江苏省连云港市某重点中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题
2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题
注意事项：
1.本卷满分160分，考试时间120分钟。
2.答题前请将姓名、考试号等信息填写在答题纸的规定位置。
写在其它位置的一律无效。
3.考试结束后，请将答题纸交回。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题纸相应．．．．．
位置上．．．
.否则无效。
1.已知集合{}8,120,9,7,6,4,2,1-=A ，{}7,5,4,3-=B ，则A B = ▲ .
2. 函数
28x y =-的定义域为 ▲ . 3.幂函数()f x 的图象经过点(3,3)，则()f x 的解析式是()f x = ▲ ；
4.若二次函数2
()4f x x ax =--+在区间[)1+∞，上单调递减，则a 的取值范围为 ▲ ； 5.已知)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)15(-f = ▲ ．
6. 如图，已知偶函数)(x f 的定义域为{}R x x x ∈≠,0，且(3)0f =则不等式()0f x <的
解集为 ▲ ．
7.函数2()1log f x x =-的零点是 ▲ ；
8. 若(1)23g x x +=-，则(1)g = ▲ . 9. 已知函数⎩
⎨⎧>-≤+=0,20,1)(2x x x x x f ，则((2))f f -= ▲ ． 10. 若01,1a b <<<-，则函数()x f x a b =+的图像不经过第 ▲ 象限。
11.若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上为减函数，且0)4(=f ，则使得
()0xf x <的x 的取值范围是 ▲ ．
12.若方程2log 2x x =-+的解为0x ，且0(,1),x k k k N ∈+∈，则k = ▲ ；
13.已知定义在R 上的函数()21,01,0
x x f x mx m x ⎧+≥=⎨+-<⎩，若()x f 在()+∞∞-,上单调递增，
则实数m 的取值范围是 ▲ ．
14、阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x ，符号[]x 表示“不超过x 的最大
整数”，在数轴上，当x 是整数，[]x 就是x ,当x 不是整数时，[]x 是点x 左侧的第一个整数
3 0 y x
点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss ）函数；如[]22-=-，[]1.52-=-，[]2.52=；
则2222222111[log ][log ][log ][log 1][log 2][log 3][log 4]432
+++++++[]16log 2的值为 ▲
二、解答题：本大题共六小题，共计90分。
请再答卷制定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
15.计算（本题满分14分，第一小题7分，第二小题7分。
）
（1）()22lg 50lg 2lg 25lg ++ （2）831+2
21-⎪⎭⎫ ⎝⎛+(271-+162-)0+416
16.（本题满分14分） 已知函数53)(-++=x x x f （1）用分段函数的形式表示)(x f ；
（2）画出函数)(x f y =的图像，写出函数)(x f 的值域。
17. （本题满分14分） 函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当 (0,1)
x ∈时,2()21
x
x f x =+．（ 1）求函数()f x 在1,1-（）上的解析式；（2）判断函数()f x 在0,1（）上的单调性并证明．
18. （本小题满分16分）已知二次函数()f x 的最小值为1，且()()023f f ==.
(1)求()f x 的解析式； (2)若()f x 在区间[]2,1a a +上不单调，求a 的取值范围．
19. 如图,矩形ABCD 中, 4,3AB AD ==,,E F 分别是边,AB BC
上的点,且AE BF x ==,设五边形AEFCD 的面积为,s 周长为,c
(1)分别写出,s c 关于x 的函数解析式,并指出它们的定义域.
(2)分别求,s c 的最小值及取最小值时x 的值.
20、已知122243log 1,()[log (4)](log ) ()m x f x x m R x
-≤≤-=⋅⋅∈．
（1）求函数()f x 的最大值()g m 的解析式；
（2）若()2g m t m ≥++对任意[4,0]m ∈-恒成立，求实数t 的取值范围．。
【数学】江苏省连云港市某重点中学2012-2013学年高二上学期期中考试试题5
江苏省连云港市某重点中学2012-2013学年高二上学期期中考试试题注意事项：1.本卷满分160分，考试时间120分钟。
2.答题前，请将姓名，考试号等信息填写在答题纸的规定位置。
3.请用0.5毫米黑色签字笔按题号在答题纸指定区域答题，在其他位置答题一律无效。
考试结束后，请将答题纸交回。
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.）1．已知等差数列{}n a 的通项公式n a n 23-=，则它的公差d 为 ．2．在ABC ∆中，sin cos A Ba b=，则B ∠= ． 3.不等式(x -1)(2- x) ≥0的解集是4.已知0＜x ＜1则x （3-3x ）取最大值时x 的值为5．在等差数列}{n a 中，当294a a +=-时，它的前10项和10S = ． 6.在△ABC 中，若sinA:sinB:sinC=5:7:8，则∠B 的大小是 。
7.在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c，若222b c a +=，则=∠A ． 8.函数y=4522++x x 的最小值是9.如图,某人在高出海面600米的山上P 处，测得海面上的航标在A 正东，俯角为30°，航标B 在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为 米。
10.已知正数m 、n 满足nm=m+n+8，则mn 的取值范围为11.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥++0005y y x y x ，求目标函数y x Z 42+= 的最小值12．等比数列{}n a 中，0n a >，1q ≠，且2a 、312a 、1a 成等差数列，则14171215a aa a ++=13．已知ABC ∆中,,2,45a x b B === ,若该三角形有两解,则x 的取值范围是14．对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{}n a 满足如下两个条件：（1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+. 则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为 .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程A或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.） 15．(本小题满分14分)已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，A 是锐角，且B a b sin 23=. (1)求A ；(2)若7a =，ABC ∆的面积为103，求b c +的值．16．解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax17. （本题满分14分）已知：等差数列{a n }中，a 3 + a 4 = 15，a 2a 5 = 54，公差d < 0.（1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）求na S nn -的最大值及相应的n 的值.18. （本题满分16分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、汽油费费用共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，·····依等差数列逐年递增。
江苏省连云港市2023-2024学年高一上学期期中调研数学试卷(含答案)
y
4b
3b 2
g x
1
的图象有
3
个不同的交点，求实数 b 的取值范围．
1．B 【分析】根据并集和补集的概念进行求解.
【详解】 M N 1, 22,3,5 1, 2,3,5， ðU M N 4.
故选：B 2．C 【分析】根据具体函数的定义域求法列式求解即可.
x 2 0 【详解】要使函数有意义，则 2 x 0 ，解得 x 2 且 x 2 ，
所以 f x1 f x2 x1 x2 0 不成立，故选项 C 错误；
1
对于选项 D：因为函数 f x x2 的定义域为0， ，
所以
f
x1
2
x2
x1 x2 0 f x1 f x2
2
，
2
x1 2
x2 0 .
因为
x1
2
x2
2
x1 2
x2
2
x1 x2 x1 x2 2 x1 x2
江苏省连云港市 2023-2024 学年高一上学期期中调研数学试卷
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．若U 1, 2,3, 4,5, M 1, 2, N 2,3,5，则 ðU M N 是（ ）
A．2
B．4
C．1,3, 4
，
又 lg2 0.3 ，所以 2270 10lg2270 10270lg2 102700.3 1081 ， P
从而对比各个选项可知，各数中与 Q 最接近的数为1081 . 故选：B. 9．ACD 【分析】利用指数函数的性质与图象求解选项 A，利用一元二次方程和不等式的解求解选项 B,C,D.
江苏省连云港市新海高级中学2012-2013学年高三数学上学期12月月考试卷理(解析版)苏教版
2012-2013学年江苏省连云港市新海高级中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、填空题：1．（5分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③m∥n，m∥α?n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β；其中真命题的序号①④．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：①由已知利用线面垂直的性质可得n⊥α，因此正确；②利用两个平行平面内的两条直线平行或是异面直线即可判断出；③由已知和线面的位置关系m∥n，m∥α可得：n∥α或n?α，即可判断出；④利用线面垂直的性质m∥n，m⊥α可得n⊥α，再利用面面平行的性质α∥β，可得n⊥β即可．解答：解：①∵m∥n，m⊥α，由线面垂直的性质可得n⊥α，因此正确；②∵α∥β，可知两个平行平面内的两条直线平行或是异面直线，因此不一定平行，故不正确；③∵m∥n，m∥α?n∥α或n?α，故不正确；④∵m∥n，m⊥α?n⊥α，又α∥β，∴n⊥β，故正确．综上可知：只有①④正确．故答案为①④．点评：正确理解线线、线面的位置关系、判定定理和性质定理是解题的关键．2．（5分）（2012?江苏）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的值，从而得到所求的答案解答：解：由题，a，b∈R，a+bi=所以a=5，b=3，故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握，复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁，解题时要注意运用它进行转化．3．（5分）（2013?烟台二模）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a= 3 ．考点：简单线性规划．分析：先根据约束条件（a为常数），画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求关于面积的等式求出a值即可．解答：解：当a＜0时，不等式组所表示的平面区域，如图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a≥0，此时不等式组所表示的平面区域如图中的N，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为2，则AB=4，即点B的坐标为（1，4），代入y=ax+1得a=3．故答案为：3．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．4．（5分）（2010?盐城三模）已知函数，则的值为．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：利用公式tanx=、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α﹣1即可化简求值．解答：解：因为f（x）==，所以f（）=．点评：本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式．5．（5分）（2010?江苏二模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下四个结论：①Ｄ1C∥平面A1ABB1②Ａ1D1与平面BCD1相交③AD⊥平面D1DB④平面BCD1⊥平面A1ABB1．上面结论中，所有正确结论的序号为①④．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：①，可由线面平行的定义判断；②，可由公理三判断；③，可由线面垂直的判定定理判断；④，可由面面垂直的判定定理判断．解答：解：对于①，由于平面A1ABB1∥平面CDC1D1，而D1C?平面CDC1D1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面A1ABB1正确；对于②，由于A1D1∥BC，所以A1D1?平面BCD1，错误；对于③，只有AD⊥Ｄ1D，AD与平面BCD1内其他直线不垂直，错误；对于④，容易证明BC⊥平面A1ABB1，而BC?平面BCD1，故平面BCD1⊥平面A1ABB1．正确．故答案为：①④．点评：本题考查直线与平面的位置关系中的直线在平面内的判定、直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定、平面与平面垂直的判定，解题时要牢记这些判定定理的条件．6．（5分）存在x＜0使得不等式x2＜2﹣|x﹣t|成立，则实数t的取值范围是（﹣，2）．考点：绝对值不等式．专题：计算题．分析：本题利用纯代数讨论是很繁琐的，要用数形结合．原不等式x2＜2﹣|x﹣t|，即|x﹣t|＜2﹣x2，分别画出函数y1=|x﹣t|，y2=2﹣x2，这个很明确，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在x＜0使不等式|x﹣t|＜2﹣x2成立，则y1的图象应该在第二象限（x＜0）和y2的图象有交点，再分两种临界讲座情况，当t≤０时，y1的右半部分和y2在第二象限相切；当t＞0时，要使y1和y2在第二象限有交点，最后综上得出实数t的取值范围．解答：解：不等式x2＜2﹣|x﹣t|，即|x﹣t|＜2﹣x2，令y1=|x﹣t|，y1的图象是关于x=t对称的一个V字形图形，其象位于第一、二象限；y2=2﹣x2，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在x＜0，使不等式|x﹣t|＜2﹣x2成立，则y1的图象应该在第二象限和y2的图象有交点，两种临界情况，①当t≤０时，y1的右半部分和y2在第二象限相切：y1的右半部分即y1=x﹣t，联列方程y=x﹣t，y=2﹣x2，只有一个解；即x﹣t=2﹣x2，即x2+x﹣t﹣2=0，△=1+4t+8=0，得：t=﹣；此时y1恒大于等于y2，所以t=﹣取不到；所以﹣＜t≤0；②当t＞0时，要使y1和y2在第二象限有交点，即y1的左半部分和y2的交点的位于第二象限；无需联列方程，只要y1与y轴的交点小于2即可；y1=t﹣x与y轴的交点为（0，t），所以t＜2，又因为t＞0，所以0＜t＜2；综上，实数t的取值范围是：﹣＜t＜2；故答案为：（﹣，2）．点评：本小题主要考查函数图象的应用、二次函数、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．7．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为 4 ．考点：函数的值域；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：先判断a、c是整数，且ac=1，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．解答：解：由题意知，a，＞0，△=4﹣4ac=0，∴ac=1，c＞0，则=+++=（+）+（+）≥2+2=2+2=4，当且仅当a=c=1时取等号．．∴的最小值为4．点评：本题考查函数的值域及基本不等式的应用．8．（5分）在□ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点M为AB的中点，点P在BC与CD上运动（包括端点），则的取值范围是[，1] ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：先设，，则，，，然后讨论点P在BC上时与点P 在CD上时的取值范围，从而求出所求．解答：解：设，，则，，当点P在BC上时，设，λ∈[0，1]=（）（）=2﹣λ+﹣1=1﹣∈[，1]当点P在CD上时，设，λ∈[0，1]=（）（）=2λ﹣1+﹣λ=∈[﹣，] ∴点P在BC与CD上运动（包括端点），则的取值范围是[，1]故答案为：[，1]点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及共线向量的表示，属于中档题．9．（5分）（2010?武汉模拟）在实数数列{a n}中，已知a1=0，|a2|=|a1﹣1|，|a3|=|a2﹣1||，…，|a n|=|a n﹣1﹣1|则a1+a2+a3+a4的最大值为 2 ．考点：数列的应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据a1=0，|a2|=|a1﹣1|，|a3|=|a2﹣1||，…，|a n|=|a n﹣1﹣1|，枚举出所求可能，即可求出a1+a2+a3+a4的最大值．解答：解：枚举出a1，a2，a3，a4所有可能：0，1，0，10，1，0，﹣10，﹣1，2，10，﹣1，2，﹣10，﹣1，﹣2，30，﹣1，﹣2，﹣3所以最大是2，故答案为： 2点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．10．（5分）若关于x的不等式（2x﹣1）2≤ax2的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：由不等式可知a是大于0的，ax2≥（2x﹣1）2可变为ax2﹣（2x﹣1）2≥0，利用平方差分解因式得（x+2x﹣1）（x﹣2x+1）≥0，（x+2x﹣1）与（x﹣2x+1）同号得到a的解集，解集中的整数恰有2个，得到a的范围即可．解答：解：由题知，a＞0 则ax2≥（2x﹣1）2ax2﹣（2x﹣1）2≥0．（x+2x﹣1）（x﹣2x+1）≥０即[（+2）x﹣1][（﹣2）x+1]≥０由于+2＞0，而不等式的解答中恰有两个整数解，故必有﹣2＜0，即必有a ＜4所以不等式可变为[（+2）x﹣1][（2﹣）x﹣1]≤０解得≤x≤，又＜1，结合解集中恰有两个整数可得≥２且＜3，所以有2﹣≤且2﹣＞，解得＞a≥，所以a∈．故答案为：点评：本题主要考查学生解一元二次不等式，运用等价转化的能力．属于中档题．11．（5分）已知下列两个命题：p：?x∈R+，不等式恒成立；q：y=log a（x2﹣ax+1）（a＞0，a≠1）有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是a=2或a≤１．考点：复合命题的真假；全称命题；二次函数的性质；对数函数的值域与最值．专题：计算题．分析：根据函数恒成立的等价条件及基本不等式，我们可以求出P为真命题时，实数a的取值范围；根据复合函数单调性及指数函数单调性，对数函数的最值，我们可以求出Q 为真命题时，实数a的取值范围；根据两个命题中有且只有一个是真命题，我们分P 真Q假和P假Q真，两种情况讨论，即可得到实数a的取值范围．解答：解：p：?x∈R+，不等式恒成立；即a≤=恒成立；由于的最小值为2，故P为真命题时，a≤２q：y=log a（x2﹣ax+1）（a＞0，a≠1）有最小值．表示以a为底的对数函数为增函数，且x2﹣ax+1＞0恒成立即，解得1＜a＜2故Q为真命题时，1＜a＜2∵两个命题中有且只有一个是真命题，当P真Q假时，a=2或a≤１当P假Q真时，这样的a值不存在故实数a的取值范围是a=2或a≤１故答案为：a=2或a≤１点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，全称命题，二次函数的性质，对数函数的值域与最值，函数恒成立问题，基本不等式在求最值时的应用，其中分别求出命题P和命题Q为真命题时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．12．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=，则该数列的前20项的和为2101 ．考点：数列的求和．专题：常规题型；压轴题．分析：先利用题中条件找到数列的特点，即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，再对其和用分组求和的方法找到即可．解答：解：由题中条件知，a1=1，a2=2，a3=a1+1=2，a4=2a2+0=4，a5=a3+1=3，a6=2a4=8…即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，所以该数列的前20项的和为（1+2+3+…+10）+（2+4+8+…+210）=2101．故答案为：2101．点评：本题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式．考查学生的运算能力．13．（5分）设x∈R，f（x）=，若不等式f（x）+f（2x）≤ｋ对于任意的x∈R 恒成立，则实数k的取值范围是k≥２．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：根据指数函数的单调性及复合函数的单调性确定原则，我们可以分析出函数f（x）和函数f（2x）的单调性，进而分析出函数F（x）=f（x）+f（2x）的单调性，进而求出F（x）=f（x）+f（2x）的最大值后，即可得到实数k的取值范围．解答：解：∵f（x）=，∴函数f（x）在区间（﹣∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数，且函数f（2x）在区间（﹣∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数，令F（x）=f（x）+f（2x），根据函数单调性的性质可得F（x）=f（x）+f（2x）在区间（﹣∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数，故当x=0时，函数F（x）取最大值2，若不等式f（x）+f（2x）≤ｋ对于任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是k≥２故答案为：k≥２点评：本题以不等式恒成立问题为载体考查了函数的单调性及函数的最值，其中构造函数F （x）=f（x）+f（2x），并根据函数的单调性及复合函数的单调性确定原则，确定函数F（x）=f（x）+f（2x）的单调性及最值是解答的关键．14．（5分）（2013?长宁区一模）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]；②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；④函数y=f（x）在[﹣，]上是增函数．其中正确的命题的序号①②③．考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题．分析：本题为新定义问题，因为m为整数，故可取m为几个特殊的整数进行研究．解答：解：由题意x﹣{x}=x﹣m，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣m|，m=0时，﹣＜x≤，f（x）=|x|，m=1时，1﹣＜x≤1+，f（x）=|x﹣1|，m=2时，2﹣＜x≤2+，f（x）=|x﹣2|，由图象可知正确命题为①②③，故答案为：①②③．点评：本题是新定义问题，考查函数的性质，可结合图象进行研究，体现数形结合思想．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2011?日照模拟）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：充分条件；命题的真假判断与应用．分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件?q是p的充分不必要条件，即q?p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．解答：解：（1）a=1时，命题p：x2﹣4x+3＜0?1＜x＜3命题q：??2＜x≤3，p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件?q是p的充分不必要条件，即q?p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．由（1）知命题q：2＜x≤3，命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0?（x﹣a）（x﹣3a）＜0由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，所以，所以1＜a≤２点评：本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度不大．16．（14分）（2011?江西模拟）设a∈R，满足，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且，求f（x）在（0，B]上的值域．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．专题：计算题；转化思想．分析：（Ⅰ）通过二倍角公式，以及，求出a的值，利用两角差的正弦函数化简函数的表达式，通过正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）利用余弦定理化简，通过正弦定理求出，推出B 的值，然后求f（x）在（0，B]上的值域．解答：解：（Ⅰ）f（x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=．由得，解得．因此．令得故函数f（x）=的单调递增区间（6分）（Ⅱ）由余弦定理知：即2acosB﹣ccosB=bcosC，又由正弦定理知：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA即，所以当时，，f（x）∈（﹣1，2]故f（x）在（0，B]上的值域为（﹣1，2]（12分）点评：本题考查余弦定理，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，正弦定理个应用，考查转化思想与计算能力．17．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（3）设E是CC1上一点，试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由．考点：直线与平面平行的判定；集合的含义；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）连接AB1与A1B相交于M，由三角形中位线定理，我们易得B1C∥MD，结合线面平行的判定定理，易得B1C∥平面A1BD；（2）由于已知的几何体ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，结合AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，根据正方形的几何特征，我们易得到AB1⊥Ｂ1C1，BB1⊥Ｂ1C1，根据线面垂直的判定定理，即可得到B1C1⊥平面ABB1A1；（3）由图可知，当点E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，由已知易得DE∥AC1，结合AC1⊥平面AB1D，我们易得到DE⊥平面AB1D，进而根据面面垂直的判定定理得到结论．解答：解：（1）证明：连接AB1与A1B相交于M，则M为A1B的中点，连接MD，又D为AC的中点，∴Ｂ1C∥MD，又B1C?平面A1BD，∴Ｂ1C∥平面A1BD．（4分）（2）∵AB=BB1，∴四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥Ａ1B，又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥Ａ1B，∴Ａ1B⊥面AB1C1，∴Ａ1B⊥Ｂ1C1，又在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥Ｂ1C1，∴Ｂ1C1⊥平面ABB1A1．（8分）（3）当点E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，∵D、E分别为AC、CC1的中点，∴DE∥AC1，∵AC1⊥平面AB1D，∴DE⊥平面AB1D，又DE?平面BDE，∴平面AB1D⊥平面BDE．（14分）点评：本题考查的知识眯是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面间平行和垂直的判定定理、性质定理、定义是解答此类问题的根本．18．（16分）（2009?温州二模）如图，曲线C1是以原点O为中心、F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点，曲线C1的离心率为，若，．（Ⅰ）求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线方程；（Ⅱ）过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，所以=，因为，所以可求出a，再根据，求出C，就可得到b的值，求出椭圆方程．也就可得F2的坐标，再根据曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线，求出抛物线方程．（Ⅱ）先设出B，E，C，D四点坐标，以及过F2作的与x轴不垂直的直线方程，分别代入椭圆方程和抛物线方程，求y1+y2，y1y2，y3+y4，y3y4，再代入，化简即可．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，则2a=，得a=3所以椭圆方程为，抛物线方程为y2=4x．（Ⅱ）设B（x1，y1），E（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线y=k（x﹣1），代入得：，即（8+9k2）y2+16ky﹣64k2=0则=﹣，y1y2=﹣同理，y=k（x﹣1），代入y2=4x得，ky2﹣4y﹣4k=0则y3+y4=，y3y4=﹣4∴==3点评：本题考查了椭圆，抛物线方程的求法，以及直线与圆锥曲线位置关系的判断，做题时要细心．19．（16分）已知数列 {a n}和{b n}满足，{b n}的前n项和为T n．（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{a n}一定不是等差数列；（Ⅱ）当时，试判断{b n}是否为等比数列；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若1≤Ｔn≤２对任意的n∈N*恒成立，求实数m的范围．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）把m=1代入a n+1=λa n+n，求出a1，a2和a3，假设是等差数列，推出矛盾，从而进行证明；（Ⅱ）把代入，对b n进行化简，对于首项要进行讨论，从而进行判断；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若1≤Ｔn≤２对任意的n∈N*恒成立，求出T n的最大值和最小值即可，对于n的奇偶性要进行讨论，求出T n的范围，从而求解；解答解：（Ⅰ）…（2分）：即λ2﹣λ+1=0，△=﹣3＜0，方程无实根．故对于任意的实数λ，{a n}一定不是等差数列…（5分）（Ⅱ）=∴…（9分）…（10分）（Ⅲ），不成立…（11分）当时当n为奇数时，当n为偶数…（14分）∵1≤Ｔn≤２对任意的n∈N*恒成立，∴解得m=从而求得…（16分）点评：此题主要考查等差数列前n项和公式及其应用，第三问需要讨论n的奇偶性，有一定的难度，解题过程中用到了转化的思想，是一道中档题；20．（16分）已知函数（其中e是自然对数的底数）（1）若f（x）是奇函数，求实数a的值；（2）若函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，试求实数a的取值范围；（3）设函数，求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的判断；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用f（0）=0即可求出a的值．（2）通过对a分类讨论和利用单调增函数的定义即可求出a的取值范围．（3）已知问题：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，等价于证明：对任意的t＞﹣2，方程在区间（﹣2，t）内有实数解，通过对t分类讨论即可．解答：解：（1）∵函数f（x）是实数集R上的奇函数，∴f（0）=0，∴1+a=0，解得a=﹣1．∴f（x）=e x﹣e﹣x，经验证函数f（x）是R上的奇函数．故a=﹣1适合题意．（2）a=0时，y=e x在区间[0，1]上单调递增，适合题意；当a≠０时，令t=e x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，e]．且t=e x单调递增，故在t∈[1，e]时递增．当a＞0时，函数y=在t∈[1，e]时单调递增，得，∴0＜a≤1．当a＜0时，在t∈[1，e]时单调递增恒成立，故?t∈[1，e]，．∴﹣1≤a＜0．综上可知：﹣1≤a≤1．（3）∵f（x）+f′（x）==2e x，∴φ（x）=（x2﹣3x+3）e x，∴=x2﹣x．要证明：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足．等价于证明：对任意的t＞﹣2，方程在区间（﹣2，t）内有实数解．令g（x）=，则g（﹣2）=6﹣=﹣，g（t）=．所以①当t＞4，或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）g（t）＜0，∴g（x）=0在（﹣2，t）内有解，且只有一解．②当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0，且g（t）＞0，但g（0）=＜0，∴g（x）=0在（﹣2，t）内有解，且由两解．③当t=1时，有且只有一个解x=0；当t=4时，有且只有一个解x=3．综上所述：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足．且当t≥４或﹣2＜≤１时，有唯一的x0适合题意；当1＜t＜4时，有两个不同的x0适合题意．点评：充分理解函数的单调性及分类讨论的思想方法是解题的关键．。
江苏省连云港市高一上学期期中复习数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（） {1,1}A =-{2}B x Nx =∈≤∣A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{}1{}1,1,2-{}1,0,1,2-{}0,1,2【答案】C【解析】先列举出集合的元素，再并集运算. B 【详解】, {}{2}0,1,2B x Nx =∈≤=∣{1,1}A =-所以{}1,0,1,2A B ⋃=-故选：C2．已知集合，若，则实数a 的取值所组成的集合是（ ） {}12{|20}A B x ax =-=+=，，A B A ⋃=A ． B ． C ．0， D ．0，{}12-，{}11-，{2-，1}{1-，2}【答案】D 【分析】等价于，分、两种情况讨论，从而可得答案.A B A ⋃=B A ⊆0a =0a ≠【详解】. A B A B A ⋃=∴⊆Q ，当时，为空集，满足条件.0a =B 当时，或，解得或.0a ≠20a -+=220a +=2a =1a =-综上可得，实数a 的取值所组成的集合是2，. {0，1}-故选：D.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，空集的定义，以及并集与子集的定义，属于基础题.3．若函数的定义域是，则函数 ） ()y f x =[0,4]()g x =A ．B ．C ．D ． (1,8)(1,2)(1,8](1,2]【答案】D【解析】根据抽象函数定义域以及分母不为零、偶次根式被开方数非负列不等式，解得结果.【详解】因为函数的定义域是， ()y f x =[0,4]所以. 024*******x x x x x ≤≤≤≤⎧⎧∴∴<≤⎨⎨->>⎩⎩故选：D【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.4．已知函数，且，，为常数）的图象恒过点，则 ()(0x m f x a n a -=+>1a ≠m n (3,2)(m n +=)A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】B【分析】结合题意得到关于，的方程组，求出，的值，求出答案即可．m n m n 【详解】解：由题意得：，32m a n -=+则，解得：， 3012m n -=⎧⎨+=⎩31m n =⎧⎨=⎩故，4m n +=故选：．B 5．已知p ：；q ：，则p 是q 的（ ）12x +<20x -<<A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】求出p ：，再根据充分条件、必要条件的定义即可求解.31x -<<【详解】p ：，1231x x +<⇒-<<q ：，20x -<<所以推不出，但能推出，p q q p 所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B6．已知，则（ ）0.20.52log 0.5,2,0.2a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b <<c<a<b b<c<a 【答案】B【解析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.【详解】因为，0.20.52log 0.50,21,00.21a b c =<=><=<所以a cb <<故选：B7．已知函数，则（ ）()212log ,01,1x x f x x x -<<⎧⎪=⎨⎪≥⎩()4=⎡⎤⎣⎦f f A ．B ．1C ．2D ．4 1-【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式求解即可得答案.【详解】解：因为， ()121442f -==所以 ()2114log 122f f f ⎛⎫===-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭故选：A.【点睛】本题考查函数值的求解，是基础题.8．设函数，给出如下命题，()||f x ax x bx c =++（1）时，是奇函数 （2）的图像关于点对称0,0c a =¹()y f x =()y f x =(0,)c （3），时，方程只有一个实数根0b =0ac >()0f x =（4）方程=0最多有两个实根()f x 则上述命题正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】当，时，利用定义判断函数的奇偶性，可判断（1）的正误；计算出0c =0a ≠()y f x =，可判断（2）的正误；当，时，解方程可判断（3）的正()()2f x f x c -+=0b =0ac >()0f x =误；取，，，解方程可判断（4）的正误，进而可得出结果.1a =1b =-0c =()0f x =【详解】对于（1），当，时，，函数的定义域为，0c =0a ≠()f x ax x bx =+()f x R ，()()f x ax x bx ax x bx f x -=---=--=-此时，函数是奇函数，（1）正确；()y f x =对于（2），，()f x ax x bx c ax x bx c -=---+=--+所以，，()()2f x f x c -+=所以，函数的图象关于点对称，（2）正确；()y f x =()0,c 对于（3），当，时，，令，可得， 0b =0ac >()f x ax x c =+()0f x =0c x x a=-<当时，，此时方程无解； 0x ≥20x x x =≥c x x a=-当时，，由可得，解得0x <20x x x =-<c x x a =-2c x a =x =综上所述，方程只有一个实数根，（3）正确；()0f x =对于（4），取，，，则，1a =1b =-0c =()f x x x x =-解方程，可得，解得，，，（4）错误.()0f x =()10x x -=11x =-20x =31x =故选：C.【点睛】方法点睛：判定函数的零点（方程的根）个数的常用方法：()f x ()0f x =（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两()0f x =()f x 个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.二、多选题9．已知集合且，则实数m 的值可以为（ ）{}{}1,1|1,M N x mx =-==，M N M ⋃=A ．1B ．C ．2D ．0 1-【答案】ABD【分析】先根据集合的运算结果得到集合的基本关系，再分、，三N M ⊆N =∅{1}N ={1}N =-种情况讨论求实数m 的值.【详解】解：因为，所以，M N M ⋃=N M ⊆当时，；N =∅0m =当时，；{1}N =1m =当时，；{1}N =-1m =-故选：ABD.【点睛】本题考查利用集合的运算结果求参数、利用集合的运算结果判断集合的包含关系求参数，是基础题.10．下面命题正确的是（ ）A ．“”是“”的充分不必要条件 1a >11a<B ．命题“若，则”的否定是“ 存在，则”.1x <21x <1x <21x ≥C ．设，则“且”是“”的必要而不充分条件,R x y ∈2x ≥2y ≥224x y +≥D ．设，则“”是“”的必要不充分条件,R a b ∈0a ≠0ab ≠【答案】ABD【分析】根据充分、必要条件和命题的否定定义依次判断即可.【详解】选项A ，由，能推出，但是由，不能推出，例如当时，符合1a >11a <11a <1a >a<011a<，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故A 正确； 1a >1a >11a <选项B ，根据命题的否定的定义可知：命题“若，则”的 否 定 是“ 存 在，则1x <21x <1x <21x ≥”，故B 正确；选项C ，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C 错误； 2x ≥2y ≥224x y +≥选项D ，因为可以等于零，所以由不能推出，由可得或，所以“b 0a ≠0ab ≠0ab ≠0a ≠0b =”是“”的必要不充分条件，故D 正确.0a ≠0ab ≠故选：ABD.11．下列说法正确的有（ ）A ．若，那么B ．若，则 a b >3311a b <0a b <<11a b >C ．若，则有最小值2D ．若，则有最大值1 0x >42x x ++x R ∈221x x +【答案】BD 【解析】举出反例，可得判定A 不正确；利用不等式的性质，可判定B 正确；利用基本不等式可判定C 正确，D 不正确.【详解】对于A 中，例如，此时，所以A 不正确； 1,1a b ==-3311a b >对于B 中，由，则，所以，所以B 正确； 0a b <<110b a ab ab--=>11a b >对于C 中，由，当且仅当时，即44222222x x x x +=++-≥=++422x x +=+时等号成立，因为，所以等号不成立，所以C 不正确；0x =0x >对于D中，由， 22211x x x x =++当时，，当且仅当，即时，等号成立， 0x >12x x +≥=1x x =1x =即的最小值为，此时的最大值为1； 1x x +2221x x +当时，，当且仅当，即时，等号成立，即0x <11[()]2x x x x +=--+≤-=--1x x ==1x -的最大值为，此时，所以D 正确. 1x x+2-max 22()01x x <+故选：BD.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．已知函数为奇函数，且在区间上是增函数，若，则满足的是()f x ()0,∞+102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0f x x≤（ ）A ．B ．C ．D ． 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】BC 【分析】分析函数的单调性，可得出，然后分、解不等式()f x 11022f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x <0x >，综合可得出原不等式的解集. ()0f x x ≤【详解】因为函数为奇函数，且在区间上是增函数，故函数在上也为增()f x ()0,∞+()f x (),0∞-函数，且， 11022f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由可知，当时，，可得； ()0f x x≤0x <()102f x f ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭102x -≤<当时， ，可得. 0x >()102f x f ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭102x <≤综上所述，不等式的解集为. ()0f x x ≤11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦故选：BC.三、填空题13．某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有__________人．【答案】43【分析】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A 、B 、C ，根据题意画出维恩图求解.【详解】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A 、B 、C ，由题意画出维恩图，如图所示：全班人数为（人）.24510711443++++++=故答案为：4314．已知，则___.223a a -+=1a a -+=【答案】【解析】计算出的值，进而可求得的值.()21a a -+1a a -+【详解】， ()12225a a a a --+=++= 当时，；当时，.0a >10a a -+>a<010a a -+<因此，1a a -+=故答案为：15．已知定义在实数集上的偶函数在区间上是增函数，若，则的R ()f x [)0,+∞()2(1)log f f x <x 取值范围是________.【答案】1(0,)(2,)2+∞ 【分析】利用偶函数的对称性，结合单调性可得或，即可求的范围.()f x 2log 1x >2log 1x <-x 【详解】由在上为偶函数，且上是增函数，()f x R [)0,+∞∴上为减函数，又，(,0)-∞()2(1)log f f x <∴或，解得. 2log 1x >2log 1x <-1(0,)(2,)2x ∈+∞ 故答案为：.1(0,)(2,)2+∞ 16．若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足，则称a ，b ，c 是调和的；若满足112a b c+=，则称a ，b ，c 是等差的．若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合2a c b +=P 为“好集”．若集合，集合，则这样的“好集”P 的个数为{}|2020,Z M x x x =≤∈{,,}P a b c M =⊆___________．【答案】1010【分析】由题设条件得出，再由得出“好集”P 的个数.2,4a b c b =-=202042020b -≤≤【详解】由，整理得，解得（舍），.1122a b c a c b⎧+=⎪⎨⎪+=⎩()(2)0a b a b -+=a b =2,4a b c b =-=即好集形如，由得，因为，，所以(){2,,4}0P b b b b =-≠202042020b -≤≤505505b -≤≤0b ≠Z b ∈样的“好集”P 的个数为.50521010⨯=故答案为：1010四、解答题17．已知，，{}2|8200A x x x =--≤{}|2B x x m =-≤（1）当时，求；2m =A B ⋂（2）是否存在实数，使“”是“”必要不充分条件，若存在，求出的取值范围；若不m x A ∈x B ∈m 存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.{}04A B x x ⋂=≤≤08m ≤≤【解析】（1）由一元二次不等式及绝对值不等式可得集合，再由交集的定义即可得解； ,A B （2）转化条件为 ，进而可得且等号不同时成立，即可得解. B A 22210m m -≥-⎧⎨+≤⎩【详解】（1）由题意，， {}()(){}{}2|82001020210A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤当时， 2m ={}{}{}|22204B x x m x m x m x x =-≤=-≤≤+=≤≤；{}04A B x x ∴⋂=≤≤（2）存在实数，使“”是“”必要不充分条件，m x A ∈x B ∈若“”是“”必要不充分条件， 则 ，x A ∈x B ∈B A 由，则且等号不同时成立，解得， {}22B x m x m =-≤≤+≠∅22210m m -≥-⎧⎨+≤⎩08m ≤≤所以m 的取值范围为.08m ≤≤18．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.()f x R 0x ≤()22f x x x =+(1)现已画出函数在轴左侧的图象，请补全函数的图象，并根据图象写出函数()f x y ()f x 的单调递增区间；()()f x x R ∈(2)直接写出函数的值域；()()f x x R ∈(3)求出函数的解析式（要有求解过程）.()()f x x R ∈【答案】(1)图象见解析，函数的增区间为，(1,0)-(1,)+∞(2)，[1-)∞+(3) 222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨->⎩…【分析】（1）根据偶函数的图象关于轴对称，能作出函数在上的图象，结合图象可得函数的增y R 区间；（2）结合函数的图象可得，当，或时，函数取得最小值为，由此能求出函数的值1x ==1x -1-域；（3）根据函数为偶函数，即可求出函数的解析式．()f x ()()f x x ∈R 【详解】（1）根据偶函数的图象关于轴对称，作出函数在上的图象，y R结合图象可得函数的增区间为，．(1,0)-(1,)+∞（2）结合函数的图象可得，当，或时，函数取得最小值为， 1x ==1x -1-函数没有最大值，故函数的值域为，；[1-)∞+（3）当时，，再根据时，， 0x >0x -<0x …2()2f x x x =+可得．22()()2()2f x x x x x -=-+-=-再根据函数为偶函数，可得，()f x 2()2f x x x =-综上可得，． 222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨->⎩…19．已知函数，定义域为 ()21x f x x =-()1,1.-(1)用定义法证明：函数在区间上是减函数；()f x ()1,1-(2)解关于x 不等式(1)()0.f x f x -+<【答案】(1)证明见解析(2) 1|1.2x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）由定义证明即可；（2）由奇偶性的定义以及单调性解不等式即可.【详解】（1）任取，则 1211x x -<<<12212221()()11x x f x f x x x -=---， 221211222212(1)(1)x x x x x x x x --+=--1221212212()(1)(1)()x x x x x x x x -+-=--12212212(1)()1()(1)x x x x x x +-=--因为，所以，，，，1211x x -<<<1211x x -<<210x x ->211x <221x <因此，即，所以函数在区间上是减函数； 12212212((1)()01()1)x x x x x x +->--12()()f x f x >()f x (1,1)-（2）由可得，(1)()0f x f x -+<(1)()f x f x -<-因为，定义域为关于原点对称，所以， 2()1x f x x =-(1,1)-22()()()11x x f x f x x x --==-=----因此是奇函数；所以不等式可化为，()f x ()(1)f x f x -<-又函数在区间上是减函数，所以，解得 ()f x (1,1)-111111x x x x ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩1 1.2x <<所以原不等式的解集为 1|1.2x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭20．函数对任意的都有，并且当时， ()f x ,a b R ∈()()()1a a b b f f f +=+-0x >()1f x >（1）判断函数是否为奇函数，()f x （2）证明：在上是增函数，()f x R （3）若，解不等式；()45f =()232 3.f m m --<【答案】（1）不可能是奇函数；（2）见解析；（3） 41.3m -<<【详解】试题分析:(1)由，可得函数不可能是奇函数；()01f =(2)根据函数增函数的定义, 任取，且，12,x x R ∈12x x <，即函数在上是增函数；()()()()()2121112110f x f x f x x x f x f x x ⎡⎤-=-+-=-->⎣⎦()f x R (3) 令，则，则，根据函数的单调性去掉，解出2a b ==()23f =()()23232f m m f --<=则f m范围.试题解析:解：（1） 当时，解得，显然函数不可能是奇函数，0a b ==()01f =（2）任取,且12,x x R ∈12.x x <()()()()212111f x f x f x x x f x -=-+-⎡⎤⎣⎦()()()21111f x x f x f x =-+--()211f x x =--，210x x ->Q()211f x x ∴->()()210f x f x ∴->在上为单调增函数.()f x \R （3）解：令，2a b ==由题，则()()42215f f =-=()2 3.f =，()()23232f m m f --<=在上为单调增函数.，()f x R ，即，2322m m ∴--<2340m m --< 41.3m ∴-<<21．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）w x 满足如下关系：投入的肥料费用不超过5百元时，，且投入的肥料费用超过5百元且341w x =-+不超过8百元时．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百2111616w x x =-++2x 元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元千克（即16百元百千克），且市场需求始终供不应//求．记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）．()L x （1）求利润的函数解析式；()L x （2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）当投入的肥料费用为6.5百元时，该水蜜桃树248643,05()1131,58x x L x x x x x ⎧--≤≤⎪=+⎨⎪-++<≤⎩获得的利润最大，最大利润是百元． 1734【解析】（1）由题意分段求出利润的函数解析式，即可得解；()L x （2）按照、分类，结合基本不等式、二次函数的性质即可得解.．05x ≤≤58x <≤【详解】（1）由题意，， 231643,051()16211163,581616x x x L x w x x x x x x ⎧⎛⎫--≤≤ ⎪⎪+⎪⎝⎭=--=⎨⎛⎫⎪-++-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩化简得：；248643,05()1131,58x x L x x x x x ⎧--≤≤⎪=+⎨⎪-++<≤⎩（2）①当时，， 05x ≤≤4848()643673(1)674311L x x x x x ⎡⎤=--=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦当且仅当即时，等号成立， 483(1)1x x =++3x =所以当时，取得最大值43；3x =()L x ②当时，，58x <≤2()131L x x x =-++所以当时，取得最大值，最大值为； 132x =()L x 1317324L ⎛⎫= ⎪⎝⎭综上所述，当时，取得最大值， 132x =()L x 1734故当投入的肥料费用为6.5百元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是百元． 173422．已知函数是奇函数，. ()21log 1f x x a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭a R ∈（1）求的值;a （2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.(),0x ∈-∞()()221log 2x x f m +>-m 【答案】（1）（2） 12-512m ≤<【解析】（1）利用，计算得的值；()()f x f x -=-a （2）将不等式不等式恒成立转化为且同时恒成()()221log 2x x f m +>-111212222x x m <++++2x m >立，再转化为求最值即可.【详解】（1）， ()2211log 1log x a f x x a x a ++⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭则或， {101x a A x x a x a++>⇔=<--+}x a >-因为是奇函数，()f x 故，，x A ∀∈()()f x f x -=-即， 22211log log log 1x a x a x a x a x a x a -+++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以； ()222211112x a x a a x a x a x a x a -+++=⇔+-=-⇔=--+++（2）， ()()()222121log 2log 1log 2122x x x x f m m ⎛⎫ ⎪+>-⇒+>- ⎪ ⎪+⎝⎭111212222x x m ⇒<++++令，， 122x u =+(),0x ∈-∞所以，. 13,22u ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()112g u u u =++易知，当时取等号， ()52g u ≥1u =所以，52m <又由，202x x m m ->⇒>故，m 1≥所以. 512m ≤<【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，是关键，另外要注意对数的真数部分也要恒大于零，是一道中档题.。
数学_2012-2013学年江苏省连云港市某校高三(上)质量检测数学试卷(含答案)
2012-2013学年江苏省连云港市某校高三（上）质量检测数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．1. 已知集合A ={x|x 2<3x +4, x ∈R}，则A ∩Z 中元素的个数为________．2. i 是虚数单位，复数1−3i 1−i=________．3. 函数f(x)=log 2(4+3x−x 2)x的定义域为________．4. 连续两次抛掷一枚骰子落在水平面上，则两次向上的点数和等于6的概率是________．5. 已知非零向量a →，b →满足|a →|=|a →+b →|=1，a →与b →夹角为120∘，则向量b →的模为________． 6. 在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a k ＝243，q ＝3，则数列{a n }的前k 项的和S k ＝________． 7. 函数f(x)=ax 2+lnx +1在[e, +∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．8. 右图是一个算法的流程图，最后输出的k =________．9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =1，A =60∘，c =√33，则△ABC 的面积为________．10. 已知cos(75∘+α)=13，则cos(30∘−2α)的值为________．11. 已知F 1，F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使得线段PF 1的中垂线经过焦点F 2，则椭圆离心率的取值范围是________．12. 在平面直角坐标系xy 中，O 是坐标原点，设函数f(x)=k(x −2)+3的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，给出下列四个命题： ①使△AOB 的面积s =6的直线l 仅有一条； ②使△AOB 的面积s =8的直线l 仅有两条； ③使△AOB 的面积s =12的直线l 仅有三条； ④使△AOB 的面积s =20的直线l 仅有四条． 其中所有真命题的序号是________．13. 已知：点P 的坐标(x, y)满足：{x −4y +3≤03x +5y −26≤0x −1≥0.及A(4, 0)，则|OP →|⋅cos∠AOP （O 为坐标原点）的最大值是________．14. 已知三次函数f(x)=a3x 3+b2x 2+cx +d(2a <b)在R 上单调递增，则a+b+cb−2a 的最小值为________．二、解答题：本大题共10小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设函数f(x)=sin(2x+π6)+cos2x+√3sinx⋅cosx．（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期．（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=13，f(C2)=52，求sinA．16.如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；(2)求证：A1B // 平面ADC1．17. 徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a>0)．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，P、Q是椭圆C上的两个动点，M(1,√62)是椭圆上一定点，F是其左焦点，且PF、MF、QF成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）判断线段PQ的垂直平分线是否经过一个定点，若定点存在，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．19. 已知函数f(x)=e x+ae x(a∈R)（其中e是自然对数的底数）（1）若f(x)是奇函数，求实数a的值；（2）若函数y=|f(x)|在[0, 1]上单调递增，试求实数a的取值范围；（3）设函数ϕ(x)=12(x2−3x+3)[f(x)+f′(x)]，求证：对于任意的t>−2，总存在x0∈(−2, t)，满足ϕ′(x0)e x0=23(t−1)2，并确定这样的x0的个数．20. 已知数列{a n}的首项a1＝2a+1(a是常数，且a≠−1)，a n＝2a n−1+n2−4n+2(n≥2)，数列{b n}的首项b1＝a，b n＝a n+n2(n≥2)．（1）证明：{b n}从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设S n为数列{b n}的前n项和，且{S n}是等比数列，求实数a的值；（3）当a>0时，求数列{a n}的最小项．21. 已知矩阵A=[310−1]，求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量a1→，a2→．22. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2√2sin(θ−π4)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为{x=1+45ty=−1−35t（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．23. 如图，PA⊥平面ABCD，AD // BC，∠ABC＝90∘，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB 的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B−PC−D的余弦值．24. 理科附加题：已知(1+12x)n展开式的各项依次记为a1(x)，a2(x)，a3(x)，…a n(x)，a n+1(x)．设F(x)=a1(x)+2a2(x)+3a3(x)，…+na n(x)+(n+1)a n+1(x)．（1）若a1(x)，a2(x)，a3(x)的系数依次成等差数列，求n的值；（2）求证：对任意x1，x2∈[0, 2]，恒有|F(x1)−F(x2)|≤2n−1(n+2)．2012-2013学年江苏省连云港市某校高三（上）质量检测数学试卷答案1. 42. 2−i3. (−1, 0)∪(0, 4)4. 5365. 16. 3647. (−∞,−12e2]8. 119. √3610. 7911. [13，1)12. ②③④13. 891714. 415. 解：（1）函数f(x)=sin(2x+π6)+cos2x+√3sinx⋅cosx=√32sin2x+12cos2x+1+cos2x2+32sin2x=√3sin2x+cos2x+12=2sin(2x+π6)+12，所以函数f(x)的最大值是52，最小正周期为π．（2）f(C2)=2sin(C+π6)+12=52，所以，2sin(C+π6)=1，又C为△ABC的内角，所以C=π3．又因为在△ABC中，cosB=13，所以，sinB=2√23，所以，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2√2+√36．16. 证明：(1)因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．(2)连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD // A1B.因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B // 平面ADC1.17. 解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为500v，全程运输成本为y =a ×500v+0.01v 2×500v=500a v+5v …．故所求函数及其定义域为y =500a v+5v ，v ∈(0, 100]…．（2）依题意知a ，v 都为正数，故有500a v+5v ≥100√a ，当且仅当500a v=5v ，即v =10√a时，等号成立…①若10√a ≤100，即0<a ≤100时，则当v =10√a 时，全程运输成本y 最小． ②若10√a >100，即a >100时，则当v ∈(0, 100]时，有y′=−500a v 2+5=5(v 2−100a)v 2<0．∴ 函数在v ∈(0, 100]上单调递减，也即当v =100时，全程运输成本y 最小．…．综上知，为使全程运输成本y 最小，当0<a ≤100时行驶速度应为v =10√a 千米/时；当a >100时行驶速度应为v =100千米/时．… 18. 解：（1）由离心率为√22及点M(1,√62)在椭圆上， 可得{ ca =√221a 2+32b 2=1a 2=b 2+c 2，∴ a 2=4，b 2=2， ∴ 椭圆的标准方程为x 24+y 22=1…（2）设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则由椭圆的第二定义可得|PF|=2+√22x 1，|QF|=2+√22x 2，|MF|=2+√22， ∵ |PF|、|MF|、|QF|成等差数列，∴ 2|MF|=|PF|+|QF|，∴ 2(2+√22)=4+√22(x 1+x 2)，∴ x 1+x 2=2…①当x 1≠x 2时，∵ x 12+2y 12=4，x 22+2y 22=4， ∴ 两式相减，整理可得y 1−y 2x 1−x 2=−12⋅x 1+x 2y 1+y 2设线段PQ 的中点为N(1, n)，∴ PQ 的斜率为−12n ， ∴ 线段PQ 的中垂线方程为y −n =2n(x −1) ∴ (2x −1)n −y =0，∴ 该直线恒过定点A(12, 0)；②当x 1=x 2时，P(1, −√62)，Q(1, √62)或Q(1, −√62)，P(1, √62) ∴ 线段PQ 的中垂线是x 轴，也过点A(12, 0)． 综上，线段PQ 的垂直平分线过点A(12, 0)．…19. 解：（1）∵ 函数f(x)是实数集R上的奇函数，∴ f(0)=0，∴ 1+a=0，解得a=−1．∴ f(x)=e x−e−x，经验证函数f(x)是R上的奇函数．故a=−1适合题意．（2）a=0时，y=e x在区间[0, 1]上单调递增，适合题意；当a≠0时，令t=e x，∵x∈[0, 1]，∴ t∈[1, e]．且t=e x单调递增，故y=|t+at|在t∈[1, e]时递增．当a>0时，函数y=t+at在t∈[1, e]时单调递增，得√a≤1，∴ 0<a≤1．当a<0时，y=t+at 在t∈[1, e]时单调递增恒成立，故∀t∈[1, e]，t+at≥0．∴ −1≤a<0．综上可知：−1≤a≤1．（3）∵ f(x)+f′(x)=e x+ae x +e x−ae x=2e x，∴ φ(x)=(x2−3x+3)e x，∴ φ′(x)φ(x)=x2−x．要证明：对于任意的t>−2，总存在x0∈(−2, t)，满足ϕ′(x0)e x0=23(t−1)2．等价于证明：对任意的t>−2，方程x2−x=23(t−1)2在区间(−2, t)内有实数解．令g(x)=x2−x−23(t−1)2，则g(−2)=6−23(t−1)2=−23(t+2)(t−4)，g(t)=13(t−1)(t+2)．所以①当t>4，或−2<t<1时，g(−2)g(t)<0，∴ g(x)=0在(−2, t)内有解，且只有一解．②当1<t<4时，g(−2)>0，且g(t)>0，但g(0)=−23(t−1)2<0，∴ g(x)=0在(−2, t)内有解，且由两解．③当t=1时，有且只有一个解x=0；当t=4时，有且只有一个解x=3．综上所述：对于任意的t>−2，总存在x0∈(−2, t)，满足ϕ′(x0)e x0=23(t−1)2．且当t≥4或−2<t≤1时，有唯一的x0适合题意；当1<t<4时，有两个不同的x0适合题意．20. ∵ b n＝a n+n2∴ b n+1＝a n+1+(n+1)2＝2a n+(n+1)2−4(n+1)+2+(n+1)2＝2a n+2n2＝2b n(n≥2)由a1＝2a+1得a2＝4a，b2＝a2+4＝4a+4，∵ a≠−1，∴ b2≠0，即{b n}从第2项起是以2为公比的等比数列．S n=a+(4a+4)(2n−1−1)2−1=−3a−4+(2a+2)2n当n≥2时，S nS n−1=(2a+2)2n−3a−4(2a+2)2n−1−3a−4=2+3a+4(2a+2)2n−1−3a−4∵ {S n }是等比数列， ∴S n S n−1(n ≥2)是常数，∴ 3a +4＝0，即a =−43．由（1）知当n ≥2时，b n ＝(4a +4)2n−2＝(a +1)2n ， 所以a n ={2a +1(a +1)2n −n 2,(n ≥2)，所以数列{a n }:2a +1，4a ，8a −1，16a ，32a +7，… 显然最小项是前三项中的一项． 当a ∈(0,14)时，最小项为8a −1；当a =14时，最小项为4a 或8a −1； 当a ∈(14,12)时，最小项为4a ；当a =12时，最小项为4a 或2a +1；当a ∈(12,+∞)时，最小项为2a +1．21. 解：矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−3−10λ+1|=(λ−3)(λ+1)，令f(λ)=0，得到矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=−1．当λ1=3时，由[310−1][xy ]=3[x y ]，得{3x +y =3x −y =3y ，∴ y =0，取x =1，得到属于特征值3的一个特征向量a 1→=[1]；当λ2=−1时，由[310−1][xy ]=−[x y ]，得{3x +y =−x −y =−y ，取x =1，则y =−4，得到属于特征值−1的一个特征向量a 2→=[1−4]．22. 解：将方程ρ=2√2sin(θ−π4)，{x =1+45ty =−1−35t，分别化为普通方程：x 2+y 2+2x −2y =0，3x +4y +1=0， 由曲线C 的圆心为C(−1, 1)，半径为√2． 所以，圆心C 到直线l 的距离为√9+16=25，故所求弦长为2√2−(25)2=2√465．23. 证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系， A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)， D(0, 3, 0)，P(0, 0, 1)，E(12, 0, 12)，∴ AE →=(12, 0, 12)，BC →=(0, 1, 0)，BP →=(−1, 0, 1)．∴ AE →⋅BC →=0，AE →⋅BP →=0， 所以AE →⊥BC →，AE →⊥BP →．所以AE ⊥BC ，AE ⊥BP ．因为BC ，BP ⊂平面PBC ，且BC ∩BP ＝B ， 所以AE ⊥平面PBC ．设平面PCD 的法向量为n →=(x, y, z)，则n →⋅CD →=0，n →⋅PD →=0． 因为CD →=(−1, 2, 0)，PD →=(0, 3, −1)，所以{−x +2y =03y −z =0．令x ＝2，则y ＝1，z ＝3．所以n →=(2, 1, 3)是平面PCD 的一个法向量． ...8分 因为AE ⊥平面PBC ，所以AE →平面PBC 的法向量． 所以cos <AE →，n →>=AE →⋅n→|AE →||n →|=5√714． 根据图形可知，二面角B −PC −D 的余弦值为−5√714． ...10分24. 解：（1）依题意a k (x)=C n k−1(12x)k−1，k =1，2，3，…，n +1， a 1(x)，a 2(x)，a 3(x)的系数依次为C n 0=1，C n 1⋅12=n2，C n 2⋅(12)2=n(n−1)8，所以2×n 2=1+n(n−1)8，解得n =8；（2）F(x)=a 1(x)+2a 2(x)+3a 3(x)，…+na n (x)+(n +1)a n+1(x)=C n 0+2C n 1(12x)+3C n 2(12x)2…+nC n n−1(12x)n−1+(n +1)C n n (12x)n F(2)−F(0)=2C n 1+3C n 2...+nC n n−1+(n +1)C n n设S n=C n0+2C n1+3C n2...+nC n n−1+(n+1)C n n，则S n=(n+1)C n n+nC n n−1...+3C n2+2C n1+C n0考虑到C n k=C n n−k，将以上两式相加得：2S n=(n+2)(C n0+C n1+C n2...+C n n−1+C n n)所以S n=(n+2)2n−1所以F(2)−F(0)=(n+2)2n−1−1又当x∈[0, 2]时，F′(x)≥0恒成立，从而F(x)是[0, 2]上的单调递增函数，所以对任意x1，x2∈[0, 2]，|F(x1)−F(x2)|≤F(2)−F(0)=(n+2)2n−1−1<(n+ 2)2n−1．。
2012-2013学年江苏省四校联考高三(上)期中数学试卷(含解析)
2012-2013学年江苏省四校联考高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知i是虚数单位，复数，则|z|=．==﹣+故答案为：2．（5分）若函数f（x）=+是偶函数，则实数a的值为2．+，可以求得=是偶函数，，+3．（5分）（2012•盐城二模）已知集合P={﹣1，m}，，若P∩Q≠∅，则整数m=0．4．（5分）（2012•盐城二模）已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为．设向量与的夹角为，可得•，再根据，得•﹣2与解：设向量与的夹角为∴•=∵，∴=•﹣2=0，得2cosθ﹣1=0，所以cosθ=，故答案为：本题给出单位向量与向量的差向量垂直于单位向量与5．（5分）（2012•盐城二模）若命题“∀x∈R，x2﹣ax+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是[0，4]．6．（5分）已知三角形的一边长为5，所对角为60°，则另两边长之和的取值范围是（5，10]．所以25≥，所以a+b≤10．7．（5分）（2010•南通模拟）已知数列{a n}为等差数列，若，则数列{|a n|}的最小项是第6项．绝对值的大小．解：∵＜0∵∴，|a5|＞|a6|8．（5分）已知θ是第二象限角，且，则的值为．tan的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数tan的值代入计算，即可求出值．=﹣，，即2﹣3tan﹣tan﹣tan（﹣=．故答案为：9．（5分）已知函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x﹣1，则函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为6x﹣y﹣5=0．10．（5分）等差数列{a n}中，已知a8≥15，a9≤13，则a12的取值范围是（﹣∞，7]．，故，所以a12=a9+3d，能求出a12的取值范围．∴∴，11．（5分）在锐角△ABC中，若tanA=t+1，tanB=t﹣1，则t的取值范围为t＞．∴＞0，＞，＞12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=﹣x3+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为．为切线的斜率，根据切点和斜率表示出切线的方程，分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点坐标，由交点坐标表示出△AOB的面积S，利用基本不等式即可求出面积的最小值时P横坐标的值，把此时P横坐标的值代入S中即可求出S的最小值．解答：解：根据题意设P的坐标为（t，﹣t3+1），且0＜t＜1，求导得：y′=﹣3x2，故切线的斜率k=y′|x=t=﹣3t2，所以切线方程为：y﹣（﹣t3+1）=﹣3t2（x﹣t），令x=0，解得：y=2t3+1；令y=0，解得：x=，所以△AOB的面积S=（2t3+1）•=，设y=2t2+=2t2++≥3，当且仅当2t2=，即t3=，即t=取等号，把t=代入得：S min=．故答案为：点评：解本题的思路是设出切点P的坐标，求出曲线方程的导函数，把P的横坐标代入导函数中求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，进而表示出三角形ABC 的面积S，变形后利用基本不等式即可求出S最小时P横坐标的值，把此时P的横坐标代入S即可求出S的最小值．要求学生掌握求导法则以及会利用基本不等式求函数的最小值．13．（5分）（2012•江苏二模）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n和T n，若，且是整数，则n的值为15．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：在中，令n=1可得a1=13b1 ，设等差数列{a n}和{b n}的公差分别为d1和d2，再分别令n=2，3，解得b1=2d2，d1=7d2 ，a1=26d2．化简为是整数，由此可得n的值．解答：解：由题意可得===13，故a1=13b1．设等差数列{a n}和{b n}的公差分别为d1和d2，由===，把a1=13b1代入化简可得12b1=59d2﹣5d1①．再由===11，把a1=13b1代入化简可得2b1=11d2﹣d1②．解①②求得b1=2d2，d1=7d2．故有a1=26d2．由于===为整数，∴n=15，故答案为15．点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键，属于中档题．14．（5分）若关于x的方程|e x﹣3x|=kx有四个实数根，则实数k的取值范围为（0，3﹣e）．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．15．（14分）（2011•东城区二模）已知，．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求函数的值域．）先利用同角三角函数基本关系式求弦公式将cosA变换为，代入计算即可2，且所以．=所以）可得所以，因为sinx∈[﹣1，1]，所以，当时，f（x）取最大值；）的值域为16．（14分）设，，（x∈R，m∈R）．（Ⅰ）若与的夹角为钝角，求x的取值范围；（Ⅱ）解关于x的不等式．）根据已知中向量的坐标及与的夹角为钝角，根据向量数量积的定义，可得＜）根据利用平方法可得）∵，与的夹角为钝角，解得时，与所以当与的夹角为钝角时，的取值范围为）由知，又∵时，与17．（15分）（2008•湖北模拟）随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140＜2a＜420，且a为偶数），每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？分析：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，y=（2a﹣x）（b+0.01bx）﹣0.4bx，配方求y的最大值．则（5分），∴]（1）当，即70＜a≤140时，x=a﹣70，y 取到最大值；（10分））当，即x=当140＜a＜210，公司应裁员为，经济效益取到最大值（15分）18．（15分）已知函数f（x）=xlnx．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（II）若f（x）≥﹣x2+ax﹣6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（III）过点A（﹣e﹣2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程．专题：综合题；压轴题．，设，由此能求出g（x）最小值g（2）=5+ln2，从而能求出，故∴∴函数f（x）的单调递减区间是；（4分）即，∴，∴19．（16分）（2012•江西模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．n}的通项公式．（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出b n，根据数列{b n}通项的特点，选择错位相减解得）n前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．20．（16分）已知函数f（x）=e x（x2+ax+1）．（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；（2）求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求a的值即可；（2）对参数a进行分类，先研究f（x）的单调性，利用导数求解f（x）在R上的最小值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值即得．解答：解：f'（x）=e x[x2+（a+2）x+a+1]（2分）（1）f'（2）=e2[4+2（a+2）+a+1]=0，解得a=﹣3（4分）（2）令f'（x）=0，得x1=﹣1，x2=﹣1﹣a当a=0时，无极值（7分）当a＞0，﹣1＞﹣1﹣a，f（x）在（﹣∞，﹣1﹣a），（﹣1，+∞）上递增，（﹣1﹣a，﹣1）上递减极大值为f（﹣1﹣a）=e﹣1﹣a（a+2），极小值（10分）当a＜0时，﹣1＜﹣1﹣a，f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1﹣a，+∞）上递增，（﹣1，﹣a﹣1）上递减极大值为，极小值f（﹣1﹣a）=e﹣1﹣a（a+2）（13分）点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力．21．（10分）已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．考点：反证法与放缩法．专题：反证法．分析：本题利反证法证明：先假设a不是偶数，即a是奇数．设a=2n+1（n∈Z），平方得a2=4n2+4n+1．因4（n2+n）是偶数，导出矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．解答：证明：（反证法）假设a不是偶数，即a是奇数．设a=2n+1（n∈Z），则a2=4n2+4n+1．因4（n2+n）是偶数，∴4n2+4n+1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．点评：此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．22．（10分）已知曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相同，求φ的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：导数的概念及应用．分析：分别求出两函数的导函数，根据导函数的取值范围可求出切线的斜率，从而求出切线方程，然后根据曲线在点B处的切线相同，可求出φ的值．解答：解：k=y′=，当且仅当x+2=，即x+2=1，x=﹣1时，取等号…（2分）切又k切=y′=2cos（2x+ϕ）≤2，由题意，k切=2，此时切点A（﹣1，﹣1），切线l：y=2x+1…（5分），又，23．（10分）数列{a n}的前n项和为S n，存在常数A，B，C，使得a n+S n=An2+Bn+C对任意正整数n都成立．若数列{a n}为等差数列，求证：3A﹣B+C=0．n（﹣所以A=d d24．（10分）已知函数f（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x2﹣2x，x∈[0，+∞），求f（x）的最大值．。
江苏省连云港市某重点中学2012-2013学年高二上学期期中考试化学试题(必修)
2012-2013学年高二上学期期中考试化学试题注意事项：1．本卷满分120分，考试时间120分钟。
2.答题前请将姓名，考试号填写在答题纸的规定位置。
3. 本卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，Ⅰ卷为选择题，Ⅱ卷非选择题4.可能用到的：H-1 C-12 N-14 O-16 Ca-40 Br-80 Ag-108Ⅰ卷（选择题，共36分）1. 下列各组物质，最简式相同，但既不是同系物，又不是同分异构体的是A．丙烯、； B．乙酸、甲酸甲酯；C．CH3—C6H4—OH与C6H5—CH2—OH； D．甲醛、甲酸甲酯2．下列物质液体混合用分液漏斗能分离两组分的是A．乙醇和乙酸B．乙醛和水C．甲苯和水 D．苯和溴苯3．有关天然产物水解的叙述不正确的是A．油脂水解可得丙三醇B．可用碘检验淀粉水解是否完全C．蛋白质水解的最终产物均为氨基酸D．纤维素水解和淀粉水解的最终产物不同4．下列有关化学用语或名称正确的是A．乙酸乙酯的结构简式：CH3CH2COOCH2CH3 B．的名称：2—甲基乙醇C．聚丙烯的结构简式为： [-CH3CH-CH2-]n D．CH4Si的结构式：CH2=SiH25.甲醇燃烧生成CO2和液态水时放热22.68kJ，下列热化学方程式正确的是A．CH3OH（l）+O2（g）→CO2（g）+2H2O（l）△H=+725.8 kJ/molB．2CH3OH（l）+3O2（g）→2CO2（g）+4H2O（l）△H=－1452 kJ/molC．2CH3OH（l）+3O2（g）→2CO2（g）+4H2O（l）△H=－725.8 kJ/molD．2CH3OH（l）+3O2（g）→2CO2（g）+4H2O（l）△H=+1452 kJ/mol6．欲从苯酚的乙醇溶液中回收苯酚，有下列操作：①蒸馏②过滤③静置分液④加入足量金属钠⑤通入过量CO2气体⑥加入足量的钠溶液⑦加入足量的FeCl3溶液⑧加入乙酸与浓硫酸混合液加热，合理的操作顺序是A⑧① B．④⑤③ C．⑧②⑤③ D．⑥①⑤③7．在核磁共振氢谱中出现两组峰，其氢原子数之比为3∶3的化合物是A乙醇 B丙酮 C乙酸甲酯 D乙酸乙酯8．甲酸甲酯，它在一定条件下可能发生的反应有①加成②水解③酯化④氧化⑤中和⑥消去A．②③④ B．①②④ C．①②④⑤ D．①③⑤⑥9．某羧酸衍生物A，其分子式为C6H12O2，实验表明A和氢氧化钠溶液共热生成B和C，B和盐酸反应生成有机物D，C在铜催化和加热的条件下氧化为E，其中D、E都不能发生银镜反应。
江苏省盐城中学20122013学年度第一学期期中考试高一年级数学试题
江苏省盐城中学2012—2013学年度第一学期期中考试高一年级数学试题（2012.11）命题人：钱俊 翟正平 审核人：徐文试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分。
一、 填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1、设集合 },2|{},4,3,2,1{≤==x x Q P 则P Q ⋂= ▲ .2、下列各式中，集合关系表示正确的序号是 ▲ . ① {}=0φ ② {}0φ⊂≠③ {}{}11,2,3∈3、函数1+=x y ＋x-21的定义域为 ▲ ． 4、计算：0.550.25log 25--= ▲ .5、已知幂函数的图象过点(4,2)，则这个幂函数的解析式为 ▲ .6、设函数2,1()1,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，则[(2)]f f -的值为 ▲ .7、若函数()3x f x a =+(01)a a >≠且 的图象恒过定点P,则P 点的坐标是 ▲ . 8、若0.40.30.30.3,0.3,log 4,a b c === ，则这3个数按由小到大的顺序为 ▲ . 9、已知函数2()22f x x x =-+定义域为[]0,b ，值域为[]1,5，则b ＝ ▲ .10、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()f x x x =+， 则当0x <时，()f x 的解析式为 ▲ .11、设定义在R 上的奇函数()x f 在()∞+，0上为增函数，且()02=f ，则不等式()0f x <的解集为 ▲ . 12、已知2011()sin 5f x axb x =+-，且(2)8f -=，那么=)2(f ▲ .13、若0x 是方程22log (1)x x+=的1个根，且()0,1,x a a a Z ∈+∈，则a = ▲ . 14、已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,（,a b 为整数），值域是[]1,0，则满足条件的整数数对),(b a 共有 ▲ 个.二、解答题（本大题共6小题，计80分. 请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15、已知集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，{}|C x x a =<. （1）求()R C A B ⋂； （2）若A C ⊆,求实数a 的取值范围．16、已知函数2()21x x mf x +=+为奇函数，m R ∈.(1) 求m 的值；（2）利用定义判断并证明函数()f x 的单调性，并求出()f x 在[1,1]-上的最大值.17、已知()3x f x =，并且(2)18f a +=，()34ax xg x =- ()a R ∈．(1) 求函数()g x 的解析式； (2) 求函数()g x 在[]1,1-上的值域．18、如图：,A B 两城相距100km ，某天燃气公司计划在两地之间建一天燃气站D 给,A B 两城供气. 已知D 地距A 城x km ，为保证城市安全，天燃气站距两城市的距离均不得少于10km . 已知建设费用y (万元)与,A B 两地的供气距离(km )的平方和成正比，当天燃气站D 距A 城的距离为40km 时, 建设费用为1300万元.（供气距离指天燃气站到城市的距离）（1）把建设费用y (万元)表示成供气距离x (km )的函数，并求定义域；（2）天燃气供气站建在距A 城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？19、已知二次函数()f x 的最小值为1，(0)(2)3f f ==，()()g x f x ax =- ()a R ∈ . （1）求()f x 的解析式；（2）若()g x 在[]1,1-上的最小值为1，求实数a 的值；（3）若在区间[1,1]-上，()y g x =的图象恒在27y x =+的图象下方，求实数a 的取值范围.D BA20、函数()f x 的定义域为),0(+∞且对一切0,0>>y x ，都有)()()(y f x f yx f -=，当1>x 时，有()0f x >. (1)求(1)f 的值；(2)判断()f x 的单调性并证明；(3)若(6)1f =，解不等式1(5)()2f x f x+-<．江苏省盐城中学2012—2013学年度第一学期期中考试高一年级数学试题（2012.11）命题人：钱俊 翟正平 审核人：徐文试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分。
江苏连云灌南高级中学2013高三(上)期中-数学(理)(含解析(精)
2012-2013学年江苏省连云港市灌南高级中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题纸相应位置上．1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∩B={3}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：找出U中不属于A的元素，确定出A的补集，找出A补集与B的公共元素，即可求出所求的集合．解答：解：∵U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，∴∁U A={3，4，5}，又B={2，3}，则（∁U A）∩B={3}．故答案为：{3}点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．2．（5分）若复数z=（是虚数单位），则复数z的虚部是．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，化简复数z等于+i，由此可得它的虚部．解答：解：∵复数z====+i，故它的虚部等于，故答案为．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）设S n是等差数列{a n}（n∈N+）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S5=25．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由d=求出公差d，然后代入等差数列的求和公式即可求解解答：解：∵a1=1，a4=7，∴d==2∴=25故答案为：25点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题4．（5分）函数，则f（2）=1．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：按照分段函数解析式的特点代入数值计算即可．解答：解：由f（x）解析式得，f（2）=f（2+3）=f（5）=5﹣4=1，故答案为：1．点评：本题考查分段函数求值，属基础题．5．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+|=．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积的定义求出=1，求出=+2+的值，即可求得的值．解答：解：由题意可得||=2，||=1，向量与的夹角为60°，∴=2×1×cos60°=1，∴=+2+=4+2+1=7，∴=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．6．（5分）已知510°角的始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P（m，2），则m=﹣2．考点：任意角的概念．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式求得cos510°=﹣，再由任意角的三角函数的定义可得m＜0且﹣=，由此求得m的值．解答：解：∵510°=360°+150°，∴cos510°=cos150°=﹣cos30°=﹣．再由510°角的终边经过点P（m，2），可得m＜0，且cos510°=﹣=，解得m=﹣2，故答案为﹣2．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，终边相同的角的性质，属于基础题．7．（5分）函数的定义域是．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：欲求函数的定义域，只需找到使函数解析式有意义的x的取值范围，因为函数中有对数，所以真数大于0，因为函数中有二次根式，所以被开方数大于等于0，解不等式组即可．解答：解：要使函数有意义，需满足，解得∴函数的定义域为故答案为点评：本题主要考察了函数定义域的求法，主要是求使函数成立的x的取值范围．8．（5分）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g （﹣1）=3．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题．分析：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2得到g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4，从而解出答案解答：解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4又g（1）=1∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3故答案为3点评：本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是利用性质得到恒成立的等式，再利用所得的恒等式通过赋值求函数值9．（5分）已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列的前n项和为Sn，则S2013的值为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求得结论．解答：解：由f（x）=x2+bx求导得：f′（x）=2x+b，∵函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，∴f′（1）=2+b=3，∴b=1，∴f（x）=x2+x所以f（n）=n（n+1），∴=∴S 2013的值为1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=故答案为：点评：本题考查了导函数的几何意义，考查利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法，属于中档题．10．（5分）在锐角△ABC中，若A=2B，则的取值范围是（，）．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，将A=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为2cosB，根据三角形的内角和定理及三角形ABC为锐角三角形，求出B的范围，进而确定出cosB的范围，即可得出所求式子的范围．解答：解：∵A=2B，∴根据正弦定理=得：====2cosB，∵A+B+C=180°，∴3B+C=180°，即C=180°﹣3B，∵C为锐角，∴30°＜B＜60°，又0＜A=2B＜90°，∴30°＜B＜45°，∴＜cosB＜，即＜2cosB＜，则的取值范围是（，）．故答案为：（，）点评：此题考查了正弦定理，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．11．（5分）已知函数存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：利用导数进行理解，即f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．可得ax2+2x﹣1＞0在正数范围内至少有一个解，结合根的判别式列式，不难得到a的取值范围．解答：解：对函数求导数，得f'（x）=﹣，（x＞0）依题意，得f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．即ax2+2x﹣1＞0在x＞0时有解．∴△=4+4a＞0且方程ax2+2x﹣1=0至少有一个正根．∴a＞﹣1，∴a≠0，∴﹣1＜a＜0，或a＞0．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．…（5分）点评：本题主要考查函数与导数，以及函数与方程思想，体现了导数值为一种研究函数的工具，能完成单调性的判定和最值的求解方程，同时能结合常用数学思想，来考查同学们灵活运用知识解决问题的能力．12．（5分）（2010•马鞍山模拟）如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则=5．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；转化思想．分析：先利用向量的加法把转化为，再代入原题整理后即可求得结论．解答：解：因为=（+）+（+）=+（）=．∴（）•（）=（）•（）=﹣=32﹣22=5．故答案为5点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及向量的加法运算，是对基础知识的考查，属于基础题目．13．（5分）（2011•盐城模拟）已知函数f（x）=|x2﹣6|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），则a2b的最小值是﹣16．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得a2﹣6=6﹣b2，即a2+b2=12，﹣2＜b＜0，故g（b）=a2b=（12﹣b2）b=12b ﹣b3．利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最小值．解答：解：∵函数f（x）=|x2﹣6|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），∴a2﹣6=6﹣b2，即a2+b2=12．∴﹣＜b＜0，∴a2b=（12﹣b2）b=12b﹣b3．设g（b）=12b﹣b3，则g'（b）=12﹣3b2，令g'（b）=0，解得b=﹣2，所以，g（b）在（﹣，﹣2）上单调递减，g（b）在[﹣2，0）上单调增，故g（b）最小值是g（﹣2）=﹣24+8=﹣16，故答案为﹣16．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最小值，属于基础题．14．（5分）（2011•盐城模拟）设等差数列{a n}满足：公差d∈N*，a n∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若a1=35，则d的所有可能取值之和为364．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：先求出数列的通项公式，求出数列{a n}中任意两项之和，根据数列{a n}中任意两项之和仍是该数列中的一项求出d=，再结合k，m，n，d∈N*，即可求出d的所有可能取值进而求出结论．解答：解：设等差数列的公差为d，若a1=35，=243，则a n=243+（n﹣1）d．所以数列{a n}中任意两项之和a m+a n=243+（m﹣1）d+243+（n﹣1）d=486+（m+n﹣2）d．设任意一项为a k=243+（k﹣1）d．则由a m+a n=a k可得243+（m+n﹣k﹣1）d=0，化简可得d=．再由k，m，n，d∈N*，可得k+1﹣m﹣n=1，3，9，27，81，243，∴d=243，81，27，9，3，1，则d的所有可能取值之和为364，故答案为364．点评：本题主要考查等差数列的性质．解决问题的关键在于利用数列{a n}中任意两项之和仍是该数列中的一项求出d=，属于中档题．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）（2011•日照模拟）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：充分条件；命题的真假判断与应用．分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．解答：解：（1）a=1时，命题p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3命题q ：⇔⇔2＜x ≤3，p ∧q 为真，即p 和q 均为真，故实数x 的取值范围是2＜x ＜3（2）﹁p 是﹁q 的充分不必要条件⇔q 是p 的充分不必要条件，即q ⇒p ，反之不成立．即q 中的不等式的解集是p 中的不等式解集的子集． 由（1）知命题q ：2＜x ≤3，命题p ：实数x 满足x 2﹣4ax+3a 2＜0⇔（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0 由题意a ＞0，所以命题p ：a ＜x ＜3a ， 所以，所以1＜a ≤2点评： 本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度不大．16．（14分）（2011•新余二模）已知函数，其中=，．（1）求函数f （x ）在区间上的单调递增区间和值域；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，f （A ）=﹣1，且b=1△ABC 的面积，求边a 的值．考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数中的恒等变换应用；解三角形．专题：计算题．分析：（1）利用向量的数量积，二倍角公式两角差的余弦函数化简函数的表达式，然后结合余弦函数的单调增区间求函数的单调递增区间，确定函数 在上的单调增区间，单调减区间，然后求出函数的最大值最小值，即可确定函数的值域．（2））由于f （A ）=﹣1，求得又求得c=4最后由余弦定理得a 值即可． 解答：解：（1）==（2分）由得，又∴单调增区间为．（4分）由∴﹣1≤f （x ）≤2∴f （x ）∈[﹣1，2]（6分） （2）∵f （A ）=﹣1，∴，（8分） 又，∴c=4（10分）由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=13（12分）点评： 本题是基础题，考查向量数量积的应用，三角函数的化简求值，单调区间的求法，最值的求法，考查计算能力，注意函数值域的确定中，区间的讨论，单调性的应用是解题的易错点． 17．（15分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2﹣a n ，n=1，2，3，…． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式； （3）设c n =n （3﹣b n ），求数列{c n }的前n 项和为T n ．考点：数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）利用数列中a n 与 Sn 关系解决．（2）结合（1）所求得出b n+1﹣b n =．利用累加法求b n（3）由上求出c n =n （3﹣b n ）=，利用错位相消法求和即可．解答： 解：（1）因为n=1时，a 1+S 1=a 1+a 1=2，所以a 1=1． 因为S n =2﹣a n ，即a n +S n =2，所以a n+1+S n+1=2． 两式相减：a n+1﹣a n +S n+1﹣S n =0，即a n+1﹣a n +a n+1=0，故有2a n+1=a n ．因为a n ≠0，所以=（ n ∈N *）．所以数列{a n }是首项a 1=1，公比为的等比数列，a n =（ n ∈N *）．（2）因为b n+1=b n +a n （ n=1，2，3，…），所以b n+1﹣b n =．从而有b 2﹣b 1=1，b 3﹣b2=，b4﹣b3=，…，b n﹣b n=（n=2，3，…）．﹣1将这n﹣1个等式相加，得b n﹣b1=1+++…+==2﹣．又因为b 1=1，所以b n=3﹣（n=1，2，3，…）．（3）因为c n=n （3﹣b n）=，所以T n=．①=．②①﹣②，得=﹣．故T n=﹣=8﹣﹣=8﹣（n=1，2，3，…）．点本题考查利用数列中a n与Sn关系求数列通项，累加法、评：错位相消法求和，考查转化、变形构造、计算能力．18．（15分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点：圆锥曲线的综合．专题：应用题．分析：（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．解答：解：（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．19．（16分）已知函数．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．考点：函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=1代入函数解析式，求导后由导函数等于0把定义域分段，判断出各区间段内的导函数的符号，由导函数的符号得到原函数的单调性，从而判断出极值点并求出极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在[2，+∞）大于等于0恒成立得到x﹣2a≥0在[2，+∞）恒成立，分离变量a后即可得到a的取值范围；（3）由原函数的导函数等于0求出导函数的零点，由零点对定义域分段，然后根据原函数的极值点与给出的区间端点值得大小关系分析原函数在区间[1，e]上的单调性，由单调性求得原函数在[1，e]上的最小值，由最小值等于3解得a的值．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+，定义域为（0，+∞），．所以，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以在（0，+∞）上f（x）有极小值，极小值为f（2）=1+ln2；（2）由，所以．若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，则在[2，+∞）恒成立，即x﹣2a≥0在[2，+∞）恒成立，也就是在[2，+∞）恒成立，所以a≤1．所以使函数f（x）在[2，+∞）上是增函数的实数a的取值范围是（﹣∞，1]；（3）由（2）知，以，若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）=2a=3，，不合题意；若a＞0，由f′（x）=0，得x=2a．当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以当2a≤1，即时，f（x）在[1，e]上为增函数，最小值为f（1）=2a=3，，不合题意；当2a≥e，即a≥时，f（x）在[1，e]上为减函数，最小值为f（e）=1+=3，a=e，符合题意；当1＜2a＜e，即时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（2a）=ln2a+1=3，a=不合题意．综上，使函数f（x）在[1，e]上的最小值为3的实数a的值为e．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用分离变量法求参数的范围，解答的关键是会求基本初等函数的导函数和对变量的正确分类，是难题．20．（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）设f（x）在[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合{x|f（x）=x}={1}，且a≥1，记h（a）=M+m，求h（d）的最小值．（2）当a=2，c=﹣1时，①设A=[﹣1，1]，不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，求实数b的取值范围；②设g（x）=|x﹣t|﹣x2﹣bx（t∈R），求f（x）+g（x）的最小值．考点：二次函数在闭区间上的最值；集合的包含关系判断及应用；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得方程ax2+bx+c=x存在两等根x1=x2=1，可得b=1﹣2a，c=a，由此可得f（x）的解析式，可得h（a）=M+m=f（﹣2）+f（1﹣）=9a﹣﹣1，再利用单调性求出h（a）的最小值．（2）①由不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，可得，由此解得b的范围．②根据f（x）+g（x）=x2+|x﹣t|﹣1，分t＜﹣时、当﹣≤t≤时、t＞时三种情况分别求得f（x）+g（x）的最小值．解答：解：（1）由题意可得方程ax2+bx+c=x 存在两等根x1=x2=1，可得b=1﹣2a，c=a．∴f（x）=a +1﹣，它的对称轴为x=1﹣∈[，1]．∵x∈[﹣2，2]，∴h（a）=M+m=f（﹣2）+f（1﹣）=9a﹣﹣1，∵a≥1，故函数h（a）为增函数，∴函数h（a）的最小值为h（1）=．（2）当a=2，c=﹣1时，f（x）=2x2+bx﹣1，①由不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，可得，解得b∈[﹣1，1]．②f（x）+g（x）=x2+|x﹣t|﹣1=．当t＜﹣时，最小值为﹣t﹣，当﹣≤t≤时，最小值为t2﹣1，当t＞时，最小值为t﹣．点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
【解析版】江苏省连云港市灌南高级中学2013届高三数学上学期期中试题 理 苏教版
2012-2013学年某某省某某市灌南高级中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题纸相应位置上．1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∩B={3} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：找出U中不属于A的元素，确定出A的补集，找出A补集与B的公共元素，即可求出所求的集合．解答：解：∵U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，∴∁U A={3，4，5}，又B={2，3}，则（∁U A）∩B={3}．故答案为：{3}点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．2．（5分）若复数z=（是虚数单位），则复数z的虚部是．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，化简复数z等于+i，由此可得它的虚部．解答：解：∵复数z====+i，故它的虚部等于，故答案为．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）设S n是等差数列{a n}（n∈N+）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S5= 25 ．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由d=求出公差d，然后代入等差数列的求和公式即可求解解答：解：∵a1=1，a4=7，∴d==2∴=25故答案为：25点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题4．（5分）函数，则f（2）= 1 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：按照分段函数解析式的特点代入数值计算即可．解答：解：由f（x）解析式得，f（2）=f（2+3）=f（5）=5﹣4=1，故答案为：1．点评：本题考查分段函数求值，属基础题．5．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+|=．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积的定义求出=1，求出=+2+的值，即可求得的值．解答：解：由题意可得||=2，||=1，向量与的夹角为60°，∴=2×1×cos60°=1，∴=+2+=4+2+1=7，∴=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．6．（5分）已知510°角的始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P（m，2），则m= ﹣2．考点：任意角的概念．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式求得cos510°=﹣，再由任意角的三角函数的定义可得m＜0且﹣=，由此求得m的值．解答：解：∵510°=360°+150°，∴cos510°=cos150°=﹣cos30°=﹣．再由510°角的终边经过点P（m，2），可得m＜0，且cos510°=﹣=，解得 m=﹣2，故答案为﹣2．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，终边相同的角的性质，属于基础题．7．（5分）函数的定义域是．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：欲求函数的定义域，只需找到使函数解析式有意义的x的取值X围，因为函数中有对数，所以真数大于0，因为函数中有二次根式，所以被开方数大于等于0，解不等式组即可．解答：解：要使函数有意义，需满足，解得∴函数的定义域为故答案为点评：本题主要考察了函数定义域的求法，主要是求使函数成立的x的取值X围．8．（5分）（2012•某某）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g （﹣1）= 3 ．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题．分析：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2得到g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4，从而解出答案解答：解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2 ∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4又g（1）=1∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3故答案为3点评：本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是利用性质得到恒成立的等式，再利用所得的恒等式通过赋值求函数值9．（5分）已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2013的值为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求得结论．解答：解：由f（x）=x2+bx求导得：f′（x）=2x+b，∵函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，∴f′（1）=2+b=3，∴b=1，∴f（x）=x2+x所以f（n）=n（n+1），∴=∴S2013的值为1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=故答案为：点评：本题考查了导函数的几何意义，考查利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法，属于中档题．10．（5分）在锐角△ABC中，若A=2B，则的取值X围是（，）．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，将A=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为2cosB，根据三角形的内角和定理及三角形ABC为锐角三角形，求出B的X 围，进而确定出cosB的X围，即可得出所求式子的X围．解答：解：∵A=2B，∴根据正弦定理=得：====2cosB，∵A+B+C=180°，∴3B+C=180°，即C=180°﹣3B，∵C为锐角，∴30°＜B＜60°，又0＜A=2B＜90°，∴30°＜B＜45°，∴＜cosB＜，即＜2cosB＜，则的取值X围是（，）．故答案为：（，）点评：此题考查了正弦定理，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．11．（5分）已知函数存在单调递减区间，则实数a 的取值X围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：利用导数进行理解，即f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．可得ax2+2x﹣1＞0在正数X围内至少有一个解，结合根的判别式列式，不难得到a的取值X围．解答：解：对函数求导数，得f'（x）=﹣，（x＞0）依题意，得f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．即ax2+2x﹣1＞0在x＞0时有解．∴△=4+4a＞0且方程ax2+2x﹣1=0至少有一个正根．∴a＞﹣1，∴a≠0，∴﹣1＜a＜0，或a＞0．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．…（5分）点评：本题主要考查函数与导数，以及函数与方程思想，体现了导数值为一种研究函数的工具，能完成单调性的判定和最值的求解方程，同时能结合常用数学思想，来考查同学们灵活运用知识解决问题的能力．12．（5分）（2010•马某某模拟）如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则= 5 ．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；转化思想．分析：先利用向量的加法把转化为，再代入原题整理后即可求得结论．解答：解：因为=（+）+（+）=+（）=．∴（）•（）=（）•（）=﹣=32﹣22=5．故答案为5点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及向量的加法运算，是对基础知识的考查，属于基础题目．13．（5分）（2011•某某模拟）已知函数f（x）=|x2﹣6|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），则a2b的最小值是﹣16 ．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得 a2﹣6=6﹣b2，即 a2+b2=12，﹣2＜b＜0，故g（b）=a2b=（12﹣b2） b=12b ﹣b3．利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最小值．解答：解：∵函数f（x）=|x2﹣6|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），∴a2﹣6=6﹣b2，即a2+b2=12．∴﹣＜b＜0，∴a2b=（12﹣b2） b=12b﹣b3．设g（b）=12b﹣b3，则 g'（b）=12﹣3b2，令 g'（b）=0，解得b=﹣2，所以，g（b）在（﹣，﹣2）上单调递减，g（b）在[﹣2，0）上单调增，故g（b）最小值是g（﹣2）=﹣24+8=﹣16，故答案为﹣16．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最小值，属于基础题．14．（5分）（2011•某某模拟）设等差数列{a n}满足：公差d∈N*，a n∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若a1=35，则d的所有可能取值之和为364 ．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：先求出数列的通项公式，求出数列{a n}中任意两项之和，根据数列{a n}中任意两项之和仍是该数列中的一项求出d=，再结合k，m，n，d∈N*，即可求出d的所有可能取值进而求出结论．解答：解：设等差数列的公差为d，若a1=35，=243，则a n=243+（n﹣1）d．所以数列{a n}中任意两项之和a m+a n=243+（m﹣1）d+243+（n﹣1）d=486+（m+n﹣2）d．设任意一项为a k=243+（k﹣1）d．则由a m+a n=a k可得 243+（m+n﹣k﹣1）d=0，化简可得 d=．再由k，m，n，d∈N*，可得 k+1﹣m﹣n=1，3，9，27，81，243，∴d=243，81，27，9，3，1，则d的所有可能取值之和为 364，故答案为 364．点评：本题主要考查等差数列的性质．解决问题的关键在于利用数列{a n}中任意两项之和仍是该数列中的一项求出d=，属于中档题．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（14分）（2011•日照模拟）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，某某数x的取值X围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，某某数a的取值X围．考点：充分条件；命题的真假判断与应用．分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．解答：解：（1）a=1时，命题p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3命题q：⇔⇔2＜x≤3，p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值X围是2＜x＜3（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．由（1）知命题q：2＜x≤3，命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0⇔（x﹣a）（x﹣3a）＜0由题意a＞0，所以命题p：a ＜x＜3a，所以，所以1＜a≤2点评：本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度不大．16．（14分）（2011•某某二模）已知函数，其中=，．（1）求函数f（x ）在区间上的单调递增区间和值域；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C 的对边，f（A）=﹣1，且b=1△ABC的面积，求边a的值．考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数中的恒等变换应用；解三角形．专题：计算题．分析（1）利用向量的数量积，二倍角公式两角差的余弦函数化简函数的表达式，然后结合：余弦函数的单调增区间求函数的单调递增区间，确定函数在上的单调增区间，单调减区间，然后求出函数的最大值最小值，即可确定函数的值域．（2））由于f（A）=﹣1，求得又求得c=4最后由余弦定理得a值即可．解答：解：（1）==（2分）由得，又∴单调增区间为．（4分）由∴﹣1≤f（x）≤2∴f（x）∈[﹣1，2]（6分）（2）∵f（A）=﹣1，∴，（8分）又，∴c=4（10分）由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=13（12分）点评：本题是基础题，考查向量数量积的应用，三角函数的化简求值，单调区间的求法，最值的求法，考查计算能力，注意函数值域的确定中，区间的讨论，单调性的应用是解题的易错点．17．（15分）设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2﹣a n，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+a n，求数列{b n}的通项公式；（3）设=n （3﹣b n），求数列{}的前n项和为T n．考点：数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）利用数列中a n与 Sn关系解决．（2）结合（1）所求得出b n+1﹣b n=．利用累加法求b n（3）由上求出=n （3﹣b n）=，利用错位相消法求和即可．解解：（1）因为n=1时，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1．答：因为S n=2﹣a n，即a n+S n=2，所以a n+1+S n+1=2．两式相减：a n+1﹣a n+S n+1﹣S n=0，即a n+1﹣a n+a n+1=0，故有2a n+1=a n．因为a n≠0，所以=（ n∈N*）．所以数列{a n}是首项a1=1，公比为的等比数列，a n=（ n∈N*）．（2）因为b n+1=b n+a n（ n=1，2，3，…），所以b n+1﹣b n=．从而有b2﹣b1=1，b3﹣b2=，b4﹣b3=，…，b n﹣b n﹣1=（ n=2，3，…）．将这n﹣1个等式相加，得b n﹣b1=1+++…+==2﹣．又因为b1=1，所以b n=3﹣（ n=1，2，3，…）．（3）因为=n （3﹣b n）=，所以T n=．①=．②①﹣②，得=﹣．故T n=﹣=8﹣﹣=8﹣（ n=1，2，3，…）．点评：本题考查利用数列中a n与 Sn关系求数列通项，累加法、错位相消法求和，考查转化、变形构造、计算能力．18．（15分）（2012•某某）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？圆锥曲线的综合．考点：专应用题．题：分（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P的纵坐标，利析：用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．解解：（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐答：标y P=3．…2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．19．（16分）已知函数．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，某某数a的取值X围；（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，某某数a的值．考点：函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=1代入函数解析式，求导后由导函数等于0把定义域分段，判断出各区间段内的导函数的符号，由导函数的符号得到原函数的单调性，从而判断出极值点并求出极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在[2，+∞）大于等于0恒成立得到x﹣2a≥0在[2，+∞）恒成立，分离变量a后即可得到a的取值X围；（3）由原函数的导函数等于0求出导函数的零点，由零点对定义域分段，然后根据原函数的极值点与给出的区间端点值得大小关系分析原函数在区间[1，e]上的单调性，由单调性求得原函数在[1，e]上的最小值，由最小值等于3解得a的值．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+，定义域为（0，+∞），．所以，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以在（0，+∞）上f（x）有极小值，极小值为f（2）=1+ln2；（2）由，所以．若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，则在[2，+∞）恒成立，即x﹣2a≥0在[2，+∞）恒成立，也就是在[2，+∞）恒成立，所以a≤1．所以使函数f（x）在[2，+∞）上是增函数的实数a的取值X围是（﹣∞，1]；（3）由（2）知，以，若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）=2a=3，，不合题意；若a＞0，由f′（x）=0，得x=2a．当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以当2a≤1，即时，f（x）在[1，e]上为增函数，最小值为f（1）=2a=3，，不合题意；当2a≥e，即a≥时，f（x）在[1，e]上为减函数，最小值为f（e）=1+=3，a=e，符合题意；当1＜2a＜e，即时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（2a）=ln2a+1=3，a=不合题意．综上，使函数f（x）在[1，e]上的最小值为3的实数a的值为e．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用分离变量法求参数的X围，解答的关键是会求基本初等函数的导函数和对变量的正确分类，是难题．20．（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）设f（x）在[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合{x|f（x）=x}={1}，且a≥1，记h（a）=M+m，求h（d）的最小值．（2）当a=2，c=﹣1时，①设A=[﹣1，1]，不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，某某数b的取值X围；②设g（x）=|x﹣t|﹣x2﹣bx（t∈R），求f（x）+g（x）的最小值．考点：二次函数在闭区间上的最值；集合的包含关系判断及应用；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得方程ax2+bx+c=x存在两等根x1=x2=1，可得 b=1﹣2a，c=a，由此可得f（x）的解析式，可得 h（a）=M+m=f（﹣2）+f（1﹣）=9a﹣﹣1，再利用单调性求出 h（a）的最小值．（2）①由不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，可得，由此解得 b的X围．②根据f（x）+g（x）=x2+|x﹣t|﹣1，分t＜﹣时、当﹣≤t≤时、t＞时三种情况分别求得f（x）+g（x）的最小值．解答：解：（1）由题意可得方程ax2+bx+c=x 存在两等根x1=x2=1，可得 b=1﹣2a，c=a．∴f（x）=a +1﹣，它的对称轴为 x=1﹣∈[，1]．∵x∈[﹣2，2]，∴h（a）=M+m=f（﹣2）+f（1﹣）=9a﹣﹣1，∵a≥1，故函数 h（a）为增函数，∴函数 h（a）的最小值为 h（1）=．（2）当a=2，c=﹣1时，f（x）=2x2+bx﹣1，①由不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，可得，解得 b∈[﹣1，1]．②f（x）+g（x）=x2+|x﹣t|﹣1=．当 t＜﹣时，最小值为﹣t﹣，当﹣≤t≤时，最小值为 t2﹣1，当t＞时，最小值为t﹣．点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。