2014中考数学总复习专题6方案问题
中考数学复习攻略 专题6 方程与不等式的实际应用(含答案)
专题六 方程与不等式的实际应用解决方程与不等式的实际应用题的一般步骤：①认真审题，理解题意，弄清题中的已知量、未知量以及它们之间的关系；②设未知数(合理地选择未知数是解题的关键)；③列方程(组)或不等式；④解方程(组)或不等式(注意：解分式方程时必须要有“验根”这一步)；⑤检验，对所求结果进行检验，看是否符合题意；⑥作答．解决方程与不等式的实际应用题时，首先要认真审题，从题中找出已知量与未知量之间的关系，然后根据题意列出关系式，进而解决相关问题．在解决问题的过程中要注意方程与不等式的解是否符合题意，涉及函数要检验自变量的取值范围，当题干中出现方案设计问题或最值问题时，往往需要根据题干中的已知条件和函数的增减性来解决方案设计或最值问题．中考重难点突破一次方程(组)的实际应用【例1】(2021·陕西中考)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．【解析】设这种服装每件的标价是x 元，根据“这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等”列出方程，然后解方程即可求解．【解答】解：设这种服装每件的标价是x 元．根据题意，得10×0.8x ＝11(x －30).解得x ＝110.答：这种服装每件的标价为110元．1．现有一条长度为359 mm 的铜管料，把它锯成长度分别为39 mm 和29 mm 的两种不同规格的小铜管(要求没有余料)．每锯一次损耗1 mm 的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39 mm 的小铜管__6__段，29 mm 的小铜管__4__段．2．某中学组织七年级全体学生参加社会实践，若只调配45座客车若干辆，则有15人没有座位；若只调配30座客车，则用车数量将增加3辆，且空出15个座位．(1)该学校七年级总共有多少学生？(2)若同时调配45座和30座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？解：(1)设只调配45座客车x 辆，则该学校七年级共有学生(45x ＋15)人，只调配30座客车需要(x ＋3)辆．由题意，得30(x ＋3)－(45x ＋15)＝15.解得x ＝4.∴45x ＋15＝45×4＋15＝180＋15＝195.答：该学校七年级共有学生195人；(2)设需要调配45座客车m 辆，30座客车n 辆，由题意，得45m ＋30n ＝195.∴n ＝13－3m 2. 又∵m ，n 均为正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 答：需调配45座客车1辆，30座客车5辆或调配45座客车3辆，30座客车2辆．分式方程的实际应用【例2】(2021·常州中考)为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20 t 水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【解析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t ，根据“20 t 水可以比原来多用5天”列出方程并解答．【解答】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t.根据题意，得20x －202x＝5. 解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意．答：该景点在设施改造后平均每天用水2 t ．3．(2021·徐州中考)某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？解：设该商品打折前每件x 元，则打折后每件0.8x 元．根据题意，得400x ＋2＝4000.8x. 解得x ＝50.经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．答：该商品打折前每件50元．方程与不等式的综合应用【例3】某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．(1)求每副围棋和象棋各是多少元？(2)若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？【解析】(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元，根据“420元购买象棋数量＝756元购买围棋数量”列出方程求解即可；(2)设购买围棋m 副，则购买象棋(40－m )副，根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元．根据题意，得420x －8＝756x .解得x ＝18. 经检验，x ＝18是原方程的解，且符合题意．∴x －8＝10.答：每副围棋18元，每副象棋10元；(2)设该校购买m 副围棋，则购买(40－m )副象棋．根据题意，得18m ＋10(40－m )≤600.解得m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的最大值是25.答：该校最多可再购买25副围棋．4．(2021·玉林中考)某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A ，B 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100 t ，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比B 焚烧炉多发电50度，A ，B 焚烧炉每天共发电55 000度．(1)求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉各发电多少度？(2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉的发电量分别增加a %和2a %，则A ，B 焚烧炉每天共发电至少增加(5＋a )%，求a 的最小值．解：(1)设焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电m 度，B 焚烧炉发电n 度．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝50，100（m ＋n ）＝55 000. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝300，n ＝250.答：焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电300度，B 发焚烧炉发电250度；(2)由题意，得改进工艺后每焚烧一吨垃圾A 焚烧炉发电300(1＋a %)度，则B 焚烧炉发电250(1＋2a %)度，由题意，得100×300(1＋a %)＋100×250(1＋2a %)≥55 000[1＋(5＋a )%].整理，得5a ≥55.解得a ≥11.∴a 的最小值为11.一元二次方程的实际应用【例4】(2021·烟台中考)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？【解析】(1)根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)设该商品需要打a 折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件． 由题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20.整理，得x 2－110x ＋3 000＝0.解得x 1＝50，x 2＝60(舍去).答：每件售价应定为50元；(2)设该商品需要打a 折销售．由题意，得62.5×a 10≤50. 解得a ≤8.答：该商品至少需打8折销售．5．列方程(组)解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m 2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图，茶园一面靠墙，墙长35 m ，另外三面用69 m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m 宽的门(不包括篱笆)．求这个茶园的长和宽．解：设茶园AB 边的长为x m ，则BC 边的长为(69＋1－2x ) m ．根据题意，得x (69＋1－2x )＝600.整理，得x 2－35x ＋300＝0.解得x 1＝15，x 2＝20.当x ＝15时，70－2x ＝40＞35，不符合题意，舍去；当x ＝20时，70－2x ＝30＜35，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30 m ，20 m ．6．如图，某城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1 200 m 2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个长方形空地的长为50 m ，宽为40 m.(1)求四周通道的宽度；(2)某建筑公司希望用80万元的承包金额承揽这项工程，城建部门认为金额太高需要降价，经过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．解：(1)设四周通道的宽度为x m ，则停车场的长为(50－2x ) m ，宽为(40－2x ) m.由题意，得(50－2x )(40－2x )＝1 200.整理，得x 2－45x ＋200＝0.解得x 1＝5，x 2＝40.当x ＝5时，40－2x ＝40－2×5＝30，符合题意；当x ＝40时，40－2x ＝40－2×40＝－40＜0，不符合题意，舍去．答：四周通道的宽度为5 m ；(2)设每次降价的百分率为a .由题意，得80(1－a )2＝51.2.解得a 1＝0.2＝20%，a 2＝1.8(不合题意，舍去).答：每次降价的百分率为20%.中考专题过关1.(2021·吉林中考)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55 km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．解：设港珠澳大桥隧道长度为x km ，桥梁长度为y km.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，y ＝9x －4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.9，y ＝49.1. 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1 km 和5.9 km.2．(2021·郴州中考)“七·一”建党节前夕，某校决定购买A ，B 两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A 奖品比B 奖品每件多25元，预算资金为1 700元，其中800元购买A 奖品，其余资金购买B 奖品，且购买B 奖品的数量是A 奖品的3倍．(1)求A ，B 奖品的单价；(2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A 奖品的资金不少于720元，A ，B 两种奖品共100件，求购买A ，B 两种奖品的数量，有哪几种方案？解：(1)设A 奖品的单价为x 元，则B 奖品的单价为(x －25)元．由题意，得800x ×3＝1 700－800x －25. 解得x ＝40.经检验，x ＝40是原方程的解，且符合题意．∴x －25＝15.答：A 奖品的单价为40元，B 奖品的单价为15元；(2)设购买A 奖品的数量为m 件，则购买B 奖品的数量为(100－m )件．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40×0.8×m ≥720，40×0.8×m ＋15×0.8×（100－m ）≤1 700. 解得22.5≤m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的值为23，24，25.∴有三种方案：①购买A 奖品23件，B 奖品77件；②购买A 奖品24件，B 奖品76件；③购买A 奖品25件，B 奖品75件．3．(2021·朝阳中考)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间符合一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？(3)设商场销售这种商品每天获利w (元)，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0).由所给函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝70，35k ＋b ＝50. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝120. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋120(20≤x ≤38)；(2)根据题意，得(x －20)(－2x ＋120)＝600.整理，得x 2－80x ＋1 500＝0.解得x ＝30或x ＝50(不合题意，舍去).答：每件商品的售价应定为30元；(3)∵y ＝－2x ＋120，∴w ＝(x －20)y＝(x －20)(－2x ＋120)＝－2x 2＋160x －2 400＝－2(x －40)2＋800.∵－2<0，20≤x ≤38，∴当x ＝38时，w 最大＝792.∴当每件商品的售价定为38元时，每天销售利润最大，最大利润是792元．。
2014中考数学复习课件6一元二次方程及应用-第一轮复习第二单元方程(组)和不等式(组)
4．已知 x1，x2 是一元二次方程 x2＋2ax＋b＝0 的 两根， 且 x1＋x2＝3， x1x2＝1， 则 a， b 的值分别是( A．a＝－3，b＝1 3 C．a＝－ ，b＝－1 2 B．a＝3，b＝1 3 D．a＝－ ，b＝1 2 D )
解析： 由根与系数的关系，得 x1 ＋ x2 ＝－ 2a ， 3 x1x2＝b，∴a＝－ ，b＝1.故选 D. 2
第6 讲
一元二次方程及其应用
·新课标
第6 讲
一元二次方程及其应用
│考点随堂练│
考点1 一元二次方程的概念及一般形式
一 1.定义:含有________ 个未知数，并且未知数最高次数是 ________ 的整式方程 2
2 ax ＋bx＋c＝0(a≠0) 2.一般形式:
在一元二次方程的一般形式中要注意强调a≠0 另外： a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.
应用类型 增长率 问题 利率 问题 销售利 润问题 等量关系 (1)增长率＝增量÷ 基础量； (2)设 a 为原来的量，m 为平均增长率，n 为增长次数， b 为增长后的量，则____________ a(1＋m)n＝b ，当 m 为平均下降率 时为____________ a(1－m)n＝b (1)本息和＝本金＋利息； (2)利息＝____________________ 本金×利率×期数 (1)毛利润＝售出价－进货价； (2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用； (3)利润率＝利润÷ 进货价
热身考点4
一元二次方程根与系数的关系
已知一元二次方程 x2－6x－5＝0 的两根分别为 a， 1 1 6 b，则 ＋ 的值是－ a b 5 .
解析：由根与系数的关系，得 a＋b＝6，ab＝－5. 1 1 a＋b 6 6 所以 ＋ ＝ ＝ ＝－ . a b ab －5 5
中考数学复习专题06 配方法题研究(原卷版)
备战2020中考数学解题方法专题研究专题6 配方法专题【方法简介】配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．【真题演练】1. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣4）2＝22 C．（x﹣2）2＝10 D．（x﹣2）2＝82. 用配方法解下列方程：(1)x2＋3x－4＝0；(2)x(x＋8)＝609.3. 已知一元二次方程(x－3)2＝1的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．4. 用配方法证明：不论x，y取何实数时，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值总不小于常数2.【名词释义】把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．【典例示例】例题1：有n 个方程：x 2＋2x －8＝0；x 2＋2×2x－8×22＝0；…；x 2＋2nx －8n 2＝0.小静同学解第1个方程x 2＋2x －8＝0的步骤为“①x 2＋2x ＝8；②x 2＋2x ＋1＝8＋1；③(x ＋1)2＝9；④x ＋1＝±3；⑤x ＝1±3；⑥x 1＝4，x 2＝－2.”(1)小静的解法是从步骤________开始出现错误的；(2)用配方法解第n 个方程x 2＋2nx －8n 2＝0(用含n 的式子表示方程的根)．例题2：先仔细阅读材料，冉尝试解决问题完全平方公式a 2±2ab+b 2＝(a±b)2及(a±b)2的值具有非负性的特点在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式2x 2+12x ﹣4的最小值时，我们可以这样处理：解：原式＝2(x 2+6x ﹣2)＝2(x 2+6x+9﹣9﹣2)＝2[(x+3)2﹣11]＝2(x+3)2﹣22因为无论x 取什么数，都有(x+3)2的值为非负数，所以(x+3)2的最小值为0，当x ＝﹣3时，2(x+3)2﹣22的最小值是﹣22，所以当x ＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣22．解决问题：(1)请根据上面的解题思路探求：多项式x 2+4x+5的最小值是多少，并写出此时x 的值；(2)请根据上面的解题思路探求：多项式﹣3x 2﹣6x+12的最大值是多少，并写出此时x 的值．的值．【归纳总结】关于配方法主要在以下几个方面进行运用，①配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用，在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。
2014年中考数学总复习课件_第二部分热点题型攻略(共6种题型)
例１ （’13 重庆Ａ卷）万州某运输公司的一艘轮 船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地，假设 轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变， 该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段 时间（卸货、装货、加燃料等），又顺水航行返回 万州，若该轮船从万州出发后所用的时间为 x（小 时），轮船距万州的距离为 y（千米），则下列各 图中，能够反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是 （ C）
为
④正确
热点题型攻略
【点评拓展】解答此类问题，首先要明白二次函数 的表达式中各系数所代表的意义以及系数正负和大 小对函数图象的影响：a＞0，函数开口向上，a＜0， 函数开口向下；b值的大小影响函数的开口大小，b 值越大函数开口越大；a和b值的符号同时决定了函 数图象对称轴的位置，ab＞０对称轴在x轴负半轴， ab＜０对称轴在x轴正半轴，当b＝０时，对称轴为y 坐标轴．|ｃ|值代表函数图象在y坐标轴上的截距，c ＞０时截点在y轴正半轴，c＜０时截点在y轴负半 轴．其次是要清楚二次函数的顶点坐标和对称轴的 b b 4ac b2 表达式，顶点坐标为 ( , ,对称轴为 x )
y 4a 2b c 0 ，∴③错误
热点题型攻略
∵二次函数 y ax 2 bx c 图象的对称轴
x 1 ∴点 (5, y1 ) 关于对称轴的对称 ④ √ 点的坐标是 (3, y1 ) ，根据当x 1时，y随 5 x的增大而增大，∵ 3，∴ y2 y1 ，∴ 2
考虑，分析在不同的阶段运动的变化情况，
考虑函数图象的变化规律，明白每段直线所 代表的实际意义及拐点的含义和实际情况．
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热点题型攻略
类型二 二次函数图象性质
2 y ax bx c 例 （’13 烟台）如图是二次函数
2024年中考数学总复习考点梳理专题六综合与实践
且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
第1题图
专题六 综合与实践
由题意知，△A1B1C1为等腰直角三角形， 且∠A1C1B1＝90°， ∴∠A1B1C1＝45°， ∴∠ABC＝∠A1B1C1.
课上，老师让同学们以“折一个长方体盒子”为主题开 展实践活动．如图①，这是一张长为30 cm，宽为12 cm的矩形 硬纸板．
第1题解图②
专题六 综合与实践
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝4，
∴AD＝ AC 2 CD2 42 12 15 ，
∴AM＝MD＝ 15 ，CG＝MD＝ 15 .
2
2
在Rt△BDM中，BM＝ BD2 DM 2 42 ( 15 )2 7，
2
2
∴BG＝BM－GM＝BM－CD＝
7 2
－1＝
5，
2
在Rt△BCG中，BC＝ BG2 CG2 ( 5)2 ( 15 )2 10 .
2
2
第1题解图②
专题六 综合与实践
1. (2023广东20题)综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图①，将正方形纸板 的边长三等分，画出九个相同的
第1题图
小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
第2题图
专题六 综合与实践
(2)创新小组计划制作一个有盖的长方体盒子．为了合理使用材 料，设计了如图③所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边 角料，其中左侧两个空白部分为正方形，右侧两个空白部分为 矩形，问能否折出底面积为104 cm2的有盖盒子(盒盖与盒底的大 小形状完全相同)？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请 说明理由．
＝∠ABD.若CD＝1，则求BC的长． 问题2：如解图②所示，连接AD，
精品 2014年中考数学总复习--方程与不等式
方程：含有未知数的等式叫做方程。
方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
一元一次方程一元一次方程的标准形式：ax+b=0二 方程与不等式2.1 一元一次方程 二元一次方程（组）一元一次不等式（组）例1.若12x m =是方程21423x m x m---=的解，求代数式 ()211428142m m m ⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭的值．例2.解下列方程(组)：（1）1)23(2151=--x x （2）⎩⎨⎧=-=+52332y x y x例3.解下列一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来。
（1）24)2(28-<+-x x ； （2）312211--≥--x x例4.求不等式组:⎪⎩⎪⎨⎧<+-+--≤+137621)3(410)8(2x x x x 的非负整数解.例5.已知关于x 的不等式a x a ->-10)2(的解集是x>3，求a 的值.方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。
解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组二元一次方程组： 一般形式：⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 12121,,,,,c c b b a a例6.某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A 地,1小时45分后,因任务需要，又增派乙连乘车前往支援,已知乙连比甲连每小时快28千米,恰好在全程的31处追上甲连.求乙连的行进速度及追上甲连的时间?例7.某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A 度,那么这个月这户只需交 10 元用电费,如果超过A 度,则这个月除了仍要交10元用电费外,超过部分还要按每度0.5元交费.①该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A 度，则超过部分应该交电费多少元（用A 表示）? ②下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况:根据上表数据,求电厂规定A 度为多少？例8.某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元，甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件．（1）求这两种商品的进价． （2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少?列方程（组）解应用题的一般步骤审题： 设未知数； 不等式与不等式的性质 不等式：表示不等关系的式子。
中考数学复习：专题1-6 例谈因式分解的方法与技巧
专题06 例谈因式分解的方法与技巧【专题综述】 因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。
对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。
这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养探索求新的学习习惯，提高数学思维能力。
【方法解读】一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。
例1：因式分解 32422+++-b a b a【举一反三】因式分解：611623+++x x x二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。
例2：因式分解444y x +【举一反三】因式分解 4323+-x x三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。
例3：因式分解24)6)(43(22+---+x x x x【举一反三】因式分解2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。
例4：因式分解)()(2222n m xy y x mn +++【举一反三】因式分解 22)()(my nx ny mx -++五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。
例5：因式分解xy x y x x x 2232234-++-【举一反三】因式分解abc bc c b ac c a ab b a 2222222++++++【强化训练】1．因式分解：(5)(2)()()12x x x x +-+-+-..2．阅读下面解题过程，然后回答问题.分解因式： 223x x +-.解：原式=22113x x ++--=()2214x x ++- = ()214x +-=()()1212x x +++-= ()()31x x +-上述因式分解的方法称为”配方法”.请你体会”配方法”的特点，用“配方法”分解因式： 243y y -+.3．因式分解：（1）（a +b ）2+6（a +b ）+9； （2）（x ﹣y ）2﹣9（x +y ）2；（3）a 2（x ﹣y ）+b 2（y ﹣x ）． （4）(x 2－5)2＋8(5－x 2)＋16.4．下面是某同学对多项式（x 2-4x +2）（x 2-4x +6）+4进行因式分解的过程.解：设x 2-4x =y ，原式=（y +2）（y +6）+4=y 2+8y +16=（y +4）2=（x 2-4x +4）2.（1）该同学因式分解的结果是否彻底?_______________. （填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________________.（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2-2x ）（x 2-2x +2）+1进行因式分解.5．先阅读，再因式分解：x 4＋4＝(x 4＋4x 2＋4)－4x 2＝(x 2＋2)2－(2x )2＝(x 2－2x ＋2)(x 2＋2x ＋2)，按照这种方法把多项式x 4＋324因式分解．6．问题背景：对于形如2120+3600x x -这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成()260x -，对于二次三项式21203456x x -+，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将2120x x -加上一项260，使它与2120x x -的和成为一个完全平方式，再减去260，整个式子的值不变，于是有： 2120+3456x -=22226060603456x x -⨯+-+=()260144x --=()226012x --=()()60+126012x x ---=()()4872x x --问题解决：（1）请你按照上面的方法分解因式： 2140+4756x x -；（2）已知一个长方形的面积为228+12a ab b +，长为+2a b ，求这个长方形的宽．7．因式分解：(x –3) (x +4) +3x =__________.8．x 3+3x 2—4 （拆开分解法）9．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x +y ）2+2（x +y ）+1．解：将“x +y ”看成整体，令x +y =A ，则原式=A 2+2A +1=（A +1）2再将“A ”还原，得：原式=（x +y +1）2．上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x ﹣y ）+（x ﹣y ）2=__________．（2）因式分解：（a +b ）（a +b ﹣4）+4（3）证明：若n 为正整数，则式子（n +1）（n +2）（n 2+3n ）+1的值一定是某一个整数的平方．10．已知22610340m n m n +-++=，则m n +=______．。
【中考备战策略】2014中考数学(人教版)总复习课件：专题六 综合型问题
理解：如图①，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的中 线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且 S△ACD＝S△BCD.
应用： 如图②， 在矩形 ABCD 中， AB＝4， BC＝6，
点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上，AE＝BF，AF 与 BE 交于点 O.
(1)求证：△ AOB 和△ AOE 是“友好三角形”； (2)连接 OD， 若△AOE 和△DOE 是“友好三角 形”，求四边形 CDOF 的面积．
考点三 运动型问题 例 3 (2013· 襄阳 )如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋ c 与 x 轴的一个交点 A 的坐标为(－1,0)，对称轴为直线 x＝－ 2. (1)求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标； (2)点 D 是抛物线与 y 轴的交点，点 C 是抛物线上 的另一点．已知以 AB 为一底边的梯形 ABCD 的面积 为 9，求此抛物线的解析式，并指出顶点 E 的坐标；
温馨提示 解答阅读理解型题的关键在于阅读，核心在于理 解，目的在于应用 .解题的策略是：理清阅读材料的脉 络，归纳总结重要条件、数学思想方法以及解题的方 法技巧，构建相应的数学模型来完成解答 .
2．解图表信息题关键是“识图”和“用图”．解 题时，要求通过认真阅读、观察和分析图象、图形、 表格来获取信息，根据信息中数据或图形的特征，找 出数量关系或弄清函数的对应关系，研究图形的性质， 进行推理、论证、计算，从而解决实际问题．图表信 息问题往往出现在“方程 (组 )、不等式 (组 )、函数、统 计与概率”等知识应用题中，审题时注意把握图表中 的信息．
∴S△AOE＝S△FOB，∴S△AOD＝S△ABF. ∴S
四边形
CDOF ＝ S
矩形
1 ABCD － 2S△ABF ＝ 4×6 － 2× 2
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专题考点 0 2 函数方案设计
函数方案设计是指由题目提供的背景材料或图表信息, 确定函数关系式, 利 用函数图象的性质获得解决问题的具体方法. 解决此类问题的难点主要是正确 确定函数关系式, 关键还要熟悉函数的性质及如何通过不等式确定函数自变量的 取值范围.
投资收益 投资收益率= 实际投资额 ×100% )
( 2) 对同一标价的商铺, 甲选择了购铺方案一, 乙选择了购铺方案二, 那么 5 年后两 人获得的收益将相差 5 万元. 问: 甲、乙两人各投资了多少万元?
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【思路点拨】 利用方案的叙述可得投资的收益进行比较. 【自主解答】 ( 1) 设商铺标价为 x 万元, 则 按方案一购买, 则可获投资收益( 120% - 1)·x+ x·10% ×5= 0. 7x.
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甲 8 12
乙 6 16
丙 5 10
专题视点· 考向解读) 8x+ 6y+ 5( 20- x- y) = 120, ∴y= 20- 3x. ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y= 20- 3x; ( 2) 由 x≥3, y= 20- 3x≥3,
2 5 20- x- ( 20- 3x) ≥3 可得 3≤x≤ 3 ,
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例1
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(2012·无锡)某开发商进行商铺促销, 广告上写着如下条款:
投资者购买商铺后, 必须由开发商代为租赁 5 年, 5 年期满后由开发商以比原商铺 标价高 20% 的价格进行回购, 投资者可在以下两种购铺方案中做出选择: 方案一: 投资者按商铺标价一次性付清铺款, 每年可以获得的租金为商铺标价的 10% . 方案二: 投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款, 2 年后每年可以获得的租金 为商铺标价的 10% , 但要缴纳租金的 10% 作为管理费用. ( 1) 请问: 投资者选择哪种购铺方案, 5 年后所获得的投资收益率更高?为什么?( 注:
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1. 方案设计问题主要有以下几种类型: ( 1) 考查方程、不等式方案设计问题; ( 2) 函数方案设计问题; ( 3) 统计知识方案设计问题; ( 4) 测量方案设计问题; ( 5) 图形设计问题. 2. 解答方案设计问题的一般步骤: ( 1) 先弄清楚题目设计的知识点; ( 2) 结合相应的知识点的规律与设计的要求解答.
a ≤ 5 10 a ≤ 7 依题意得 12a 7(10 a) ≥ 80 10a 10(10 a) ≥100
∴3≤a≤5. ∵a 为整数, ∴a= 3、4、5.
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方法一: ∴共有三种方案. 方案(1) 甲 3 天、乙 7 天, 总费用 400×3+ 300×7= 3300; 方案(2) 甲 4 天、乙 6 天, 总费用 400×4+ 300×6= 3400; 方案(3) 甲 5 天、乙 5 天, 总费用 400×5+ 300×5= 3500. ∵3300 < 3400< 3500 ∴方案(1) 最省, 最省费用为 3300 元. 方法二: 则ω= 400a + 300(10- a) = 100a+ 3000 ∵100> 0, ∴ω随 a 的增大而增大. ∴当 a= 3 时, ω最小= 3300. 答: 共有 3 种租赁方案: ①甲 3 天、 乙 7 天; ②甲 4 天、 乙 6 天; ③甲 5 天、 乙 5 天. 最少租赁费用 3300 元.
最大
= 1 644( 百元) = 16. 44 万元,
答: 要使此次销售获利最大, 应采用( 2) 中方案一, 即甲种 3 辆, 乙种 11 辆, 丙种 6 辆, 最大利润为 16. 44 万元.
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4. 海峡两岸林业博览会连续六届在三明市成功举办, 三明市的林产品在国内外 的知名度得到了进一步提升. 现有一位外商计划来我市购买一批某品牌的木地 板, 甲、乙两经销商都经营标价为每平方米 220 元的该品牌木地板. 经过协商, 甲经销商表示可按标价的 9. 5 折优惠; 乙经销商表示不超过 500 平方米的部分 按标价购买, 超过 500 平方米的部分按标价的 9 折优惠. 请问该外商选择哪一经 销商购买更合算? 【解析】 ( 1) 设购买木地板 x 平方米, 选择甲经销商时, 所需费用 y1 元, 选择乙经 销商时, 所需费用 y2 元, 请分别写出 y1, y2 与 x 之间的函数关系式: y1= 0. 95×220x= 209x, 当 0< x≤500 时, y2= 220x, 当 x> 500 时, y2= 220×500+ 0. 9×220( x- 500) , 即 y2= 198x+ 11 000.
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专题考点 0 1 方程、不等式方案设计
方程、不等式方案设计问题主要是指利用方程、不等式的相关知识, 通过有 关的计算、比较获得解决问题的方法. 这类题目一般信息量较大, 因此在解决问 题时应注意认真审题, 分析题意, 弄清题目中的数量关系, 善于将实际问题转化为 数学问题解决.
∴甲材料每千克 15 元, 乙材料每千克 25 元.
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( 2) 设生产 A 产品 m 件, 生产 B 产品( 50- m ) 件, 则生产这 50 件产品的材料费为 15×30m + 25×10m + 15×20( 50- m ) + 25×20( 50- m ) = - 100m + 40000. 由题意: - 100m + 40000≤38000, 解得 m ≥20. 又∵50- m ≥28, 解得 m ≤22. ∴20≤m ≤22. ∴m 的值为 20, 21, 22. 共有三种方案, 如下表:
0.7 x 投资收益率为 x ×100% = 70% .
按方案二购买, 则可获投资收益 ( 120% - 0. 85) ·x+ x·10% ×( 1- 10% ) ×3= 0. 62x.
0.62 x 投资收益率为 0.85 x ×100% ≈72. 9% .
∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高. ( 2) 由题意得 0. 7x- 0. 62x = 5. 解得 x = 62. 5. ∴甲投资了 62. 5 万元, 乙投资了 53. 125 万元.
1 a ≥ (360 a) ① 2 W 8 A 6(360 a) ②
由①, 得 a≥120. 由②, 得 W = 2a+ 2 160. ∵k= 2> 0, ∴W 随 a 的增大而增大, ∴a= 120 时, W
最小
= 2 400,
∴B 种树苗为 360- 120= 240 棵. ∴最省的购买方案是 A 种树苗购买 120 棵, B 种树苗购买 240 棵.
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专题六
方案设计问题
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方案设计问题涉及面较广, 内容比较丰富, 题型变化较多, 经常有探究性质的 题目出现; 不仅有代数中的方程、不等式、函数等问题, 还有几何中的测量、图 形等方面的问题, 因此在解决此专题知识时, 应该注意分析问题所涉及的知识点, 加以分析研究作答.
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3. 某土特产公司组织 20 辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共 120 吨去外地销 售. 按计划 20 辆车都要装运, 每辆汽车只能装运同一种土特产, 且必须装满, 根 据下表提供的信息, 解答以下问题. ( 1) 设装运甲种土特产的车辆数为 x, 装运乙种土特产的车辆数为 y, 求 y 与 x 之间 的函数关系式; ( 2) 如果装运每种土特产的车辆都不少于 3 辆, 那么车辆的安排方案有几种?并写 出每种安排方案. ( 3) 若要使此次销售获利最大, 应采用( 2) 中哪种安排方案?并求出最大利润的值. 土特产种类 每辆汽车运载量( 吨) 每吨土特产获利( 百元)
A( 件) B( 件)
20 30
21 29
22 28
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( 3) 设总生产成本为 W 元, 加工费为: 200m + 300( 50- m ) , 则 W = - 100m + 40000+ 200m + 300( 50- m ) = - 200m + 55000, ∵W 随 m 的增大而减小, 而 m = 20, 21, 22, ∴当 m = 22 时, 总成本最低, 此时 W = - 200×22+ 55000= 50600 元.
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2. (2013·茂名)在信宜市某“三华李”种植基地有 A , B 两个品种的树苗出售, 已 知 A 种比 B 种每株多 2 元, 买 1 株 A 种树苗和 2 株 B 种树苗共需 20 元. ( 1) 问 A, B 两种树苗每株分别是多少元? ( 2) 为扩大种植, 某农户准备购买 A , B 两种树苗共 360 株, 且 A 种树苗数量不少于 B 种数量的一半, 请求出费用最省的购买方案. 【解析】 ( 1) 设 A 种树苗每株 x 元, B 中树苗每株 y 元, 由题意,
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例2
(2012·十堰)某工厂计划生产 A 、B 两种产品共 50 件, 需购买甲、乙两种