第2章 质点动力学

第2章质点动力学

一、质点：

是物体的理想模型。它只有质量而没有大小。平动物体可作为质点运动来处理，或物体的形状大小对物体运动状态的影响可忽略不计是也可近似为质点。

二、力：

是物体间的相互作用。分为接触作用与场作用。在经典力学中，场作用主要为万有引力（重力），接触作用主要为弹性力与摩擦力。

1、弹性力：（为形变量）

2、摩擦力：摩擦力的方向永远与相对运动方向（或趋势）相反。

固体间的静摩擦力：（最大值）

固体间的滑动摩擦力：

3、流体阻力：或。

4、万有引力：

特例：在地球引力场中，在地球表面附近：。

式中R为地球半径，M为地球质量。

在地球上方（较大），。

在地球内部（），。

三、惯性参考系中的力学规律牛顿三定律

牛顿第一定律：时，。牛顿第一定律阐明了惯性与力的概念，定义了

惯性系。

牛顿第二定律：

普遍形式：；

经典形式：（为恒量）

牛顿第三定律：。

牛顿运动定律是物体低速运动（）时所遵循的动力学基本规律，是经典力学的基础。

四、非惯性参考系中的力学规律

1、惯性力：

惯性力没有施力物体，因此它也不存在反作用力。但惯性力同样能改变物体相对于参考系

的运动状态，这体现了惯性力就是参考系的加速度效应。

2、引入惯性力后，非惯性系中力学规律：

五、求解动力学问题的主要步骤

恒力作用下的连接体约束运动：选取研究对象，分析运动趋势，画出隔离体示力图，列出

分量式的运动方程。

变力作用下的单质点运动：分析力函数，选取坐标系，列运动方程，用积分法求解。

第2章质点动力学

二、解题示例

【例2-1】如题图2-1a所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦

系数为。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度的范围。

【解】方法一我们如b图取坐标，并假设物体有下滑趋势，根据受力图可列出动力学方程：

这样两个方程两个未知数，可解，但解的过程较繁。若将坐标轴分别沿斜面和斜面垂直方法上取，使得一个未知力与一个坐标轴垂直，使得在一个方向上的方程中只出现一个未知力，这样一个方程就能独立地解出一个未知力来了。如图c所示可列出如下牛顿动力学方程：

x方向

y方向

由此解得

由相对静止条件要求

可解得加速度的范围为：

方法二用力矢量图及摩擦角解

对木块应用牛顿运动定律矢量式

在木块的受力图中，画的是斜面加速度最小时，木块将要向下滑动的临界情况下的受力图。图中

，称之为全反力。正压力和之间的夹角为，由摩擦定律。又有图示几何关系，可知。我们称为摩擦角。由此受力图的合力矢量和加速度关系可得

同理斜面加速度大到木块将要向上滑动时，摩擦力方向向下的临界条件下，如图e所示，可得：

由题意要使木块相对于斜面静止，必须介入和之间即：

将上式和展开，并利用，即得方法一的结果。此方法显然比方法一直观简洁。

【例2-2】一质量为M、顶角为的三角形光滑物体上。放有一质量为m的物块，如题图2-2(a)所示。设各面间的摩擦力均可忽略不计。试按下列三种方法：

（1）用牛顿定理及约束方程；

（2）用牛顿定律及运动迭加原理；

（3）用非惯性系中力学定律；

求解三角形物块的加速度。

【解】（1）选取坐标系如题图（a）所示，m、M的受力图如题图2-2（b）所示。则对m与M分别可列动力学方程如下：

（1）

（2）

（3）

（4）

由题图2-2（a），m必须在M的斜面上的几何关系可得约束方程：

两边对时间t求二次微商，得：

（5）

在上五个方程式中有五个未知量、、R

由此可得其中：

（2）从运动迭加原理来解。选取坐标系如题图2-2（c），设m相对于M的加速度为，则M、m 的动力学方程分别为：

（1）

（2）

（3）

在（1）（2）（3）式中有三个未知量、、，由此可解得：

（3）（a）、将坐标系建立在三角形物块A上，方向如图2-2（d），在该非惯性坐标中，应用非惯性系的力学定律，M与m的动力学方程如下：

对M有：

（1）

对m有：

（2）

（3）

可以看到：这里的（1）、（2）、（3）式是方法二中的（1）、（2）、（3）式移项而得，同样可

解得：

（b）仍将非惯性系建立在三角形物块A上，但方向如图2-2(e)。则应用非惯性系的力学定律。m 的动力学方程如下：

对m有：（1）

（2）

对M仍有：（3）

在（2）、（3）式中仅含有N、两个未知量，由此可解得：

显然，按图（b）的坐标方向选取仅需要两个方程联立求解。比按（a）选取的坐标方向来求解要容易得多。所以坐标方向选取的原则是使未知数尽量具有一个方向的分量。如按（b）的坐标方向，、N都分别只具有与方向的分量。这样可避免解联立方程使问题简化。从本例看来用非惯性力学定律来解是比较方便的，但在很多情况下还是应具体问题分析，不能一概而论那种方法最为简单。

【例2-3】圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度匀速转动，试问稳定旋转时液面的形状如何？

【解】方法一设液体稳定旋转时液面是绕轴的某种旋转曲面，它与平面的交线如图所示。液面上任一质元作圆周运动，其余部分液体对该质元的作用力垂直与液面。由图a中，

的受力图对的y方向和z方向分别列出牛顿动力学方程：

，

解得：。

由几何关系可知，处切线的斜率

；

积分可得。

液体旋转时，可见在YOZ平面上的液面是抛物线。若考虑到质元离开z轴的距离，则整个液面呈旋转抛物面，它的方程为：。