数学分析18-4184 条件极值
条件极值的推导过程
条件极值的推导过程要推导条件极值，首先需要了解什么是条件极值。
在数学中，函数的极值是指函数的最大值或最小值。
当函数在其中一点的导数为零或不存在时，这一点称为函数的极值点。
而条件极值指的是在一定条件下，函数的最大值或最小值。
假设我们有一个函数f(x)，需要求在一个区间[a,b]上的极值，但不仅是在这个区间上，我们还有一个条件g(x)=0。
那么我们需要利用这个条件来求解函数的条件极值。
接下来，我们将通过一个具体的例子来详细推导条件极值的过程。
例子：求函数f(x)=x^2在条件g(x)=x-1=0下的极值。
首先，我们需要找到函数的极值点。
函数f(x)=x^2的导数为f'(x)=2x。
令f'(x)=0，我们可以求得x=0。
接下来，我们需要确定x=0是否满足条件g(x)=x-1=0。
将x=0代入g(x)我们发现，当x=0时，g(x)=0-1=-1，而不满足条件。
因此，x=0不是函数的条件极值点。
此时，我们还需要考虑边界点。
根据条件g(x)=x-1=0，我们可以确定边界点为x=1对于边界点，我们同样需要对函数进行分析。
将x=1代入函数f(x)，我们得到f(1)=1^2=1、此时，x=1满足条件g(x)=0，因此x=1是函数的一个条件极小值点。
综上所述，函数f(x)=x^2在条件g(x)=x-1=0下的条件极值为极小值，且极小值点为x=1通过这个例子步骤1：求函数的导数f'(x)。
步骤2：令f'(x)=0，求出所有的极值点。
步骤3：对于每个极值点，将其代入条件g(x)并判断是否满足条件。
步骤4：对于满足条件的极值点，判断其是极小值还是极大值。
步骤5：对于非边界点的条件极值点，需要进行极值的验证。
需要注意的是，这个例子只是简单的说明了条件极值的推导过程。
实际上，在实际问题中，推导条件极值可能会更加复杂。
因此，在解决实际问题时，需要根据具体情况灵活应用这些步骤。
总之，通过求解函数的导数、确定极值点、验证边界点和条件，我们可以推导出函数的条件极值。
高等数学第18章第4节条件极值
第十八章 隐函数定理及其应用§4条件极值以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制.例如 要设计一个容量为V 的长方形开口水箱，试问水箱的长ֽ宽ֽ高各等于多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长ֽ宽ֽ高分别为z y x ,,，则表面积为.)(2),,(xy yz xz z y x S ++=依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求)0,0,0(>>>z y x ，而且还须满足条件.V xyz = （1）这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.结论1：条件极值问题的一般形式是在条件组．．．．．．．．．．．．．．．．)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ （2）的限制下，求目标函数．．．．．．．．．．),,,(21n x x x f y = （．3．）．的极值．．．.．☆ 求条件极值的方法: 转化为无条件极值1、 用消元法将条件极值化为无条件极值问题来求解有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 如上面的例子，由条件（1）解出xy V z =，并代入函数),,(z y x S 中，得到.)11(2),,(),(xy xy V xy V y x S y x F ++== 然后按)0,0(),(=y x F F ，求出稳定点32V y x ==，并有3221V z =.最后判定在此稳定点上取得最小面积3243V S =.注．：1）在一般情形下要从条件组（2）中解出m 个变元并不总是可能的.下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.2、用拉格朗日乘数法在多数情况下较难把条件极值直接(例如消元法)转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.（1） 从较简单的情况入手设ϕ,f 均为二元函数，欲求函数),(y x f z = （4）在条件 0),(:=y x C ϕ （5） 的限制下的极值问题.我们有以下结论.结论2：若函数．．．),(y x f z =在．0),(=y x ϕ的附加条件下．．．．．．,．在点．．),(00y x 取得极值．．．．,．则．0),(00=y x ϕ, ．又如果．．．),(y x f z =在点．．0P 可微、．．．0),(=y x ϕ在点．．0P 的某邻域内能惟一确定可微的．．．．．．．．．．．．．隐函数．．．)(x g y =，．则有．．.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8) 上述等式等价于．．．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9） 如果引入辅助变量．．．．．．．．λ和辅助函数．．．．．),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= (10)则．(9)．．．中三式就是．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ (11)这样就把条件极值问题．．．．．．．．．．(4),(5)．．．．．．．转化为讨论函数．．．．．．．(10)．．．．的无条件极值问题．．．．．．．．.． 事实上:①0),(00=y x ϕ显然.②∵0),(=y x ϕ在点0P 的某邻域内能惟一确定可微的隐函数)(x g y =，∴0x x =必定是))(,(x g x f z =的极值点，所以，由),(y x f z =在0P 可微，)(x g y =在0x 可微，得到.0)('),(),(00000=+x g y x f y x f y x (6) 又 .),(),()('00000y x y x x g y x ϕϕ-= (7)把(7)代入(6)后又得到.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8)③由（8）可知方程组⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(0000P b P af P b P af y y x x ϕϕ 有非零解，不妨设0≠a ，令a b=0λ代如上试可得⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(000000P P f P P f y y x x ϕλϕλ.考虑到条件0),(00=y x ϕ即得⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9）④引入辅助变量λ和辅助函数),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= 则(9)中三式就是⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ ▋注．：1）上述结论就把条件极值问题转化为讨论函数(10)的无条件极值问题。
条件极值的求法
条件极值的求法条件极值是指在一定条件下，函数取得的最大值或最小值。
在解决实际问题时，我们经常需要求解条件极值。
本文将介绍条件极值的求法，包括拉格朗日乘数法、KKT条件法和梯度下降法等。
1. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求解有约束条件的极值问题的方法。
其基本思想是将原问题转化为一个无约束条件的最优化问题，然后求解该最优化问题得到原问题的解。
设函数f(x, y)为原问题的目标函数，g(x, y)为约束条件。
则原问题的拉格朗日函数为：L(x, y, λ) = f(x, y) + λ·g(x, y)其中，λ为拉格朗日乘数。
求解原问题的步骤如下：(1) 对目标函数f(x, y)求偏导数，并令偏导数等于0，得到无约束条件的最优化问题；(2) 对约束条件g(x, y)求偏导数，并令偏导数等于0，得到约束条件；(3) 将无约束条件的最优化问题与约束条件联立，求解得到原问题的解。
2. KKT条件法KKT条件法是拉格朗日乘数法的一种推广，可以用于求解更复杂的有约束条件的极值问题。
KKT条件包括：(1) 梯度下降方向：对于无约束条件的最优化问题，梯度下降方向为负梯度方向；对于有约束条件的最优化问题，梯度下降方向为负梯度方向与拉格朗日乘数的比值。
(2) 边界条件：当梯度下降方向指向可行域外时，需要满足一定的边界条件。
常见的边界条件有：梯度下降方向与可行域边界的交点处的梯度必须大于等于零；梯度下降方向与可行域边界的交点处的拉格朗日乘数必须大于等于零。
(3) 非负约束：对于有非负约束的问题，需要满足非负约束条件。
即目标函数的值必须大于等于零。
3. 梯度下降法梯度下降法是一种迭代求解无约束条件的最优化问题的方法。
其基本思想是通过计算目标函数在当前点的梯度，沿着梯度的负方向进行搜索，直到找到局部最优解或满足停止准则。
梯度下降法的迭代公式为：x(k+1) = x(k) - α·∇f(x(k))其中，x(k)表示第k次迭代的解，α为学习率，∇f(x(k))表示目标函数在x(k)处的梯度。
第十五章极值和条件极值
第十五章 极值和条件极值§1. 极值和最小二乘法一 极值定义1 设(),f x y 在()000,M x y 的邻域内成立不等式()()00,,f x y f x y ≤则称函数(,)f x y 在点0M 取到极大值，点()000,M x y 称为函数的极大点，若在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≥则称函数(,)f x y 在点0M 取到极小值，点()000,M x y 称为函数的极小点。
极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。
定义 2 设D 是2R 内的一个区域，()00,x y 是D 的一个内点，如果()00,0f x y x ∂=∂，()00,0f x y y∂=∂，则称()00,x y 是f 的一个驻点。
根据费玛定理，可知定理1 二元函数的极值点必为0f f x y∂∂==∂∂的点或至少有一个偏导数不存在的点。
注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。
例：z xy =在()0,0点。
例：z x =在()0,0点。
怎样进一步判断是否有极值？定理2 设f 在点),(00y x 的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点),(00y x 是f 的一个驻点，),(0022y x x f A ∂∂=，),(0022y x yf C ∂∂=，),(002y x y x f B ∂∂∂=，2A B H AC B B C ==-，则：（1）若0,0H A >>，则f 在点),(00y x 有极小值；（2）若0,0H A ><，则f 在点),(00y x 有极大值；（3）若0H <，则f 在点),(00y x 没有极值；（4）若0H =，则须进一步判断。
例：求)1(by a x xy z --= )0,0(>>b a 的极值。
例：求333z axy x y =--的极值。
多元函数的最大（小）值问题设函数),(y x f 在某一有界闭区域D 中连续且可导，必在D 上达到最大（小）值。
§18.4 条件极值 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
*点击以上标题可直接前往对应内容问题引入很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义域上自由变化, 而是要受到某些条件的约束.例1 要设计一个容积为V 的长方形无盖水箱, 试问长、宽、高各等于多少时, 可使得表面积最小?若设长、宽、高各等于x, y, z, 则=++S z x y x y2();目标函数:=x yz V.约束条件:后退前进目录退出极值（最值）定义12(,,,)0,1,2,,().:k n x x x k m m n ϕΦ==<为简便起见, 记 并设 12(,,,),n P x x x ={|,()0,1,2,,}.k P P D P k m Ωϕ=∈==00()(),(;)(),f P f P P U P P ΩδΩ≤∀∈⋂∀∈或0,0,P Ωδ使得∈>若存在0()f P ()f P Φ则称是 在约束条件 之下的极小值 (或最小值) ,类似地又可定义条件极大 (或最大) 值.1212(,,,),(,,,)R ;n n n y f x x x x x x D =∈⊂设目标函数为 约束条件为如下一组方程:0P 称 是相应的极小值点 (或最小值点).拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法探源 形说起, 即设目标函数与约束条件分别为(,)(,)0.(1)z f x y x y ϕ==与(,)0x y ϕ=(),y y x =若由确定了隐函数 (,()).z f x y x =标函数成为一元函数d d 0,d d x x y x y y z y f f f f x xϕϕ=+⋅=-⋅=00000(,)(,()),P x y x y x =求出稳定点 0()0.x y y x P f f ϕϕ-=再由 先从 n = 2, m =1 的最简情 则使得目 在此点处满足00000((),())((),())(0,0).x y x y f P f P P P λϕϕ+=由此推知:0,λ存在比例常数 满足(,)f x y z =f 这表示 的等值线P 0(,)f x y z =(,)0x y ϕ=(,)f x y c =(,)0x y ϕ=与曲线在 0P 有公共切线，见图. 点 这又表示: 对于函数(,,)(,)(,),L x y f x y x y λλϕ=+在点处恰好满足: 000(,,)x y λ0()0.x y y x P f f ϕϕ-=(,)(,)0,(,)(,)0,(2)(,)0.x x x y y y L f x y x y L f x y x y L x y λλϕλϕϕ=+=⎧⎪=+=⎨⎪==⎩也就是说 , (2) 式是函数在其极值点处所 (,,)L x y λ满足的必要条件.通过引入辅助函数把条件极值问题 (1) (,,),L x y λ转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题. 由此产生了一个重要思想: 即称此函数为拉格朗日函数, 其中称 12,,,m λλλ为拉格朗日乘数.拉格朗日乘数法 目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数12121(,,,)(,,,).(3)m n k k n k f x x x x x x λϕ==+∑1212(,,,,,,,)n m L x x x λλλ对于前面定义中所设的一般1111rank ,n mm P n x x m x x ϕϕϕϕ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥=⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦(0)(0)(0)012(,,,)n P x x x 是该条件极值问 题的极值点, 且(0)(0)(0)12,,,,m λλλ则存在 m 个常数 在区域 D 上有连续一阶偏导数.k f ϕ与设上述条件极值问题中的函数(1,2,,)k m =若D 的内点 使得注 对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说明； 对一般情形的证明, 将放到二十三章的定理23.19 中进行.个方程的解:1120,1,2,,;(,,,)0,1,2,,.m k k k i i i n k k L f i n x x x L x x x k m ϕλϕλ=⎧∂∂∂=+==⎪∂∂∂⎪⎨∂⎪===⎪∂⎩∑为拉格朗日函数 (3) 的稳定点, (0)(0)(0)12(,,,,n x x x (0)(0)(0)12,,,)mλλλn m +即它是如下应用举例定理 18.6 指出的方法称为拉格朗日乘数法.用这种方法先来求解本节开头给出的例题.()2.S xz yz xy V xyz 求+在例约束件1条下的极值=+=解 此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如 代入目标函数后, 转而求解 ,V z x y =2()V S x y x y x y=++的普通极值问题. 就无法进行了. 无法将条件式作显化处理时,此法 下面2()(),L xz yz xy xyz V λ=+++-20,x L z y yz λ=++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩并求解以下方程组:现在作拉格朗日函数为消去 , 将前三式分别乘以 x , y , z , 则得λ2,2,2().xz x y x yz yz x y x yz z x y x yz λλλ+=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩20,y L z x xz λ=++=2()0,z L x y x y λ=++=0.L x yz V λ=-=332,2 2.x V y z V ===两两相减后立即得出再代入第四式,得 2,x y z ==注 由以上结果还可以得到一个不等式 ( 这是获得 不等式的一种好方法 ). (表面积) 的最小值:32333min 22(22)(2)2V S V V V =⋅++消去 V 后便得不等式 322()34(),0,0,0.z x y x y x yz x y z ++≥>>>于是有 其中 322()34,z x y xy V ++≥.V x yz =那就是具体算出目标函数 3234V =221..z x y x y z 抛物面被平面截成一个椭圆求该椭圆到原点的最长和最例2短距离=+++=()222,,f x y z x y z 这个问题的目标函数是解 ++求解以下方程组: 为了计算方便，把目标函数改取距离的平方 (这是 22222()(1).L x y z x y z x y z λμ=++++-+++-等价的), 221z x y x y z 在条件及下的最值问题.=+++=即设22220,220,20,0,10.x y z L x x L y y L z L x y z L x y z λμλμλμλμ⎫=++=⎪=++=⎪⎪=-+=⎬⎪=+-=⎪⎪=++-=⎭由此又得 (1)()0.x y x y λ+-=⇒=式, 继而得到: ( 这里 否则将无解 )1,λ≠-22210,x x +-=13,1(13)23.2x y z -±===--±=2()2()2.x x y y z λλλ+⎧⎪⇒=+⎨⎪=-⎩再代入条件这是拉格朗日函数的稳定点.222222(13)(23)4x y z -±++=+1(133)443393,2⎧-++-+=-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分 别为min max 953,95 3.d d =-=+最大值和最小值，所以由于所求问题存在 1(1233)4339 3.2+++++=+分析 (i) 如果能求得该椭圆的长、短半轴 a 与 b , 则椭圆面积为 ;ab π(ii) 由方程 (4) , 此圆柱面关于坐标原点是对称的, 故此圆柱面的中心轴是通过坐标原点的某一直线; (iii) 因为所给平面也是通过坐标原点的, 平面上的椭圆截线必以坐标原点为其中心点. 它与平面相交得一椭圆, 试求此椭 0x y z +-=圆的面积. 例3 已知圆柱面22210,(4)x y z x y yz zx ++----=所以此解 由以上分析, 自原点至椭圆上任意点 ( x , y , z )的距离 之最大、小值， 222d x y z =++椭圆的长、短半轴.类似, 但在具体计算策略上将有较大差异. ) 并令设拉格朗日函数为222(1),x y z x y yz zx μ-++----222()L x y z x y z λ=++++-就是该( 说明: 本例的题型与例 2 相2222(2)0,(5)2(2)0,(6)2(2)0,(7)0,(8)(1)0.(9)x y z L x x y z L y y z x L z z x y L x y z L x y z x y yz zx λμλμλμλμ⎧=+---=⎪=+---=⎪⎪=----=⎨⎪=+-=⎪⎪=-++----=⎩对 (5), (6), (7) 三式分别乘以 x , y , z 后相加, 得到 2222()0,x y z x y yz zx μ-++---=2222()()x y z x y z λ++++-借助 (8), (9) 两式进行化简, 又得2222.d x y z μ=++=这说明的极值就是这里的 ( 即 的极值就是 μ2d d μ,λ消去 得到一个线性方程组:(2)2(2)0,2(2)(2)0,0.x y z x y z x y z μμμμμμ-++-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-=⎩它有非零解 ( x , y , z ) 的充要条件是 .μ问题便转而去计算 为此先从 (5)－(8) 式由前面讨论知道, 方程 (10) 的两个根就是 12,μμ122.S ab μμ=π==π2212;4,a b μμ=与而2d 的最大、小值, 即 2222222320120,111μμμμμμμμ----=-+-=-22040.(10)3μμ即-+=说明 (i) 一旦由方程 (5) －(9) 能直接求得椭圆的 长、短半轴, ( x , y , z ) 了, 这使解题过程简单了许多. 于是 那就不必再去计算椭圆的顶点坐标(ii) 若用解析几何方法来处理本例的问题, 出纬圆半径 和纬圆面积 23r =2;3A π=的法线与 l 夹角的余弦0x y z +-=(1,1,1)(1,1,1)1cos .333θ⋅-==⋅先求出圆柱面的中心轴所在直线 l : ,x y z ==然后根据面积投影关系最后求得椭圆 cos ,A S θ=面积为 212.33cos A S θπ===π则需要 再求还有平面0P 0Q Γ:(,)0.F x y Γ=例4 设光滑封闭曲线Γ证明: 上任意两个相距最远点 处的切线互相平行, 且垂直于这两点间的连线.220;x y F F +≠且 (ii) 在 上必有相距最远的点.ΓΓ证 由于是光滑封闭曲线, 所以满足: Γ(i) F 在一个包含 的开域内有连续的一阶偏导数,22(,,,)()()f x y u v x u y v =-+-(,)0,(,)0F x y F u v ==000000(,),(,)P x y Q u v Γ设为 上相距最远的两点, 00000(,,,)M x y u v 则点为目标函数 在约束条件之下的极大值点. 22()()(,)(,)L x u y v F x y F u v λμ=-+-++的稳定点. 从而满足 000,,M λμ使点成为拉格朗日函数 于是由拉格朗日乘数法, 存在前者表示 000P Q P Γ与在的切线垂直,000P Q Q Γ与在的切线垂直.示 0Q 00.P Q 两点处的切线互相平行, 且垂直于 000000000000000000002()(,)0,2()(,)0,2()(,)0,2()(,)0.x y u v x u F x y y v F x y x u F u v y v F u v λλμμ-+=⎧⎪-+=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩0000(,)(,),x y P x u y v F F --∥由前两式与后两式分别得到 00000(,)(,).u v Q x u y v F F --∥后者表Γ0,P 所以 在*例5 试求函数111(,,)(0,0,0)f x y z x y z x y z=++>>>3(0)xyz a a =>在条件 下的最小值, 并由此导出相 应的不等式.3111(),L x yz a x y zλ=+++-并使解 设222310,10,10,0.x y z L x yz L y xz L z x y L x yz a λλλλ⎧=-+=⎪⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=-=⎪⎩由此方程组易得,(,,)3.x y z a f a a a a ====并有3:.(,,),0,S x yz a x y z S x y 记当且或=∈→→(,,),0,0x y z S x yδ∈<≤<当且,0,z δδ≤<≤时(,,)3.f x y z a >使得0,0,z →时或(,,).f x y z →+∞都有 下面给出 3a 是条件最小值的理由. 故存在(02),a δδ<<{}1(,,)(,,),,,.S x y z x y z S x y z δδδ=∈≥≥≥又设1S 上存在最大值和最小值. (,,)min (,,)x y z S f x y z ∈3,a 1S f 的值已大于 故 f 在 S 上的最小值必在1S (,,),a a a 又因内部只有惟一可疑点 所以必定有1S f 由于 为一有界闭集,为连续函数, 1\S S 1S ∂而在 及 上,的内部取得. 因此 f 在 1(,,)min (,,)3.x y z S f x y z a ∈==经整理后, 就是 “调和平均不大于几何平均” 这 个著名的不等式: 131113,0,0,0.x yz x y z x y z -⎛⎫++≤>>> ⎪⎝⎭31113,0,0,0.x y z x y zx yz++≥>>>1113,(,,)x y z S x y z a++≥∈最后, 在不等式中, 用 代入, 3a x yz =就得到一个新的不等式::(0,0,0,0).x y z a x y z a Φ++=>>>>23(,,),f x y z x y z =证 设目标函数为23(),L x y zx y z a λ令并使=+++-233220,20,30,0.x y z L y z L x yz L x y z L x y z a λλλλ⎧=+=⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪=++-=⎩*例6 利用条件极值方法证明不等式623108,0,0,0.6x y z x y z x y z ⎛++⎫≤>>>⎪ ⎭⎝约束条件为下面来说明这个稳定点必定是条件最大值点.(,,)f x y z 3RΦΦΦ=⋃∂∈为简单起见, 考虑 在 Φf 由于 为有界闭集,为连续函数 , 因 f Φ此 在 上存在最大、小值.(,,)min (,,)0,x y z f x y z Φ∈=Φ∂这在 上 ( x = 0, 或 y = 0, 或 z = 0 ) 取得. 60()4320,f P a =>0,P Φ∈且故有稳定点0000(,,)(6,3,2).P x y z a a a =由前三式解出代入第四式后得到 2,3,y x z x ==首先, 显然有 上的情形. 而6(,,)(,,)max (,,)max (,,).432x y z x y z a f x y z f x y z ΦΦ∈∈==由此得到不等式623,(,,).432a x y z x y z Φ≤∈又因在 上满足 把它代入上式 , Φ,a x y z =++6623()108.4326x y z x y z x y z ++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭证得注1 在用条件极值方法证明不等式时, 设置合适 的目标函数与约束条件是解决问题的关键. 本例来说 , 也可把上面的条件极大值问题改述为 条件极小值问题: (,,)f x y z x y z=++23x y z a =在条件 约束之下的极小值. 一个问题的这两种处理形式 , 俗称为目标函数与约束条件在形式上的对偶性.p.180 上的例3 同样也是对偶问题. 题的确切提法, 请参阅后面复习思考题的第 5 题. 对于求目标函数前面例5 和教材下册 有关对偶性问注2 如何判断所得稳定点是条件极大 (小) 值点? 这有多种方法可供选用. 用的说理方式; 矩阵, 用极值的充分条件去判别, 只是计算过程十 分繁琐, 不如例5 的做法更加理性 ( 这是利用对偶 性带来的好处 ). 际意义说明所作判断的合理性. 例5 与例6 提供了两种常 教材下册 p.180 例3 通过计算黑赛 此外, 很多实际问题还可借助实1. 例3 的解法对例2 是否适用? 请实践一下, 并作出分析.2. 把例4 关于光滑封闭曲线的命题推广至关于光滑封闭曲面的情形, 并加以证明.3. 例6 论述稳定点是条件极值点的方法能否适用于例5 ? 请说出理由.4. 模仿例1, 例5 和例6, 用条件极值方法证明几个以前熟知的重要不等式; 或者创立几个新不等式.5. 以二元函数为例, 证明一个条件极值问题与它的对偶问题是等价的. 即若函数(,)(,)f x y g x y 与000(,)P x y 在点近旁满足连续可微性条件, 且0010020000(,),(,),(,)0,(,)0,y y f x y c g x y c f x y g x y ==≠≠则有如下命题:02(,)P f g x y c =为目标函数在约束条件之下的稳定点.01(,)P g f x y c =为目标函数在约束条件之下的稳定点.⇔。
条件极值简介
11.3条件极值
极值问题
不带约束条件的极值问题，称为
无条件极值问题.
附有约束条件的极值问题，称为
条件极ห้องสมุดไป่ตู้问题.
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11.3条件极值
极值问题特点
无条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围是目标函数的定 义域.
条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围还要受到自变量 附加条件的限制.
这种方法称为拉格朗日乘数法, 辅助函数(x, y, )称为拉格朗日函数, 辅助变量 称为拉格朗日乘数.
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11.3条件极值
推广: 一般而言
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在约束条件组 F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F ( x , x ,..., x ) 0 2 1 2 n (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的条件极值.
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11.3条件极值
例如P204例7：水箱设计问题
目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
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11.3条件极值
条件极值问题的一般形式
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在满足函数方程组(限制条件) F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F2 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 (1) (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的极值. 这就是条件极值.函数方程组 称为联系方程组.
条件极值
极值点,
Lx f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, Lx f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0.
4
由于dx和dy是相互独立的, 要使上式成立，必须 f x f y g h dx＝0 x x g h dy＝0 y y
7 8
§2. 条件极值
所以函数f x , y , u, v 在某点M x , y , u, v 达到条件极值, 则在该点处应满足(5), (6), (7), (8)及g 0, h 0.
§2. 条件极值
条件极值：对自变量有附加条件的极值问题，称为条件 极值问题． 求f x, y, u, v 在条件
g x , y , u, v 0 h x , y , u, v 0
约束下的极值.
下面讨论f 在点 x, y, u, v 取到极值的必要条件.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .
则问题就是条件 求函数 令
2 xy 2 yz 2 xz a 2 0
下，
V xyz ( x 0, y 0, z 0) 的最大值.
2
L( x, y, z ) xyz (2 xy 2 yz 2 xz a ),
由于连续函数x 2 2 y 2在有界闭集 {( x , y ) / x 2 y 2 1}上必有最值， 所以所求得的最大值为2，最小值为1。
§2. 条件极值
d L Lxx dx Lyy dy Lzz dz 2 Lxy dxdy 2 Lxz dxdz
数学分析18.4隐函数定理及其应用之条件极值
第十八章 隐函数定理及其定理4条件极值引例：设计一个容量为V, 而表面积最小的长方形开口水箱. 设水箱的长、宽、高分别为x,y,z ，则表面积为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy. 即面积函数的自变量要符合定义域的要求(x>0,y>0,z>0)，且须满足 xyz=V, 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.一般形式：在条件组φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 目标函数y=( x 1,…,x n )的极值.解法：1、消元法，如引例中的条件可化为z=xyV,代入函数S 得： F(x,y)=S(x,y,xy V)=2V(x 1+y1)+xy. 由(F x ,F y )=(0,0)求得稳定点(32V ,32V ), 可求得最小面积S=3324V .2、拉格朗日乘数法：欲求函数z=f(x,y)的极值，限制条件为C: φ(x,y)=0. 把C 看作(x,y)的曲线方程，设C 上一点P 0(x 0,y 0)为f 满足条件的极值点, 且在点P 0的某邻域上φ(x,y)=0能惟一确定可微的隐函数y=g(x), 则 x=x 0必为z=f(x,g(x))=h(x)的极值点. 由f 在P 0可微, g 在x 0可微, 可得 h ’(x 0)=f x (x 0,y 0)+f y (x 0,y 0)g ’(x 0)=0, 且当φ满足隐函数定理条件时，有 g ’(x 0)=-),(),(0000y x y x y x ϕϕ, 代入上式得：f x (P 0)φy (P 0)-f y (P 0)φx (P 0)=0. 几何意义上，上式表示曲面z=f(x,y)的等高线f(x,y)=f(P 0)与曲线C 在P 0有公共切线.从而存在某常数λ0, 使得在P 0处满足：⎪⎭⎪⎬⎫==+=+0)(0)()(0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ，引入辅助变量λ和辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+ λφ(x,y), 可得⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=0)(),,(0)()(),,(0)()(),,(0000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕλϕλλϕλλλ, 即将条件极值问题转化为L 的无条件极值问题，称为拉格朗日乘数法， 其中函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.注：一般条件极值问题的拉格朗日函数：(λ1,…,λn 为拉格朗日乘数) L(x 1,…,x n ,λ1,…,λm )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ.定理18.6：设在条件φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 函数y=( x 1,…,x n )的极值问题, 其中f 与φk 在区域D 上有连续的一阶偏导数.若D 的内点P 0(01x ,…,0.n x )是上述问题的极值点，且雅可比矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂⋯⋯∂∂⋯∂∂n mm n x x x x ϕϕϕϕ1111的秩为m, 则存在m 个常数01λ,…,0.m λ,使得 (01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为拉格朗日函数L(x 1,…,x n ,λ1,…,λn )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ的稳定点, 即(01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为n+m 个方程⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋯=⋯⋯=⋯==∂∂+∂∂⋯⋯=∂∂+∂∂∑∑==0),,(0),,(011111111111n m n mk n k k nx mk k k x x x L x x L x x f L x x f L m n ϕϕϕλϕλλλ的解.例1：用拉格朗日乘数法重新求本节开头提到的水箱设计问题. 解：所求问题的拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=2(xz+yz)+xy+λ(V-xyz)，列方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-+==-+==-+=00220202xyz V L xy y x L xz x z L yz y z L z yx λλλλ，解得：x=y=2z=32V ,λ=324V .∴水箱表面积最小值为：23333)2()22(222V V V V ++=3324V .注：由例1可得不等式：2(xz+yz)+xy ≥3324V =32)(4xyz , x>0,y>0,z>0.例2：抛物面x 2+y 2=z 被平面x+y+z=1截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解：实质为求f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在条件x 2+y 2-z=0及x+y+z-1=0下的最值. 令L(x,y,z,λ,μ)=x 2+y 2+z 2+λ(x 2+y 2-z)+μ(x+y+z-1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=0100202202222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ, 解得：λ=-3±35,μ=-7±311,x=y=231±-,z=2∓3.又f(231±-,231±-,z=2∓3)=9∓53. ∴椭圆到原点的最长距离为39+, 最短距离39-.例3：求f(x,y,z)=xyz 在条件x 1+y 1+z 1=r1,(x>0, y>0, z>0, r>0)下的极小值，并证明不等式3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc , 其中a,b,c 为任意正实数. 解：令L(x,y,z,λ)=xyz+λ(x 1+y 1+z 1-r1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-==-==-=01111000222r z y x L zxy L y xz L xyz L z y x λλλλ，解得：x=y=z=3r, λ=(3r)4.把x 1+y1+z 1=r1看作隐函数z=z(x,y) (满足隐函数定理条件)， 记F(x,y)=xyz(x,y)=f(x,y,z), 它是f 与z=z(x,y)的复合函数. 则有z x =-21x -/21z -=-22x z , z y =-22yz ; F x =yz+xyz x =yz-x yz 2, F y =xz-y xz 2; F xx =yz x +yz x +xyz xx =332x yz , F yy =332yxz , F xy =z+yz y +xz x +xyz xy =z-y z 2-x z 2+xy z 32;∵(F xx F yy -F xy 2)(3r,3r,3r)=27r 2>0, ∴f(3r,3r,3r)=(3r)3极小值, 也是最小值. 即有xyz ≥(3r)3, (x>0, y>0, z>0, 且x1+y1+z 1=r1).令x=a,y=b,x=c, 则r=(a 1+b 1+c 1)-1, 即有abc ≥[3(a 1+b 1+c 1)-1]3,或3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc (a>0, b>0, c>0).习题1、应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： (1)f(x,y)=x 2+y 2, 若x+y-1=0；(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)； (3)f(x,y,z)=xyz, 若x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0.解：(1)令L(x,y,λ)=x 2+y 2+λ(x+y-1), 列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=010202y x L y L x L y x λλλ,解得：λ=-1, x=y=21. 又当x →∞, y →∞时，f →∞， ∴函数在唯一的稳定点取得极小值f(21,21)=21. (2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)；令L(x,y,z,t,λ)=x+y+z+t+λ(xyzt-c 4), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+==+=0010101014c xyzt L xyz L xyt L xzt L yzt L tz y x λλλλλ, 解得：x=y=z=t=c.又当n 个正数的积一定时，其和必有最小值，∴函数在唯一的稳定点取得最小值也是极小值f(c,c,c,c)=4c.(3)令L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x 2+y 2+z 2-1)+μ(x+y+z), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==-++==++==++==++=001020202222z y x L z y x L z xy L y xz L x yz L zy x μλμλμλμλ, 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==616261z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=616261z y x . ∵f 在有界集{(x,y,y)|x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0}上连续，∴存在最值.又f(61,61,-62)=f(-62,-61,61)=f(61,-62,61)=-631,f(-61,-61,62)=f(62,-61,-61)=f(-61,62,-61)=631, ∴f 在(61,61,-62),(-62,-61,61),(61,-62,61)取得极小值-631,在(-61,-61,62),(62,-61,-61),(-61,62,-61)取得极大值631.2、(1)求表面积一定而体积最大的长方体； (2)求体积一定而表面积最小的长方体.解：设长、宽、高分别为x,y,z ，则体积V=xyz, 表面积S=2xy+2yz+2zx,(1)记L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xy+2yz+2zx-S), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=02220)(20)(20)(2S zx yz xy L y x xy L z x xz L z y yz L z yxλλλλ,解得：x=y=z=6S, ∴体积最大的长方体必在唯一的稳定点取得，即 表面积一定的长方体为正方体时，V=36⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S =66SS最大. (2)记L(x,y,z,λ)=2xy+2yz+2zx+λ(xyz-V), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=0022022022V xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z yx λλλλ,解得：x=y=z=3V , ∴表面积最小的长方体必在唯一的稳定点取得，即 体积一定的长方体为正方体时，表面积S=632V 最小.3、求空间一点(x 0,y 0,z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.解：由题意，相当于求f(x,y,z)=d 2=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2在条件 Ax+By+Cz+D=0下的最小值问题.由几何学知，空间定点到平面的最短距离存在，可设L(x,y,z,λ)=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2+λ( Ax+By+Cz+D), 列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++==+-==+-==+-=00)(20)(20)(2000D Cz By Ax L C z z L B y y L A x x L z y x λλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=-+++++=-+++++=-222000022200002220000)()()(C B A D Cz By Ax C z z C B A D Cz By Ax B y y C B A D Cz By Ax A x x ， ∴f 的最小值必在惟一的稳定点取得，即 d=202020)()()(z z y y x x -+-+-=222000||CB A D Cz By Ax +++++为所求最短距离.4、证明：在n 个正数的和为定值条件x 1+x 2+…+x n =a 下，这n 个正数的乘积x 1x 2…x n 的最大值为n nna . 并由此结果推出n 个正数的几何平均值不大于算术平均值n n x x x ⋯21≤nx x x n+⋯++21.证：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 1x 2…x n +λ(x 1+x 2+…+x n -a), (x 1,x 2,…,x n >0)列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+⋯++==+⋯=⋯⋯=+⋯⋯=⋯⋯=+⋯==+⋯=-+-000002112111214313221a x x x L x x x L x x x x x L x x x x L x x x L n n x nk k x n x n x n k λλλλλ, 解得：x 1=x 2=…=x n =n a. ∴最大值必在惟一的稳定点取得，即f(n a ,n a ,…,n a )=n nna 最大.又x 1x 2…x n ≤n n n a ，∴n n x x x ⋯21≤na =n x x x n+⋯++21.5、设a 1,a 2,…,a n 为已知的n 个正数，求f(x 1,x 2,…,x n )=∑=nk k k x a 1在限制条件x 12+x 22+…+x n 2≤1下的最大值. 解：记x 12+x 22+…+x n 2=r ≤1, L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=∑=nk k k x a 1+λ(x 12+x 22+…+x n 2-r),列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+⋯++==+=⋯⋯=+==+=rx x x L x a L x a L x a L n nn x x x n22221221102020221λλλλ, 解得：x i =∑=±nk kiaa r 12, (i=1,2,…,n)可知，当x i =∑=±nk kiaa r 12, 且r=1时，取得最大值f M =∑=nk ka12.6、求函数f(x 1,x 2,…,x n )=x 12+x 22+…+x n 2在条件∑=nk k kx a1=1(a k >0,k=1,2,…,n)下的最小值. 解：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 12+x 22+…+x n 2+λ(∑=nk k kx a1-1),列方程组有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=⋯⋯=+==+=∑=10202021221121n k k k n n x x x x a L a x L a x L a x L n λλλλ, 解得：x i =∑=n k k i a a 12, (i=1,2,…,n)，∴函数在唯一的稳定点取得最小值F m =∑=nk ka121.7、利用条件极值方法证明不等式xy 2z 3≤10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x , x,y,z>0.证 ：记L(x,y,z,λ)=xy 2z 3+λ(x+y+z-a), (x,y,z>0, a>0),列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=00302022332a z y x L z xy L xyz L z y L z yxλλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===236a z a y a x , 又当n 个正数的和一定时，其积必有最大值，∴xy 2z 3≤32236⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a =6633322⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯a =10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x .。
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域上自由变化, 而是要受到某些条件的约束.
例1 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试
问长、宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到
最小?
若设长、宽、高各等于 x, y, z, 则
目标函数: S 2z( x y) x y;
约束条件: x yz V .
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例2 设曲线 z x2 y2, x y z 1. 求此曲线上 的点到原点距离之最大、最小值. 对此问题有
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件式的情形了. 现在的新办法是设辅助函数
L 2( xz yz) xy ( xyz V ),
并求解以下方程组:
Lx 2 z y yz 0,
Ly
2z
x
xz
Байду номын сангаас
0,
Lz
2(x
y)
xy
0,
L x yz V 0.
为消去 , 将前三式分别乘以 x , y , z , 则得
点 P0 有公共切线(见图 18－12). 由此推知:
存在比例常数 0 , 满足
P0
f (x, y) z0
图 18－12
( fx (P0 ), f y (P0 ) ) 0 ( x (P0 ) , y(P0) ) ( 0, 0 ).
这又表示: 对于函数
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L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y) ,
在点 ( x0, y0, 0) 处恰好满足:
Lx f x ( x, y) x ( x, y) 0,
Ly
f y ( x, y) y ( x, y) 0,
(2)
L
(x,
y)
0.
也就是说, (2) 式是函数 L( x, y, ) 在其极值点处所
满足的必要条件. 由此产生了一个重要思想:
定理 18.6 指出的方法称为拉格朗日乘数法. 下面
用这种方法先来求解本节开头给出的两个例题.
例1 解 此例以往的解法是从条件式解出显函数,
例如
z
V xy
,
代入目标函数后,
转而求解
S 2V ( x y) x y xy
的普通极值问题. 可是这样做并不总是方便的, 而
且往往无法将条件式作显化处理, 更不用说多个条
k 1
称此函数为拉格朗日函数, 其中 1, 2, , m 称
为拉格朗日乘数.
定理 18.6 设上述条件极值问题中的函数 f 与 k
(k 1, 2, , m) 在区域 D上有连续一阶偏导数. 若
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D 的内点 P0( x1(0), x2(0) , , xn(0) ) 是该条件极值问 题的极值点, 且
§4 条 件 极 条件极值值问题的特点是: 极值点的搜索
范围要受到各自不同条件的限制. 解决这 类极值问题的方法叫做拉格朗日乘数法.
条件极值问题的实际应用非常广泛,而且 还能用来证明或建立不等式.
一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 三、应用举例
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一、问 题 引 入
很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义
1
x1
rank
m
x1
1
xn
m,
m
xn P0
则存在
m
个常数
(0) 1
,
(0) 2
,
, m(0), 使得
( x1(0) , x2(0) ,
,
xn(0)
,
(0) 1
,
(0) 2
,
,
(0) m
)
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为拉格朗日函数 (3) 的稳定点, 即它是如下 n m 个方程的解:
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2 xz x y x yz,
2
yz
x
y
x
yz,
2 z ( x y) x yz.
两两相减后立即得出 x y 2 z, 再代入第四式,
便求得
x3 V x 3 2V y, z 3 2V .
2
2
注 由以上结果还可以得到一个不等式 ( 这是获得
L xi
f xi
m
k
k 1
k
xi
0, i 1,2,
, n;
L
k
k ( x1, x2,
, xn ) 0, k 1, 2,
, m.
说明 对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说
明; 对一般情形的证明, 将放到二十三章的定理
23.19 中去进行.
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三、应 用 举 例
目标函数: u x2 y2 z2 ; 约束条件: z x2 y2, x y z 1. 还可举出很多这种带有约束条件的极值问题.
定义 设目标函数为 y f ( x1, x2, , xn ), ( x1, x2,
约束条件为如下一组方程:
, xn) D Rn;
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: k ( x1, x2, , xn ) 0, k 1, 2, , m (m n). 为简便起见, 记 P ( x1, x2, , xn ), 并设
dz dx
fx
f
y
d d
y x
fx
f
y
x y
0,
求出稳定点 P0( x0, y0 ) ( x0, y( x0 )), 在此点处满足
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( f x y f y x ) P0 0. 这表示 f 的等值线
f (x, y) z0
f (x, y) c
(x, y) 0
与曲线 ( x, y) 0 在
通过引入辅助函数 L( x, y, ), 把条件极值问题 (1)
转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.
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(B) 拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般
目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数
L( x1, x2, , xn, 1, 2, , m )
m
f ( x1, x2, , xn ) kk ( x1, x2, , xn ). (3)
{ P | P D, k (P) 0, k 1, 2, , m }. 若存在 P0 , 0, 使得
f (P0 ) f (P) , P U(P0; ) ( 或 P ),
则称 f (P0 ) 是 f (P) 在约束条件 之下的极小值 (或最小值) , 称 P0 是相应的极小值点 (或最小值 点). 类似地又可定义条件极大 (或最大) 值.
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二、拉格朗日乘数法
(A) 拉格朗日乘数法探源 先从 n = 2, m =1 的最简
情形说起, 即设目标函数与约束条件分别为
z f ( x, y) 与 ( x, y) 0.
(1)
若由 ( x, y) 0 确定了隐函数 y y( x), 则使得目
标函数成为一元函数 z f ( x, y( x)). 再由