第2章 质点动力学
大学物理课件第二章质点动力学
m0g N
N
a’ B mg
联立解得
(m m0 )sin m cos sin a g, a ' g 2 2 m0 m sin m0 m sin
例题2 质量为m的快艇以速率v0行驶，关闭发动 机后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小成 正比，比例系数为k，求关闭发动机后 （1）快艇速率随时间的变化规律； （2）快艇位置随时间的变化规律
B
A
F
B
m0g
A
解：隔离两物体，分别受力分析， aA-地对楔块A N sin m0a
N
F ( N cos m0 g ) 0
N
对物体B（aB地 aB A aA地 ）
B
a
B-A
a
N sin m(aB A cos a)
A-地
mg
N cos mg m(aB A sin 0)
m0 m sin
(m m0 )sin 联立解得 a m cos sin g , aB A g 2 2 m0 m sin
B
A
F A a
解：隔离两物体，分别受力分析， 对楔块A N sin m0a N cos m0 g F 物体B相对楔块A以a’加速下滑
二、牛顿第二定律 1.动量： p mv
2.力的定义： dp d (mv ) F dt dt --牛顿第二定律(质点运动微分方程）
v c 物体质量为常量时：
dv F m ma dt
惯性演示实验
当锤子敲击在一大铁块上时，铁块下的手 不会感到有强烈的冲击；而当用一块木头取代 铁块时，木块下的手会感到明显的撞击。
大学物理课件 第2章,质点动力学
本章题头§2-1 牛顿运动定律英国物理学家, 经典物理学的奠基人.创立了经典力学的 基本体系光学，牛顿致力于光的颜色和光 的本性数学，建立了二项式定理，创立 了微积分牛顿 Issac Newton （1643－1727）天文学，发现了万有引力定律， 创制反射望远镜，初步观察到了 行星运动的规律。
一、牛顿第一定律 (Newton first law)惯性定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
意义惯性以及力的概念 1、定义了物体（质点）的惯性；2、说明了力是物体运动状态改变的原因定义了惯性参考系二、牛顿第二定律 (Newton second law)质点加速度的大小与所受合力的大小成正比 , 与质点自身的质量成反比; 加速度方向与合力方向相同。
牛顿第二定律的数学形式为 Fma 原始形式：F dPd mv dmvm dvdtdtdtdt当 v c 时，m 为常量 Fm dvmadt宏观低速运动时1、瞬时性： 之间一一对应（同生、同向、同变、同灭） n 2、力的叠加性：F F1 F2 Fi Fii =13、矢量性：具体运算时应写成分量式直角坐标系中： Fma maximay jmaz k Fxmaxmdv x dt Fyma ymdv y dt Fzmazmdvz dt 自然坐标系中： Fmam at anF mdv dtFnmv24、说明了质量是物体惯性的量度5、在一般情况下力， F是一个变力常见的几中变力形式：F F x kx常见的几中变力形式：F F t F F v kv弹性力 打击力 阻尼力6、适用对象:质点 7、成立的参考系：惯性系 8、成立的条件：宏观低速10＇T 三、牛顿第三定律(Newton third law)物体A 以力F AB 作用于物体B 时, 物体B 也必定同时以力F BA 作用于物体A , F AB 与F BA 大小相等, 方向相反, 并处于同一条直线上,（物体间相互作用规律）mmT P ＇P 地球F AB = F BA作用力与反作用力：1、它们总是成对出现。
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
第2章质点和质点系动力学
☆
静止在车厢中的小球受到绳的拉力和重力的作用，
这两个力的合力不为零，小球与车厢一起以加速度运动，
符合牛顿第二定律。
在车厢参考系看来， 相对车厢小球静止，而受到的合力不为零， 这是由于车厢不是惯性系，因此牛顿第二定律不适用。
引入惯性力 (ma0 ) ，
T
拉力、重力、惯性力
这三个力的合力为零，
ma0
m
a0
引入惯性力后
牛顿第二定律
W
适用于车厢
这个非惯性系
等效原理 （阅读）
☆
《大学基础物理学》清华大学出版社（2003）－56页
N
m
N
mg
a
/
m
mg
2.参考系之间加速转动
☆
相对惯性系转动的参考系也不是惯性系。
要在转动参考系中应用牛顿第二定律也要引进惯性力，
但其中的惯性力与加速平动参考系中的惯性力不同。
fd kv
三 惯性力
☆
1.参考系之间加速平动
a K K 系为惯性系，K / 系相对 系作加速平动，加速度为 0
m 若质量为 的质点，在力 F
K a 相对于 系的加速度为 ，相对
的作用下，
K /系的加速度为
a
/
/
a a a0
对于 K 系F，由 于m设a 为惯m性(a系/，牛a顿0 )第二定律是成立
f
R —地球半径
—地球自转的角速度
—物体所在处的纬度
力学第2次课结束
例1
☆
在皮带运输机中， 设砖块与皮带之间的，
静摩擦系数为 s ，
砖块的质量为 m ，
大学物理——第2章-质点和质点系动力学
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
第二章非惯性系中的质点动力学
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
大学物理第2章_质点动力学_知识框架图和解题指导和习题
第2章 质点动力学一、基本要求1．理解冲量、动量，功和能等基本概念；2．会用微积分方法计算变力做功，理解保守力作功的特点；3．掌握运用动量守恒定律和机械能守恒定律分析简单系统在平面内运动的力学问题的思想和方法.二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：动量守恒定律和能量守恒定律的条件审核、综合性力学问题的分析求解。
难点:微积分方法求解变力做功. （二）知识网络结构图:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧公式只有保守内力做功条件能量守恒定律公式合外力为条件动量守恒定律守恒定律动能定理动量定理基本定理能功冲量动量基本物理量)()0(（三）容易混淆的概念： 1。
动量和冲量动量是质点的质量与速度的乘积;冲量是合外力随时间的累积效应，合外力的冲量等于动量增量。
2。
保守力和非保守力保守力是做功只与始末位置有关而与具体路径无关的力,沿闭合路径运动一周保守力做功为0;非保守力是做功与具体路径有关的力.(四)主要内容： 1．动量、冲量 动量：p mv = 冲量：⎰⋅=21t t dt F I2．动量定理:质点动量定理：⎰∆=-=⋅=2112t t v m P P dt F I质点系动量定理：dtPd F=3．动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，即0=ex F时，或inex F F系统的总动量保持不变，即：∑===n i i i C v m P 14．变力做功：dr F r d F W BAB A⎰⎰=⋅=θcos （θ为)之间夹角与r d F直角坐标系中：)d d d ( z F y F x F W z y BAx ++=⎰5．动能定理：（1）质点动能定理：k1k221222121E E mv mv W -=-=(质点所受合外力做功等于质点动能增量。
）(2)质点系动能定理:∑∑==-=+ni n i E E W W1kio1ki inex(质点系所受外力做功和内力做功之和等于质点系动能增量。
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
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第2章质点动力学一、质点：是物体的理想模型。
它只有质量而没有大小。
平动物体可作为质点运动来处理，或物体的形状大小对物体运动状态的影响可忽略不计是也可近似为质点。
二、力：是物体间的相互作用。
分为接触作用与场作用。
在经典力学中，场作用主要为万有引力（重力），接触作用主要为弹性力与摩擦力。
1、弹性力：（为形变量）2、摩擦力：摩擦力的方向永远与相对运动方向（或趋势）相反。
固体间的静摩擦力：（最大值）固体间的滑动摩擦力：3、流体阻力：或。
4、万有引力：特例：在地球引力场中，在地球表面附近：。
式中R为地球半径，M为地球质量。
在地球上方（较大），。
在地球内部（），。
三、惯性参考系中的力学规律牛顿三定律牛顿第一定律：时，。
牛顿第一定律阐明了惯性与力的概念，定义了惯性系。
牛顿第二定律：普遍形式：；经典形式：（为恒量）牛顿第三定律：。
牛顿运动定律是物体低速运动（）时所遵循的动力学基本规律，是经典力学的基础。
四、非惯性参考系中的力学规律1、惯性力：惯性力没有施力物体，因此它也不存在反作用力。
但惯性力同样能改变物体相对于参考系的运动状态，这体现了惯性力就是参考系的加速度效应。
2、引入惯性力后，非惯性系中力学规律：五、求解动力学问题的主要步骤恒力作用下的连接体约束运动：选取研究对象，分析运动趋势，画出隔离体示力图，列出分量式的运动方程。
变力作用下的单质点运动：分析力函数，选取坐标系，列运动方程，用积分法求解。
第2章质点动力学二、解题示例【例2-1】如题图2-1a所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为。
为使木块相对斜面静止，求斜面加速度的范围。
【解】方法一我们如b图取坐标，并假设物体有下滑趋势，根据受力图可列出动力学方程：这样两个方程两个未知数，可解，但解的过程较繁。
若将坐标轴分别沿斜面和斜面垂直方法上取，使得一个未知力与一个坐标轴垂直，使得在一个方向上的方程中只出现一个未知力，这样一个方程就能独立地解出一个未知力来了。
如图c所示可列出如下牛顿动力学方程：x方向y方向由此解得由相对静止条件要求可解得加速度的范围为：方法二用力矢量图及摩擦角解对木块应用牛顿运动定律矢量式在木块的受力图中，画的是斜面加速度最小时，木块将要向下滑动的临界情况下的受力图。
图中，称之为全反力。
正压力和之间的夹角为，由摩擦定律。
又有图示几何关系，可知。
我们称为摩擦角。
由此受力图的合力矢量和加速度关系可得同理斜面加速度大到木块将要向上滑动时，摩擦力方向向下的临界条件下，如图e所示，可得：由题意要使木块相对于斜面静止，必须介入和之间即：将上式和展开，并利用，即得方法一的结果。
此方法显然比方法一直观简洁。
【例2-2】一质量为M、顶角为的三角形光滑物体上。
放有一质量为m的物块，如题图2-2(a)所示。
设各面间的摩擦力均可忽略不计。
试按下列三种方法：（1）用牛顿定理及约束方程；（2）用牛顿定律及运动迭加原理；（3）用非惯性系中力学定律；求解三角形物块的加速度。
【解】（1）选取坐标系如题图（a）所示，m、M的受力图如题图2-2（b）所示。
则对m与M分别可列动力学方程如下：（1）（2）（3）（4）由题图2-2（a），m必须在M的斜面上的几何关系可得约束方程：两边对时间t求二次微商，得：（5）在上五个方程式中有五个未知量、、R由此可得其中：（2）从运动迭加原理来解。
选取坐标系如题图2-2（c），设m相对于M的加速度为，则M、m 的动力学方程分别为：（1）（2）（3）在（1）（2）（3）式中有三个未知量、、，由此可解得：（3）（a）、将坐标系建立在三角形物块A上，方向如图2-2（d），在该非惯性坐标中，应用非惯性系的力学定律，M与m的动力学方程如下：对M有：（1）对m有：（2）（3）可以看到：这里的（1）、（2）、（3）式是方法二中的（1）、（2）、（3）式移项而得，同样可解得：（b）仍将非惯性系建立在三角形物块A上，但方向如图2-2(e)。
则应用非惯性系的力学定律。
m 的动力学方程如下：对m有：（1）（2）对M仍有：（3）在（2）、（3）式中仅含有N、两个未知量，由此可解得：显然，按图（b）的坐标方向选取仅需要两个方程联立求解。
比按（a）选取的坐标方向来求解要容易得多。
所以坐标方向选取的原则是使未知数尽量具有一个方向的分量。
如按（b）的坐标方向，、N都分别只具有与方向的分量。
这样可避免解联立方程使问题简化。
从本例看来用非惯性力学定律来解是比较方便的，但在很多情况下还是应具体问题分析，不能一概而论那种方法最为简单。
【例2-3】圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度匀速转动，试问稳定旋转时液面的形状如何？【解】方法一设液体稳定旋转时液面是绕轴的某种旋转曲面，它与平面的交线如图所示。
液面上任一质元作圆周运动，其余部分液体对该质元的作用力垂直与液面。
由图a中，的受力图对的y方向和z方向分别列出牛顿动力学方程：，解得：。
由几何关系可知，处切线的斜率；积分可得。
液体旋转时，可见在YOZ平面上的液面是抛物线。
若考虑到质元离开z轴的距离，则整个液面呈旋转抛物面，它的方程为：。
方法二在液体内部取一平行于轴的短质元，如图b所示。
质元两端离液面的高度不同，分别为和。
质元作圆周运动时的向心力是该质元两侧受到的液体压力差所提供的。
设液体的密度为，该质源的动力学方程为：Array即由此积分同样得上述结果。
【例2-4】质量，以初速上抛一物体，设它所受的空气阻力与速度成正比，即，试求该物体的运动规律。
【解】如图a取坐标，由牛顿运动定律列出物体动力学微分方程：移项分离变量两边积分得：即：（2）位移与时间的关系（3）加速度与时间的关系：（4）由（3），（2），（4）式，可画出位置、速度和加速度随时间变化的关系图线，如图b所示。
讨论一：试求物体上升到最大高度所需的时间，及能上升的最大高度。
最大高度时物体的速度代入（2）式可解得（5）将之代入（3）式得的最大值（6）讨论二：若空气阻力比其重力小得多，即的条件下，再求物体上升高度和时间。
由于当时由（5）式这正好与不计空气阻力情况相同。
由（6）式这与事实不符，应注意到时应取到二阶无穷小项，则：这仍于不计空气阻力条件下上抛物上升最大高度相同。
第2章质点动力学2.4 用两根长为的绳子连住一质量为m的小球，两绳的另一端分别固定在相距为的棒的两点上，今使小球在水平面内作匀速圆周运动，如图所示。
当转速为时，下面一根绳子刚刚伸直。
求转速为时，上下绳子的拉力各为多大?2.6 小车B上放一质量为m的物块A，小车沿着与水平面夹角为的光滑斜面下滑，如图所示。
由于摩擦，A和B之间没有相对滑动。
若A与B之间的摩擦系数为，则（1）试求物块A与小车B之间的相互作用力。
（2）试问A与B之间没有相对滑动的条件是什么？2.12 质量的雪橇，在与水平面夹角的斜坡上向下滑动，所受空气阻力与速度成正比，比例常数K待测。
今测得雪橇运动的关系如图中曲线所示，，且曲线在该点的切线通过坐标为(4s，)的B点；t不断增加时，趋近于10m／s。
试求：阻力常数K以及雪橇与斜坡问的滑动摩擦系数。
2.14 一立交桥的尺寸如图所示，桥面形状可近似地表示为余弦曲线，有一质量为的汽车以的速度开过桥顶。
求在桥顶时汽车对桥面的压力。
2.18 如图所示，轻滑轮两边分别挂着A和B两物体，它们的质量分别为和。
当轻滑轮在外力作用下以加速度上升时，求物体A和B的加速度和。
2.19 图示为一力学装置，滑块B的质量为，悬块A的质量为，两者用无伸长的细绳相连，所有接触面皆为光滑。
试求滑块B和悬块A的加速度各为多少?2.20 如图所示，一升降机内有一光滑的斜面，斜面固定在升降机的底板上，其倾角为，当升降机以匀加速度上升时，物体m从斜面的顶点沿斜面下滑，物体m相对于斜面的加速度以及相对于地面的加速度各为多少？2.21 如图所示装置中，楔形物正以加速度沿水平方向加速。
已知斜面与水平面的夹角为。
水平面上物块的质量为，斜面上物块的质量为，两物块之间用细绳通过滑轮相连。
忽略各接触处的摩擦。
求物块相对于楔形物的加速度。
答案与提示第2章质点动力学答案2.4 ，2.6（1），（2）2.12 ， 0.125 2.142.18 ；2.19 ，2.20 ，（沿斜面向下为x轴正向，垂直斜面向上为y轴正向）2.21提示2.14 方法一，由，确定常数。
再求最高点的曲率半径，再由牛顿运动定律解得N。
方法二，由约束方程，对时间求二次导，可求得最高点的。
再由牛顿运动定律解得N。
2.18 可用运动迭加原理或用非惯性系力学定律二种方法求解。
2.19 由绳子不可伸长的约束条件可知的，。
2.20 用非惯性系力学定理求解为好。
教材习题：2.2 题中所指“稳定时”改为“和的加速度是相等时”较易理解。
答案：，2.8 由，，这是一个二阶微分方程。
同学目前还不会解。
建议将改为。
2.9 本题设初始条件，，由牛顿第三定律。
可参阅示例2-4的方法得：2.102.11 提示：（1）分离变量积分后得：（2）（3）将写成分离变量积分后2.12 提示：积分类同上题2.13 答案：。