高中数学专题：抛物线

抛物线专题复习一、抛物线的知识点：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式()022>=p pxyxyOFl()0,0x 轴 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -= 1=e 02x pPF +=)(21x x p AB ++=()022>-=p pxyxyO F l()0,0x 轴 ⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p2p x = 1=e 02x p PF -=)(21x x p AB +-=()022>=p pyx()0,0y轴⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2p y -= 1=e 02y pPF +=)(21y y p AB ++=()022>-=p pyx()0,0y轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2p y = 1=e 02y pPF -=)(21y y p AB +-=通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：d 2=AB 为抛物线px y 22=的焦点弦，则=B A x x 42p ，=B A y y 2p -，||AB =p x x B A ++考点1 抛物线的定义[例1 ]已知点P 在抛物线x y 42=上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-； (2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质[例3 ]设B A ,为抛物线px y 22=上的点,且O AOB (2π=∠为原点),则直线AB 必过的定点坐标为_______[例4 ]设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=⋅→→FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．二．基本题型1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果621=+x x ，那么||AB =( )（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）42．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ）A ．321x x x =+B ． 321y y y =+C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+3．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 4．过抛物线()02>=a axy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，则=+||1||1QF PF （ ） （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a 4 5．已知抛物线C ：24y x =的焦点为,F 准线为,l 过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3：1，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A （ ） A.45 B.60 C.90 D.1207．两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为（ ） A ．1(0,)4- B ．1(0,)4C ．1(,0)2- D ．1(,0)4-8．抛物线,42F x y 的焦点为=准线为l l ,与x 轴相交于点,E 过F 且倾斜角等于3π的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点,,l AB A ⊥垂足为,B 则四边形ABEF 的面积等于（ ）A ．33B ．34C ．36D ．389．已知抛物线C ：212x y =,过点(0,4)A -和点(,0)B t 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B. 2(,)(,)22-∞-+∞ C ．(,(22,)-∞-+∞ D ．(,(2,)-∞-+∞ 10．如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）．A ．5B ．6C ． 7D ．911．设O 是坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 ．12．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a =13．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合,则p 的值 14．(文)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|FA |＝3，则抛物线的方程是________．15．抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点M ,为准线与y 轴的交点A ,为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程．16．在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标．17．设抛物线22y px =(0p >)的焦点为,F 经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点．点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．18．已知直线b x y +=与抛物线px y 22=()0>p 相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程．19．椭圆12222=+b y a x 上有一点)59,4(-在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；（2）若点N 在抛物线上，过N 作准线l 的垂线，垂足为Q 距离，求||||NQ MN +的最小值.20．椭圆C 1：2221(04x y b+=＜b ＜2)的离心率e =3,2抛物线C 2：22(x py p =＞0)的焦点在椭圆C 1的顶点上． (1)求抛物线C 2的方程；(2)若过(1,0)M -的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．21．已知抛物线C ：24y x =的焦点为,F 过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：，点F 在直线BD 上；(2)设8.9FA FB →→⋅=求BDK ∆的内切圆M 的方程．20．(文)[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝ca＝4－b 22＝32得，b 2＝1. ∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(理)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y 得：x 2－4kx －4k ＝0， 由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.21．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)(1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y 2＝4x 并整理得y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4① 直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)，即y －y 2＝4y 2－y 1⎝⎛⎭⎫x －y 224 令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，所以点F (1,0)在直线BD 上．(2)由(1)知，x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1因为F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2， 故8－4m 2＝89，解得m ＝±43，直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0. 从而y 2－y 1＝±(4m )2－4×4＝±437，故4y 2－y 1＝±37因而直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0,3x －7y －3＝0.因为KF 为∠BKD 的角平分线，故可设圆心M (t,0)，(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23， 所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －192＋y 2＝49. 例4（I ）设切点2004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由2xy '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为2000()42x x y x x -=-．即20424x x y x =-．因为点(0)P -4，在切线上．所以2044x -=-，216x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．点A C ，的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，得2440x kx --=，由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，24(1)AC k ===+．因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为11y x k=-+． 同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2222218(1)18(2)322ABCD k S AC BD k k k +===++≥． 当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．。