抛物线型实际应用题(PDF版 含解析)
二次函数的应用(2)——抛物线型问题
∴水面宽度将增加 2 6 4米.
8．如图，隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，OM 为 12 米．
(1)求这条抛物线的解析式； (2)若在隧道 C，D 处装两个路灯，且路灯的高度为 4 米，求 C， D 之间的距离．
解：（1）由题意，得 M 12,0，P6,6
设抛物线的解析式为 y a x 62 6
设抛物线的解析式为 y a x 2 x 2
∵过点C(0,2)
∴2=a0 20 2
，a 1
2Байду номын сангаас
∴抛物线的解析式为y 1 x 2 x 2 ,即 y 1 x2 2
2
2
（2）由题意，得 1= 1 x2 2
2
解得 x1 6，x2 6
(1)求这条抛物线的函数关系式； (2)水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落在池 外？
（1）顶点 A1, 4
设抛物线的函数关系式为 y a x 12 4
∵过(0,3) ∴ 3=a 0 12 4 ∴ a 1
∴抛物线的函数关系式为 y x 12 4
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第二章 二次函数
第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
一、知识储备
1．求抛物线 y＝x2－8x 与 x 轴的交点坐标． 解：令 y 0 ，得 0=x2 8x 解得 x1 0，x2 8
∴该抛物线与x轴的交点坐标为0，0，8，0
2．抛物线的顶点为(6,3)且过点(0,0)，求它的解析式．
(2)当 x＝9 y＝－112(9－6)2＋3＝2.25＜2.5 ∴射中球门
5．(例 2)如图，铅球在 A 点被推出，出手时球离地面 1 米， 铅球飞行轨迹是抛物线，当铅球飞行的水平距离为 4 米时达到最高 点 B，最高点离地面 3 米．
初三抛物线试题大全及解析
初三抛物线试题大全及解析一、抛物线的基本概念抛物线是一种重要的几何图形，它在中考数学试题中占有重要地位。
抛物线通常由一条直线和一个二次曲线组成，它可以用来描述一些常见的数学问题，如二次函数、几何问题等。
二、抛物线试题类型1. 已知抛物线解析式求未知量2. 抛物线的性质与应用3. 抛物线的形状与开口方向、对称轴、顶点坐标的关系4. 抛物线与方程的综合题5. 与抛物线有关的实际问题三、抛物线试题解析【例1】（基础题）已知抛物线解析式为y=x²-2x-3，请回答下列问题：（1）求该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？【解析】（1）因为a=1>0，所以抛物线开口向上。
对称轴为直线x=-b/2a=-(-2)/2=1，顶点坐标为（1，-4）。
（2）因为对称轴为直线x=1，且开口向上，所以当x>1时，y随x的增大而增大。
【例2】（提高题）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A（1，0），B（0，-6），C（2，-4）三点，求这个二次函数的解析式。
【解析】由题意可设y=ax²+bx-6，把C（2，-4）代入得4a+2b-6=-4，即b-a=1。
再由点A（1，0）在抛物线上可求c值，即可得到二次函数的解析式。
【答案】解：由题意可设y=ax²+bx-6。
把C（2，-4）代入得4a+2b-6=-4，即b-a=1。
又因为图像经过A（1，0），B（0，-6），所以y=x²+x-6。
【例3】（压轴题）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A（0，5），B（1，3），C（-2，7）三点。
求这个二次函数的解析式和图像的对称轴。
【解析】这道题需要用到待定系数法。
首先根据条件确定系数可能取到的值，再代入求出解析式。
然后根据对称性求出对称轴。
【答案】设这个二次函数的解析式为y=a(x-h)²+k，将A（0，5），B（1，3），C（-2，7）三点代入得{c=5a+b+c=39a−2a+k=7解得{a=2k=5∴y=2(x−1)2+3图像的对称轴为直线x=1。
一座抛物线型拱桥如图所示
一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，供高是2m，当水面降低1m后，水面宽度是多少？（结果精确到0.1m）
有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．
（2）如图，在对称轴右边1m处，桥洞离桥面的高是多少？
考点：二次函数的应用．
专题：应用题．
分析：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标，设函数关系式为y=a（x-5）2+4，将已知坐标代入关系式求出a的值．
（2）对称轴右边1米处即x=6，代入解析式求出y=值．
解答：解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（5，4），
所以设此桥洞所对应的二次函数关系式为y=a（x-5）2+4，
由图象知该函数过原点，将O（0，0）代入上式，得：0=a（0-5）2+4，
解得a=-4/25,
故该二次函数解析式为y=-4/25（x-5）2+4，
（2）对称轴右边1米处即x=6，此时y=-4/25（6-5）2+4=3.84
因此桥洞离桥面的高5.6-3.84=1.76米．
点评：本题考查的是二次函数的实际应用．考查了现实中的二次函数问题，赋予传统试题新的活力．
（2005•绵阳）有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．
考点：二次函数的应用．。
微专题6 抛物线型实际应用设计问题(含实践活动)+课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
若顶点一侧挂3盏灯笼,则1.6×3<6,
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼.
∵挂满灯笼后成轴对称分布,
∴共可挂7盏灯笼.
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-4.8.
21
方案二:如图6,从对称轴两侧开始悬挂灯笼,正中间两盏与对称轴的距离均为
0.8 m,
∵若顶点一侧挂5盏灯笼,则0.8+1.6×(5-1)>6,
线.球从点A处被抛出,恰好越过横线,测得投掷距离OC=8 m.
13
问题解决
任务1
计算投掷距离
建立合适的直角坐标系,求素材1中的投掷距离OB.
任务2
探求高度变化
求素材2和素材1中球的最大高度的变化量.
任务3
提出训练建议
为了把球掷得更远,请给小林提出一条合理的训练建议.
14
【解析】任务1:建立如图所示的直角坐标系,
整理得w=(-16x+1 120)+(-32x+2 240)+(-2x2+120x),
∴w=-2x2+72x+3 360(x≥10).
27
任务3:由任务2得w=-2x2+72x+3 360=-2(x-18)2+4 008,
∴当x=18时,获得最大利润,
y=- ×18+ = ,∴x≠18,
−
∴y=-0.15x2+x+1.6,∴顶点纵坐标为
=
= ,
×(−.)
-1.8= (m),∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为
(2021年整理)抛物线练习题(含答案)
(完整版)抛物线练习题(含答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)抛物线练习题(含答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为 <(完整版)抛物线练习题(含答案)〉这篇文档的全部内容.抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内,到点（1,1)和直线x＋2y＝3距离相等的点的轨迹是( ）A．直线B．抛物线 C．圆 D．双曲线2．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为( ）A。
错误! B。
错误! C。
错误! D.错误!3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（）A.错误! B．－错误! C．8 D．－84．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A．4 B．6 C．8 D．125．设过抛物线的焦点F的弦为AB，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（）A．相交B．相切 C．相离D．以上答案都有可能6．过点F(0，3）且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为（)A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝12y D．x2＝－12y7．抛物线y2＝8x上一点P到x轴距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为( ) A．20 B．8 C．22 D．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A．2错误! B.错误! C。
中考压轴题专项训练1——抛物线专题(带答案解析)
中考压轴题专项训练1——抛物线专题考点分析：命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决复杂的图形综合问题。
二次函数常考点汇总：1. 两点间的距离公式：22)()(AB B A B A x x y y -+-=2. 中点坐标公式：已知A ),(A A y x ，B ),(B B y x ，则线段AB 的中点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,2B A B A y y x x 。
3. 在平面直角坐标系中求面积的方法：公式法、割补法（做铅垂高或水平宽） 4. 几何分析法：特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。
例题精讲：1.如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．3.已知，在平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（0，2），点P （m ，n ）是抛物线2114y x =+上的一个动点．（1）①如图1，过动点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，连接PA ，求证：PA=PB ； ②如图2，设C 的坐标为（2，5），连接PC ，AP+PC 是否存在最小值？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（2）如图3，过动点P 和原点O 作直线交抛物线于另一点D ，若AP=2AD ，求直线OP 的解析式．4.【变式】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21124y x =+的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线21124y x =+和直线2y x =于点A ，点B.（1）直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；(3) 已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤2124x +，求a ，b ，c 的值.5．如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ． （1）∠ABC 的度数为 °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．6.（本题满分10分）如图，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，C OB =O ．点D 在函数图像上，CD//x 轴，且CD 2=，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b 、c 的值；（2）如图①，连接BE ，线段C O 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标； （3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与C B 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得Q ∆P N 与∆APM 的面积相等，且线段Q N 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．7．（8分）如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．答案解析1.【解答】解：（1）∵y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0＝﹣2+c，解得c＝2，∴B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝2.5，∴M（2.5，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝3（三点重合，舍去）或m＝；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝3（舍去）或m＝﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝3（舍去）或m＝﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．2．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵s△ABC＝6∴解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）（2）设直线AC：y＝kx+b，由A（﹣3，0），C（0，3），可得﹣3k+b＝0，且b＝3∴k＝1即直线AC：y＝x+3，A、C的中点D坐标为（﹣，）∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，线段AB的垂直平分线为x＝﹣1代入y＝﹣x，解得：y＝1∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）（3）作PM⊥x轴，则＝∵∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB设直线PB解析式为：y＝x+b∵直线经过点B（1，0）所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1联立解得：∴点P坐标为（﹣4，﹣5）又∵∠P AQ＝∠AQB可得：△PBQ≌△ABP（AAS）∴PQ＝AB＝4设Q（m，m+3）由PQ＝4得：解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠P AQ≠∠AQB，故应舍去）∴Q坐标为（﹣4，﹣1）3.【解答】解：（1）①设P（m，n）∴n=m2+1，∵PB⊥x 轴，∴PB=m2+1，∵A（0，2）∴AP==m2+1，∴PB=PA；②过点P作PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时取得，此时点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，所以点P的坐标为（2，2），（2）如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，由（1）得：DA=DE，PA=PF∵PA=2DA，∴PF=2DE，∵△ODE∽△OPF，∴==，设P（m，m2+1），则D（m，m2+）∵点D在抛物线y=x2+1上，∴m2+=（m）2+1，解得m=±2，∴P 1（，3），直线OP 的解析式为y=x ， P 2（﹣，3）直线OP 的解析式为y=﹣x ， 综上所求，所求直线OP 的解析式为y=x 或y=﹣x ．4.【解答】解：(1)21(2)4A n n +，，()B n n ，. (2) d =AB=A B y y -=2124n n -+.∴ d =2112()48n -+=2112()48n -+.∴ 当14n =时，d 取得最小值18. 当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB=PM. (如图)(3) ∵对一切实数x 恒有 x ≤y ≤2124x +， ∴对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤2124x +都成立. (0a ≠) ①当0x =时，①式化为 0≤c ≤14.xy111APBMO∴整数c 的值为0.此时，对一切实数x ，x ≤2ax bx +≤2124x +都成立.(0a ≠) 即 222,12.4x ax bx ax bx x ⎧≤+⎪⎨+≤+⎪⎩ 对一切实数x 均成立. 由②得 ()21ax b x +-≥0 (0a ≠) 对一切实数x 均成立.∴()210,10.a b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩ 由⑤得整数b 的值为1.此时由③式得，2ax x +≤2124x +对一切实数x 均成立. (0a ≠) 即21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立. (0a ≠) 当a=2时，此不等式化为14x -+≥0，不满足对一切实数x 均成立.当a≠2时，∵ 21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立，(0a ≠)∴2220,1(1)4(2)0.4a a ->⎧⎪⎨∆=--⨯-⨯≤⎪⎩∴由④，⑥，⑦得 0 <a ≤1.∴整数a 的值为1.∴整数a ，b ，c 的值分别为1a =，1b =，0c =.5．【解答】解：（1）45．理由如下：令x =0，则y =-m ，C 点坐标为（0，-m ）．令y =0，则()210x m x m +--=，解得11x =-，2x m =． ∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴B 点坐标为（m ，0）．∴OB =OC =m ．∵∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°． （2）如图①，作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，由题意得，抛物线的对称轴为12mx -+=． 设点P 坐标为（12m-+，n ）． ∵P A = PC ， ∴P A 2= PC 2，即AE 2+ PE 2=CD 2+ PD 2．∴()222211122m m n n m -+-⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得12m n -=．∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭． ④⑤② ③ ⑥ ⑦图①图②（3）存在点Q 满足题意．∵P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭， ∴P A 2+ PC 2=AE 2+ PE 2+CD 2+ PD 2=222221111112222m m m m m m -+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵AC 2=21m +，∴P A 2+ PC 2=AC 2．∴∠APC ＝90°． ∴△P AC 是等腰直角三角形．∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似， ∴△QBC 是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点Q 的坐标为（-m ，0）或（0，m ）． ①如图①，当Q 点的坐标为（-m ，0）时，若PQ 与x 轴垂直，则12m m -+=-，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与x 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（25-，0）时， PQ 的长度最小．②如图②，当Q 点的坐标为（0，m ）时，若PQ 与y 轴垂直，则12m m -=，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与y 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（0，25）时， PQ 的长度最小．综上：当Q 点坐标为（25-，0）或（0，25）时，PQ 的长度最小．6. 【解答】解：（1）.3)(03,20.0,c -),,0(,.2,12.1x 2CD x //2-=∴=-=++=∴∴=-==-∴=∴=c c c c c c B c C OC OB b bl CD ，舍去或解得）点坐标为（：抛物线对称轴为直线，轴，（2）设点F 坐标为（0，m ）.∵对称轴是直线,1:=x l ∴点F 关于直线l 的对称点’F 的坐标为（2，m ）. ∵直线BE 经过点B （3,0），E （1，-4），∴利用待定系数法可得直线BE 的表达式为y=2x-6. ∵点’F 在BE 上，∴m=2⨯2-6=-2,即点F 的坐标为（0，-2）. （3）存在点Q 满足题意。
高中数学抛物线经典例题(含解析)
抛物线大题一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．【分析】（1）由题意，结合所给信息列出等式，求出p的值，进而可得抛物线C的方程；（2）（i）结合（1）中所得信息得到点P的坐标，设出A，B两点的坐标，利用斜率公式得到4（y1+y2）+y1y2+20＝0，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进而即可求解；（ii）设出A，B两点的坐标，分别讨论直线AB的斜率是否存在，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值，当直线AB的斜率不存在时，结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值，两者比较即可求解．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，可得抛物线C的方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l和抛物线C的方程，消元写出韦达定理，将OP⊥OQ用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得m的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．【分析】（1）由题意，先设出抛物线C的方程，将点P的坐标代入抛物线方程中，求出p的值，进而可得抛物线C的标准方程；（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，进而即可求解．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息建立有关p的等式，进而即可求解；（2）设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．【分析】（1）由题意，先求出的右焦点，根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合，可得，进而求出抛物线方程；（2）结合（1）中所得信息得到直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．【分析】（1）由题意，得到点A的坐标，代入抛物线方程中进行求解即可；（2）先得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用|PF|＝5，根据抛物线的定义，求出p的值，即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（s，0），直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理，根据k AM＝﹣k MB，求出s的值，即可得解．。
抛物线运动练习题(含答案)
抛物线运动练习题(含答案)抛物线运动练题 (含答案)问题一一颗子弹以水平速度100 m/s 射向离地面20m的点，以重力加速度10 m/s²作用下，子弹射出后多久击中地面？答案：使用抛物线运动的公式，可以计算出子弹击中地面所需的时间。
抛物线运动公式为：h = v₀t + 1/2gt²其中，v₀表示初始速度，g表示重力加速度，h表示高度，t表示时间。
代入已知数据：h = 20mv₀ = 100 m/sg = 10 m/s²将公式稍作变形，得到：t² + 20t - 40 = 0解这个二次方程，可求得：t ≈ -23.3 秒或t ≈ 1.7 秒因为时间不能为负数，所以子弹射出约1.7秒后击中地面。
问题二一个人从离地面15m的点以速度20 m/s斜抛一个物体，物体飞行的距离是多少？答案：根据抛物线运动的公式，可以计算出物体的飞行距离。
抛物线运动公式为：d = v₀x t其中，v₀x表示初始水平速度，t表示时间，d表示距离。
我们需要找到物体运动的总时间，然后将其代入公式中计算距离。
首先，我们可以使用重力加速度的公式计算物体运动所需的时间 t₀：h = v₀yt₀ + 1/2gt₀²将公式代入已知数据：h = 15 mv₀y = 20 m/sg = 10 m/s²可得到：15 = 20t₀ + 1/2 * 10 * t₀²将这个方程稍作整理，得到二次方程：5t₀² + 20t₀ - 30 = 0解这个二次方程，可求得：t₀ ≈ -1.85 秒或 t₀ ≈ 0.85 秒因为时间不能为负数，所以物体运动约0.85秒后落地。
然后，我们将求得的 t₀代入公式：d = v₀x * t₀代入已知数据：v₀x = 20 m/st₀ ≈ 0.85 s计算得到物体的飞行距离d ≈ 17 m。
问题三一颗炮弹以45°角发射，速度为400 m/s。
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专题三 抛物线型实际应用题
1.如图1所示的赵州桥的桥拱是近似的抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其函数的表达式为y=-125x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是2m 时，这时水面宽度AB 为（ D ）
A ．﹣10m
B ．﹣5m
C ．5m
D ．10m
2.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB=4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH=2cm ，BD=2cm ，则右轮廓DFE 所在抛物线的函数表达式为（ B ）
A ．y=（x +3）2
B ．y=（x ﹣3）2
C ．y=﹣（x +3）2
D ．y=﹣（x ﹣3）
2 3.在某次羽毛球比赛中，某羽毛球的运动路线可以看做是抛物线y=-x 2+x+1的一部分（如图所示，单位:m ），则下列说法中，不正确的
是（ B ）
A.出球点A 离地面点O 的距离是1m
B.该羽毛球横向飞出的最远距离是3m
C.此次羽毛球最高可达到m
D.当羽毛球横向飞出m 时，可达到最高点
4.如图所示，某拱形门建筑的形状是抛物线.如果取拱形门地面上两点的连线为x
轴，它的形状可以近似地用函数y=-297
（x-97）2+194的图象来表示（单位:m ）.那么拱形门的地面宽度大约是 194 m.
【解析】令y=0，即-97
2（x-97）2+194=0， 解得x 1=0，x 2=194.
∴拱形门的地面宽度为|194-0|=194（m ）.
5.西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3m ，此时距喷水管的水
平距离为12m ，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉的函数表达式
为 y=-（12x-122+3 .
6.密苏里州圣路易斯拱门（如图1所示）是座雄伟壮观的抛物线型建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑.如图2所示，拱门的地面宽度为200m ，两侧距地面高150m 处各有
一个观光窗，两窗的水平距离为100m ，求拱门的最大高度.
【解析】如答图所示建立平面直角坐标系.
此时，抛物线与x 轴的交点为C （-100，0），D （100，0）.
设这条抛物线的函数表达式为y=a （x-100）（x+100）.
∵抛物线经过点B （50，150），
∴150=a （50-100）（50+100），解得
. ∴=-50
1x 2+200.
∴拱门的最大高度为200m.
7.如图所示，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线.当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m.已知球门的横梁高为2.44m.
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，此飞行足球能否射进球门？（不计其他情况）
（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多少米才能阻止球员甲的射门？
【解析】（1）∵抛物线的顶点坐标是（4，3），
∴可设抛物线的函数表达式为y=a（x-4）2+3.
把（10，0）代入，得36a+3=0，解得a=-.
∴抛物线的函数表达式为y=-（x-4）2+3.
当x=0时，y=-×16+3=3-=＜2.44，
∴能射进球门.
（2）当x=2时，y=-×（2-4）2+3=83＞2.52，
∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门.
当y=2.52时，-（x-4）2+3=2.52，
解得x1=1.6，x2=6.4（舍去）.2-1.6=0.4（m），
∴他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门.
8.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管高OP=
3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ D ）
A.1m
B.1.5m
C.2m
D.3m
【解析】如答图所示建立平面直角坐标系.
右边抛物线的顶点坐标是（1，4），
设抛物线的函数表达式为y=a（x-1）2+4.
把（0，3）代入，得a+4=3，解得a=-1.
∴抛物线的函数表达式为y=-（x-1）2+4.
令y=-（x-1）2+4=0，
解得x1=3，x2=-1（舍去）.
∴水池的最小半径是3m.故选D.
9.音乐喷泉（如图1所示）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉喷水形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y=kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（如图2所示），这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx.
（1）若k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时a,b的值.
（2）若k=1，喷出的水恰好到达岸边，则此时喷出的抛物线水线最大
高度是多少米？
（3）若k=2，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求a的取值范围.
【解析】（1）∵y=ax2+bx的顶点为（-，-），抛物线的顶点在直
线y=kx上，k=1，抛物线水线最大高度达3m，
∴﹣=，=3，解得a=-，b=2.
（2）∵k=1，喷出的水恰好到达岸边，出水口离岸边18m，抛物线的顶点在直线y=kx上，
∴此时抛物线的对称轴为直线x=9，y=x=9.
∴此时喷出的抛物线水线最大高度是9m.
（3）∵y=ax2+bx的顶点为（-，-），抛物线的顶点在直线y=2x上，
∴﹣×2=﹣，解得b=4.
∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边18m，
∴﹣×2=﹣，解得b=4.
10.我们常见的炒菜锅和锅盖（如图1所示）都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系，如图2所示.如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2.
（1）求C1和C2的函数表达式.
（2）如果炒菜锅里的水位高度是1dm，求此时水面的直径.
（3）如果将一个底面直径为3dm、高度为3dm的圆柱形器皿放
入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由.
【解析】（1）由于抛物线C1,C2都过点A（-3，0）,B（3，0），
∴可设它们的函数表达式分别为y=a1（x-3）（x+3）和y= a2(x-3)(x+3) .
∵抛物线C1还经过D（0，-3），
∴-3=a1（0-3）（0+3），解得a1=
∴抛物线C1:y=x2-3（-3≤x≤3）.
∵抛物线C2还经过C（0，1），
∴1=a2（0-3）（0+3），解得a2=-.
∴抛物线C2:y=-x2+1（-3≤x≤3）.
（2）当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y=-2，即x2-3=-2，解得x=±..
∴此时水面的直径为2dm.
（3）锅盖能正常盖上，理由如下:
当x=时，抛物线C1：y=×（）2﹣3=﹣，
抛物线C2：y=﹣×（）2+1=，而﹣（﹣）=3，
∴锅盖能正常盖上．。