2-质点动力学
大学物理课件第二章质点动力学
m0g N
N
a’ B mg
联立解得
(m m0 )sin m cos sin a g, a ' g 2 2 m0 m sin m0 m sin
例题2 质量为m的快艇以速率v0行驶，关闭发动 机后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小成 正比，比例系数为k，求关闭发动机后 （1）快艇速率随时间的变化规律； （2）快艇位置随时间的变化规律
B
A
F
B
m0g
A
解：隔离两物体，分别受力分析， aA-地对楔块A N sin m0a
N
F ( N cos m0 g ) 0
N
对物体B（aB地 aB A aA地 ）
B
a
B-A
a
N sin m(aB A cos a)
A-地
mg
N cos mg m(aB A sin 0)
m0 m sin
(m m0 )sin 联立解得 a m cos sin g , aB A g 2 2 m0 m sin
B
A
F A a
解：隔离两物体，分别受力分析， 对楔块A N sin m0a N cos m0 g F 物体B相对楔块A以a’加速下滑
二、牛顿第二定律 1.动量： p mv
2.力的定义： dp d (mv ) F dt dt --牛顿第二定律(质点运动微分方程）
v c 物体质量为常量时：
dv F m ma dt
惯性演示实验
当锤子敲击在一大铁块上时，铁块下的手 不会感到有强烈的冲击；而当用一块木头取代 铁块时，木块下的手会感到明显的撞击。
大学物理第二章质点动力学PPT课件
•若物体与流体的相对速度接近空气中的声速时，阻 力将按 f v3 迅速增大。
•常见的正压力、支持力、拉力、张力、弹簧的恢复 力、摩擦力、流体阻力等，从最基本的层次来看， 都属于电磁相互作用。
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五、牛顿定律的应用
•应用牛顿运动定律解题时，通常要用分量式：
如在直角坐标系中：
在自然坐标系中：
Fn
man
mv2
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三、牛顿第三定律
物体间的作用是相互的。两个物体之间的作用
力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，
分别作用在两个物体上。
F21F12
第三定律主要表明以下几点：
（1）物体间的作用力具有相互作用的本质：即力总 是成对出现，作用力和反作用力同时存在，同时消 失，在同一条直线上，大小相等而方向相反。
（4）由于力、加速度都是矢量，第二定律的表示式 是矢量式。在解题时常常用其分量式，如在平面直 角坐标系X、Y轴上的分量式为 ：
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Fx mxamddxvtmdd22xt Fy myamddyvtmd d22yt
在处理曲线运动问题时，还常用到沿切线方向 和法线方向上的分量式，即：
Ft
mat
mdv dt
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1983年第17届国际计量大会定义长度单位用真空中 的光速规定：
c = 299792458 m/s
因而米是光在真空中1299,792,458秒的时间间 隔内所经路程的长度。
❖其它所有物理量均为导出量，其单位为导出单位
如：速度 V=S/ t， 单位：米/秒（m/s）
加速度a=△V/t，单位：米/秒2（m/s2）
•摩擦力：两个相互接触的物体在 沿接触面相对运动时,或者有相对 运动趋势时,在接触面之间产生的
大学物理——第2章-质点和质点系动力学
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
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桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
第二章非惯性系中的质点动力学
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
大学物理第2章_质点动力学_知识框架图和解题指导和习题
第2章 质点动力学一、基本要求1．理解冲量、动量，功和能等基本概念；2．会用微积分方法计算变力做功，理解保守力作功的特点；3．掌握运用动量守恒定律和机械能守恒定律分析简单系统在平面内运动的力学问题的思想和方法.二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：动量守恒定律和能量守恒定律的条件审核、综合性力学问题的分析求解。
难点:微积分方法求解变力做功. （二）知识网络结构图:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧公式只有保守内力做功条件能量守恒定律公式合外力为条件动量守恒定律守恒定律动能定理动量定理基本定理能功冲量动量基本物理量)()0(（三）容易混淆的概念： 1。
动量和冲量动量是质点的质量与速度的乘积;冲量是合外力随时间的累积效应，合外力的冲量等于动量增量。
2。
保守力和非保守力保守力是做功只与始末位置有关而与具体路径无关的力,沿闭合路径运动一周保守力做功为0;非保守力是做功与具体路径有关的力.(四)主要内容： 1．动量、冲量 动量：p mv = 冲量：⎰⋅=21t t dt F I2．动量定理:质点动量定理：⎰∆=-=⋅=2112t t v m P P dt F I质点系动量定理：dtPd F=3．动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，即0=ex F时，或inex F F系统的总动量保持不变，即：∑===n i i i C v m P 14．变力做功：dr F r d F W BAB A⎰⎰=⋅=θcos （θ为)之间夹角与r d F直角坐标系中：)d d d ( z F y F x F W z y BAx ++=⎰5．动能定理：（1）质点动能定理：k1k221222121E E mv mv W -=-=(质点所受合外力做功等于质点动能增量。
）(2)质点系动能定理:∑∑==-=+ni n i E E W W1kio1ki inex(质点系所受外力做功和内力做功之和等于质点系动能增量。
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
大学物理第2章-质点动力学基本定律
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b
第2章 质点动力学
b
mg
也可以写成
∫ mg ⋅ dr = 0
17
2.4 势能 机械能守恒定律
3. 弹性力的功
f O xA
xB
fx = −kx
AAB = ∫ fx ⋅ dx =
xA xB
xB
x
∫ (−kx) ⋅ dx
xA
1 1 2 2 = kxA − kxB 2 2
弹性力对运动质点所做的功与质点运动的路径无 弹性力对运动质点所做的功与质点运动的路径无 只与其始、末位置有关。 关，只与其始、末位置有关。
=
( L) ra
rb
∫ ∫
b
FG ⋅ dr
GMm − 3 r ⋅ dr r
r
ra
rb
a
GMm = ∫ − 2 dr ( L) ra r GMm GMm = − rb ra
r ⋅ dr = r⋅ | dr | ⋅ cosϕ
= r ⋅ dr
15
2.4 势能 机械能守恒定律
万有引力的功
GMm GMm 1 1 A = − = −GMm( − ) ab rb ra ra rb
势 参 点 能 考
若选末态为势能零点
EPa =
∫f
(a)
保
⋅dr
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2.4 势能 机械能守恒定律
常见的势能函数 1)重力势能 1)重力势能
EP = mgh
地面为势能零点 末态为势能零点
2)弹性势能 2)弹性势能
1 2 EP = kx 以弹簧原长为势能零点 2
M m 以无限远为势能零点 3)万有引力势能 3)万有引力势能 EP = −G r
12
2.3 动 能 定 理
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大学物理习题
2．质点动力学
一、选择题
1．在下列关于内力的表述中，正确的是
A．内力作用对系统内各质点的动量没有影响；
B．内力不能改变系统的总动量；
C．内力不能改变系统的总动能；
D．内力对系统做功的总和不一定为零。
（）
2．在下列关于动量守恒的表述中，正确的是
A．外力作功的代数和为零，则系统的动量守恒；
B．系统所受合外力恒等于零，则动量守恒；
C．系统所受外力冲量的矢量和为零，则动量守恒；
D．动量守恒定律仅适用于惯性参照系，但与惯性系的选择无关。
（）
3. 在下列关于物体质心的表述中，不正确的是
A．在研究质点系的平动规律时，可以认为质心集中了质点系的全部质量；
B．质心运动服从质心运动定理；
C．质心动量等于质点系的总动量；
D．质心所在位置不可能在物体之外。
（）
4．我国第一颗人造卫星绕地球作椭圆运动，地球中心为椭圆的一个焦点。
在运行过程中，对人造卫星而言，下列叙述中正确的是
A．动量守恒；B．动能守恒；
C．角动量守恒；D．以上均不守恒。
（）
10
-10
图2-1
5．两个质点组成一力学系统，它们之间只有引力相互作用，而这两质点所受外力的矢量和为零，则此系统
A ．动量、机械能以及对一轴的角动量守恒；
B ．动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能断定；
C ．动量守恒，但机械能和角动量是否守恒不能断定；
D ．动量和角动量守恒，但机械能是否守恒不能断定。
（ ）
6．质量为m = 10kg 的质点沿x 轴作直线运动时，受一变力F 的作用，力随坐标x 变化的关系如图2-1所示。
若质点从坐标原点出发时的速度为1m/s ，则质点运动到16m 处的速度为
A ．m/s 22
B ．m 3
C ．s m 4
D ．
m/s 17 （ ）
7．如图2-2所示，劲度系数为k 的轻弹簧水平放置，一端固定，另一端系一质量为m 的物体，物体与水平面间的摩擦系数为μ。
开始时，弹簧没有伸长，现以恒力F 0将物体自平衡位置开始向右拉动，则系统的最大势能为
A ．2
0)(2mg F k μ- B ．20)(21mg F k μ-
C ．202F k
D ．
2
021F k
（
）
8．如图2-3所示，一质量为m 的物体，位于质量可以忽略的直立轻弹簧正上方高度为h 处。
该物体从静止开始落向弹簧，并与弹簧相互作用。
若弹簧的劲度系数为k ，不考虑空气阻力，则物体在整个过程中可能获得的最大动能是
图 2-2
图 2-3
图2-4
A ．mgh
B ．k g m mgh 22
2-
C ．k g m mgh 222+
D ．k
g m mgh 22+
（ ）
9．已知地球的质量为m e ，太阳的质量为m s ，地心与日心的距离为R ，引力常量为G ，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为 A ．R Gm m s e B ．
R
m Gm e
s C ．R G m m s e D ．R
m Gm e
s 2 （ ）
10．在水平光滑的圆盘上，有一质量为m 的质点，拴在一根轻绳上，绳穿过圆盘中心的光滑小孔，如图2-4所示。
开始时质点离中心的距离为r 0，并以角速度ω0转动。
现以均匀的速度向下拉绳，将质点拉至离中心r 0/2处，则此过程中拉力所作的功为 A ．
202021ωmr B ．2
02023ωmr C ．
202025ωmr D ．2
202
7ωmr
（ ）
二、填空题
1．质量为m 的物体，在力Bt A F x += （SI ）作用下，沿x 轴正方向运动，式中A 、B 为正的常量。
已知在t=0时，x 0 = 0，v 0=0，则
物体运动的速度与时间t 的关系为v = ； 物体的运动方程为x = 。
2．质量为m 的物体，在水平力kx F -=作用下沿x 轴运动。
已知在t = 0时，x 0 = A ，v 0 = 0。
若令
2ω=m
k
，则 物体运动的速度与位置坐标x 的关系为v = ；
物体的运动方程为 x = 。
（提示：
b
a b
a
A x x x
A ┃arcsin d 1
22=-⎰
）
3．直升飞机升力螺旋浆由对称的叶片组成。
每一个叶片的质量为m = 136kg ，长度l = ，设叶片为均匀薄片。
当叶片转动的角速度为s /rad π12=ω时，则叶片根部张力的表达式为F T = ，其值为 N 105
⨯。
4．质量为m = 2kg 的物体，在力x F x 64+=（SI ） 的作用下沿x 轴运动。
已知0=t 时，
00=x ，00=v ，则物体在由0=x 运动到任一位置x 处的过程中，该力对物体作功
的表达式为A = ，若当4=x m 时，其值为 J ；且在4=x m 处，物体的速度为 v = m/s ；在此过程中，该力冲量的大小为I = s N ⋅。
5．一物体在几个力共同作用下运动，其运动方程为j i r
2t t +=（SI ），其中一力为
i F t 5=（SI ），则该力在前两秒内所作的功为A = J 。
6．质量为m = 的子弹在枪管内受到的合力为t F x 8040-=（SI ）。
假定子弹到达枪口时所受的力变为零，则子弹行经枪管长度所需要的时间t = s ；在此过程中，合力的
图2-5
冲量的表达式为I = ；其值为 s N ⋅；子弹由枪口射出时的速度为 v = m/s 。
7．如图2-5所示，已知质量为m 的质点，在竖直平面内逆时针作半径为r 、速率为v 的匀速率圆周运动。
在由A 点运动到B 点的过程中，所受合力的冲量为 I = ；除重力以外，其它力对物体所做的功为A = ；在任一时刻，质点对圆心O 的角动量为L = 。
8．设质量为m 0的卫星，在地球上空高度为两倍于地球半径R 的圆形轨道上运转。
现用m 0、R 、引力恒量G 和地球质量m e 表示卫星的动能为E k = ，卫星和地球所组成的系统的势能为E p = 。
9．氯化钠分子（NaCl ）是由带正电荷的钠离子Na +和带负电荷的氯离子Cl — 构成的，两离子间相互作用的势能函数可以近似表示为：()2
9.8x
b
x a x E p -=
（SI ），式中a 和b 是正的常量，x 是离子间的距离。
则离子间的相互作用力F = 。
三、问答题
1．什么是保守力试述保守力作功的特点。
2．试述牛顿定律的适用范围。
四、计算题
1. 如图2-6所示，射箭运动员用力N 4900=F 使弓弦中点产生的位移，然后把质量
=m kg 的箭竖直上射。
设拉力和弓弦中点的位移成正
比（准弹性力），试用牛顿运动定律求该箭离弦时所具有的速度。
2．质量为m，速度为v0的摩托车，在关闭发动机以后沿直线滑行，它所受到的阻力=，式中c为正的常量。
试求
F-
v c
① 关闭发动机后t时刻的速度；
② 关闭发动机后t时间内所走的路程。
图 2-7
3．如图2-7所示，具有光滑半球形凹槽的物块B 固定在桌面上。
质量为m 的质点从凹槽的半球面（半径为R ）的上端P 点自静止开始下滑，当滑至ο
30=θ的Q 点时，试求：
① 质点在Q 点的速率（要求分别用牛顿运动定律和功能关系两种方法求解）； ② 质点在Q 点对球面的压力N F 。
4. 水星绕太阳运行轨道的近日点到太阳的距离为km 105947
1⨯=.r ，远日点到太阳的距离为km 109867
2⨯=.r 。
试求水星越过近日点和远日点时的速率1v 和2v 。
设太阳的质量
为kg 1099.130
⨯=s m 。
五、附加题
1．制造半导体材料时，将硼离子注入硅单晶，硼离子与处于静止的硅原子发生完全弹性对心碰撞，对心碰后硼离子失去的动能称为最大传输能量E ∆。
已知硼离子的摩尔质量为
g 0.101=μ，硅的摩尔质量为g 0.282=μ，入射硼离子的能量为eV 1000.25
⨯，试求E ∆。