北师大版七年级数学下册 第四章 三角形 复习(26张PPT)
解：（1）△BPD≌△CQP，理由如下：∵t=1s， ∴BP=CQ=3×1=3（cm）， ∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm． 又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm， ∴PC=8﹣3=5（cm），∴PC=BD． 又∵AB=AC，∴∠B=∠C， 在△BPD和△CQP中
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
第四章 三角形
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次 相接所组成的图形叫做三角形。
三角形有三条边、三个内角和三个顶点。 “三角形”可以用符号“△”表示。
A
记为:△ABC
B
C
的三
边角
形
三 角
的三 角角
形形
1、三角形任意两边之和大于第三边。 2、三角形任意两边之差小于第三边。
3、三角形三个内角的和等于180度。 4、直角三角形的两个锐角互余。
∵CE是∠ACB的平分线 ∴∠ECD=70°﹣50°
∴∠ACE=50°
= 20°
1、如图AB=CD，AC=BD，则 △ABC≌△DCB吗？说明理由。
解：△ABC≌△DCB
A 在△ABC与△DCB中
｛∵ AB=CD（已知） AC=BD （已知）
B
BC=CB（公共边）
∴△ABC≌△DCB（SSS）
D C
2．如图，已知△ABC中， AB=AC=10cm，BC=8cm， 点D为AB的中点．如果点P在 线段BC上以3cm/s的速度由 B点向C点运动，同时，点Q在 线段CA上由C点向A点运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经 过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？
B A
小莉的设计方案：先在池塘旁取一个能
直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至
D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，
使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，
这个长度就等于A，B两点的距离。请你说
明理由。
解： AC=DC
∠ACB=∠DCE
A
B
BC=EC
C
△ACB≌△DCE(SAS)
E
D
AB=DE
（2）∵vP≠vQ，∴BP≠CQ， 又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4，CQ=BD=5， ∴点P，点Q运动的时间t= = （s）， ∴vQ= = = （cm/s），
答：当点Q的运动速度为 cm/s， 能够使△BPD与△CQP全等．
A
DB
B
D
C
1.在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线， ∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
解：∵CD⊥AB
∴∠CDB=90°
∵∠B=60°
∴∠BCD=90°﹣60°=30°
∵∠A=20°，∠B=60° ∵ ∠ACD= 90°﹣20°
∴∠ACB=100°
=70 °
2．如图，已知△ABC中， AB=AC=10cm，BC=8cm， 点D为AB的中点．如果点P在 线段BC上以3cm/s的速度由 B点向C点运动，同时，点Q在 线段CA上由C点向A点运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经 过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？
（2）当t=2.5时，△ABP≌△DCP， ∵ △ ABP≌△DCP ∴ BP=PC=5， ∴t=5 ÷ 2=2.5，
例1.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，
BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC
向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC=
cm．（用t的代数式表示）
BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC
向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC=
cm．（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，
以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v
的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v
交于点O，若∠BOC=116°，
A
那么∠A的度数是
。
EO
D
B
C
5、已知三角形的两边长分别是2cm和5cm,第三边
长是奇数，则第三边的长是
。
6、如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，与∠A相等
的角是
，理由是
。
7、如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为
100cm2 ，则△ABD的面积是
cm2 。
A C
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，
以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v
的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v
的值；若不存在，请说明理由．
（2）①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ， ∵AB=6，∴PC=6，∴BP=10﹣6=4，2t=4， 解得：t=2，CQ=BP=4，v×2=4，解得：v=2； ②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP， ∵PB=PC，∴BP=PC= BC=5，2t=5， 解得：t=2.5，CQ=BP=6，v×2.5=6， 解得：v=2.4． 综上所述：当v=2.4或2时△ABP与△PQC全等．
的值；若不存在，请说明理由．
例1.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，
BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC
向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC=
cm．（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
解：（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向 点C运动，点P的运动时间为t秒时，BP=2t， 则PC=10﹣2t；
题型考查
1.符合条件∠A+∠B=62°的三角形是( C )
A、锐角三角形 C、钝角三角形
B、直角三角形 D、不能确定
2.在下列长度的四根木棒中，能与4㎝，9㎝ 两根木棒围成三角形的是( C )
A、4㎝ B、5㎝ C、9㎝ D、14㎝ 3.如图，在△ABC中，∠A=70° A
∠B=60°，点D在BC的延长线上， 则 ∠ACD=_1_3_0_度.
2.如图，已知AB＝AC，AD＝AE。 A 求证：∠B＝∠C
证明：在△ABD和△ACE中 E
AB＝AC（已知）
A＝A（公共角）
B A
AD＝AE（已知）
∴△ABD≌△ACE（SAS） D
∴∠B＝∠C（全等三角形
D C
A
E
对应角相等）
B
C
A
3、在△ABC中，AB=AC，AD是边BC
上的中线，证明：∠BAD=∠CAD
证明：∵AD是BC边上的中线 B
DC
∴BD＝CD（三角形中线的定义）
AB AC(已知)
在△ABD和△ACD中BD CD(已证)
AD AD(公共边)
∴ △ABD≌△ACD（SSS)
∴ ∠BAD=∠CAB（全等三角形对应角相等）
如图线段AB是一个池塘的长, 现在想测量这个池塘的长度，在 水上测量不方便，你有什么好的 方法较方便地把池塘的长度测量 出来吗？想想看。
1．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4， AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从 点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向 终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 （ ）秒时．△ABPC和△DCE全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
例1.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，
的 三 5、三角形的三条角平分线交于一点，
线角
三条中线交于一点。
段 形 6、三角形的三条高所在的直线交于一点。
三
7、全等图形的形状和大小都相同。
角 形 的
全等性质 （两三角形完全重合） 8、全等三角形的对应边相等，对应
全
角相等。
等 全等条件 SSS SAS ASA AAS HL
1、两个能够重合的三角形称为 全等三角形。
B
D C
题型考查
∠ACB= 40° 当轮船距离灯塔C最 近时，∠ACB= 60°
学习考查
1、在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=70°，则
∠C的度数是
。
2、在Rt△ABC中，一个锐角为30°，则另一个
锐角为
度。
3、等腰三角形一边的长是4，另一边的长是8，
则它的周长是
。
4、如两个三角形全等的条件:
SSS SAS（两边夹角） ASA （两角夹边） AAS
3、两个直角三角形全等的条件:
SAS ASA AAS
1、三角形两条边分别是2cm，7cm，则第三边
c的范围为 5＜c＜9
。
2、等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为
12cm，则其周长（ B
）
A、24cm
B、30cm
C、24cM或30cm
D、18cm
3、用7根火柴首尾顺次连结摆成一个三角形，能
摆成不同的三角形的个数为
2
。
（3，3，1；2，2，3）
1、已知三角形三个内角的度数比为1：3：5， 求这三个内角的度数。
解：设三个内角分别为x，3x，5x 则x + 3x + 5x = 180 x=20
∴三角形三个内角分别为：20°，60°，100°
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北师大版数学七年级下册第四章：1、认识三角形 课件(共65张PPT)
1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
2.三角形内角和定理的应用:①在三角形中,已知任意两个内角的度数可以 求出第三个内角的度数;②已知三角形三个内角的关系,可以求出各个内角 的度数;③求一个三角形中各角之间的关系.
3.三角形按角分类:
直角三角形:有一个角是直角的三角形 锐角三角形:三个角都是锐角的三角形 钝角三角形:有一个角是钝角的三角形
∠A、∠C的公共边是
.
,∠A的对边是
栏目索引
,
图4-1-3 答案 ∠B;BC;AC 解析 △ABC中,AB与BC的夹角是∠B,∠A的对边是BC,∠A、∠C的公共 边是AC.
1 认识三角形
知识点二 三角形三个内角之间的关系
栏目索引
4.(2017广西南宁中考)如图4-1-4,△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C等于
其所在直 直角三角形
线)的交
点位置 钝角三角形
交点在三角形内 交点在直角顶点处 交点在三角形外
三条中线交于三 角形内一点(这一 点称为三角形的 重心)
交点在三角形内
共同点
每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线,它们(或它们所在的直线) 都分别交于一个点,它们都是线段
1 认识三角形
栏目索引
知识拓展
(1)得到线段垂直;(2)得到角相等 (1)得到线段相等; (2)得到面积相等
得到角相等
1 认识三角形
栏目索引
线段 的位置
锐角三角形 直角三角形
钝角三角形
三条高全在三角形内
三条中线全在三
角形内 一条高在三角形内,另外两条
与两直角边重合
三条角平分线全 在三角形内
三角形内一条,三角形外两条
七年级数学下册 第4章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件课件 (新版)北师大版
例2 (2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线 上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.
图4-3-2 分析 由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS 得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减 去EC即可得BE=CF.
AD BC,
因为DAB CBA,所以△ABD≌△BAC(SAS).
AB AB,
知识点一 判定三角形全等的条件——边边边 1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判 定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE= BE;④BF=BE,可利用的是 ( )
AB=DE,BC=EF (2)已知两角
思路一(找第三边)
思路二(找角)
首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等
①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用 “SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定 全等(后面会学到)
思路一(找夹边)
思路二(找角的对边)
首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全 等
A.①或②
B.②或③
图4-3-1 C.①或③ D.①或④
答案 A 由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定, 只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可 以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④ 不可以,故选A.
架不变形,他至少要再钉上
根木条.
()
图4-3-5
A.0 解析 答案
B.1 C.2 D.3 连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性. B
北师大版七年级数学下第四章《三角形》第一节认识三角形之《对顶三角形模型的运用》说课课件(23张PPT)
设计意图：练习和巩固。
设计意图：结合板书总结结反思，归纳，形成 知识体系。
六、设计说明
（一）亮点分析
亮点1
巧设追问，由浅入深，层层递进，提升学 生思维的深度和广度。使人人都有所学， 有所获。
亮点2 着眼知识生成过程，环节联系紧密完整。
亮点3
利用超链接，对基本图形进行变化，然后 归纳总结。既强调了对图形本质的认识，又 渗透了从具体到抽象，特殊到一般的数学思 想方法。
2018教育部发布的《关于全面深化课程实施改革落实 立德树人基本任务的意见》数学核心素养终极培养目标 都可以描述为：会用数学的眼光观察现实世界；会用数 学的思维思考研究现实世界；会用数学的语言表达现实 世界”。
谢谢！
设计意图：让学生认识，熟悉模型；
也为后面解决问题做铺垫。
设计意图：在已有知识的基础上逐渐发现“对顶三角形”
隐藏的常用结论。通过追问，提升学生思考的深度，并 为后面内容做铺垫。
设计意图：通过类比写等量关系，熟悉“研模”过程得
到的结论。问题由易到难，层层递进，让各个层次的学 生知识技能都有所发展。同时渗透类比思想。
2分钟
设计意图：通过安静的图片和鼓励提示性话语
让学生从课下肢体活跃的状态，进入肢体安静的状态， 为思维的活跃做准备。
设计意图：让学生通过观察动画过程，类比
对顶角抽象出“对顶三角形”培养数学数学抽象的 眼光和意识。
设计意图：“对顶三角形”一个准确的定义。
让学生准确进行图形——文字语言——符号语言 之间的转化。
2、它是类比对顶角给出的新定义，是初中几何中常 见模型，是对本章求角度的知识巩固和复习。它可以帮 助学生简化一些复杂的几何问题，同时也为后续几何学 习做铺垫。
北师大版七年级下册数学《探索三角形全等的条件》三角形研讨说课复习课件
C
A
B
探究新知
C
E
D
C′
A
作法：
B A′
B′
（1）画A'B'=AB;
（2）在A'B'的同旁画∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，
A'D，B'E相交于点C'.
想一想：从中你能发现什么规律？
探究新知
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成 “角边角”或“ASA”.
书写格式：
A
在△ABC和△A′ B′ C′中，
北师大版 数学 七年级 下册
4.3 探索三角形全等的条件 第1课时
课件
导入新知
小华作业本上画的三角形被墨迹污染了，她想 画一个与原来完全一样的三角形，她该怎么办？请 你帮助小华想一个办法，并说明你的理由？
注意：与原来完全一样的三角形，即是与原来三角 形全等的三角形.
素养目标
3. 了解三角形的稳定性.
80 40 60
40
60
三个内角对应相等的两个三角形不一定全等.
探究新知
做一做:
2.给出三条边 已知三角形的三条边分别为4cm、5cm和7cm，请画出
这个三角形.
4
5
7
三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边 边”或“SSS”.
探究新知
三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.
所以△ABC≌△DEF（AAS ）.
所以AC ＝ DF.
巩固练习
变式训练 如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E.
A
B
探究新知
C
E
D
C′
A
作法：
B A′
B′
（1）画A'B'=AB;
（2）在A'B'的同旁画∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，
A'D，B'E相交于点C'.
想一想：从中你能发现什么规律？
探究新知
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成 “角边角”或“ASA”.
书写格式：
A
在△ABC和△A′ B′ C′中，
北师大版 数学 七年级 下册
4.3 探索三角形全等的条件 第1课时
课件
导入新知
小华作业本上画的三角形被墨迹污染了，她想 画一个与原来完全一样的三角形，她该怎么办？请 你帮助小华想一个办法，并说明你的理由？
注意：与原来完全一样的三角形，即是与原来三角 形全等的三角形.
素养目标
3. 了解三角形的稳定性.
80 40 60
40
60
三个内角对应相等的两个三角形不一定全等.
探究新知
做一做:
2.给出三条边 已知三角形的三条边分别为4cm、5cm和7cm，请画出
这个三角形.
4
5
7
三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边 边”或“SSS”.
探究新知
三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.
所以△ABC≌△DEF（AAS ）.
所以AC ＝ DF.
巩固练习
变式训练 如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E.
北师大版七年级数学下册《图形的全等》三角形PPT优质课件
5：如图,已知ΔAEF是ΔABC绕A点顺时针旋转55° 得到的,求∠BAE,∠CAF和∠BME的度数.
6：如图,已知ΔABE≌ΔACD,且∠1=∠2, ∠B=∠C,请指出其余的对应边和对应角.
课堂小结
两个能够重合 的图形称为全等图形； 如果两个图形全等，那么它们的__形___状___大___小____ 一定都相同； 把一个图形可以划分为两个全等图形 ； 几个全等的图形拼成一个大的图案。
课后作业
习题4.5 第2、3题
∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD=
.
3：如图，若ΔABC≌ΔAEF, AB=AE,∠B=∠E,则下列结 论：①AC=AF, ②∠FAB=∠EAB, ③EF=BC,
④ ∠FAC=∠EAB,其中正确结论的个数是（
）
A.1个 个
Bபைடு நூலகம்2个
C.3个
D.4
4：如图，已知ΔABD≌ΔAEC, ∠B和∠E是对 应角,AB与AE是对应边,试说明:BC=DE.
形状相同，大小不同
面积相同，形状不同
全等图形的特征是：能够完全重合，即 形状和大小完全相同。
课堂练习
1 若ΔDEF≌ΔABC, ∠A=70°,∠B=50°,点A的 对应点是点D,AB=DE,那么∠F的度数等于（ ） A.50° B.60° C.50° D.以上都不对
2 如图,若ΔOAD≌ΔOBC, 且
说一说：
说说你生活中见过的全等图形的例子。
你能找出图 中有几对全 等图形？
（2）与（4 ） （3）与（6 ）
观察下列各组图形是不是全等图形?为什么?
交 流 1. 讨 论 2.
不全等，大小不等
全等，大小、形状 均相同
全等，大小、形状
2022年北师大版七年级数学下册第四章《 4-1 认识三角形》优质课课件(共22张PPT)
C B 注意： 顶点字母没有限定次序。源自概念讲解三角形的三要素
A
c
b
B
C
a
角：三角形中有三个角：∠A，∠B，∠C
顶点：三角形中有三个顶点，顶点A，顶点B，顶点C
边：三角形中三边 AB，BC，AC
猜角游戏
下面的图⑴、图⑵、图⑶中的三角形被遮住的两个 内角是什么角？试着说明理由。
(1)
(2)
(3)
③⑤
①④⑥
②⑦
直角三角形
直
斜
角
边
边
直角边
1、常用符号“Rt∆ABC”来
表示直角三角形ABC.
2、直角三角形的两个锐角之 间有什么关系？
直角三角形的两个锐角互余
合作学习
你能用学过的知识解释“三角形 的三个内角和是180˚”吗？
合作学习
1
a
1
b
3
24
三角形三个内角的和等于180˚
想一想
一个三角形中会有两个直角 吗？可能两个内角是钝角或锐角 吗？
将图⑶的结果与图⑴、图⑵的结果进行比较，可以将
三角形如何按角分类？
按三角形内角的大小把三角形分为三类
锐角三角形
三
角
形 的
钝角三角形
分
类
直角三角形
三个内角都是锐角 有一个内角是钝角 有一个内角是直角
练一练
1、观察下面的三角形，并把它们的标号 填入相应图内：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
⑴锐角三角形 ：三个内角都是锐角；
⑵直角三角形 ：有一个内角为直角；
⑶钝角三角形 ：有一个内角为钝角 。 4、直角三角形的两个锐角互余。
最新北师大版七年级数学下册《第四章 三角形——全等三角形中的一线三等角模型(k字型)》优质教学课件
变式：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延 长HA交EG于点I. 求证：（1）I是EG的中点．
（2）BC=2AI.
课堂总结
本节课我们主要学习了哪些 内容？你有什么收获？大胆地说 说自己的体会、感受或想法。
教师寄语
我们一生中要认识许多人，组建许多 集体，在集体生活中，我们要学会理解和 宽容，关爱和担当，才能被赋予更大的责 任，从而拥有更多发展的机会，更好的参 与社会、国家的建设，让我们与集体共同 成长！
全等三角形： 一线三等角模型（K字型）
解决问题，认知模型
例2：如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M、 N，且BM＝AN． （1）求证△AMB≌△CNA； （2）求证∠BAC＝90°．
变式： 如图，已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝ED． （1）AC与CE有什么关系？
感谢各ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ聆听
1.李华同学用11块高度都是1cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的 木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD（∠ABC＝90°，AB＝BC）， 点B在EF上，点A和C分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离EF．
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于 E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点 C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系， 并加以证明．
（1）判断DF与DC的数量关系为 ，位置关系为
北师大版七年级数学下册 4.3.1 利用“边边边”判定三角形全等 课件(27张PPT)
（1） △ABD≌△ACD ． (2)∠BAD = ∠CAD A
解题思路：
先找现有条件 AB =AC
B
D
C
再找隐含条件 公共边AD
最后找间接条件 BD=CD
D是BC的中点
例1 如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A
与BC 中点D 的支架．试说明：
（1） △ABD≌△ACD ． (2)∠BAD = ∠CAD
所以△ABC≌△ADC(SSS)． 所以∠B＝∠D.(全等三角形的对应角相等）
练习
5.如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，下列结论： ①∠C＝∠B；②∠D＝∠E；③∠EAD＝∠BAC； ④∠B＝∠E. 其中错误的是( D ) A．①② B．②③ C．③④ D．只有④
练习
6.空调安装在墙上时，一般都会按如图所示的方法固定 在墙上，这种方法应用的数学知识是_三__角__形__的__稳__定__性__．
先将间接条件转化为直接条件.
（2）三角形全等书写三步骤：
① 写出在哪两个三角形中； ② 摆出三个条件用大括号括起来； ③ 写出全等结论，并注明全等的条件
典例分析
例2 已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE. 试说明：∠BAC＝∠DAE.
解：在△ABD和△ACE中，
AB＝AC，(已知）
AD＝AE，(已知）
所以△ACE≌△BDF(SSS)．
所以∠A＝∠B.(全等三角形的对应角相等)
所以 AE∥BF.（内错角相等，两直线平行）
证明两直线 的位置关系 （平行）
例 5．如图，在△ABC 中，AC＝BC，D 是 AB 上的一点，AE⊥
CD 于点 E，BF⊥CD 于点 F，若 CE＝BF，AE＝EF＋BF.
解题思路：
先找现有条件 AB =AC
B
D
C
再找隐含条件 公共边AD
最后找间接条件 BD=CD
D是BC的中点
例1 如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A
与BC 中点D 的支架．试说明：
（1） △ABD≌△ACD ． (2)∠BAD = ∠CAD
所以△ABC≌△ADC(SSS)． 所以∠B＝∠D.(全等三角形的对应角相等）
练习
5.如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，下列结论： ①∠C＝∠B；②∠D＝∠E；③∠EAD＝∠BAC； ④∠B＝∠E. 其中错误的是( D ) A．①② B．②③ C．③④ D．只有④
练习
6.空调安装在墙上时，一般都会按如图所示的方法固定 在墙上，这种方法应用的数学知识是_三__角__形__的__稳__定__性__．
先将间接条件转化为直接条件.
（2）三角形全等书写三步骤：
① 写出在哪两个三角形中； ② 摆出三个条件用大括号括起来； ③ 写出全等结论，并注明全等的条件
典例分析
例2 已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE. 试说明：∠BAC＝∠DAE.
解：在△ABD和△ACE中，
AB＝AC，(已知）
AD＝AE，(已知）
所以△ACE≌△BDF(SSS)．
所以∠A＝∠B.(全等三角形的对应角相等)
所以 AE∥BF.（内错角相等，两直线平行）
证明两直线 的位置关系 （平行）
例 5．如图，在△ABC 中，AC＝BC，D 是 AB 上的一点，AE⊥
CD 于点 E，BF⊥CD 于点 F，若 CE＝BF，AE＝EF＋BF.
2022-2023学年初中数学北师大版七年级下册第四章三角形单元复习课课件
第四章 三角形
本章知识梳理
/
目 录
1.
目录
2.
课标要求
3.
知识梳理
课标要求
1. 理解三角形相关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，会 画出任意三角形的中线、高线和角平分线，了解三角形的稳定性 . 2. 掌握三角形的内角和定理(三角形的内角和等于180度)，掌握 “三角形任意两边之和大于第三边”. 3. 了解全等图形的概念，理解全等三角形的概念，能识别全等三 角形的对应边、对应角.
3． 如图M4-3，已知△ABC≌△CDE，其中AB=CD，那么下列 结论中，不正确的是（C ）
A． AC=CE
B． ∠BAC=∠ECD
C． ∠ACB=∠ECD
D． ∠B=∠D
4． 如图M4-4，全等的三角形是（ D ）
A． Ⅰ和Ⅱ
B． Ⅱ和Ⅳ C． Ⅱ和Ⅲ D． Ⅰ和Ⅲ
三、SSA是指两个三角形的两边对应相等及一边的对角对应相
等，但是这种判断方法是不能判定这两个三角形全等的，SAS
是指两个三角形的两条对应边相等且两边的夹角对应相等.
【例3】如图M4-5，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能
证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A． ∠A=∠D
B． AB=DC
C． ∠ACB=∠DBC D． AC=BD
易错条件都是两条边及一个角对应相等，但是选项B是以 SAS来判定两个三角形全等，而选项D是SSA. 正解：A. 添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选 项不合题意；B. 添加AB=DC可利用SAS定理判定 △ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C. 添加∠ACB=∠DBC可利 用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D. 添加 AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意. 答案:D
本章知识梳理
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目 录
1.
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2.
课标要求
3.
知识梳理
课标要求
1. 理解三角形相关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，会 画出任意三角形的中线、高线和角平分线，了解三角形的稳定性 . 2. 掌握三角形的内角和定理(三角形的内角和等于180度)，掌握 “三角形任意两边之和大于第三边”. 3. 了解全等图形的概念，理解全等三角形的概念，能识别全等三 角形的对应边、对应角.
3． 如图M4-3，已知△ABC≌△CDE，其中AB=CD，那么下列 结论中，不正确的是（C ）
A． AC=CE
B． ∠BAC=∠ECD
C． ∠ACB=∠ECD
D． ∠B=∠D
4． 如图M4-4，全等的三角形是（ D ）
A． Ⅰ和Ⅱ
B． Ⅱ和Ⅳ C． Ⅱ和Ⅲ D． Ⅰ和Ⅲ
三、SSA是指两个三角形的两边对应相等及一边的对角对应相
等，但是这种判断方法是不能判定这两个三角形全等的，SAS
是指两个三角形的两条对应边相等且两边的夹角对应相等.
【例3】如图M4-5，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能
证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A． ∠A=∠D
B． AB=DC
C． ∠ACB=∠DBC D． AC=BD
易错条件都是两条边及一个角对应相等，但是选项B是以 SAS来判定两个三角形全等，而选项D是SSA. 正解：A. 添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选 项不合题意；B. 添加AB=DC可利用SAS定理判定 △ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C. 添加∠ACB=∠DBC可利 用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D. 添加 AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意. 答案:D
北师大版 七年级数学下册第四章三角形 复习课件 (26PPT)
“边角边”或“SAS”．
考点攻略
►考点一 三角形的有关概念
例 1 下列各组长度的线段为边，能构成三角形( D ) A．7 cm、5 cm、12 cm B．6 cm、8 cm、15 cm C．8 cm、4 cm、3 cm D．4 cm、5 cm、6 cm
[解析] 7＋5＝12；6＋8＝14＜15；4＋3＝7＜8；4＋5 ＝9＞6.
例 7 如图 3－4，山脚下有 A、B 两点，要测出 A，B 两 点的距离，在地上取一个可以直接到达 A、B 两点的点 O，连 接 AO 并延长到 D，使 AO＝DO，连接 BO 并延长到 C，使 BO＝CO，量得 CD＝12 米，那么山脚 A、B 两点的距离为 _____1_2_米___．
图 3－4
图YK－2－4
[解析] 根据已知条件，可得△ABC≌△EDC，进而 AB＝ED. 解： 根据题意，在△ABC 和△EDC 中，
∠ABC＝∠EDC＝90°， BC＝DC， ∠1＝∠2，
所以△ABC≌△EDC(ASA)． 所以 AB＝DE(全等三角形对应边相等)．
解：设腰长为 a，底边长为 b. 则由题意 2a＋b＝10.而 2a>b， ∴b＋b<10，∴b<5. ∵a、b 为整数， 讨论当 b＝4 时，则 a＝3. 当 b＝3 时，a＝3.5(舍)． 当 b＝2 时，a＝4. 当 b＝1 时，a＝4.5(舍)． 所以三边长为 3,3,4 或 4,4,2.
►考点二 三角形的内角和定理
解：(1)在△ABC 中， ∠BAC＝180°－∠B－∠C ＝180°－44°－72° ＝64°； (2)因为 AD 是△ABC 的角平分线，
所以∠CAD＝12∠BAC＝12×64°＝32°. 在△ACD 中，∠ADC＝180°－∠CAD－∠C ＝180°－32°－72°＝76°.
考点攻略
►考点一 三角形的有关概念
例 1 下列各组长度的线段为边，能构成三角形( D ) A．7 cm、5 cm、12 cm B．6 cm、8 cm、15 cm C．8 cm、4 cm、3 cm D．4 cm、5 cm、6 cm
[解析] 7＋5＝12；6＋8＝14＜15；4＋3＝7＜8；4＋5 ＝9＞6.
例 7 如图 3－4，山脚下有 A、B 两点，要测出 A，B 两 点的距离，在地上取一个可以直接到达 A、B 两点的点 O，连 接 AO 并延长到 D，使 AO＝DO，连接 BO 并延长到 C，使 BO＝CO，量得 CD＝12 米，那么山脚 A、B 两点的距离为 _____1_2_米___．
图 3－4
图YK－2－4
[解析] 根据已知条件，可得△ABC≌△EDC，进而 AB＝ED. 解： 根据题意，在△ABC 和△EDC 中，
∠ABC＝∠EDC＝90°， BC＝DC， ∠1＝∠2，
所以△ABC≌△EDC(ASA)． 所以 AB＝DE(全等三角形对应边相等)．
解：设腰长为 a，底边长为 b. 则由题意 2a＋b＝10.而 2a>b， ∴b＋b<10，∴b<5. ∵a、b 为整数， 讨论当 b＝4 时，则 a＝3. 当 b＝3 时，a＝3.5(舍)． 当 b＝2 时，a＝4. 当 b＝1 时，a＝4.5(舍)． 所以三边长为 3,3,4 或 4,4,2.
►考点二 三角形的内角和定理
解：(1)在△ABC 中， ∠BAC＝180°－∠B－∠C ＝180°－44°－72° ＝64°； (2)因为 AD 是△ABC 的角平分线，
所以∠CAD＝12∠BAC＝12×64°＝32°. 在△ACD 中，∠ADC＝180°－∠CAD－∠C ＝180°－32°－72°＝76°.