初一下数学证明经典例题及答案

如图，已知D是△ABC内一点，试说明AB+AC＞BD+CD 证明：延长BD交AC于E

在△ABC中，AB+AE＞BE,即AB+AE＞BD+DE……①

在△DEC中,DE+EC＞DC……②

①+②，得（AB+AE）+（DE+EC）＞（BD+DE）+CD 即AB+（AE+EC）+DE＞（BD+DE）+CD

即AB+AC+DE＞BD+DE+CD

∴AB+AC＞BD+CD

如图，△ABC中，D是BC的中点，求证：

（1）AB+AC＞2AD

（2）若AB=5,AC=3，求AD的范围。

(1)延长AD到点G,使DG=AD.连接BG

在△CDA和△BDE中

AD=GD,∠ADC=∠GDB

∵D是BC的中点

∴CD=BD

∴△CDA≌△BDG.

∴BG=AC

在△ABG中,AB+BG=AB+BC

AG=2AD

因为三角形两边和大于第三边,所以AB+BE＞AG ∴AB+BC＞2AD

(2)AB-AC＜2AD＜AB+AC

D

C B

A

E

A

B C

D

G

.

.

2＜2AD ＜8 1＜AD ＜4

如图，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，点F 为DE 的中点，求证：BC=2AF. 延长AF 到点G,使AF=DF.连接GD 在△AFE 和△DFG 中 AF=GF,∠AFE=∠DFG ∵点F 为DE 的中点 ∴DF=EF

所以△AFE ≌△DFG. (SAS) GD=AE=AC;∠G=∠FAE.

∴DG ∥AE.(内错角相等,两直线平行)

则∠GDA+∠DAE=180°.(两直线平行,同旁内角互补） 又∵∠BAC+∠DAE=180°.

∴∠GDA=∠BAC.(同角的补角相等). 又∵AD=AB.

∴⊿ADG ≌⊿BAC(SAS) ∴AG=BC,即2AF=BC. ∴BC=2AF.

如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在BC 的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA 求证：AE=2AD

证明：在AD 的延长线上取点F,使AD ＝FD,连接

CF ∵AD 是中线

∴BD ＝CD,AD ＝FD,∠ADB ＝∠FDC

C

F

E

C

D

B

A

∴△ABD≌△FCD （SAS）

∴CF＝AB,∠B＝∠FCD

∵∠ACF＝∠BCA+∠BCE,∠ACE＝∠BAC+∠B,∠BAC＝∠BCA

∴∠ACF＝∠ACE

∵CE＝AB

∴CE＝CF

∴△ACE≌△ACF （SAS）

∴AE＝AF

∵AF＝AD+FD＝2AD

∴AE＝2AD

如图，△ABC中，∠ABC=90°，AC=CE,BC=CD,∠ACE=∠BCD=90°，BC的延长线交DE于F。

（1）求证:EF=DF Array（2）求证:S△ABC=S△DCE

证明：

①作EG⊥BF,交BF延长线于G

则∠CGE=∠ABC=90°

∵∠ACE=90°

∴∠ACB+∠ECG=90°

∵∠ACB+∠BAC=90°

∴∠ECG=∠BAC

又∵AC=EC

∴△ABC≌△CGE（AAS）

∴BC=EG

.

∵BC=CD

∴EG=CD

∵∠BCD=90°

∴∠DCF=90°=∠EGF

又∵∠CFD=∠GFE（对顶角相等）,CD=EG

∴△CFD≌△GFE（AAS）

∴EF=DF

②∵△CFD≌△GFE

∴S△CFD=S△GFE

∴S△CFD+S△CFE=S△GFE+S△CFE

即S△DCE=S△CGE

∵△ABC≌△CGE

∴S△ABC=S△CGE

∴S△ABC=S△DCE

如图，在△ABC，△DEF中，AM,DN分别是两三角形中线，AB=DE,AC=DF,AM=DN. 求证：△ABC≌△DEF

证明：如图，延长AM至A′，使A′M=AM

延长DN至D′，使D′N=DN

连接A′C、D′F

∵AM是△ABC的中线

∴BM=MC

在△ABM和△A′CM中

BM＝MC∠AMB＝∠A′MCAM＝A′M B

A

M

C

D

E

D′

F

N

.

∴△ABM≌△A′CM（SAS）

∴AB=A′C，同理可得DE=D′F

∵AB=DE，∴A′C=D′F

∵AM=DN，AA′=2AM，DD′=2DN

∴AA′=DD′，在△AA′C和△DD′F中，AC＝DFAA′＝DD′A′C＝D′F

∴△AA′C≌△DD′F（SSS）

∴∠A′=∠D′，在△A′MC和△D′NF中，A′M＝D′N∠A′＝∠D′A′C＝D′F ∴△A′MC≌△D′NF（SAS）

，∴MC=NF

∵AM、DN分别是两三角形中线

∴BC=2MC，EF=2NF

∴BC=EF，在△ABC和DEF中，AB＝DEAC＝DFBC＝EF

∴△ABC≌DEF（SSS）．

.