同济大学高等数学期中考试试题及解答
高等数学c2期中试题及答案
高等数学c2期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. 2答案：B3. 以下哪个选项是微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解？A. \( y = A\sin(x) + B\cos(x) \)B. \( y = Ax^2 + Bx \)C. \( y = Ae^x + Be^{-x} \)D. \( y = A\log(x) + Bx \)答案：A4. 函数 \( y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的极值点个数是多少？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 曲线 \( y = x^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处的切线方程是？A. \( y = 2x - 1 \)B. \( y = 2x + 1 \)C. \( y = x + 1 \)D. \( y = x - 1 \)答案：A6. 积分 \( \int \frac{1}{1+x^2} dx \) 的结果是？A. \( \arctan(x) + C \)B. \( \ln(1+x^2) + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin(x) + C \)答案：A7. 以下哪个选项是函数 \( y = e^x \) 的不定积分？A. \( e^x + C \)B. \( \frac{1}{e^x} + C \)C. \( \ln(e^x) + C \)D. \( \frac{1}{x} + C \)答案：A8. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是？A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x \)C. \( \frac{1}{x^2} \)D. \( \ln(x^2) \)答案：A9. 以下哪个选项是函数 \( y = x^2 \) 的二阶导数？A. \( 2x \)B. \( 2 \)C. \( 4x \)D. \( 4 \)答案：B10. 函数 \( y = \sin(x) \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分值是？A. \( 2 \)B. \( 0 \)C. \( \frac{2}{\pi} \)D. \( \frac{\pi}{2} \)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的一阶导数是 \( \_\_\_\_\_ \)。
同济大学线性代数B期中试卷(A卷)11-12参考答案
一、填空题与选择题(每空3分，共24分,选择题为单选)1、行列式10110111中21a 的代数余子式21A = 1 .2、矩阵302101153049217C -⎛⎫⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭中的元素23c = 75 .3. 设A ，B ，C 均为n 阶矩阵(n>1)，下列命题正确的是 B .(A). ()TT T A A A A -=-(B). ,TAB B A =(C). ()()22A B A B A B -+=-(D).AB AC =且0A ≠则B C =4、设n 阶方阵A ,B ,C 满足等式 ABC E = (E 为单位矩阵)，则等式 A 成立.(A). BCA E = (B). BAC E =(C).ACB E =(D). CBA E = 5、设矩阵123123123a a a A b b b c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123112233123333b b b B a c a c a c cc c ⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭,1010100001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2100013001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则有 C(A). 21P AP B = (B). 12PAP B = (C). 21P PA B = (D). 12APP B =6、设3阶矩阵A 的伴随矩阵为*A , A =12，则1*(3)2A A --=1627-. 7、 已知方阵A 满足3A A E O --=, 则()1A E --=2A A +.8、设A 是()m n m n ⨯<.矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，秩1()R AC r = , 则 C .(A).1n r r >>, (B ).1r r n >>, (C). 1r r =, (D). 1r n =二、(12分)行列式1357246813301111D =- 求211A +412A －213A +14A . 解: 211A +412A －213A +14A =24212468'13301111D -=-2421000024682468'01330133011111111D -===--三、（6分）已知A 为3阶方阵，P 为3阶可逆阵，且满足1100010001PAP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 求100A .解: 由1100010001PAP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭知10011003100010001PA P E -⎛⎫⎪=-= ⎪⎪⎝⎭,故100133A E E P P -==四、(6分)设矩阵012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭， 求1A -.解:方法1:012100114010210001r B ⎛⎫⎪=−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭10021101042131001122⎛⎫⎪- ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭故121142131122A -⎛⎫⎪- ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭方法2:2A =, *422842321A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭1*211142131122A A A -⎛⎫⎪- ⎪==- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭五、(12分)设331211223132222x x a x x x a x x x x a-+=⎧⎪-+=-=+⎨+⎪⎩，证明这个方程组有解的充分必要条件是310ii a==∑证: 方程组增广矩阵1121232110332000ra B a a a a a -⎛⎫⎪−−→-+ ⎪ ⎪++⎝⎭, 则()2R A =, \而()2R B =当且仅当1230a a a ++=, \ 因方程组有解当且仅当()()R A R B =,故这个方程组有解的充分必要条件是310ii a==∑六、(10分)设121212a a A b b c c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 111222x y z B x y z ⎛⎫=⎪⎝⎭, (1). 求AB ; (2).求行列式AB . 解 (1).112211221122112211221122112211221122a x a x a y a y a z a z AB b x b x b y b y b z b z c x c x c y c y c z c z +++⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭(2). 由()min{(),()}()2R AB R A R B R A ≤≤≤. 故AB 不是满秩的, 故0AB =七、(本题15分)设n 阶方阵,A B 满足A B AB +=(1). 证明A E -可逆且其逆阵为B E -.(2). 若200030004B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求A .(3). 等式AB BA =是否成立? 为什么?(1)证:由A B AB +=及()()A E B E AB A B E --=--+知()()A E B E E --=\故A E -可逆且其逆阵为B E -.(2). 由A B AB +=知()A B E B -=,而100020003B E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭可逆,故1()A B B E -=-1002002001303000002200414000033⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3). 等式AB BA =成立. 由()()()()A E B E A E B E E --=--=, 故AB A B E BA B A E --+=--+ 故AB BA =八、(15分)设线性方程组12321231232121x x x x x x x x x λλλ-+=-⎧⎪-++=-+⎨⎪++=⎩， 问当λ取何值时，(1). 此方程组有唯一解? (2). 此方程组无解?(3). 此方程组有无穷多解?解:()211211121,11B A b λλλ⎛⎫ ⎪== ---+ -⎪⎪⎝⎭()()112211111A λλλλ-=-=-++(1)当2λ≠- 且1λ≠-时,A 可逆, 此方程组有唯一解. (2)当2λ=-时,112111222111B --⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪-⎝⎭ 103001500001r ⎛⎫ ⎪−−→ ⎝-⎭-⎪⎪此时()2R A =,()3R B =,方程组无解 (3).当1λ=-时,112111111111B --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 110100100000r --⎛⎫ ⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭此时()()23R A R B ==<, 方程组有无穷多解.。
同济大学高等数学上册期中考试练习题三套(附答案)
2、在.
二、
第一单元微小世界1.
二、问答：2.
7、对于生活中的一些废弃物，我们可以从垃圾中回收它们并重新加工利用。这样做不但能够减少垃圾的数量，而且能够节省大量的自然资源。3.
4.
三、
四、
五、
六、
一、
4、如何借助大熊座找到北极星？（P58）1.
2.
2、你知道日食的形成过程吗？3.
3、月球是距离地球最近的星球直径大约是地球的1/4，质量大约是地球的1/80，月球体积大约是地球的1/49，月球引力大约是地球的1/6。4.
5.
6.
20、对生活垃圾进行分类、分装，这是我们每个公民的义务。只要我们人人参与，养成良好的习惯，我们周围的环境一定会变得更加清洁和美丽。7.
同济大学高等数学上册期中考试练习题三套（附答案）
参考答案
练习一
一、
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
二、
1.
2.
3.
4.
5.
6.
三、
四、
练习二
一、
1.
2.
3. 4. 5. 二、
6. 7.
三、
7、硫酸铜溶液与铁钉的反应属于化学反应。硫酸铜溶液的颜色是蓝色，将铁钉浸入硫酸铜溶液中，我们发现铁钉变红了。8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 练习三
上海市同济大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
同济大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟，可以使用计算器）一、填空题（1～6题每题4分，7～12题每题5分，共54分）1. 抛物线的准线方程为________．2. 若与a 的等差中项为18，则实数a 的值为__________．3. 在的二项展开式中，常数项等于_______.4. 函数的导数_________________.5. 已知事件与事件相互独立，为事件的对立事件．若，，则__________．6. 现利用随机数表发从编号为的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为______．7. 一个圆锥的表面积为，母线长为，则其底面半径为______.8. 已知等比数列的公比为，且，则__________．9. 已知正四棱锥底面边长为，则它体积为__________．10. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_______．11. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左支交于A ，B 两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为______．12. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．二、选择题（13～14题每题4分，15～16题每题5分，共18分）13. 设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的的2y x =3a +61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()ln f x x x =()f x '=A B A A ()0.3P A =()0.6P B =()P A B ⋂=00,01,02,,18,19 952260004984012866175168396820274377236627096623925808564389099006482834597418582977814964608925π56{}n a 125342a a a =8a =30︒{}n a n 221n S n n =+-{}n a 1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>1F 112AF F B = O 2OF B C ()(21)x f x e x ax a =--+1a <0x ()00f x <a ,m n ,αβn β⊥是（ ）A. ，且B. ，且C ，且 D. ，且14. 设，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 15. 某校举行演讲比赛，10位评委对某选手评分如下：7.5，7.8，7.8，7.8，8.0，8.0，8.3，8.3，8.8，8.9，选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数．则下列说法错误的是（ ）．A. 剩下的8个评分的众数为7.8B. 原来的10个评分的80％分位数8.3C. 剩下的8个评分的平均数比原来的10个评分的平均数小D. 剩下的8个评分的方差比原来的10个评分的方差小16. 设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是（ ）①可能为等差数列；②可能为等比数列；③均能写成的两项之差；④对任意，总存，使得．A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④三、解答题（17～19每题14分，20～21题每题18分，共78分）17. 在三棱柱中，平面ABC ，，D 为AB 中点，．.的在的//αβn ⊂α//m n m β⊥m n ⊥m β⊂m n ⊥//m β()5501521x a a x a x -=+++ 01a =123451a a a a a ++++=024121a a a ++=-135121a a a ++={}n a n n S n m n m S a ={}n a {}n a (2)i a i ≥{}n a N,1n n ∈≥N,1m m ∈≥n m a S =111ABC A B C -1CC ⊥AC CB ⊥12AC CB CC ===（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小．18. 已知数列满足，，数列满足，．（1）求证：为等差数列，并求通项公式；（2）若，记前n 项和为，对任意的正自然数n ，不等式恒成立，求实数的范围．19. 为了让学生适应上海“3+3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分．先按照考生原始分从高到低按比例划定,共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，和E 级排名各占比5％，其余各级排名各占比10％．现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取5人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中至少有一人原始成绩在内的概率；（2）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差1AC ∥1B CD 1AC 1B CD {}n a 12a =1122n n n a a ++=+{}n b 11b =12121n n n b b n ++=-2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a 11n n n c b b +={}n c n S n S λ<λ,,,,,,,A A B B B C C C ++-+-,,D D E +A +[)60,70[)70,80[)60,70[)80,9083x =218s =[]90,10090y =，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差s （结果精确到0.1）．20. 已知曲线．（1）当时，若曲线交轴于、两点，为曲线上异于、的点，求直线、的斜率之积；（2）若直线与曲线交于、两点，①当时，求面积的最大值；②当实数为何值时，对任意，都有为定值？并求出的值．21. 已知函数．（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性及极值；（3）若，任意且，都有成立，求实数m 的取值范围．2210s =[]80,100z []80,100()22:2,E ax y m a +=∈R 1a =-E y A B M E A B MA MB :1l y mx =+E C D 2a =COD △a m ∈R OC OD ⋅ T T ()()3143f x ax x a =-∈R 4a =()y f x =()()1,1f ()f x 1a =12,x x ⎡∈⎣12x x ≠()()1212ln ln f x f x m x x -<-同济大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、填空题（1～6题每题4分，7～12题每题5分，共54分）【1题答案】【答案】【2题答案】【答案】##【3题答案】【答案】-20【4题答案】【答案】.【5题答案】【答案】【6题答案】【答案】18【7题答案】【答案】【8题答案】【答案】##【9题答案】【答案】【10题答案】【答案】【11题答案】【12题答案】14x =-33216.5ln 1x +0.4223180.125122,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【答案】二、选择题（13～14题每题4分，15～16题每题5分，共18分）【13题答案】【答案】B【14题答案】【答案】C【15题答案】【答案】B【16题答案】【答案】A三、解答题（17～19每题14分，20～21题每题18分，共78分）【17题答案】【答案】（1）证明略（2）【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1） （2）；【20题答案】【答案】（1） （2；②，【21题答案】【答案】（1） 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2n n a n =⋅1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭71085 4.3113a =2T =-83y =-（2）答案略（3）m。
同济大学高等数学2011第二学期期中考试
参考答案
一、 1．由 lim f ( x) = f (0) ，得 lim
x →0
ea sin x − 1 a sin x a = lim = = 1 ，故 a = 2 ． x →0 x →0 2 2x 2x
4 x2 + 2 + x2 − 2 ~ 2 ，所以 x 2 + 2 − x 2 − 2 x
2．当 x → ∞ 时， x 2 + 2 − x 2 − 2 = 是比
(二)高等数学(上)期中考试试卷(II)
试
一、填空题
题
⎧ e a sin x − 1 , x ≠ 0, ⎪ 1．设函数 f ( x) = ⎨ 2 x 在 x = 0 处连续，则常数 a = ⎪ 1 , x=0 ⎩
2．当 x → ∞ 时， x 2 + 2 − x 2 − 2 是比
．
1 x2
的无穷小．
1 低阶的无穷小． x2
3．由所给条件知 lim
x →0
f ( x) f ( x) f ( x) − f (0) = 1． = 1 ，从而 f (0) = lim ⋅ x = 0 ，因此 f ′(0) = lim x →0 x →0 x x x
a a ⎡ ⎤ 1 x x ⎛ x⎞ ⎛ ⎞ − + a ⎢ ⎥ 1． f (0 ) = e , f (0 ) = lim ，因此 a = 2 ． 1 lim 1 e + = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + → 0 x → 0+ ⎝ x ⎢⎝ a ⎠ ⎥ a⎠ ⎣ ⎦ dy 1 1 x 2． ． = ⋅ [ − sin(arctan x)] ⋅ =− 2 d x cos(arctan x) 1+ x 1 + x2 f ( x) − f (0) f (− x) − f (0) + f ( x) − f (− x) 2 f ′(0) x −x 3． lim = lim = = 1． x → 0 g ( x ) − g (0) x→0 g ( x) − g (0) g ′(0) x Δy 1 1 1 = d x = ln(1 + ax) + C ． 4．因为 y′ = lim ，因此 y = ∫ Δx → 0 Δx 1 + ax 1 + ax a 三、 1 1− x − ln(1 + x) x 1． lim = lim 1 + x = lim = 1． x →0 x →0 x → 0 (1 + x ) sin x 1 − cos x sin x
同济大一高数期中复习题
x cos nxdx
0
x s in n x d x
0
9
； b5
．
4．将函数 f x 1 x 在区间 0 , 上展开成正弦级数和余弦级数．
解： b n
2
0
2 1 x c o s n x s in n x 1 x s in n x d x 2 n n 0
；
an
0
2 1 x s in n x c o s n x 1 x c o s n x d x 2 n n 0
x 2 2
2 1
2
n 1
1
n
；
余弦级数： f x 1
n 1
n 1
2
n
收敛，
n 1
1 1 发散，故 n 发散． 5n 5n n 1 2
1
6．判定下列级数的敛散性：
2n 1 n 1 1 1 1 解： u n 2n 2 n
n 1
①
1
；
，而
n 1
1 n
发散，故原级数发散．
n 1! ② ； 2 n ! n 1 n 1 n 5 5n 2 n 2 ! 2n ! u n 1 n 0 1， 解： 级数收敛． un 2 n 2 ! 5 n 1! 2 n 1 2 n 2
n 1!
x
n
n2
，R
， , ．
高等数学期中考试试卷
高等数学期中考试试卷一 .填空题（每小题3分，共15分）1.二元函数 ln()z y x =-+的定义域是 .2. 曲线22280y z x ⎧+=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程是 。
3.(,)limx y →= 。
4. 已知(,)arctan()yf x y xe =，则全微分df = 。
5. 把二次积分221()xy I dy dx +=⎰转化为极坐标形式 .二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 直线412141x y z -++==--与直线158221x y z --+==-的夹角为（ ） A. 6π B.4π C.3π D.2π2. 若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处连续，则在该点处函数(,)z f x y =( ) A.有极限 B. 偏导数存在 C.可微 D. A,B,C 都不正确。
3. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（ ）A . 必有极大值B . 可能有极值，也可能无极值C . 必有极小值D . 必无极值4．设2,1(,)0,1x y f x y x y +≤⎧=⎨+>⎩，{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰的值为（ ）．A ．1B ．12C ．13D ．165．若(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 是由2y x=，0y =和1x =所围成的闭区域，则(,)f x y =（ ）A xyB 18xy +C 2xyD 1xy + 三．计算题（每题10分，共50 分）1. 已知平面π过点0(1,0,1)M -和直线211:201x y z L ---==，求平面π的方程。
2. 设z =，求dz3. 设(,)z f x y xy =-，f 具有二阶连续的偏导数，求2zx y∂∂∂4．设(,,)u f x y z =具有连续的偏导数，函数()y y x =与()z z x =分别由方程0xy e y -=和0z e zx -=所确定，求du dx5. 计算二重积分224d d Dx y x y --⎰⎰，其中22{(,)|9}D x y x y =+≤四、设某工厂生产A 和B 两种产品同时在市场销售，售价分别为1p 和2p ，需求函数分别为11221240225q p p q p p =-=+-+，假设企业生产两种产品的成本为221122C q q q q =++，工厂如何确定两种产品的售价时日利润最大？最大日利润为多少？（10分）五、证明题. （共10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，证明：211()()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰⎰期中考试题参考答案一、1.()22{,0,0,1}x y y x x x y ->≥+<； 2. 22228x y z ++=； 3. 2；4.22()1y y e dx xdy x e++； 5.21200r d e rdr πθ⋅⎰⎰ 二、1. B ； 2. D ； 3. B ； 4. A ； 5. B.三、1.【解】设平面π的一般方程为0Ax By Cz D +++=，由题意知，π过点0(1,0,1)M -，故有0A C D -+= （1） 在已知直线上选取两点12(2,1,1)(4,1,2)M M ，，将其坐标代入平面方程，得 20A B C D +++= （2） 420A B C D +++= （3） 由（1）（2）（3）式解得 3,2,3B A C A D A ==-=- 所以平面的方程为3230x y z +--=2．【解】2222222211()2x y dz d d x y dx dy x y x y x y==⋅⋅+=++++ 3．【解】令,u x y v xy =-=，则(,)z f u v =，1u x ∂=∂，vy x∂=∂，1u y ∂=-∂，v x y ∂=∂。
同济大学·高等数学B(上)期终考试试卷
ｒ ｇ １ ４
、
～
Ｉ 、
‘Leabharlann ＼ ／ ＼ 六 、 析几 何 解
１（ 分 直 ｚ 过 ２一，，的 向 、 正 的 角 是 ，ｚ 正 的 ６ １ ）线 点 （ ３） 方 与 轴） 向 夹 都 手与 轴 向 夹 ・０ 经 ， ５它 ， 轴
角 为锐 角． １ （ ）写 出直线 ｌ 的对 称式 方程 ；２ （ ）设另 一条直 线 ｌ 的方 程为 ＝Ｙ ＝ｚ求 直线 ｌ与 ｌ ，
之的离 间距 ．
（ 接 ２ 页） 上 ８
…字 ＝ 牛
变换 简单 有效． 另外 由上 面几例 还可 以看 出 ， 自变量 Ｕ取偶 数 次幂 时积 分 结果 仍 属 于 “ Ｕ 当 Ｒ（ ，
／ 一 ） ， （ √ －ａ ） （ ａ ”兄 ， １ 型” 不含反三角函数及反双曲函数） 当 自变量 取奇数次幂时积分 － ，
维普资讯
６ ２
高等数学研究
Ｓ ＵＤＩ Ｎ Ｔ ＥＳ Ｉ ＣＯＬ Ｅ ＴＨＥＭＡ Ｃ Ｌ ＧＥ ＭＡ ＴＩ Ｓ
Ｖ １１ Ｎ ． ｏ．０， ｏ６
Ｎｏ ．， ０ ７ ｖ ２０
同济 大 学 ・高等 数 学 （ ）期 终 考试 试 卷 上
２０ ０ ７年 １月
Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３
Ｄ． ４
６ 限∞ ＋＋｛。… ＋ 于 ． 凡 ｌ 。Ｚ ＋｛ 极 Ｈ ‘ ｎ ＋ ｎ 等 — ＋ ｎ
Ａ． １＂ ７ Ｂ
．
【】 Ａ
４
子
Ｃ予 －
Ｃ Ｒ ＞Ｐ ＞Ｑ ．
Ｄ ・ 仃
７ Ｐ ≥ ， ≥ ， ． ＝ ＝ ＝ 设 Ｑ Ｒ
［ ］归行 茂 ， １ 李重华 ， 柴常智 ， 数学 手册［ ． Ｍ］ 上海 ： 上海科学普及 出版社 ，９ ３年 １月 １９
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在 (1,1) 点取得极值，试写出函数 f (u , v) 满足的必要条件；
f ( x, y ) ( x 2 2 x 6)e x 2 y 的梯度方向运行，试求该梯度曲线的轨迹.
解 梯度方向 gradf ( f x , f y ) 与曲线的切线方向一致，所以有
2z （2）求出函数 z ( x, y ) 的二阶偏导 . xy
解 (1)
z 2 f1 f 2 1 ; x
z 3 f 1 2 yf 2 y
dy f y dx f x
由必要条件
得到
f1 (1,0) 2; f 2 (1,0) 3
二阶偏导
大
确定的可导函数，
(2)
2z 2(3 f11 2 yf12 ) (3 f 21 2 yf 22 ) xy 6 f11 (4 y 3) f12 2 yf 22 x 2 y 2 uv 0
f ( x, y )dy
；
以及
坐标原点到该切线的距离： d
2011-2012 学年第二学期《高等数学 B(下)》期中考试试卷--2
三． （本题 10 分）f (u , v) 具有二阶连续的偏导数 （1） 如果函数 z ( x, y ) f (2 x 3 y, x y ) x
2
五． （ 本 题 10 分 ） 如 果 从 (0,0) 点 开 始 ， xoy 平 面 上 的 一 条 曲 线 始 终 沿 着 函 数
2 2
大
得到
旋转所成曲面与平面 z 1 所围成的立体. 解
( Ax
i 1
n
i
By i Cz i D) 0 因此有
成立
I d d 2 zdz
0 0
2
1
1
济 同
Ax B y C z D 0
n
(1 4 ) 2 d
此卷选为：期中考试(√ )、期终考试(
b c；
B d a,
b c；
一
四
五
六
七
八
九
总分
得分
（注意：本试卷共九大题，三大张，满分 100 分．考试时间为 100 分钟.解答题要求写出解题过程）
学
6、函数 f ( x) 则二重积分 A．1
专业 题号
学号 二 三
姓名
任课教师
a d b以及a b c ；
学
y 2
z x (1,1) 2 f 1 (1,0) f 2 (1,0) 1 0 3 f1 (1,0) 2 f 2 (1,0) 0 z y (1,1)
dy 2( x 2 2 x 6) 即得 dx x2 4 y (0) 0 x 2 2x 6 dx x2 4 x C 2
4 2 (1 2 sin cos ) sin 4 d
0
设 Ax By Cz D 0
是使得 n 点到平面的距离平方和取得最小值的平面
学
即 则有
3 4 9 16 4 3 12
f ( A, B, C , D)
1 2 A B2 C 2
( Ax
x2 4 x y 2 x 2 ln 2 arctan 4 2
六． （本题 10 分）利用交换积分次序的方法计算积分 解
同
2 x u x v uv x 0 解 各方程两边对 x 求导， 2 y 2uu x 2vv x 0
dx
0
2
4
2
x
x 3 e y dy
D
2
dxdy ，其中 D 是由 x 2 y 2 2 y; x 0 确定的
九． （本题 8 分） ( x1 , y1 , z1 ), , ( x n , y n , z n ) 是空间 n 个点，证明：若平面 是使得该 n 点到 平面距离的平方和取得最小值的平面，则该平面必经过点 ( x, y, z ) ，其中
n 1 (2 x 3,2 y,2 z ) (1,1,1) (1,2,2) ， n 2 (2,2,1)
.
切线的方向向量为: 切线方程： 法平面方程：
l n 1 n 2 (6,5,2)
u x y e 在 (1,1,1) 点函数值增加最快的方向为 3、
z
k (2,3,1), k 0
i 1
n
i
By i Cz i D) 2 取得了最小值，
fDБайду номын сангаас
1 2 A B2 C 2
2( Ax
i 1
n
i
By i Cz i D) 0
z x 2 绕z 轴 八． （本题 10 分）计算三重积分 z x y dv ， 其中 是由平面曲线 y0
D
2
2
d y
1 y 2
1 y 2
f ( x, y )dx d y
2
7
1 y 2
y 3
f ( x, y )dx
.
5、记条件 a 为函数 z f ( x, y ) 可微分；条件 b 为函数 z f ( x, y ) 具有偏导数；条件 c 为函 数 z f ( x, y ) 连续；条件 d 为函数 z f ( x, y ) 具有连续的偏导数.则以下正确的充分必要 关系为 A d a, C 【 D 】
5 5 2
大
f ( x y)d 的计算值为
D
.
B．2
2、 若曲面 的方程为 z
程为
z2
x2 y2 a2 b2
济
x2 y2 ，如果 关于平面 z 1 对称的曲面为 1 ，则 1 的方 a2 b2
，若再将 1 向着 x 轴的正向移动 2 个单位得到曲面 2 ，则
0
1
（注：可用条件极值 L
( Ax
i 1
i
By i Cz i D) 2 ( A 2 B 2 C 2 1) 类似讨论）
4 21
2
Fx G u （或 x Fu x Gu
得到
Fv Gv Fv Gv
，
Fu G v u Fu x Gu
Fx Fv
dx
0
2
4
2
x
x 3 e y dy dy
2
4
y
0
0
x 3 e y dx
2
Gx Gv
）
1 2 y2 y e dy 4 0
4
2 1 2 ( y 1)e y 4
;该方向与 z 轴正向
x 1 y 1 z 1 6 5 2
的夹角余弦为
cos
14 14
2
.
6( x 1) 5( y 1) 2( z 1) 0
或
4、若 D 是由抛物线 y x 2 x 1 与直线 y x 3 所围成的有界闭区域，则二重积分
2 2
二. （本题 10 分） 求曲线
x 2 y 2 z 2 3x 0 2x 2 y z 1 0
在点 (1,1,1) 的切线与法平面方程，并分
别求出坐标原点到该法平面以及切线的距离. 解
2 的方程为
2 3
z2
同
( x 2) y 2 2 a b
4
0
1 (15e16 1) 4
u 4 xv uy 2 ； x 2(u 2 v 2 )
v 4 xu vy 2 x 2(u 2 v 2 )
2011-2012 学年第二学期《高等数学 B(下)》期中考试试卷--3
七． （本题 10 分）计算二重积分 闭区域. 解
( x y)
( x y)
D
2
dxdy ( x 2 2 xy y 2 )dxdy
D
x
证
2 d
0
2 sin
1 n 1 n 1 n x ， y y ， z i i zi n i 1 n i 1 n i 1
0
(1 2 sin cos ) 3 d
D . d a b以及d a c
（其中 a b 表示 a 是 b 的充分条件， a b 表示 a 是 b 的充分必要条件）
2 0
0 x2 ，若 D 是正方形的闭区域： 0 x 2; 0 y 2 ， x 0或x 2
【 C 】 C．4 D．8
一、填空选择题(每空格 4 分，共 24 分) 1、 以 (1,2,3), (2,0,5) 以及 (1,2,4) 为顶点的三角形面积为
2 x 2 ln( x 2 4) 2 arctan
由 y (0) 0 得到 C 2 ln 4 ，所以得到所求的曲线
2 2 2 xy u v 0
试求偏导数
u v ， . x x
济
四． （8 分）已知函数 u u ( x, y ); v v( x, y ) 是由方程组
2011-2012 学年第二学期《高等数学 B(下)》期中考试试卷--1
同济大学课程考核试卷（期中试卷） 2011—2012 学年第二学期
命题教师签名：董力强 课号：122005 审核教师签名：刘庆生 考试考查： 课名：高等数学 B(下)
)、重修( )试卷
I f ( x, y )dxdy
6x 5 y 2z 9 0
9 65
114 65
I f ( x, y )dxdy 分别化成先对 y 再对 x ，以及先对 x 再对 y 的二次积分式时，积分