奇妙的分形图形
分形 自然界
分形自然界
1.罗马花椰菜：拥有黄金螺旋这种花椰菜的变种是最重要的分形蔬菜。
它的图案是斐波纳契数列，或称黄金螺旋型（一种对数螺旋，小花以花球中心为对称轴，螺旋排列）的天然代表。
2.世界最大盐沼——天空之镜:坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则
图案，这是典型的分形。
3.菊石缝线:在大约6500 万年前灭绝的菊石，是制作分成许多间
隔的螺旋形外壳的海洋头足纲动物。
这些间隔之间的壳壁被称作缝线，它是分形复曲线。
4.山脉:山脉是构造作用力和侵蚀作用的共同产物，构造作用力促使
地壳隆起，侵蚀作用导致一些地壳下陷。
这些因素共同作用的产物，是一个分形。
分形图形（组图）
分形图形（组图）*
对数学痛心疾首恨之入骨的同学一定不在少数呢。
说到数学都会想到昏昏欲睡的数学课、无法理解的公式、还有永远也算不出来的X 先生和α先生。
但是很少会有人知道。
其实数学也有非常柔美华丽的一面呢。
曼德尔布诺特给分形下的定义是：一个集合形状，可以细分为若
干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。
由于分形将数学的美变得更直观更平易近人，它也被很多艺术家青睐。
这里整理了艺术家Silvia Kordedda创作的分形图形。
是不是觉得如果早一些看到这些，也会想要努力学习数学呢?。
奇妙的分形图形
奇妙的分形图形如果让你考虑一个这样的问题：“具有有限面积的平面图形，其周长是有限的，还是无限的呢？”你可能会毫不犹豫地说：“当然周长也是有限的。
”在欧式几何中，人们总是用诸如点、线、平面、三角形、正方形、圆这样的对象和概念来描述我们生存的这个世界。
然而，1906年瑞典数学家科克作了一条“雪花曲线”，它的面积是有限的，而它的周长是无限的。
雪花曲线的具体做法是这样的。
先作一个等边三角形（如图1），再把每边三等分，将居中的部分向外作一个小等边三角形，并把每一个小等边三角形的底抹掉，得到一个六角星形（如图2）；再在六角星形的每一条边上以同样的方法向外作出更小的等边三角形，于是曲线变得越来越长，开始像一片雪花了（如图3）。
再如此作下去，曲线将变得越来越长，图形也更美丽（如图4）。
如果不断地作下去，则曲线可以要多长有多长，若无限地如此作下去，自然就有无限周长了。
而这个图形的面积，通过计算，最多只能是原来三角形的8/5倍。
意大利数学家欧内斯托·切萨罗曾对科克雪花曲线作过如下描述：这个曲线最使我们注意的地方是任何部分都与整体相似。
这个结构的每一个小三角形包含着一个适当比例缩小的整体形状。
这个形状包含着每一小三角形的缩小形式，后者又包含缩得更小的整体形状，如此下去以致无穷。
就是这个在它所有的无论怎样小的部分都保持着相似的性质，使这曲线看上去是如此的奇妙。
“雪花曲线”的图形中，存在自相似性，即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系，这样的图形叫做分形图形。
从20世纪70年代起，一个新兴的数学分支——分形几何逐步形成，它的研究对象就是具有自相似性的图形。
分形几何学的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。
分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。
各种有趣的分形
各种有趣的分形我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。
但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。
可是，山到底是什么"它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象"分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。
让我们先来熟悉几个典型的分形。
图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。
这美丽的图片是利用分形技术生成的。
在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体一样，仅仅在尺寸上小了一些。
而枝杈的枝杈也和整体一样，只是变得更加小了。
Sierpinski三角形具有严格的自相似特性Kohn雪花具有严格的自相似特性分维及分形的定义分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。
但用这种方法对分形的层层细节做出测定是不可能的。
曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。
分形的主要几何特征是关于它的构造的不规那么性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规那么性和复杂性程度的度量，这可用"维数〞来表征。
维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的涵。
整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。
这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为"拓扑维〞，记为d。
例如当把一地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维构造。
但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。
神奇的分形艺术（二）：一条连续的曲线可以填满整个平面
神奇的分形艺术（二）：一条连续的曲线可以填满整个平面虽然有些东西似乎是显然的，但一个完整的定义仍然很有必要。
比如，大多数人并不知道函数的连续性是怎么定义的，虽然大家一直在用。
有人可能会说，函数是不是连续的一看就知道了嘛，需要定义么。
事实上，如果没有严格的定义，你很难把下面两个问题说清楚。
你知道吗，除了常函数之外还存在其它没有最小正周期的周期函数。
考虑一个这样的函数：它的定义域为全体实数，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0。
显然，任何有理数都是这个函数的一个周期，因为一个有理数加有理数还是有理数，而一个无理数加有理数仍然是无理数。
因此，该函数的最小正周期可以任意小。
如果非要画出它的图象，大致看上去就是两根直线。
请问这个函数是连续函数吗？如果把这个函数改一下，当x为无理数时f(x)=0，当x为有理数时f(x)=x，那新的函数是连续函数吗？Cauchy定义专门用来解决这一类问题，它严格地定义了函数的连续性。
Cauchy定义是说，函数f在x=c处连续当且仅当对于一个任意小的正数ε，你总能找到一个正数δ使得对于定义域上的所有满足c-δ< x <c+δ的x都有f(c)-ε<f(x)<f(c)+ε。
直观地说，如果函数上有一点P，对于任意小的ε，P点左右一定范围内的点与P的纵坐标之差均小于ε，那么函数在P点处连续。
这样就保证了P点两旁的点与P无限接近，也就是我们常说的“连续”。
这又被称作为Epsil on-Delta定义，可以写成“ε-δ定义”。
有了Cauc hy定义，回过头来看前面的问题，我们可以推出：第一个函数在任何一点都不连续，因为当ε< 1时，δ范围内总存在至少一个点跳出了ε的范围；第二个函数只在x=0处是连续的，因为此时不管ε是多少，只需要δ比ε小一点就可以满足ε-δ定义了。
45幅耀眼夺目的分形艺术作品欣赏
45幅耀眼夺目的分形艺术作品欣赏
美国著名的物理学家惠勒曾说过这样一句话：谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。
想必要是按这个标准算的话，很多人都不能称为有知识。
其实，在我们生活的这个世界里，分形无处不在。
分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
今天这篇文章收集了45幅耀眼夺目的分形艺术作品分享给大家，一起欣赏。
神奇的曼德布洛特集合，绚丽的分形艺术图像（1）
神奇的曼德布洛特集合，绚丽的分形艺术图像（1）
分形（Fractal），是耶鲁大学数学家曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
应用一个方程去等于一个数字，然后让同样的方程去计算相同的结果，一遍遍的重复这个过程。
当结果被转换成几何形态，便会产生了包含着同样的形态不同的比例，生成惊人的自我衍生图像。
这种运用曼德布洛特集合，由程序迭代（iterative）而产生图像的过程，称为分形（fractal）艺术。
分形艺术不同于普通的“电脑绘画”，普通的“电脑绘画”概念是用电脑为工具从事美术创作，创作者要有很深的美术功底，且作品的创作几乎完全依赖于作者的个人意愿。
而“分形艺术”则是利用分形几何学原理，借助计算机强大的运算能力，将数学公式反复迭代运算，再结合作者的审美及艺术性的塑造，从而将抽象神秘的数学公式变成一幅幅精美绝伦的艺术画作。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何分形几何是一门研究非整数维度图形的数学学科，它的核心理论是分形，分形意为“自相似的”，即一幅图形包含自身的缩小版本，且无限重复。
分形几何在物理、生物、经济、社会等领域都有着广泛的应用，也是艺术中的一个重要领域。
许多艺术家利用分形几何创建出独一无二的作品。
其中一个知名的分形艺术家是美国数学家和计算机科学家，珍妮弗·佩克。
她在20世纪80年代开始研究分形几何，使用计算机程序创建出了大量独特的艺术作品。
佩克的作品通常都是由充满规律的图案组成的，这些图案又以同样的规律进行重复和变形，从而创建出复杂优美、自然流畅的形态。
佩克研究的一个分形形态是由一条直线分割成三条相等长的线段，再将中间一条线段上放一个相似的形状，然后无限重复这个过程。
最终形成的图形看似复杂又规律，似乎有着自然的美感，这种形态被称为科赫雪花（Koch snowflake，也叫科赫曲线）。
科赫雪花虽然由简单的线段构成，但它却是一种非整数维度的图形，具有完整的分形特征。
佩克的另一种分形形态是曼德博集合（Mandelbrot set），该形态是由一组复数所构成，但这组复数所形成的图形却是非常奇妙的分形形态。
曼德博集合是由一些和其他数学公式类似的公式组成的，“mandelbrot（曼德博）”使用了自己的姓作为这个图像命名的依据。
曼德博集合的图像其形态非常多变，包含了数量无穷的分形形态，从科学角度上来看，曼德博集合也含有大量的有趣的讯息和规律。
利用分形几何的原理，现在还有许多艺术家基于计算机程序制作出优美的图案，他们往往通过自相似的不断演变的图形来展示出分形几何的神奇之处。
总之，分形几何是一门神奇的数学学科。
它的原理被广泛应用于艺术创作，成为了许多艺术家表现自己创意的手段之一。
分形几何形成的图形无论是具有几何美学的规律图案，还是含有神秘色彩的曼德博集合，都能让人们领略到分形几何的独特魅力，同时这种美学也在启示着更多创意的可能性。
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我们猜想：上面这样的图形中，存在多种相似 关系，例如其中大大小小的三角形是相似的。
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事实上，上面的图形中都存在自相似性， 即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似 关系，这样的图形叫做分形图形。
奇妙的分形图形
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下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每 个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。 而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。那么， 枝杈的枝杈的枝杈呢？
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分形图形具有奇特的性质，例如，如果把上面 那样画雪花曲线的做法无限地继续下去，雪花曲线 的周长可以无限长，但它却可以画在一个小小的格 子中；它的尖端可以无限多，无数小尖尖布满了整 个曲线，但它们彼此却不会相交。 需要更完整的资源请到 新世纪教
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从20世纪70年代起，一个新兴的数学分 支——分形几何逐步形成，它的研究对象就是 具有自相似性的图形。
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再看一个分形图形的例子。画一个大的正五边形，接 着画出内嵌的5个小正五边形（如果算上中间的一个小正五 边形，则正好是在6个）；在每个小正五边形内再画出5个 更小的正五边形；继续下去，不断重复此过程，就可以得 到有无穷自相似结构的分形图形。你愿意试着画画吗？
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这个图叫做谢尔宾斯基地毯,它最早是由波兰数学家 谢尔宾斯基这样制作出来的:把一个正三角形分为全等的 4个小正三角形,挖去中间的一个小三角形;对剩下的三个 小正三角形再分别重复以上做法……将这种做法 继续进 行下去,就能得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯.
想一想
图3中的阴影部分的面积的变化有什么规律？
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想一想
图4中的图形的周长的变化有什么规律？
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需要更完整的资源请到 新世纪教 下面我们仔细的看一看它的产生过程 育网 -
这种图形 中大大小小的 三角形之间有 什么关系呢?
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下面我们仔细的 看一看它的产生 过程
这是雪花曲线,它可以从一 个等边三角形开始来画:把一个 等边三角形的每边分成相同的 三段,再在每边中间一段上向外 画出一个等边三角形,这样一来 就做成了一个六角星.然后在六 角星的各边上用同样的方法向 外画出更小的等边三角形,出现 了一个有关18个尖角的图形.如 此继续下去,就能得到分支越来 越多的曲线.继续重复上面的过 程,图形的外边界逐渐变得越来 越曲折、越来越长、图案变得 越来越细致,越来越像雪花、越 需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 - 来越美丽了。
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这张美丽的图片是利用分形技术生成的。 在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优 势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
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不管你信不信，上面的这张月球表 面的照片也是用分形技术生成的。如果 你把图片放大观看，也可以看到更加细 致的东西。因为，分形能够保持自然物 体无限细致的特性，所以，无论你怎么 放大，最终，还是可以看见清晰的细节。
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如果你是个有心人，你一定会发 现在自然界中，有许多景物和都在某 种程度上存在这种自相似特性，即它 们中的一个部分和它的整体或者其它 部分都十分形似。其实，远远不止这 些。从心脏的跳动、变幻莫测的天气 到股票的起落等许多现象都具有分形 特性。这正是研究分形的意义所在。 例如，在道· 琼斯指数中，某一个阶 段的曲线图总和另外一个更长的阶段 的曲线图极为相似。