosα + μ sin α
∴
即 令
则问题转化为求 ϕ (α ) 的最大值问题 .
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5μ g ] F= , α ∈ [0, π 即 2 cosα + μ sin α ϕ (α ) = cosα + μ sin α 令 则问题转化为求ϕ (α ) 的最大值问题 .
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例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最 清楚(视角θ 最大) ? 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则
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b ∈( 0 , d )
令 得 从而有 即
2 2 w′ = 1 ( d − 3 b ) =0 6
b=
1 3
d
2d 3
h = d 2 − b2 =
d h b
d : h : b = 3 : 2 :1
由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求 结果就是最好的选择 .
f ′′′(±1) ≠ 0
−1
1
x
说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如: 2 1) , x≠0 2 − x ( 2 + sin ⎧ x f ( x) = ⎨ x=0 ⎩2 ,
f (0) = 2 为极大值 , 但不满足定理1 ~ 定理3 的条件.
5μ g ] , α ∈ [0, π F= 2 cosα + μ sin α ϕ (α ) = cosα + μ sin α
∴
即 令
则问题转化为求 ϕ (α ) 的最大值问题 .
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5μ g ] F= , α ∈ [0, π 即 2 cosα + μ sin α ϕ (α ) = cosα + μ sin α 令 则问题转化为求ϕ (α ) 的最大值问题 .
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例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最 清楚(视角θ 最大) ? 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则
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高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件
3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
高等数学 函数的极值与最大值、最小值
解：（1）设平均成本为 y ，则 y = 25000 + 200 + x
x
40
由
y′
=
−
25000 x2
+
1 40
=
0
，得
x1
= 1000
，
x2
=
−1000
（舍去）
因为 y′′ |x=1000 = 5×10−5 > 0 ，所以当 x = 1000 时， y 取极小值，
也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。
2009年7月3日星期五
21
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（2） 利润函数为
L(x)
=
500x
−
⎛ ⎜⎝
问 x = a 是为 f (x) 的极值点？如果是极值点， f (x) 在
x = a 取得极大值还是极小值？（课本 例 3）
解题思路：
（1） f ′(x) 在点 x = a 处连续
lim f ′(x) = f ′(a)
x→a
（2） f ′(a) = lim f ′(x) = lim f ′(x) × (x − a) = (−1) × 0 = 0
又因为 f ′′(x) = − 1 < 0 ， 25
所以当 x = 1800 时， f (x) 取得最大值，
即房租定为 1800 元时，可获得最大收入。
2009年7月3日星期五
17
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例8
证明
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
(0 ≤ x ≤ 1, p > 1) ．
同济第3版-高数-35第五节函数的极值与最大值最小值
(1) 函数在极值点处的特征 由于极值具有局部最大或最小的特征，故函数在其
极值点的两侧的单调性应发生改变，即函数 y = f( x )在 极值点 x0 的两侧的导数符号应变号，于是可知极值点 的分析特征是导数变号的 临界点。
因此，若函数在极值 点 x0 处可导，则应有
f ( x 0 )= 0 .
可判别导数不存在的点的极值性。 • 缺点 应用第一充分条件判别极值性时，需将导数化为
因子连乘积形式，而当导数为多个因子乘积时，确定 其在各保号区间上的符号较为麻烦。
从几何直观看，函数的极大值对应于曲线凸弧的最 高点，极小值对应于曲线凹弧的最低点。由于曲线弧的 凹向可通过二阶导数的符来表达，因而也可通过曲线弧 的凹向的考察来判别驻点的极值性。
y y f x , x a, b
f x1 f x1 0
Oa
f x2
f x2 0
x1
x2
bx
• 优点 应用极值的第二充分条件的好处是应用简便，只
需通过驻点处的二阶导数值 f ( x 0 )的符号便可确定 可疑点的极值性。
• 缺点 第二充分条件仅能用于判别驻点是否为极值点，
下考察各驻点处的二阶导数符号： 因为 f ( 1 )= -2 < 0 ，故 f( x )在驻点 x 1 = 1 处取 得极大值。极大值为：
f( 1 ) =[( x - 1 )2( x - 2 )3]x = 1 = 0 .
由于 f
7 5
5 x 1 x 22
求得驻点
x1 1, x2
7 5
, x3 2.
• 判别可疑点是否为极值点 由于本例极值可疑点均为驻点，故考虑用第二判别
法考察可疑点的极值性。
(同济大学)高等数学课件D8_8极值与最值
(1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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如求二元函数 z = f (x, y)在条件 (x, y) = 0下的极值, 设拉格朗日函数 F = f (x, y) + λ(x, y) 解方程组 3. 函数的最值问题 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值
故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 R2 2π 3 3 2 Smax = 3sin = R . 2 3 4
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xz y
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2. 求平面上以 a, b, c, d 为边的面积最大的四边形 , 试列出其目标函数和约束条件 ? 提示: 提示
a α
d
b
1 1 目标函数 : S = absinα + cd sin β 2 2 ( 0 <α < π , 0 < β < π )
第八节 多元函数的极值及其求法
一,多元函数的极值 二,最值应用问题 三,条件极值
第八章
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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一, 多元函数的极值
定义: 定义 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
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4
z
y
内容小结
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z = f (x, y), 即解方程组
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如求二元函数 z = f (x, y)在条件 (x, y) = 0下的极值, 设拉格朗日函数 F = f (x, y) + λ(x, y) 解方程组 3. 函数的最值问题 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值
故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 R2 2π 3 3 2 Smax = 3sin = R . 2 3 4
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2. 求平面上以 a, b, c, d 为边的面积最大的四边形 , 试列出其目标函数和约束条件 ? 提示: 提示
a α
d
b
1 1 目标函数 : S = absinα + cd sin β 2 2 ( 0 <α < π , 0 < β < π )
第八节 多元函数的极值及其求法
一,多元函数的极值 二,最值应用问题 三,条件极值
第八章
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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一, 多元函数的极值
定义: 定义 若函数 的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
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z
y
内容小结
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z = f (x, y), 即解方程组
同济七版高等数学上册 1.3 函数的极限 ppt
限接近”. f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
x X 表示x 的过程.
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A , 那末常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
N
x N xN
f (x) A
x x N
过程
x x0
x x0
时刻
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
1. 设函数
且
存在, 则
2. 求 lim x .
x0 | x |
3. 讨论
ex ex
lim
x
ex
怎样用数学语言刻划 无限接近于确定值A？
函数f ( x)
表示 f ( x) A 任意小;
x x0
表示x x0的过程.
O x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1.定义
定义1 有定义. 恒有
设函数 f ( x)在点x0某去心邻域内
f (x) A
则称x x0时函数f ( x)有极限A,记作
(2)若在U( x0 , )内有f ( x) 0(或f ( x) 0),
若 lim f (x) A, 则必有A 0(或A 0).
证
xx0
(1) 设A>0, 由 lim
f (x)
A,取正数
A ,
x x0
2
则 0, 使当0 x x0 ,有
x X 表示x 的过程.
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A , 那末常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
N
x N xN
f (x) A
x x N
过程
x x0
x x0
时刻
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
1. 设函数
且
存在, 则
2. 求 lim x .
x0 | x |
3. 讨论
ex ex
lim
x
ex
怎样用数学语言刻划 无限接近于确定值A？
函数f ( x)
表示 f ( x) A 任意小;
x x0
表示x x0的过程.
O x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1.定义
定义1 有定义. 恒有
设函数 f ( x)在点x0某去心邻域内
f (x) A
则称x x0时函数f ( x)有极限A,记作
(2)若在U( x0 , )内有f ( x) 0(或f ( x) 0),
若 lim f (x) A, 则必有A 0(或A 0).
证
xx0
(1) 设A>0, 由 lim
f (x)
A,取正数
A ,
x x0
2
则 0, 使当0 x x0 ,有
同济第五版高数3-5极值最值.ppt
• 对于应用问题 有时可根据实际意义判别 对于应用问题,有时可根据实际意义判别 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点. 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点
例4 求函数 上的最大值和最小值 . 解
在闭区间
′( x) =6x2 − 18x + 12 f = 6( x − 1)( x − 2), 0 < x < 5 2
极 大 值
极大值 f ( −1) = 10, 极小值 f (3) = −22.
图形如下： f ( x ) = x − 3 x − 9 x + 5 图形如下：3 2来自yf ( −1)
−1 o
3
f ( 3)
x
定理3 第二充分条件 第二充分条件) 定理 (第二充分条件 处具有二阶导数,且 设 f (x)在 x0 处具有二阶导数 且 f ′( x0 ) = 0,
思考题
1.下列命题正确吗？ 1.下列命题正确吗？ 下列命题正确吗
的极小值点, 如果 x 0 为 f ( x ) 的极小值点,那么必存在 的某邻域,在此邻域内, x0 的某邻域,在此邻域内, f ( x ) 在 x0 的左侧 下降, 的右侧上升. 下降,而在 x 0 的右侧上升.
例3 求出函数 f ( x ) = 1 − ( x − 2) 的极值 .
2 解 f ′( x ) = − ( x − 2 ) ( x ≠ 2) 3 当x = 2时 , f ′( x )不存在 . y
− 1 3
2 3
但 函 数 f ( x )在 该 点 连 续 . 当x < 2时， f ′( x ) > 0; 当x > 2时，f ′( x ) < 0. o ∴ f (2) = 1为f ( x )的极大值 .