数学例题教学应遵循的原则

数学例题教学应遵循的原则摘要数学例题是用来帮助学生理解抽象数学内容，强化解题过程，实现从未知向已知、从知识向能力的转化；同时也是使学生获取数学知识，掌握解题技巧、理解数学思想方法，提高思维能力的主要途径.如何更好的应用数学例题在教学中的应用是本文的主要研究内容.本文从例题在数学教学过程中的作用和数学例题教学的原则，以及如何更好地进行数学例题的教学这三方面种阐述了数学例题在教学过程中的重要作用.关键词：数学例题教学原则数学例题教学应遵循的原则引言例题教学是数学教学的核心组成部分，是教师讲课时用以阐明数学概念、数学命题及初步应用的主要途径，也是学生获取知识的重要步骤，它是数学知识转化为数学基本技能的附体，是学生理解和巩同数学基础知识，形成数学基本技能的重要手段，也是发展和培养学生思维的灵活性和创造性的一种重要方法.一例题在数学教学过程中的作用1.1 数学例题的教学价值例题在数学教材中占了很大的数量，其教学价值主要在于，它在数学概念、命题、习题教学中起着承上启下的作用.教师只有启发引导学生看懂、理解、会做例题，才能有效地理解、巩固、运用所学的数学概念、命题.尤其是例题教学在思路、方法、格式等方面为学生做习题提供了解题的示范模式，这对于学生掌握数学知识，发展数学能力具有重要的作用．1.2 数学例题对学生的作用1.2.1 例题有助于培养学生的启发性正确的思维来源于对定理、公式的透彻理解，所以在讲定理、公式时要注意它的形成过程，充分暴露思维过程，引导学生深刻领悟定理和公式的本质特征.例如，《切线长定理》的教学，首先从学生原有的认知结构提出问题．如图一l是⊙O的切线．这条切线可以度量吗？然后问过⊙O外一点P．可作⊙O的几条切线.给出切线长定义后，引导学生继续观察图二，直观判断图中PA是否等于PB，启发学生思考引导学生分析证明方法.关键是作出辅助线OA、OB，要证明PA=PB.学生容易想到连结OP，利用两个直角三角形全等便可证得两切线长相等．同时还能得出∠OPA=∠OPB.最后引导学生用文字语言叙述切线长定理的具体内容.lAP[1]图一图二1.2.2 例题有助于培养学生思维的灵活性发散思维则是在定向达到目的前提下，进行新的多向性探求问题的思维形式，发散思维既体现思维的灵活性，又反映智慧、能力的迁移，是创造性思维的基础.教学中，老师要告诫学生不要囿于书本知识和教师的教学内容，而应独立思考，对研究的问题要大胆进行新的构想和新的追寻；教师应引导学生开展一题多问、一题多解、一题多向性的训练与研究，使他们获得更新的知识和掌握多种技能、发展思维能力应抓住教材中例题的重点知识，开展发散性的教学活动，使问题得到拓宽和深化，使学生思维有多向性的发展.1.2.3 例题有助于培养学生解题的规范性例题的讲解能够让学生好的理解所学到的概念、定理等知识，是概念、定理的延伸.即解题的思路是怎样一步一步有根据的解下去，或者又是怎么样从已知推导出未知的.解题的详细过程与思路是有条理、规范地进行下去的.规范的解题能够让学生更好的理解思维的过程以及定理等知识的应用.二数学例题教学的原则2.1 例题选择的适合性原则例题教学是达到数学教学目的的重要手段.但由于学生数学基础参差不齐，教材例题的编排又趋于一般性，在例题的选编上，难以照顾到学生实际，难以适应学生的实际的需要.因此，例题的设计与教学更显得重要，即所选的例题要适合课程的进度以及学生的实际情况.2.1.1 必须注意巩固新知识现行初级数学教材由于篇幅的限制，有些章节中没有编排运用新知识的例题．2.1.2 必须注意到学生的实际在例题教学时，不能照本宣科，应泼注意到学生的实际，精心设计问题．增加台阶．减少梯度，注意铺垫，解题时规范严密，使全体学生都学有所得.对学有余力的学生．也应通过例题教学，适当拓宽知识的深度和广度，增大信息量．更加激发其学习的兴趣，进一步学好数学.2.1.3 必须注意联系专业课程数学教师必须熟悉业课的教学情况，尽可能多地在例题教学中联系所学专业课程，把数学知识应用到生产、生活实际中去，帮助学生形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力.2.1.4 必须注意培养学生的解题能力有些数学题目，按照常规的解题方法，往往繁、难，事倍功半.如果经过认真观察、联想，根据题目的特点，选用某些特殊方法，就可以避繁就简、事半功倍.[2]2.2 例题解答的规范性原则例题的讲解就是深化知识、发展智力、提高能力的重要手段.规范的解题能够养成良好的学习习惯，提高思维水平.在学习过程中做一定量的练习题是必要的，但并非越多越好，题海战术只能加重学生的负担，弱化解题的作用.要克服题海战术，强化解题的作用，就必须加强解题的规范性.2.2.1 审题的规范性规范审题是正确解题的关键，也是对题目进行分析、综合、寻求解题思路和方法的过程.审题过程包括明确条件与目标、分析条件与目标的联系、确定解题思路与方法三部分.（1）条件的分析——既要找出题目中明确告诉的已知条件，又要发现题目的隐含条件并加以揭示.目标的分析——主要是明确要求什么或要证明什么；把复杂的目标转化为简单的目标，把抽象目标转化为具体的目标，把不易把握的目标转化为可把握的目标.（2）分析条件与目标的联系——大多数数学问题都是有条件和目标的，在具体实践中，要做到发现条件的作用及其与目标的联系，或由目标寻找使其成立的条件.（3）确定解题思路——一个题目的条件与目标之间存在着一系列必然的联系，这些联系是由条件通向目标的桥梁.2.2.2 语言叙述的规范性语言是使自己的思想被人理解的首要条件，因此抓住语言叙述的规范性就有了至关重要的作用.要做到语言的清晰规范，简练明了，正确得当.2.2.3 答案的规范性答案规范是指答案准确、简洁、全面，既注意结果的验证、取舍，又要注意答案的完整.要做到答案规范，就必须审清题目的目标，按目标作答.2.3 例题讲解的透彻性原则例题的分析要从已知到结论涉及哪些知识点；例题中哪些是重点、难点和疑点；例题所用的数学方法和数学思想是什么等等各方面去考虑.甚至哪一步是解题关键，哪一步是学生容易犯错误的，事先都要有周密的考虑.对知识的迁移以及联系等各方面都要进行深入地讲解，使学生理解到例题中所含的知识.对例题中所涉及的知识讲解要透彻，关键是要做到以下几点：2.3.1 一题多解，拓宽思路在例题教学中，一题多解(证)是知识再现的好方法，也是培养学生解题能力的重要途径．例1 已知：M 为等腰△ABC的底边 BC上任意一点，MD⊥AC，BE⊥AC，MF⊥AB，垂足分别为D、E、F点，AB=AC，求证：BE=MD+MF.常见的解题方法有以下两种：方法(1)：如图三，过 B点作BP//AC交 DM 的延长线于P点．P MF EDCBA图三B M F E DC B A图四方法(2)：如图4，连结AM ， 则12ABM s AB MF ∆=⋅⋅，12ACM s AC MD ∆=⋅⋅， 12ABC s AC BE ∆=⋅⋅， 而ABC ABM ACM s s s ∆∆∆=+， ∴111222AC BE AB MF AC MD ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∵AB=AC ， ∴111222AC BE AC MF AC MD ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅ ∴BE=MD+MF例2方法（1）：原式==10,10;><11∴=原式方法（2）：x =令 两边开平方得28x =，开平方得，12x x ==-=2.3.2 一解多题，以点代面数学教材体系，是以知识和数学思想方法为核心的，在例题教学中忌就题论题，应注重培养学生的观察、分析和归纳能力，要通过一个例题的讲解，掌握解一类问题的方法}要做到一解多题，揭示规律 ，达到以点代面、触类旁通的效果．例2（1）k为何值时，一元二次方程22(12)10x k x k++++=无实根；（2）k为何值时，对任意实数x有22(12)10x k x k++++>；（3）k为何值时，二次函数22(12)1y x k x k=++++的图象都在x 轴上方；以上三个问题同属一个问题，只要引导学生分析（1）题，揭示规律即可. 方程无实根，则24b ac∆=-22(12)4(1)k k=+-+430k=-<解得，k<34.教师应注意说明二次函数中a>0则开口向上，再结合∆<0即可说明函数值恒为正，从而解决（2）（3）小题.在例题教学中，对于同一类问题，要进行归纳总结，选出具有代表性的问题与学生一起分析解答，揭示出其解题规律，其余的类似问题就能迎刃而解，从而收到事半功倍的教学效果2.3.3 一题一法，以法代类数学题多如牛毛，深似海洋，千变万化，即使是多年的老教师也做不尽，讲不完.初中生解题搞题海战术，是行不通的.要摆脱习题繁多的困扰，对解有些习题，运用一题一法，以法代类，是一种行之有效的办法.例4 方程组712x yxy+=⎧⎨=⎩的解恰为27120a a-+=的两根。

（韦达定理）根据这一方法就可以构造一元二次方程解出下列方程组：①11516x yxy⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩②32==③222232x yx y⎧+=⎪⎨=⎪⎩④222223362x yx y⎧+=⎪⎨=⎪⎩[3]三如何更好地进行数学例题的教学3.1 注重质量，讲好例题所谓讲好例题，就是教学上通过师生、生生积极的互动和一些数学活动，把例题分析清楚、透彻，让学生明白为何这样解，解答该如何表述等等 .《全日制义务教育数学课程标准》(实验稿)(以下简称《标准》)强调：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程……有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.”在例题教学中，教师重点要教给学生分析问题的思想和方法，让学生学会用演绎和归纳去探讨问题.东北师大校长史宁中教授在数学与数学教育》一书中指出：“现在我们来思考数学基础教育，思考除了知识之外还能给学生些什么.我想这就是演绎和归纳.中国50年来的数学基础教育，一直是重演绎、轻归纳，即给出已知条件，求证一个结论，这是演绎的方法.但没有让学生试着去推导出什么结论，也就是没有教归纳的方法.这不利于培养创新型的人才，如果在数学学科教学中教会了学生这两种方法，那就体现了数学教学中的素质教育 .”3.2 钻研教材，用好例题所谓用好例题，就是挖掘例题潜在的教育价值，在例题教学中渗透德育教育，在例题教学中培养学生的数学情感.这也是新课程的主要教学目标之一 .我国教育家叶圣陶先生早就告诫我们：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受到实益，还要靠教师的善于运用.”3.3 因材施教，选好例题所谓选好例题，就是必要时切合学生实际地更换课本例题或者补充例题，但所选的例题要能体现现阶段的数学教学目标，要蕴含数学的基本思想和方法，不是一味追求例题的难度和所谓的解答技巧.譬如，几何证明题教学，像《标准》所说的那样：证明的是教学所关注的，对证明必要性的理解，对证明基本方法和证明过程的体验，而不是追求所证命题的数量、证明的技巧 .”3.4 方法灵活，解好例题所谓解好例题，就是多角度思维去挖掘例题的解法或者拓展例题，把例题讲活讲透.这就要求我们教学中合理运用讲授、讨论、探究等方式，引导学生不断地去发现新思路、寻找新解法，从而培养学生的创新思维能力.数学家费赖登塔尔说得好：“学习数学唯一正确的方法就是‘再创造’，也就是由学生本人把要学的东西去发现和创造出来，教师的主要任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现存的知识灌输给学生.”3.5 养成习惯，反思例题所谓反思例题，就是要对例题的解答进行反思，去反思解法是否严密、是否有新的解法，去反思解答的表述是否清楚、简洁，去反思此类问题的解答是否有规律，等等.养成反思的习惯对我们学习来说十分重要.我国教育家叶圣陶先生说过：“什么是教育?简单的说教育就是培养习惯.”只有我们教师养成了解题后反思的习惯，学生才可能有做题反思的习惯.数学教育家波利亚在其著作《怎样解题》中指出：“即便是相当优秀的学生，在得到题目的解答，并将整个论证简洁地写下来以后，也会合上书本，去找别的事做 .”[4]3.6 例题的教学与课后的作业相匹配教科书的例题，一般是知识的巩固和应用．讲解例题前，应反复研讨例题的内容，弄清例题的知识点，挖掘例题的智力因素，讲述知识的发生过程同时要认真钻研本部分的练习题、习题，找出例题的相应类型，做为作业．作业是学生消化知识、巩固所学内容不可缺少的环节，作业的选择应有目的性，所留作业既要有类型又要有变式、练习，若书上习题中没有类型题则可根据需要编拟．这样经过教师精心选编的作业，学生对当天所学知识能起到消化、吸收和巩固作用，使学生的练习内容与所讲知识相匹配，避免了讲与练脱节.3.7 要会观察学生在课堂上，学生的学习活动并不是一个被动的消极的过程，根据反馈原理，学生的活动必然作用于教师，学生是教师教学活动的参与者，所以，在课堂上讲解例题的过程中，教师要经常注意学生的眼光，因为眼光是最能把握学生的情绪的．学生的眼光光亮有神，表示学生专心致志，而且心领神会，学有所得；学生的眼光呆板凝滞，表示他们遇到疑难，心有所思；学生的眼光游移不定，多数表示他们思想开小差，心不专一.遇到后两种情况，如果属于个别学生的现象，只需用适当的方式个别提醒一下既可；如果属于多数学生的现象，就得考虑自已的讲述是否有问题，或者讨论的问题是否恰当，要及时检查自己的教学用语是否确切、通俗，从而及时予以调整改正．参考文献[1]申伟：“关于数学例题的教学”，《牡丹师范学院学报》，自然科学版，2000年第5期。