高等数学第18章第4节条件极值
高等数学第四节函数最大值、最小值的求
V 12(32 2x) V / x8 0
所以x=8是极大值点，也是最大值点. 因此,当截去的正方形边长为 8cm时, 铁盒容积最大.
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
特殊情况下的最大值、最小值: (1)如果连续函数 f (x) 在 [a, b]上单调递增,则 f (x)
的最大值与最小值分别为 f (b)、 f (a);如果在 [a, b]上单 调递减, 则 f (x) 的最大值与最小值分别为 f (a) 与 f (b).
(2)如果函数 f (x) 在一个区间内可导且只有一个驻
点 x0 , 并且该驻点 x0 为 f (x) 的极值点, 则当 f (x0) 是极
大值时, f (x0) 为 f (x) 在该区间上的最大值; 当 f (x0) 是
极小值时, 则 f (x0) 为 f (x) 在该区间上的最小值 (见下
图) y.
最大值、最小值问题
在生产实践中，为了提高经济效益，必须要 考虑在一定的条件下，怎样才能用料最省，费用 最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在 数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。
一、函数最大值最小值求法
二、函数最值应用举例
案例 [易拉罐的设计] 如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可 乐、雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径 与高之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半 径与高之比约为1：2？
一、最值的求法
闭区间[ a , b ]上连续函数f ( x ) 必存在最大值和最
小值
y
y
y
oa
bx o a
bx
ao
bx
18-4隐函数条件极值
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例1 解 此例以往的解法是从条件式解出显函数,
例如
z
V xy
,
代入目标函数后, 转而求解 S 2V ( x y) x y
xy
的普通极值问题. 可是这样做并不总是方便的, 而
且往往无法将条件式作显化处理, 更不用说多个条
件式的情形了. 现在的新办法是设辅助函数
L 2( xz yz) xy ( xyz V ),
§4 条件极值
条件极值问题的特点是: 极值点的搜索范 围要受到各自不同条件的限制. 解决这类极 值问题的方法叫做拉格朗日乘数法.
条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还 能用来证明或建立不等式.
一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 三、应用举例
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一、问题引入
很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
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(B) 拉格朗日乘数法
对于前面定义的条件极值问题的一般形式是在条件组：
k ( x1, x2 , , xn ) 0, k 1, 2, , m (m n)
的限制下，求目标函数 y f ( x1 , x2 , , xn ) 的极值.
k
xi
0, i 1,2,
, n;
L
k
k ( x1, x2,
, xn ) 0, k 1, 2,
, m.
说明 对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说
明; 对一般情形的证明, 将放到二十三章的定理
23.19 中去进行.
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三、应用举例
d dx
fx
条件极值——精选推荐
于是 grad f ( x0, y0 ) 和 gradg(x0, y0 ) 平行 ．
再假定 gradg(x0, y0 ) ≠ 0 , 于是存在常数 λ ，使得 grad f (x0, y0 ) = λgradg(x0, y0 ) ．
f (x, y) 称为目标函数 ；g(x, y) = 0 称为约束条件 ．
此时 (x0, y0 ) 称为问题的一个解．
二元函数条件极值的拉格朗日乘子法
为了求解条件极值问题：
⎧min f (x, y)
⎩⎨s.t g(x, y) = 0 .
１
构造辅助函数 L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
⎪⎧min(max)
⎨ ⎪⎩s.t.
x2 +
f (x, y) = y2 −1= 0
x2
+
2x2
y
+
y2
．
1
构造辅助函数
L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
L( x, y, z,λ ) = x2 + 2x2 y + y2 − λ ( x2 + y2 − 1) .
列方程组：
3
3
3
例3 要设计一个容量为V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y ,
z 使在条件 x y z = V0 下水箱表面积 S = 2(xz + y z) + x y
条件极值的求法
条件极值的求法条件极值是指在一定条件下，函数取得的最大值或最小值。
在解决实际问题时，我们经常需要求解条件极值。
本文将介绍条件极值的求法，包括拉格朗日乘数法、KKT条件法和梯度下降法等。
1. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求解有约束条件的极值问题的方法。
其基本思想是将原问题转化为一个无约束条件的最优化问题，然后求解该最优化问题得到原问题的解。
设函数f(x, y)为原问题的目标函数，g(x, y)为约束条件。
则原问题的拉格朗日函数为：L(x, y, λ) = f(x, y) + λ·g(x, y)其中，λ为拉格朗日乘数。
求解原问题的步骤如下：(1) 对目标函数f(x, y)求偏导数，并令偏导数等于0，得到无约束条件的最优化问题；(2) 对约束条件g(x, y)求偏导数，并令偏导数等于0，得到约束条件；(3) 将无约束条件的最优化问题与约束条件联立，求解得到原问题的解。
2. KKT条件法KKT条件法是拉格朗日乘数法的一种推广，可以用于求解更复杂的有约束条件的极值问题。
KKT条件包括：(1) 梯度下降方向：对于无约束条件的最优化问题，梯度下降方向为负梯度方向；对于有约束条件的最优化问题，梯度下降方向为负梯度方向与拉格朗日乘数的比值。
(2) 边界条件：当梯度下降方向指向可行域外时，需要满足一定的边界条件。
常见的边界条件有：梯度下降方向与可行域边界的交点处的梯度必须大于等于零；梯度下降方向与可行域边界的交点处的拉格朗日乘数必须大于等于零。
(3) 非负约束：对于有非负约束的问题，需要满足非负约束条件。
即目标函数的值必须大于等于零。
3. 梯度下降法梯度下降法是一种迭代求解无约束条件的最优化问题的方法。
其基本思想是通过计算目标函数在当前点的梯度，沿着梯度的负方向进行搜索，直到找到局部最优解或满足停止准则。
梯度下降法的迭代公式为：x(k+1) = x(k) - α·∇f(x(k))其中，x(k)表示第k次迭代的解，α为学习率，∇f(x(k))表示目标函数在x(k)处的梯度。
多元函数条件极值
多元函数条件极值多元函数条件极值是数学中一个重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
在数学中，多元函数是指具有多个自变量的函数，而条件极值则是指在一定条件下使得函数取得最大值或最小值的点。
多元函数条件极值的求解是数学中的一个重要问题，它涉及到微积分、线性代数等多个数学领域的知识。
在求解多元函数条件极值时，通常需要利用拉格朗日乘数法。
这种方法是通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为一个无约束条件下的极值问题。
具体而言，对于一个多元函数在一定条件下求取极值，首先需要建立等式约束条件，然后构造拉格朗日函数，并通过求解该函数的梯度为零的方程组来找到极值点。
举个简单的例子来说明多元函数条件极值的求解过程。
假设有一个二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2，在条件 x + y = 1 下求取极值点。
首先建立等式约束条件 x + y = 1，然后构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = x^2 + y^2 + λ(x + y - 1)，其中λ 为拉格朗日乘子。
接着求解 L 的梯度为零的方程组，即∇L = 0，最终可以得到函数 f 在条件 x + y = 1 下的极值点。
多元函数条件极值的求解过程相对复杂，需要熟练掌握相关的数学知识和技巧。
在实际问题中，多元函数条件极值常常用于优化领域，如在经济学中的效用最大化、生产成本最小化等问题中都可以应用这一方法。
除了拉格朗日乘数法之外，还有其他方法可以求解多元函数条件极值，如KKT条件、最大值最小值定理等。
不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
总的来说，多元函数条件极值是数学中一个重要而复杂的问题，它在实际问题中有着广泛的应用。
通过掌握相关的数学知识和方法，我们可以更好地解决实际问题，并且提高问题求解的效率和准确性。
希望通过本文的介绍，读者对多元函数条件极值有了更深入的了解，同时也能够在实际问题中灵活运用这一方法。
18-4 条件极值 - 精品课程首页
利用拉格朗日乘数法求函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0 下的极值步骤如下： 1. 2. 作拉格朗日函数
L( x , y, ) f ( x , y ) ( x, y )
求拉格朗日函数的极值 先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组：
再考察稳定点是否是极值点
求这个椭圆到原点的最长与最短距离. 解 这个问题实质上就是求函数
f ( x, y, z ) x y z 2 2 在条件 x y z 0, x y z 1 0
2 2 2
下的最大值、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法，
作拉格朗日函数
L( x, y, z , , ) x 2 y 2 z 2 ( x 2 y 2 z ) ( x y z 1)
记
x y
f x x 0 极值点必满足 f y y 0 ( x, y) 0 引入辅助函数 L( x , y , ) f ( x , y ) ( x , y )
则极值点满足:
辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格
朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
令L 的一阶偏导数都等于零，则有
2 x 2 x 0 2 y 2 y 0 2z 0 2 2 x y z0 x y z 1 0
L( x, y, z , , ) x 2 y 2 z 2
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
( x y z ) ( x y z 1)
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
例1. 要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱, 问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解:设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 求 x , y , z
高等数学-导数-第四节 函数的单调性和极值
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
注意:
（1）把定理中的使f(x)连续的闭区间换成其它 各类区间（包括无穷区间），则函数的单调性 结论在相应的区间上也是成立的.
( x) f ( x0 ( x x0 )4
)
f (4) ( x0 ) a 4! 4!
若a 0, 由极限的局部保号性，可知
f
( x) f ( x0 ( x x0 )4
)
0
有 f ( x) f ( x0 ) 0，即f ( x) f ( x0 )
x0是f ( x)的极小值点。
若a 0, 同理可证 x0是f ( x)的极大值点。
三、最大值与最小值问题 1.求闭区间[a,b]上连续函数y=f(x)的最值 (1)求出f(x)的导数f'(x),令f'(x)=0，求 出驻点；以及使得导数f'(x)不存在的点.
(2)求出(1)中点处的函数值以及端点处的 函数值；
(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函 数的最大值，最小的就是最小值.
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
2. 函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点 x0处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.（费马定 理） 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
高等数学函数的极值及其求法
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0. 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,
f (2) 18 0, 故极小值 f (2) 48. f ( x) x3 3x2 24x 20 图形如下
M
m
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0处不一定取极值, 仍用定理2.
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
2
例3 求出函数 f ( x) 1 ( x 2)3的极值.
x 0时, f ( x)
f ( x) f (0) 0 即 x2 2ax 1 e x
例5 设f ( x )连续，且f ( a )是f ( x )的极值，问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值
证 分两种情况讨论 ① 设f ( a ) 是f ( x )的极小值， 且f (a) 0
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第十八章 隐函数定理及其应用§4条件极值以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制.例如 要设计一个容量为V 的长方形开口水箱，试问水箱的长ֽ宽ֽ高各等于多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长ֽ宽ֽ高分别为z y x ,,，则表面积为.)(2),,(xy yz xz z y x S ++=依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求)0,0,0(>>>z y x ，而且还须满足条件.V xyz = （1）这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.结论1：条件极值问题的一般形式是在条件组．．．．．．．．．．．．．．．．)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ （2）的限制下，求目标函数．．．．．．．．．．),,,(21n x x x f y = （．3．）．的极值．．．.．☆ 求条件极值的方法: 转化为无条件极值1、 用消元法将条件极值化为无条件极值问题来求解有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 如上面的例子，由条件（1）解出xy V z =，并代入函数),,(z y x S 中，得到.)11(2),,(),(xy xy V xy V y x S y x F ++== 然后按)0,0(),(=y x F F ，求出稳定点32V y x ==，并有3221V z =.最后判定在此稳定点上取得最小面积3243V S =.注．：1）在一般情形下要从条件组（2）中解出m 个变元并不总是可能的.下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.2、用拉格朗日乘数法在多数情况下较难把条件极值直接(例如消元法)转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.（1） 从较简单的情况入手设ϕ,f 均为二元函数，欲求函数),(y x f z = （4）在条件 0),(:=y x C ϕ （5） 的限制下的极值问题.我们有以下结论.结论2：若函数．．．),(y x f z =在．0),(=y x ϕ的附加条件下．．．．．．,．在点．．),(00y x 取得极值．．．．,．则．0),(00=y x ϕ, ．又如果．．．),(y x f z =在点．．0P 可微、．．．0),(=y x ϕ在点．．0P 的某邻域内能惟一确定可微的．．．．．．．．．．．．．隐函数．．．)(x g y =，．则有．．.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8) 上述等式等价于．．．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9） 如果引入辅助变量．．．．．．．．λ和辅助函数．．．．．),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= (10)则．(9)．．．中三式就是．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ (11)这样就把条件极值问题．．．．．．．．．．(4),(5)．．．．．．．转化为讨论函数．．．．．．．(10)．．．．的无条件极值问题．．．．．．．．.． 事实上:①0),(00=y x ϕ显然.②∵0),(=y x ϕ在点0P 的某邻域内能惟一确定可微的隐函数)(x g y =，∴0x x =必定是))(,(x g x f z =的极值点，所以，由),(y x f z =在0P 可微，)(x g y =在0x 可微，得到.0)('),(),(00000=+x g y x f y x f y x (6) 又 .),(),()('00000y x y x x g y x ϕϕ-= (7)把(7)代入(6)后又得到.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8)③由（8）可知方程组⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(0000P b P af P b P af y y x x ϕϕ 有非零解，不妨设0≠a ，令a b=0λ代如上试可得⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(000000P P f P P f y y x x ϕλϕλ.考虑到条件0),(00=y x ϕ即得⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9）④引入辅助变量λ和辅助函数),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= 则(9)中三式就是⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ ▋注．：1）上述结论就把条件极值问题转化为讨论函数(10)的无条件极值问题。
2)这种方法称为拉格朗日乘数法，(10)中的函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数。
3）上述推理过程中，由.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ有00000)()()()(λϕϕ-==∆P P f P P f x x y y ，即)()()()(00000P P f P P f x x y y ϕϕλ-=-=，使得（9）式成立。
4) 方程(11)的解),,(000λy x 只是拉格朗日函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=的一个稳定点, 而),(00y x 仅可能是极值点的坐标（驻点），是否是极值点还需要根据实际问题进一步考察.5) 在几何意义上，关系式(8)表示曲面),(y x f z =的等高线)(),(0P f y x f =与曲线C在点0P 处具有公共切线（见图18－6）.☆ 由结论1可知条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ （2）的限制下，求目标函数),,,(21n x x x f y = （3） 的极值.其拉格朗日函数是()(),,,,,,,),,,,,,,(211212121n mk k k n m n x x x x x x f x x x L ∑=+=ϕλλλλ （12）其中m λλλ,,,21 为拉格朗日乘数，并有下面定理：定理18.6 设在条件(2)的限制下，求函数(3)的极值问题，其中f 与),,2,1(m k k =ϕ在区域D 内有连续的一阶偏导数。
若D 的内点),,()0()0(10n x x P 是上述问题的极值点，且雅可比矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂n mm n x x x x ϕϕϕϕ1111（13） 的秩为m ，则存在m 个常数)0()0(1,,m λλ ，使得),,,,,()0()0(1)0()0(1m n x x λλ 为拉格朗日函数(12)的稳定点，即),,,,,()0()0(1)0()0(1m n x x λλ 为下述m n +个方程：()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====∂∂+∂∂==∂∂+∂∂=∑∑==0,,0,,0111111111n m n mk nk n x mk k x x x L x x L x x f L x x f L m n ϕϕϕϕλλ 的解。
当1,2==m n 时，定理的正确性已在前面作了说明，对于一般情形的证明可参阅第二十三章的定理23.19。
例1(P166)用拉格朗日乘数法重新求本节开头提到的水箱设计的问题。
解：这时所求问题的拉格朗日函数是).()(2),,,(V xyz xy yz xz z y x L -+++=λλ对L 求偏导数，并令它们都等于0：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-==++==++==++=.0,0)(2,02,02V xyz L xy y x L xz x z L yz y z L z y x λλλλ （14）求方程组（14）的解，得3324.22VV z y x -====λ （15）依题意，所求水箱的表面积在条件（1）下确实存在最小值.由（15）知当高为34V，长与宽为高的2倍时，表面积最小. 最小值32)2(3V S =. ▋例2(167) 抛物面z y x =+22被平面1=++z y x 截成一个椭圆.求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解：这个问题实质上就是要求函数222),,(z y x z y x f ++=（空间点),,,(z y x 到原点),0,0,0(的距离函数的平方）在条件022=-+z y x 及01=-++z y x 下的最大、最小值问题.应用拉格朗日乘数法，令()().1),,,,(22222-+++-++++=z y x z y x z y x z y x L μλμλ对L 求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=.01,0,02,022,02222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ 求得这方程组的解为,33117,3353±-=±-=μλ 与 .32,231 =±-==z y x （16） （16）就是拉格朗日函数),,,,(μλz y x L 的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得.由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集{}1,),,(22=++=+z y x z y x z y x 上连续，从而必存在最大值与最小值），故由)32,231,231(±-±-f 所求得的两个值359 ，正是该椭圆到原点的最长距离359+与最短距离359-.▋例3（P168略） 求xyz z y x f =),,(在条件)0,0,0,0(1111>>>>=++r z y x rz y x 下的极小值；并证明不等式,)111(331abc cb a ≤++-其中c b a ,,为任意正实数. 解：设拉格朗日函数为.1111),,,(⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=r z y x xyz z y x L λλ对L 求偏导数并令它们都等于0，则有)17(.01111,0,0,0222⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=-++==-==-==-=r z y x L x xy L yzx L x yz L z y x λλλλ由方程组（17）的前三式，易得.111μλ====xyz z y x 把它代入（17）的第四式，求出r31=μ.从而函数L 的稳定点为4)3(,3r r z y x ====λ. 为了判断3)3()3,3,3(r r r r f =是否为所求条件极（小）值，我们可把条件rz y x 1111=++看作隐函数),(y x z z =（满足隐函数定理条件），并把目标函数 ),(),(),,(y x F y x xyz z y x f ==看作f 与),(y x z z =的复合函数.这样，就可应用极值充分条件来作出判断.为此计算如下：,,,,1122222222yxzxz F x yz yz xyz yz F y z z x z z x z y x x y x -=-=+=-=-=---=,233xyz xyz yz yz F xx x x xx =++=,2322xyz x z y z z xyz xz yz z F xy x y xy +--=+++=.233yxz F yy =当r z y x 3===时，,3,6r F F r F xy yy xx ===.027*******>=-=-r r r F F F xy yy xx由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点。