整式乘法完全平方公式精品PPT课件
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初中七年级下册数学《完全平方公式》整式的乘除(第2课时)PPT精品课件
= 15x+19
温馨提示： 1.注意运算的顺序。 2.(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括号。
例2 已知x－y＝6，xy＝－8，求： (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8， (x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy ＝36－16＝20.
思考：怎样计算1022,992更简便呢？
(1) 1022；
(2) 1972.
解：原式= (100+2)2
解：原式= (200 –3)2
= (100)2+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404.
= (200)2-2×200×3+32 =4+9 =38809.
2020/11/20
4
练一练 （1）992
（2）1992
解：（1）992 = (100-1)2 = 1002-2×100×1+12 = 10000-400+1
= 9801 （2）1992 = (200-1)2 =2002-2×200×1+12
= 40000-400+1
= 39601
例1 计算: (1) (x+3)2-x2 ;
=41209.
2020/11/20
13
2.运用乘法公式计算： (1)(x＋y－z＋1)(x－y＋z＋1)；
(2)(a－b－c)2.
解：(1)原式＝[(x＋1)＋(y－z)][(x＋1)－(y－z)] ＝(x＋1)2－(y－z)2 ＝x2＋2x＋1－y2＋2yz－z2.
(2)原式＝[(a－b)－c]2 ＝(a－b)2－2(a－b)·c＋c2 ＝a2＋b2＋c2 －2ab＋2bc－2ac.
温馨提示： 1.注意运算的顺序。 2.(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括号。
例2 已知x－y＝6，xy＝－8，求： (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8， (x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy ＝36－16＝20.
思考：怎样计算1022,992更简便呢？
(1) 1022；
(2) 1972.
解：原式= (100+2)2
解：原式= (200 –3)2
= (100)2+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404.
= (200)2-2×200×3+32 =4+9 =38809.
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练一练 （1）992
（2）1992
解：（1）992 = (100-1)2 = 1002-2×100×1+12 = 10000-400+1
= 9801 （2）1992 = (200-1)2 =2002-2×200×1+12
= 40000-400+1
= 39601
例1 计算: (1) (x+3)2-x2 ;
=41209.
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2.运用乘法公式计算： (1)(x＋y－z＋1)(x－y＋z＋1)；
(2)(a－b－c)2.
解：(1)原式＝[(x＋1)＋(y－z)][(x＋1)－(y－z)] ＝(x＋1)2－(y－z)2 ＝x2＋2x＋1－y2＋2yz－z2.
(2)原式＝[(a－b)－c]2 ＝(a－b)2－2(a－b)·c＋c2 ＝a2＋b2＋c2 －2ab＋2bc－2ac.
完全平方公式ppt课件
=2x2-8x+8+3x-2x2-1
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
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=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
完全平方公式PPT课件
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
首平方，尾平方，积的2倍放中央 .
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
例4 运用完全平方公式计算：
(1)(3m+n)2；
(2)
x
-
1 2
2
.
(1)(3m+n)2
解 (3m+n)2
= (3m)2+2 ·3m ·n + n2
= 9m2+6mn+n2.
（2）
2
x - 1
2
解
x
-
1
2
2
=
x2
-2·x·1Fra bibliotek+
12
2 2
= x2 - x+ 1 4
想一想:
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改 正？
思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗？ (a-b)2与(b-a)2相等吗？ (a-b)2与a2-b2相等吗？ 为什么？
说一说
1. (a-b)2与(b-a)2有什么关系？ 答：相等. 这是因为 (b-a)2 = [-(a-b)]2=(a-b)2. 2. (a+b)2与(-a-b)2有什么关系？ 答：相等. 这是因为 (-a-b)2 = [-(a+b)]2=(a+b)2.
b a
b a 图2
完全平方公式 的几何意义 和的完全平方公式：
b ab
b²
(a+b)²
《完全平方公式》整式的乘除PPT课件(第1课时)
《完全平方公式》整式 的乘除PPT课件(第1课时
)
第 一章 整式的乘除
完全平方公式
第1课时
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点; 〔重点〕 2.会运用公式进行简单的运算.(难点)
复习旧知
1.多项式与多项式的乘法法那么
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
2.由下面的两个图形你能得到哪个公式？
愿知识与您相伴 让我们共同成长 感谢您的阅读与支持
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置，熟悉 一下最远处几个框细微的纹路，
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
随堂训练 1．以下计算正确的选项C是( )
A．(a＋m)2＝a2＋m2 CB.． 2(xs－12t)22＝＝4sx22－－t22x＋14
D．(m＋n)2＝m2＋mn＋n2
B
D
4.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
A、11 B、9 C、-11
D、-9
5.如果 x 42 x2 kx 16, 那么k
3、远眺开始，双眼看整个图表，产生向前深进 的感觉，然后由外向内逐步辨认每一层的绿白线 条。
4、如果视力不良，只能进到某一层时，不要立 即停止远眺，应多看一会儿，将此层看清楚后， 再向内看一层，如此耐心努力争取尽量向内看， 才能使眼的睫状肌放松。
5、双眼视力相近的，两眼可同时远眺；双眼视 力相差大的、将左右眼轮流遮盖，单眼远眺，视 力差的一只眼睛，其远眺时间要延长。
)
第 一章 整式的乘除
完全平方公式
第1课时
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点; 〔重点〕 2.会运用公式进行简单的运算.(难点)
复习旧知
1.多项式与多项式的乘法法那么
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
2.由下面的两个图形你能得到哪个公式？
愿知识与您相伴 让我们共同成长 感谢您的阅读与支持
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置，熟悉 一下最远处几个框细微的纹路，
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
随堂训练 1．以下计算正确的选项C是( )
A．(a＋m)2＝a2＋m2 CB.． 2(xs－12t)22＝＝4sx22－－t22x＋14
D．(m＋n)2＝m2＋mn＋n2
B
D
4.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
A、11 B、9 C、-11
D、-9
5.如果 x 42 x2 kx 16, 那么k
3、远眺开始，双眼看整个图表，产生向前深进 的感觉，然后由外向内逐步辨认每一层的绿白线 条。
4、如果视力不良，只能进到某一层时，不要立 即停止远眺，应多看一会儿，将此层看清楚后， 再向内看一层，如此耐心努力争取尽量向内看， 才能使眼的睫状肌放松。
5、双眼视力相近的，两眼可同时远眺；双眼视 力相差大的、将左右眼轮流遮盖，单眼远眺，视 力差的一只眼睛，其远眺时间要延长。
完全平方公式PPT精品课件1
1、想要体面生活，又觉得打拼辛苦；想要健康身体，又无法坚持运动。人最失败的，莫过于对自己不负责任，连答应自己的事都办不到，又何必抱怨这个世界都和你作对？人生的道理很简单，你想要什么，就去付出足够的努力。 2、时间是最公平的，活一天就拥有24小时，差别只是珍惜。你若不相信努力和时光，时光一定第一个辜负你。有梦想就立刻行动，因为现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 3、无论正在经历什么，都请不要轻言放弃，因为从来没有一种坚持会被辜负。谁的人生不是荆棘前行，生活从来不会一蹴而就，也不会永远安稳，只要努力，就能做独一无二平凡可贵的自己。 4、努力本就是年轻人应有的状态，是件充实且美好的事，可一旦有了表演的成分，就会显得廉价，努力，不该是为了朋友圈多获得几个赞，不该是每次长篇赘述后的自我感动，它是一件平凡而自然而然的事，最佳的努力不过是：但行好事，莫问前程。愿努力，成就更好的你！ 5、付出努力却没能实现的梦想，爱了很久却没能在一起的人，活得用力却平淡寂寞的青春，遗憾是每一次小的挫折，它磨去最初柔软的心智、让我们懂得累积时间的力量；那些孤独沉寂的时光，让我们学会守候内心的平和与坚定。那些脆弱的不完美，都会在努力和坚持下，改变模样。 6、人生中总会有一段艰难的路，需要自己独自走完，没人帮助，没人陪伴，不必畏惧，昂头走过去就是了，经历所有的挫折与磨难，你会发现，自己远比想象中要强大得多。多走弯路，才会找到捷径，经历也是人生，修炼一颗强大的内心，做更好的自己！ 7、“一定要成功”这种内在的推动力是我们生命中最神奇最有趣的东西。一个人要做成大事，绝不能缺少这种力量，因为这种力量能够驱动人不停地提高自己的能力。一个人只有先在心里肯定自己，相信自己，才能成就自己！ 8、人生的旅途中，最清晰的脚印，往往印在最泥泞的路上，所以，别畏惧暂时的困顿，即使无人鼓掌，也要全情投入，优雅坚持。真正改变命运的，并不是等来的机遇，而是我们的态度。 9、这世上没有所谓的天才，也没有不劳而获的回报，你所看到的每个光鲜人物，其背后都付出了令人震惊的努力。请相信，你的潜力还远远没有爆发出来，不要给自己的人生设限，你自以为的极限，只是别人的起点。写给渴望突破瓶颈、实现快速跨越的你。 10、生活中，有人给予帮助，那是幸运，没人给予帮助，那是命运。我们要学会在幸运青睐自己的时候学会感恩，在命运磨练自己的时候学会坚韧。这既是对自己的尊重，也是对自己的负责。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠， 其实都是祝愿。
《完全平方公式》整式的乘法与因式分解PPT课件
-
n2
.
答案：
（1）1 x2 - 2xy + 4y2； 4
（2）4x2 y2 4 x2 y + 1 x2；
5
25
（3）2n + 1.
例例12 运用完全平方公式计算： （1）1022； （2）1972 .
分析：把1022和1972改写成(a b)2 还是(a - b)2？
a、b怎样确定？
解：（1）102 2
（2）2032 = ____(_2_0_0_+_3_)2_______ = _2_0_0_2+_2_×__2_0_0_×__3_+__3_2
= ______4_1__2_0_9______.
设置情境，探究新知
利用完全平方公式计算： （1）（a - b + 3）（a - b - 3）
= _[_(a_-_b_)_+_3_][_(_a_-b_)_-_3_]__ = ____(_a_-b_)_2_- _3_2______ = __a_2_-_2_a_b_+_b_2-__9_____；
（1）第一天有a个男孩一起去了老人家，老人一共 给了这些孩子多少块糖？
（2）第二天有b个女孩一起去了老人家，老人一共 给了这些孩子多少块糖？
（3）第三天有(a+b)个孩子一起去了老人家，老人一 共给了这些孩子多少块糖？
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得 到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
（2）(4x + 5y)2 = (4x)2 2 4x 5y (5y)2 = 16x2 40xy 25y2；
（3）(mn - a)2
= (mn)2 - 2 mn a a2
= m2n2 - 2amn a2 .
人教版八年级上册数学《完全平方公式》整式的乘法与因式分解PPT课件(第1课时)
(2) (m+2)2=(_m__+_2_)(_m__+_2_)_=_m_2_+__4_m_+_4_；m2+2×2m+2
2 (3) (p-1)2=__(_p_-1_)_(_p_-1_)_=__p_2_-_2_p_+_1_； P2-2p+12
(4) (m-2)2=_(m__-2_)_(_m_-_2_)_=__m_2_-_4_m_+_4_； m2-2×2m+22
m2-n2=(m+n)2-4mn=82-4×6=40. 解决此类题目应先利用乘法公式将待求值的式
子进行恒等变形，然后将已知整体代入求值.
八年级上册 RJ
完全平方公式
第2课时
初中数学
知识回顾
平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 完全平方公式：
随堂练习
1.（2020·陕西）4x2-4xy+y2 B. 4x2-2xy+y2 C. 4x2-y2 D. 4x2+y2
(2x)2 2·2x·y+y2
4x2 4xy+y2
2.计算下列式子： (1) (-2m-n)2 ； 解：(1) (-2m-n)2
=(2m+n)2
新知探究 跟踪训练
例1 运用乘法公式计算：
(1) (x+2y-3)(x-2y+3)；
(2) (a+b+c)2 .
解：(1) (x+2y-3)(x-2y+3)
=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
=x2-(2y-3)2
有些整式相乘需要先作适
《完全平方公式》整式的运算 最新小学精品公开课件
(
ImNaogex2y
+
No Image
)2
=
No Image
x4y2
+
No Image
x2y
+
No Image
No Image
(1) (6a+5b)2 =36a2+60ab+25b2 口
(2) (4x-3y)2 =16x2-24xy+9y2
(3) (2m-1)2 =4m2-4m+1 (4) (-2m-1)2 =4m2+4m+1
(a±b)2 =a2±2ab+b2
教学设计
1、教材分析 2、教材处理 3、教学方法 4、教学手段 5、教学过程
教学设计
1、教材分析
（1）教材的地位及作用：
完全平方公式是整式乘法运算的知识升华，也是乘法
公式的重要组成部分，所以完全平方公式处于代数学的基 础地位。同时它又是以后学好因式分解、一元二次方程、 函数等知识的基础，所以本节课具有承上启下的作用。本 节课内容是在学生了解什么是整式乘法运算的基础上，总 结出公式并用其解决实际问题。使学生通过学习认识到完 全平方公式的便捷，了解到完全平方公式是更有力的数学 工具，打破了运算的繁琐性，进而完全平方公式的应用又 具有突破性的作用。
（2） (x+6)2=x2+2 • x • 6 +62 =x2 +12x+36
复习提问：
多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以另一个
多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b) (m+n)
= am+an + bm+bn
观察下面的完全平方公式
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a
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列
问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有
问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?
设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
和的完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 .
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间”
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释.（重点）
2.灵活应用完全平方公式进行计算.（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =16m2 +8mn +n2；
(2)
y
1 2
2
解： y
1 2
2 =
y2
-2•y•
1 2
1
2
+ 2
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2 =y2 -y + 1 .
4
针对训练
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (3)(－3a＋b)2.
拓展训练
1.已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=_5_2___
2.如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果， 则k=_8_或__-_8_
3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为__1____
二 添括号法则 去括号 a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b – c. 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a + b + c = a + ( b + c) ; a–b–c = a–(b+c).
(2)(－3m－4n)2；
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2
(2) 992. 992 = (100 –1)2
(x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
＝36－16＝20； (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16＝4.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2 －4xy.
= x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
(2)原式 = [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需 要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相 反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个 整体，再按照完全平方公式进行计算.
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
典例精析
例1 运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2；
解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n+n2
什么关系？ 3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a,
b有什么关系？它的符号与什么有关？
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
直接求：总面积=（a+b)(a+b) b
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
a
（a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
讲授新课
一 完全平方公式
合作探究
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= p2+2p+1 .
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 . （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= p2-2p+1 . （4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= m2-4m+4 . 问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
=10000+400+4
=10000 -200+1
=10404.
=9801.
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟 记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全 平方公式的形式．
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. 解：(1)∵x－y＝6，x括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号（简记为“负变正不变”）.
典例精析
例5 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
(2) (a+b+c)2.
解: (原1)式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列
问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有
问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?
设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
和的完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 .
知识要点 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间”
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释.（重点）
2.灵活应用完全平方公式进行计算.（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =16m2 +8mn +n2；
(2)
y
1 2
2
解： y
1 2
2 =
y2
-2•y•
1 2
1
2
+ 2
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2 =y2 -y + 1 .
4
针对训练
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (3)(－3a＋b)2.
拓展训练
1.已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=_5_2___
2.如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果， 则k=_8_或__-_8_
3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为__1____
二 添括号法则 去括号 a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b – c. 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a + b + c = a + ( b + c) ; a–b–c = a–(b+c).
(2)(－3m－4n)2；
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2
(2) 992. 992 = (100 –1)2
(x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
＝36－16＝20； (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16＝4.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2 －4xy.
= x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
(2)原式 = [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需 要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相 反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个 整体，再按照完全平方公式进行计算.
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
典例精析
例1 运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2；
解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n+n2
什么关系？ 3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a,
b有什么关系？它的符号与什么有关？
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
直接求：总面积=（a+b)(a+b) b
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
a
（a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
讲授新课
一 完全平方公式
合作探究
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= p2+2p+1 .
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 . （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= p2-2p+1 . （4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= m2-4m+4 . 问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
=10000+400+4
=10000 -200+1
=10404.
=9801.
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟 记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全 平方公式的形式．
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. 解：(1)∵x－y＝6，x括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号（简记为“负变正不变”）.
典例精析
例5 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
(2) (a+b+c)2.
解: (原1)式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]