条件极值答案
导数与函数的极值、最值(经典导学案及练习答案详解)
§3.3导数与函数的极值、最值学习目标1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)教材改编题1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．2．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)C ．(－6，6)D ．[－6，6]答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0， 解得a >6或a <－ 6.3．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________. 答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一 利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (2022·广州模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )有极大值f (－3)和f (3)B ．函数f (x )有极小值f (－3)和f (3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)答案 D解析由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)因为f(x)＝x－1＋ae x，所以f′(x)＝1－ae x，又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－ae1＝0，所以a＝e.(2)由(1)知f′(x)＝1－ae x，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6答案 A 解析 由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3， 检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.(2)(2022·南京模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B.⎝⎛⎭⎫0，1eC.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎫1x －a＝ln x ＋1－2ax ，由题意知ln x ＋1－2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a ＝ln x ＋1x， 设g (x )＝ln x ＋1x， 则g ′(x )＝1－(ln x ＋1)x 2＝－ln x x 2.当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )的极大值为g (1)＝1，又当x >1时，g (x )>0，当x →＋∞时，g (x )→0，当x →0时，g (x )→－∞，所以0<2a <1，即0<a <12. 教师备选 1．(2022·榆林模拟)设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1B.m ＋1m －1C.1－m m ＋1D.m ＋11－m 答案 B解析 由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0，得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m， 故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 2．已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( )A ．1≤b <aB ．b <a ≤1C ．a <1≤bD ．a <b ≤1 答案 B解析 令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析．对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意． 思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极大值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 答案 C解析 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，故可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝e x －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，故可得f ′(1)＝0，即2a ＋2＝0，解得a ＝－1.此时f ′(x )＝e x －1(x 2＋x －2)＝e x －1(x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，由f ′(x )>0可得x <－2或x >1；由f ′(x )<0可得－2<x <1，所以f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的极大值点为x ＝－2.则f (x )的极大值为f (－2)＝(4＋2－1)e －3＝5e －3.(2)(2022·芜湖模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫52，103B.⎣⎡⎭⎫52，103C.⎝⎛⎦⎤52，103D.⎣⎡⎦⎤2，103 答案 B解析 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)， ∴f ′(x )＝1x＋x －a ， ∵函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点， ∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x＋x . 设g (x )＝1x ＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.题型二 利用导数求函数最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．解 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1； ②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e. 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.教师备选已知函数f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －4，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)可得f ′(x )＝1x－a ， 当a <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以当x ＝1a时，f (x )取得最大值， 即f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ×1a－2 ＝ln 1a－3＝－ln a －3， 因此有－ln a －3>a －4，得ln a ＋a －1<0，设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0， 所以g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．思维升华 (1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．由题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，∴h ＝15r (300－4r 2)．从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0，可得0<r <5 3.故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上单调递增；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上单调递减．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．课时精练1．若函数f (x )＝x 2＋2xe x 的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则a ＋b 等于() A ．－4 B. 2C ．0D ．2答案 C解析 f ′(x )＝2－x 2e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0；当x <－2或x >2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 2＋2x ex 的极大值点与极小值点分别为2，－2， 则a ＝2，b ＝－2，所以a ＋b ＝0.2．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A ．f (x )在[－2，－1]上单调递增B ．当x ＝3时，f (x )取得最小值C ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值D ．f (x )在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减答案 D解析 根据题图知，当x ∈(－2，－1)，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(－1,2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以y ＝f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A 不正确，选项D 正确；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，选项C 不正确；当x ＝3时，f (x )不是取得最小值，选项B 不正确．3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3， ∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12， ∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ， f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52. 4．(2022·重庆联考)函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π]上的最大值为( )A ．π－2B.π6 C ．2D.π6＋ 3 答案 D解析 由题意得，f ′(x )＝1－2sin x ，∴当0≤sin x ≤12，即x 在⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤5π6，π上时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； 当12<sin x ≤1，即x 在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3，有极小值f ⎝⎛⎭⎫5π6＝5π6－3，而端点值f (0)＝2，f (π)＝π－2，则f ⎝⎛⎭⎫π6>f (0)>f (π)>f ⎝⎛⎭⎫5π6， ∴f (x )在[0，π]上的最大值为π6＋ 3. 5．(多选)已知x ＝1和x ＝3是函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ＋k (a ，b ∈R )的两个极值点，且函数f (x )有且仅有两个不同零点，则k 值为( )A ．－43B.43 C ．－1D ．0 答案 BD解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意1,3是f ′(x )＝0的两个根， 所以⎩⎨⎧ 1＋3＝－2b 3a ，1×3＝－33a，解得a ＝－13，b ＝2. 故f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x ＋k . 易求得函数f (x )的极大值为f (3)＝k 和极小值为f (1)＝－43＋k .要使函数f (x )有两个零点，则f (x )极大值k ＝0或f (x )极小值－43＋k ＝0， 所以k ＝0或k ＝43. 6．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点答案 BD解析 因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，所以f (x )是非奇非偶函数，故A 错误；因为f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，所以f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确；显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x， 分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．7．(2022· 潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________.答案 sin x (答案不唯一)解析 正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案 1解析 函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ， 所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x，当12<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x 在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1. 9．已知函数f (x )＝ln x －2x －2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2(a ∈R )，若x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2＝ln x －a x ＋1， 所以g ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)2＝x 2＋(2＋a )x ＋1x (x ＋1)2(x >0)． 由题意知x 1，x 2是方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解．令h (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1，又h (0)＝1>0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧－2－a >0，Δ＝(2＋a )2－4>0，解得a <－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4)． 10．(2022·珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，∴f ′(x )＝1－ax x， 由f ′(1)＝0，得a ＝1.∴f ′(x )＝1－x x， ∴x ∈(0,1)，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ， ①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－axx ＝0，得x ＝1a ，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ，又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2；当e ≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e ，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 2.11．若函数f (x )＝(x 2－a )e x 的两个极值点之积为－3，则f (x )的极大值为() A.6e 3 B ．－2eC ．－2e D.4e 2答案 A解析 因为f (x )＝(x 2－a )e x ，所以f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x ，由f′(x)＝(x2＋2x－a)e x＝0，得x2＋2x－a＝0，由函数f(x)＝(x2－a)e x的两个极值点之积为－3，则由根与系数的关系可知，－a＝－3，即a＝3，所以f(x)＝(x2－3)e x，f′(x)＝(x2＋2x－3)e x，当x<－3或x>1时，f′(x)>0；当－3<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－3)＝6 e3.12．函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对答案 C解析函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减，由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则() A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案 D解析当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .图2综上，可知必有ab >a 2成立．14．(2022·河南多校联考)已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x ＋2，若f (x 1)＝g (x 2)，则x 1－x 2的最小值为______．答案 4－2ln 2解析 设f (x 1)＝g (x 2)＝t ，即2ln x 1＝t ，x 2＋2＝t ，解得x 1＝2e t ，x 2＝t －2，所以x 1－x 2＝2e t －t ＋2，令h (t )＝2e t －t ＋2，则h ′(t )＝21e 2t －1， 令h ′(t )＝0，解得t ＝2ln 2，当t <2ln 2时，h ′(t )<0，当t >2ln 2时，h ′(t )>0，所以h (t )在(－∞，2ln 2)上单调递减，在(2ln 2，＋∞)上单调递增，所以h (t )的最小值为h (2ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，所以x 1－x 2的最小值为4－2ln 2.15．(多选)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋2x 0<0D ．f (x 0)＋2x 0>0答案 AD解析 函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ，∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1＋2x 0＝0，∴f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝2e >0，当x >1e时，f ′(x )>0， ∵当x →0时，f ′(x )→－∞，∴0<x 0<1e，即A 正确，B 不正确； f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝x 0(1－x 0)>0，即D 正确，C 不正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x，x >0， 一元二次方程2x 2－2x ＋a ＝0的Δ＝4(1－2a )，①当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当0<a <12时，令f ′(x )＝0， 得x 1＝1－1－2a 2>0，x 2＝1＋1－2a 2>0， 所以当0<x <1－1－2a 2时， f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当1－1－2a 2<x <1＋1－2a 2时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1＋1－2a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上所述，当a ≥12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞. (2)由(1)知，0<a <12，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a 2，则0<x 1<12<x 2， 由f (x 1)≥mx 2恒成立，得x 21－2x 1＋a ln x 1≥mx 2，即(1－x 2)2－2(1－x 2)＋2(1－x 2)x 2ln(1－x 2)≥mx 2，即m ≤x 2－1x 2＋2(1－x 2)ln(1－x 2)， 记h (x )＝x －1x＋2(1－x )ln(1－x )， 1>x >12， 则h ′(x )＝1x 2－2ln(1－x )－1>0⎝⎛⎭⎫1>x >12， 故h (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增，h ⎝⎛⎭⎫12＝－32－ln 2， 故m ≤－32－ln 2.。
《高等数学》习题答案
《高等数学》习题答案二〇一四年六月三日《高等数学》习题答案第1章 函数练习题1.11.（1）不是。
定义域不相同。
函数x y =的定义域为R ，函数xx y 2=的定义域为}{0≠x x 。
（2）不是。
对应法则不相同。
x x y ==2。
2.（1）⎩⎨⎧>-≠-0120)12lg(x x ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠>121x x x 且。
（2）022≥-x }2-x 2x {x ≤≥∴或定义域为。
（3）⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-321230231ln )23ln(0230)23ln(x x x x x x {}1≥∴x x 定义域为。
3.25)23(,23)21(==f f 。
4.[()]12xf f x x=- 5.（1）⎩⎨⎧≥-≠0102x x {}011≠≤≤-∴x x x 且定义域为 （2）1211≤-≤-x {}31≤≤-∴x x 定义域为 （3）⎩⎨⎧≠≥-003x x {}03≠≤∴x x x 且定义域为6. 不是。
定义域不相同。
{}{}0lg 2)(,0lg )(2>=≠=x x x x g x x x x f 的定义域为的定义域为。
练习题1.21.（1）偶函数（2）偶函数（3）奇函数2.（1）π2=T （2）ππ==-=-==22,2cos 212122cos 1sin 2T x x x y （3）ππ==22T练习题1.31.（1）x y 2tan = （2）)1sin(2+=xe y2.（1）23,10+==x u u y （2）21,x u u y -==（3）x u y u-==,10 （4）2,2x u y u== （5）1,log 22+==x u u y （6）x u u y 5,sin == （7）5,sin x u u y == （8）x u u y sin ,5== （9） x v v u u y lg ,lg ,lg === （10）2,arcsin x u u y == 3.（1）由)(21,2112R x x y y x x y ∈-=-=+=故其反函数为可得 （2）由)(2,22333R x x y y x x y ∈-=-=+=故其反函数为可得练习题1.41.（1）R （2）⎩⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧>>0101lg lg 00lg x x x x x x {}1>∴x x 定义域为 （3）⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-⇒⎩⎨⎧>-≥-321230231ln )23ln(0230)23ln(x x x x x x {}1≥∴x x 定义域为 （4）1211≤-≤-x {}31≤≤-∴x x 定义域为第一章复习题一、判断题:1.√2.×3.√4.√5.√6.√ 二、填空题:1. 0>x2. e 、13. 5,,tan -===x v v u u y4. 22-x 5. {}122±≠≤≤-x x x 且 三、解答题:42)(,4)0(3++-=-=x x x f f第2章 极限练习题2.11.（1）极限为0 （2）极限为0 （3）极限为1 （4）极限为1（5）当n 无限增大时，n)1(1-+无休止地反复取0和2两个数，而不会无限接近于任何一个确定的常数，故该数列当∞→n 时没有极限（6）数列{}n n)1(-即为-1,2，-3,4，-5…… ，故该数列当∞→n 时没有极限（7）极限为22. 该数列的奇子数列为1,2,3,…，n … 没有极限 偶子数列为111,,23n⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 极限为0 所以该数列的极限不存在。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.已知函数 (R)．(1)当时，求函数的极值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．【答案】（1）当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为.（2）a的取值范围是．【解析】（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”.（2）根据= ，得到△= = .据此讨论：①若a≥1，则△≤0，此时≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增 .计算f（0），,得到结论.②若a＜1，则△＞0，= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．有．给出当变化时，的取值情况表.根据f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．作出结论.试题解析：（1）当时，，∴.令="0," 得. 2分当时,, 则在上单调递增;当时,, 则在上单调递减;当时,, 在上单调递增. 4分∴当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为. 6分（2）∵= ，∴△= = .①若a≥1，则△≤0， 7分∴≥0在R上恒成立，∴ f（x）在R上单调递增 .∵f（0），,∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． 9分②若a＜1，则△＞0，∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．∴．当变化时，的取值情况如下表：x x（x，x）x++11分∵,∴.∴=.同理. ∴.令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．而当时,, 13分故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.综上所述，a的取值范围是． 14分【考点】应用导数研究函数的极值、单调性及函数的图象，分类讨论思想.2.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值3.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0.4.已知函数,是函数的导函数，且有两个零点和(),则的最小值为()A．B．C．D．以上都不对【答案】B【解析】，由题意，当或时，，当时，，因此的最小值是，选B．【考点】函数的极值与最值．5.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是函数f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xe x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．【答案】(，2)【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2.7.设函数f(x)＝x e x，则()．A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点【答案】D【解析】∵f(x)＝x e x，∴f′(x)＝e x＋x e x＝e x(1＋x)．∴当f′(x)＞0时，则x＞－1，函数y＝f(x)是增函数，同理可求，x＜－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()．A．(0,2]B．(0,2)C．[，2)D．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2，故选D.9.若函数在区间内有极值，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数在区间内有极值，所以导数在区间内必有零点，于是.【考点】1.导数的公式与法则；2.函数的零点.10.某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点.你认为以上推理的 ( ) A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】本题中，如果，则是函数的极值点是错误的.若是函数的极值点，则函数在的左右两侧异号，而否则尽管有，都不能说明是函数的极值点.如，其导数，函数在上是增函数.所以不是函数的极值点.因此本题是大前提错误.【考点】推理与证明、导数、函数的极值11.在处有极小值，则实数为 .【答案】1【解析】由得，又在处有极小值，故，解得或，当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极小值；当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极大值.综上可知.【考点】利用导数处理函数的极值12.已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间.【答案】（1），无极大值；（2）见解析.【解析】（1）先找到函数的定义域，在定义域内进行作答，在条件下求出函数的导函数，根据函数的单调性与导数的关系，判断函数的极值；（2）先求出函数的导函数，其导函数中含有参数，所以要进行分类讨论，对分三种情况，，进行讨论，分别求出每种情况下的函数的单调增区间和单调减区间.试题解析：（1）函数的定义域是， 1分当时，，所以在上递减，在上递增，所以函数的极小值为，无极大值； 4分（2）定义域， 5分①当，即时，由，得的增区间为；由，得的减区间为； 7分②当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 9分③当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 11分综上，时，的增区间为，减区间为；时，的增区间为和，减区间为；时，的增区间为和，减区间为. 13分【考点】1、对数函数的定义域；2、含参数的分类讨论思想；3、函数的单调性与导数的关系；4、解不等式；5、求函数的极值.13.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.14.已知函数，当时取得极小值，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得，当；当；当，故在处取得最小值，即，则，所以，故选D.【考点】导数的极值点求法，导数的极值求解.15.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”。
多元函数的极值
x yz xy z x y z定理1 (必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000=′=′y x f y x f yx 取得极值,取得极值取得极值且在该点取得极值,则有),(),(00y x y x f z 在点=存在),(),(00y x y x f z 在点因=在),(0y x f z =0x x =故在),(0y x f z =0y y =zox y对于三元函数，若M 0是f (x , y , z )的驻点，f (x , y , z )在M 0处所有的二阶偏导数连续，则当矩阵在M 0处为正定阵时( )，M 0为极小值点，为负定阵时( )，M 0为极大值点.类似的，可以将以上结论推广到三元以上的函数.H=xx xy xz xyyy yz xz yz zz f f f f f f f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦112233H 0,H 0,H 0>>>112233H 0,H 0,H 0<><αcos 24x αcos 22x −)sin (cos 222−+ααx =x A αsin 24αsin 4x −0cos sin 2=+ααx =αA 解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin ≠α0≠x ααααsin cos sin 2sin 2422x x x A +−=)0,120:(2πα<<<<x D 0cos 212=+−αx x 0)sin (cos cos 2cos 2422=−+−ααααx x (cm)8,603===x D πα作业P121 4, 6, 7, 13。
6函数的极值与导数答案
函数的极值与导数讲义1.极值点与极值(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧，右侧，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.、统称为极值点，和统称为极值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是.想一想：若求得某点处的导数值为0，此点一定是极值点吗？提示一个点为函数的极值点不但满足此点处导数值为零，还要判断函数在此点附近左右两侧的单调性，只有单调性相反，才能作为函数的极值点，单调性一致时，不能作为极值点，如f(x)＝x3，x＝0就不是极值点．2．求函数f(x)极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么，f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么，f(x0)是极小值．想一想：极值点与单调区间有什么关系？提示极大值点可以看成函数单调递增区间过渡到递减区间的转折点，极小值点可以看成函数单调递减区间过渡到单调递增区间的转折点．名师点睛1．正确理解函数极值的概念(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．2．极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是函数的极值点．(2)导数为0的点可能是函数的极值点，如y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是极小值．导数为0的点也可能不是函数的极值点，如y＝x3，y′(0)＝0，x＝0不是极值点．探究点一函数的极值与导数的关系问题1如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？问题2函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？问题3若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明.思考函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值点.题型一求函数的极值【例1】求下列函数的极值．(1)f(x)＝3x＋3ln x；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.[思路探索] 求出f′(x)和使f′(x)＝0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧的单调性，进而判断极值．解 (1)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3（x －1）x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(2)函数的定义域为R .f ′(x )＝2（x 2＋1）－4x 2（x 2＋1）2＝－2（x －1）（x ＋1）（x 2＋1）2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可以看出：当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1.规律方法 求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表．解题时注意导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，则不是极值．题型二 已知极值求参数值 【例2】已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值； (2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． [思路探索] 先求f ′(x )，再由函数f (x )在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1建立关于a ，b ，c 的方程组．求出a ，b ，c 值，再由判定极值的方法判定其极值情况．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根，即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a＝0， ①c3a＝－1 ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1.③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1，1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．【变式2】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且知当x ＝－1时取得极大值7，当x ＝3时取得极小值，试求函数f (x )的极小值，并求a 、b 、c 的值． 解 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵x ＝－1时函数取得极大值，x ＝3时函数取得极小值．∴－1，3是方程f ′(x )＝0的根，即为方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．由一元二次方程根与系数的关系有⎩⎨⎧－1＋3＝－2a3，（－1）×3＝b3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.∴f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c . ∵x ＝－1时取得极大值7，∴(－1)3－3(－1)2－9(－1)＋c ＝7. ∴c ＝2.∴函数f (x )的极小值为f (3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25，a ＝－3，b ＝－9，c ＝2.题型三 极值的综合应用【例3】 (12分)设a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)是否存在实数a ，使得方程f (x )＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．审题指导(1)依据求函数极值的方法求解．a 的值． [规范解答] (1)令f ′(x )＝－3x 2＋3＝0， 得x 1＝－1，x 2＝1.(2分) 又因为当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.(4分)所以f (x )的极小值为f (－1)＝a －2，f (x )的极大值为f (1)＝a ＋2.(6分)(2)因为f (x )在(－∞，－1)上单调递减，且当x →－∞时，f (x )→＋∞；又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且当x →＋∞时，f (x )→－∞；而a ＋2>a －2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，(8分)如图(1)，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰好有两个实数根，所以a ＋2＝0，a ＝－2.(10分)如图(2)，当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰好有两个实数根，所以a －2＝0，a ＝2.综上，当a ＝2，或a ＝－2时方程恰有两个实数根．(12分)练习1求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值.练习2 求函数y＝x4－4x3＋5的极值．解y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3)，令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：练习3已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.练习4 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.练习6 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求常数a，b的值．[错解] ∵f (x )在x ＝－1处有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝0，f （－1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.因此常数a ＝1时，b ＝3；a ＝2时，b ＝9.根据极值定义，函数先减后增为极小值，先增后减为极大值，此题未验证x ＝－1两侧导数f ′(x )的符号而致错．[正解] ∵f (x )在x ＝－1处有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝0，f （－1）＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0. ∴f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去；当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1处取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.探究点三函数极值的综合应用例3设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R.(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围.跟踪训练3若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围.。
高级运筹学K-T条件极值试题(含答案)
要求：（1）库恩—塔克条件求最优解（2）写出等价的线性规划问题并化为标准形
解：标准型：
注意本题运用库恩-塔克条件解题时应该引入4个拉格朗日乘子。
当 = , = ， =0, =0时可以求得最优解，
最终最优解为 = 。
（2）等价的线性规划问题：
( )-6X-3X
标准型：
10.已知目标函数 受约束于
（1）解：标准化模型得： ， ， ， 各函数的梯度分别为： ， ， ， 。对三个约束条件分别引入拉格朗日乘子 、 和 ，则有如下K－T条件：
，即可分解为：
， ，
பைடு நூலகம்求解得：
4.用库恩—塔克条件解非线性规划
解先将其变为问题（11.60）的形式
设K-T点为 ，各函数的梯度为
对第一个和第二个约束条件分别引入广义拉格朗日乘子 ， ，则得该问题的K-T条件如下：
用库恩－塔克条件判断 是否为极小点。
解：计算目标函数和约束函数在X*点的梯度
代入
则
解得λ1=1、λ2=1、λ3=0，即λ1、λ2、λ3满足非负要求，故X*={1,0}T点满足库恩－塔克条件，该点是极小值。
解：规划问题标准化
， ，
记 ， 。
①下面验证正则点：
，
显然 与 线性无关，于是 为正则点。
，
同样 与 线性无关，于是 也是正则点。
②下面验证是否满足Kuhn-Tucker条件：
得 ， ，故 不满足Kuhn-Tucker条件。
得 ， ，故 不满足Kuhn-Tucker条件。
6.用库恩-塔克条件解非线性规划
若 解得 ,非K-T点;
若 解得 ,非K-T点;
若 解得 , 全局最小
极值,最值(含答案)
导数的极值、最值考点一.求函数的极值1.求函数的极值：（1）612y 3++-=x x ； （2）212y 2-+=x x ； （3）x x ln 6)5(21y 2+-=； （4）x ex 2y =； 解：（1）22)2(f 10-)2(f ,220123y 2==--=∴=+-='极大极小，则或x x ；（2）1,1x 0)1(1)(1(2)1(22)1(2y 22222-=∴=++-=+⨯-+='，）x x x x x x x ，则f(-1)极小=-3；f(1)极大=-1.（3）定义域：x>0,则x x x x x x x x )3)(2(6565y 2--=+-=+-='，3ln 62)3(f ;2ln 629)2(f +=+=∴极小极大；（4）2,0x 0e2y 2=∴=-='，xx x ，0)0(f ;e 4)2(f 2==∴极小极大； （5）若bx x x +=3a )(f 在x=1处取得极值-2，求a,b 的值。
解：-3b 1,a -2b a f(1)0,3(1)f ,a 3)(f 2==∴=+==+='+='，又b a b x x 。
（6）若c bx ax x x +++=23)(f ，当x=-1时取极大值7，x=3取极小值，求极小值。
解：25-)3(f 2c -9b -3,a 7,f(-1)0(3)f 0,(-1)f ,23)(f 2====∴=='='++='极小值，，，又b ax x x 。
（7）若x e x ax --+=)1(y 2（a<0）,求f(x ）取极小值时，x 的值. 解：a1-2x 0)2)(1()1()1()12()(f 2或，=∴=-+-=--+++='---x ax e e x ax e ax x x x x，（1）当021-,2a 1-<<>a 即，0)(f )a1-2-,0)(f ),a 1-2--<'>'+∞∞x x 上，在（上）和（，在（，取极小值时，)(f 1x x a -=∴。
有限元方法例题解答
2023《有限元技术》习题一参考答案1、用欧拉方程求泛函()1022[()]'2(0)0,(1)0J y x y y xy dx y y ⎧=--⎪⎨⎪==⎩⎰的极值曲线。
解：22'2F y y xy =--，代入欧拉方程'0y y dF F dx-=， 得：''++0y y x =，解微分方程得通解：12sin cos y C x C x x =+-，代入边界条件(0)0,(1)0y y ==，解得sin sin1xy x =-。
2、如图所示，一长度为L 质量为M 的项链悬挂在跨度为2a 的A 和B 两点，项链在重力场中自然下垂，试求该链悬在稳定状态时的曲线方程。
（重力加速度为g ）解： （方法一）将原坐标系(),x y 向下平移1C 个单位(),x y ，拟采用1cosh y C t =代换求解 在新坐标系中，悬链在稳定状态时能量处于最小值。
悬链线质量密度MLλ=， 长度为dl 的势能为：()Mgy dW dmgy dl gy dl L λ====，悬链总势能泛函：(a a a a Mg W dW dx dx L --===⎰⎰⎰，约束条件为：悬链线长度aL -=⎰，泛函的被积函数：(),F y y '=，势能泛函取极小值时的欧拉方程为：'1'y F y F C -=， 即：21C -=，化简得：y C =于是：dx =x =，令1cosh y C t =（在新坐标系下才能作此代换），得：1sinh sinh dy C tdt t =⎧=，代入x =，得112x C dt C t C ==+⎰所以，21x C t C -=，21cosh cosh x C t C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭回代1cosh y C t =得：211cosh x C y C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线关于y 轴对称得20C =，1C由悬链线长度112sinhaaL C C -==⎰给出， 故新坐标系下所求曲线方程为11cosh x y C C ⎛⎫=⎪⎝⎭， 1C 由11sinh 2L aC C =确定。
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习题8-3答案（A ）1、求下列函数的极值：（1）极小值点（0,1）；极小值z=0; (2)求函数333z x y xy =+- 的极值.解：解方程组得22330330zx y xz y x y∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解得驻点(0,0),(1,1)由于222226,3,6z z zx y x x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂，故在(0,0)处290AC B -=-<，函数z 不取得极值；在(1,1)处有2270AC B -=>，且60A =>，函数z 在点(1,1)处取得极值，且极小值为1z =-。
(3)极大值点（0,0），极大值1；且（0,0）点为不可导点 (4)极小值点（5,2），极小值302 要设计一个容积为a 的长方体形无盖水池 . 确定长、宽和高 , 使水池的表面积最小 .分别以x 、y 和z 表示水池的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件xyz a =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .(,,,)2()()F x y z xz yz xy xyz a λλ=+++-对F 求偏导数, 并令它们都等于0: 20,20,2()0,0.x y z F z y yz F z x xz F x y xy F xyz a λλλλ=++=⎫⎪=++=⎪⎬=++=⎪⎪=-=⎭求上述方程组的解, 得33422,2x y z a aλ====-. 依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为34a, 长与宽为高的2倍时, 表面积最小. 最小值233(2)S a =.3.提示：分别以x 、y 表示矩形的长、宽，则 222x y p +=（约束条件）,所求圆柱体体积为2V x y π=构造辅助函数2(,,)(222)F x y x y x y p λπλ=++-，则2220,20,2220.x y F xy F x F x y p λπλπλ=+=⎫⎪=+=⎬⎪=+-=⎭解得2x y =，代入约束条件得：23x p =13y p =；为唯一的驻点，有实际意义知为最值点。
4.求函数u xyz =在条件222124x y z ++=之下的极值。
解：构造辅助函数222(,,,)(1)24x y F x y z xyz z λλ=+++-，则 2220,0,220,10.24x y z F yz x y F xz F xy z x y F z λλλλ=+=⎫⎪⎪=+=⎪⎬=+=⎪⎪=++-=⎪⎭前三个式子联立去掉λ，得22224x y z ==，结合第四个式子得到结果为2221243x y z ===。
所以驻点有八个（+，+，+）（+，+，-）（+，-，+）（+，-，-）（-，+，+）（-，+，-）（-，-，+）（-，-，-）。
其中1、4、6、7点为极大值点，2、3、5、8为极小值点。
(其中在三个式子联立去掉λ的过程中不需要考虑λ=0，或者x =0，y =0及z=0,因为此时它们的函数值为0，不是极值点。
5、在半径为R 的半球内求一体积为最大的内接长方体。
解：设此半球的方程为2222,0x y z R z ++=≥，内接长方体在第一象限的一个顶点坐标为(),,x y z ，则内接长方体体积22224,V xyzx y z R =++=。
考虑函数()()2222,,,4F x y z xyz x y z R λλ=+++-2222420420420yz x xz y xy z x y z Rλλλ+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪++=⎩解此方程组得33R x y z ===，（注意0,0,0x y z >>>） 半球内体积为最大的内接长方体的体积为3439R 。
（B)1）求)2(),(22y y x e y x f x ++=的极值.解：⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=0)22(0)2(22222y e f e y y x e f xy xx x 解之得：⎪⎩⎪⎨⎧-==121y xe f A xx 2)1,21(=-= 0)1,21(=-=xy f B e f C yy 2)1,21(=-=故 0422>=-e B AC 而,02>=e A 故e f 21)1,21(-=-为极小值。
2.(,)sin sin sin(){(,)0,0,}(,)sin sin sin()=sin sin-sin cos cos sinsin-sin cos sin cos sinsin(1cos)sin(1cosf x y x y x yd x y x y x yf x y x y x yx y x y x yx x y y x yx y y xπ=+-+=≥≥+≤=+-++-=+-=-+-求函数在区域上的最大值最小值。
解：首先由函数在有界闭区域上连续，所以一定存在最大值和最小值，且)(,)0(,)sin sin sin()sin sin2(,)0x000.0.=(,)sin sin sin()=,,)sin sif x yx yf x y x y x y x yf x yyx yf x y x y x yx yF x y xπππλ≥≤+≤=+-+≤+≤≥≥==+=+-+⎧⎨+⎩=+由函数的定义域知又由0，初步判定2由于函数最大值只能在极值点和边界点取得。
函数在边界和时，对应函数值都为所以函数有最小值为在边界上，构造条件极值函数（n sin()(-)cos cos()0cos coscos cos()0==-=0=(,)sin sin sin()=2 =22222222.cos cos()0xyxy x y x yF x x yx yF y x yx yF x yx yx y fx yf x x yfλλπλλππππππππππ-+++=-++=⎧=⎧⎪=-++=⇒⎨⎨+⎩⎪+⎩=⎧⇒==+-+⎨+⎩=-+=，此时此时函数取得最大值在定义域的内部，函数不存在偏导数不存在的点，且cos cos()cos cos()0cos cos()(0=0,20yx x yy x y y x yx y x yx x yx yy x yπ=+⎧⎧⇒⎨⎨=-+==+⎩⎩+=+⎧⇒⇒=⎨=+⎩因为、、都在【，】内，在此区间余弦函数为单调递减的）（舍去因为已经不在区域的内部了）综上所述函数有最大值和最小值，且都在边界点取得。
3 解条件极值问题为：222(2)2x ydy x⎧--=⎪⎨⎪=⎩构造辅助函数22(2)(,,)()2x y F x y y x λλ--=+-求驻点2220(2)001214112722482x y F x y x F x y F y x x y λλλ=---=⎧⎪=---+=⎨⎪=-=⎩⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩--=解得：解得唯一的驻点，即为所求的最值点最短距离d=4 为 ：2222(16)(,)2x y f x y d x y +-=++转化为求函数=的极值无偏导数不存在的点，求驻点求驻点2(16)02(16)044x y f x x y f y x y x y =++-=⎧⎨=++-=⎩=⎧⎨=⎩解得唯一的驻点：，即为所求的最值点5.证明：函数()1cos y y z e x ye =+-有无穷多个极大值点，但无极小值点。
证明：()()1sin ,cos 1y y y z ze x e x y e x y∂∂=-+=-+∂∂ 解方程组()()1sin 0cos 10yy e x e x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩可得0,0,1,2,,2k x k k y k π⎧⎪==±±=⎨-⎪⎩ 是偶数为奇数即可得驻点()()2,0,2,2k k πππ+-，其中k 为整数。
()()222221cos ,sin ,cos 2y yy y z z z A e x B e x C e x y e x x y y∂∂∂==-+==-==-+∂∂∂∂1）当2,0x k y π==时，2,0,1A B C =-==-，因为0,0AC B A -><，所以这些点是极大值点。
2）当2,2x k y ππ=+=-时，22111,0,A B C e e=+==-，因为0AC B -<，所以这些点是不是极值点。
6（1）求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。
做辅助函数：44(,,,,)()(,,,,)10(,,,,)10(,,,,)10(,,,,)10(,,,,)0x y z tF x y z t x y z t xyzt a F x y z t yzt F x y z t xzt F x y z t xyt F x y z t xyz F x y z t xyzt a λλλλλλλλλλλλ=++++-=+=⎧⎪=+=⎪⎪=+=⎨⎪=+=⎪=-=⎪⎩解得唯一的驻点（a,a,a,a)即为所求。
(2)求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。
解 令)()1(222z y x z y x xyz L +++-+++=μλ 02=++=μλx yz L x ,2=++=μλy xz L y ,02=++=μλz xy L z ,得 z z y y x x μλμλμλ+=+=+222222, （1）又 1222=++z y x ,（2） 0=++z y x , （3）由（1）得 )()(222x y y x -=-μλ ，)()(222y z z y -=-μλ, 当z y x ≠≠时得 μλ-=+)(2y x ， μλ-=+)(2z y 故得z x =，代入（2）（3）式得 1222=+y x ,02=+y x .解得稳定点)61,62,61(1-P ，)61,62,61(2--P . 由对称性得)61,61,62(4,3±± P ，)62,61,61(6,5 ±±P 也是稳定点. 7．抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离.解: 设椭圆上点的坐标),,(z y x ,则原点到椭圆上的距离的平方为2222z y x d ++=其中z y x ,,需同时满足22y x z +=和1=++z y x令 =),,,,(21λλz y x F 222z y x ++)(221y x z --+λ)1(2-+++z y x λ, 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=--=++==+-==+-=0100202202222212121z y x y x z z F y y F x x F z y x λλλλλλ 13213223x y z ⎧-±=⎪⎪⎪-±⎪∴=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩可得: 359min -=d , 359max +=d8.求由方程22222880x y z xz z +++-+=确定的隐函数(,)z f x y =的极值 。