高中数学抛物线解题方法总结归纳

圆锥曲线抛物线

知识点归纳

1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线

的准线．

2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：2

p OF OK ==。 3抛物线标准方程的四种形式：

，，px y px y 2222-==。，py x py x 2222-==

特点：焦点在一次项的轴上，开口与“±2p ”方向同向 4抛物线px y 22=的图像和性质：

①焦点坐标是：⎪⎭⎫

⎝⎛02，

p ，②准线方程是：2p x -=。 ③焦半径公式： （称为焦半径）是：02

p

PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222

p p

PQ x x x x p =+

++=++ ⑤抛物线px y 22

=上的动点可设为P ),2(2

y p y

或2(2,2)P pt pt

5一般情况归纳：

题型讲解 （1）过点（－3，2）的抛物线方程为 ；y 2=－3

4x 或x 2=2

9

y ， （2）焦点在直线x －2y －4=0y 2=16x 或x 2=－8y ，

（3）抛物线 的焦点坐标为 ；

（4）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点 到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ；

或

或

.

（5）已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当

MF MA +最小时,M 点坐标是 )4,2(

例2．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A B 、两点,求线段AB 的长． 解：法一 通法

法二 设直线方程为1y x =-， 1122(,)(,)A x y B x y 、，

则由抛物线定义得1212||||||||||22p p

AB AF FB AC BD x x x x p =+=+=+++=++，

又1122(,)(,)A x y B x y 、是抛物线与直线的交点，由24,

1,

y x y x ⎧=⎨=-⎩得2610x x -+=，

则126x x +=，所以||8AB =．

例3．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 证明：（法一）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2

p

x =-．设以过焦点F 的弦AB 为直径的圆的圆心M ，A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ，

则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+=，

又111||||2||AA BB MM +=，

∴11

||||2

MM AB =，即1||MM 为以AB 为直径的圆

的半径，且准线1l MM ⊥， ∴命题成立．

（法二）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2

p

F ，

准线2

p

x =-．过点F 的抛物线的弦的两个端点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的

中点00(,)M x y ，则1212||22

p p

AB x x x x p =+++=++，

∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径1211

||()22

r AB x x p ==++．

M 1M

点M 到准线2p x =-

的距离120121

()2222

p x x p d x x x p +=+=+=++，∴圆M 与准线相切．

例4．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 22(0)y px p =>上，求这个正三角形的边长． 解：设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，

且设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2

112y px =，

2

222y px =，又||||OA OB =，所以2

2

2

2

1122x y x y +=+，

即22

1

212()2()0x x p x x -+-=， 1212()(2)0x x x x p -++=．

∵10x >，20x >，20p >，∴12x x =．

由此可得12||||y y =，即线段AB 关于x 轴对称． 因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=，所以

113

tan 303

y x ==

． ∵2

112y

x p

=，∴123y p =，∴1||243AB y p ==．

例5 A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；

(2)直线AB 经过一个定点

解：(1)设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), 则y 12=2px 1, y 22=2px 2, ∴y 12y 22=4p 2x 1x 2,

∵OA ⊥OB, ∴x 1x 2+y 1y 2=0,

由此即可解得：x 1x 2=4p 2, y 1y 2=─4p 2 (定值)

(2)直线AB 的斜率k=

1212x x y y --=p

y p y y y 22212212--=2

12y y p

+, ∴直线AB 的方程为y─y 1=2

12y y p

+(x─p y 221),

即y(y 1+y 2)─y 1y 2=2px, 由(1)可得 y=

2

12y y p

+(x─2p),

直线AB 过定点C(2p,0)

例6．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求点M 到y 轴的最小距离．

解：抛物线焦点1(,0)4F ，准线l ：1

4

x =-，

设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是

M

1M

A