第二章 质点动力学
大学物理课件第二章质点动力学
m0g N
N
a’ B mg
联立解得
(m m0 )sin m cos sin a g, a ' g 2 2 m0 m sin m0 m sin
例题2 质量为m的快艇以速率v0行驶，关闭发动 机后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小成 正比，比例系数为k，求关闭发动机后 （1）快艇速率随时间的变化规律； （2）快艇位置随时间的变化规律
B
A
F
B
m0g
A
解：隔离两物体，分别受力分析， aA-地对楔块A N sin m0a
N
F ( N cos m0 g ) 0
N
对物体B（aB地 aB A aA地 ）
B
a
B-A
a
N sin m(aB A cos a)
A-地
mg
N cos mg m(aB A sin 0)
m0 m sin
(m m0 )sin 联立解得 a m cos sin g , aB A g 2 2 m0 m sin
B
A
F A a
解：隔离两物体，分别受力分析， 对楔块A N sin m0a N cos m0 g F 物体B相对楔块A以a’加速下滑
二、牛顿第二定律 1.动量： p mv
2.力的定义： dp d (mv ) F dt dt --牛顿第二定律(质点运动微分方程）
v c 物体质量为常量时：
dv F m ma dt
惯性演示实验
当锤子敲击在一大铁块上时，铁块下的手 不会感到有强烈的冲击；而当用一块木头取代 铁块时，木块下的手会感到明显的撞击。
大学物理课件 第2章,质点动力学
本章题头§2-1 牛顿运动定律英国物理学家, 经典物理学的奠基人.创立了经典力学的 基本体系光学，牛顿致力于光的颜色和光 的本性数学，建立了二项式定理，创立 了微积分牛顿 Issac Newton （1643－1727）天文学，发现了万有引力定律， 创制反射望远镜，初步观察到了 行星运动的规律。
一、牛顿第一定律 (Newton first law)惯性定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
意义惯性以及力的概念 1、定义了物体（质点）的惯性；2、说明了力是物体运动状态改变的原因定义了惯性参考系二、牛顿第二定律 (Newton second law)质点加速度的大小与所受合力的大小成正比 , 与质点自身的质量成反比; 加速度方向与合力方向相同。
牛顿第二定律的数学形式为 Fma 原始形式：F dPd mv dmvm dvdtdtdtdt当 v c 时，m 为常量 Fm dvmadt宏观低速运动时1、瞬时性： 之间一一对应（同生、同向、同变、同灭） n 2、力的叠加性：F F1 F2 Fi Fii =13、矢量性：具体运算时应写成分量式直角坐标系中： Fma maximay jmaz k Fxmaxmdv x dt Fyma ymdv y dt Fzmazmdvz dt 自然坐标系中： Fmam at anF mdv dtFnmv24、说明了质量是物体惯性的量度5、在一般情况下力， F是一个变力常见的几中变力形式：F F x kx常见的几中变力形式：F F t F F v kv弹性力 打击力 阻尼力6、适用对象:质点 7、成立的参考系：惯性系 8、成立的条件：宏观低速10＇T 三、牛顿第三定律(Newton third law)物体A 以力F AB 作用于物体B 时, 物体B 也必定同时以力F BA 作用于物体A , F AB 与F BA 大小相等, 方向相反, 并处于同一条直线上,（物体间相互作用规律）mmT P ＇P 地球F AB = F BA作用力与反作用力：1、它们总是成对出现。
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
第二章非惯性系中的质点动力学
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
大学物理第2章_质点动力学_知识框架图和解题指导和习题
第2章 质点动力学一、基本要求1．理解冲量、动量，功和能等基本概念；2．会用微积分方法计算变力做功，理解保守力作功的特点；3．掌握运用动量守恒定律和机械能守恒定律分析简单系统在平面内运动的力学问题的思想和方法.二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：动量守恒定律和能量守恒定律的条件审核、综合性力学问题的分析求解。
难点:微积分方法求解变力做功. （二）知识网络结构图:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧公式只有保守内力做功条件能量守恒定律公式合外力为条件动量守恒定律守恒定律动能定理动量定理基本定理能功冲量动量基本物理量)()0(（三）容易混淆的概念： 1。
动量和冲量动量是质点的质量与速度的乘积;冲量是合外力随时间的累积效应，合外力的冲量等于动量增量。
2。
保守力和非保守力保守力是做功只与始末位置有关而与具体路径无关的力,沿闭合路径运动一周保守力做功为0;非保守力是做功与具体路径有关的力.(四)主要内容： 1．动量、冲量 动量：p mv = 冲量：⎰⋅=21t t dt F I2．动量定理:质点动量定理：⎰∆=-=⋅=2112t t v m P P dt F I质点系动量定理：dtPd F=3．动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，即0=ex F时，或inex F F系统的总动量保持不变，即：∑===n i i i C v m P 14．变力做功：dr F r d F W BAB A⎰⎰=⋅=θcos （θ为)之间夹角与r d F直角坐标系中：)d d d ( z F y F x F W z y BAx ++=⎰5．动能定理：（1）质点动能定理：k1k221222121E E mv mv W -=-=(质点所受合外力做功等于质点动能增量。
）(2)质点系动能定理:∑∑==-=+ni n i E E W W1kio1ki inex(质点系所受外力做功和内力做功之和等于质点系动能增量。
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
大学物理第2章-质点动力学基本定律
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b
第2章 质点动力学
b
mg
也可以写成
∫ mg ⋅ dr = 0
17
2.4 势能 机械能守恒定律
3. 弹性力的功
f O xA
xB
fx = −kx
AAB = ∫ fx ⋅ dx =
xA xB
xB
x
∫ (−kx) ⋅ dx
xA
1 1 2 2 = kxA − kxB 2 2
弹性力对运动质点所做的功与质点运动的路径无 弹性力对运动质点所做的功与质点运动的路径无 只与其始、末位置有关。 关，只与其始、末位置有关。
=
( L) ra
rb
∫ ∫
b
FG ⋅ dr
GMm − 3 r ⋅ dr r
r
ra
rb
a
GMm = ∫ − 2 dr ( L) ra r GMm GMm = − rb ra
r ⋅ dr = r⋅ | dr | ⋅ cosϕ
= r ⋅ dr
15
2.4 势能 机械能守恒定律
万有引力的功
GMm GMm 1 1 A = − = −GMm( − ) ab rb ra ra rb
势 参 点 能 考
若选末态为势能零点
EPa =
∫f
(a)
保
⋅dr
20
2.4 势能 机械能守恒定律
常见的势能函数 1)重力势能 1)重力势能
EP = mgh
地面为势能零点 末态为势能零点
2)弹性势能 2)弹性势能
1 2 EP = kx 以弹簧原长为势能零点 2
M m 以无限远为势能零点 3)万有引力势能 3)万有引力势能 EP = −G r
12
2.3 动 能 定 理
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黄武英
物理与电子信息学院
第二章 质点动力学
§2.1 牛顿定律 一.牛顿第一定律 二.牛顿第二定律
§2.2 常见的力
三.牛顿第三定律
一.万有引力 二.重力 三.弹力
四.摩擦力
五.四种基本力 牛顿定律应用举例 §2.3 单位制和量纲 §2.4 动量定理和动量守恒定律
§2.5 动能定理和功能原理 §2.6 能量守恒定律 §2.7 角动量定理和角动量守恒定律
§2.6 能量守恒定律
一、机械能守恒定律 二、守恒定律(机械能与动量) 的综合应用 三、能量转化及守恒定律 四、碰撞
§2.7角动量守恒定律
一、力矩 二、角动量
三、角动量守恒定律
本
一、牛顿第二定律
章
小 结G dp =
G d (mv)
=
G F
dt dt
二、质点系的动量定理
∫ ∑ ∑ G
I=
t2 t1
G F合 外 dt
=
i
G mivi (t2 ) −
i
G mivi (t1 )
三、质点系的动量守恒定律
若系统不受外力作用，或所受外力的矢量和为零（条件）
nK
K
K
K
∑ 则：
miVi＝m1V1 + m2V2 + "mnVn = 恒量
i =1
∫ 四、动能定理
Wab =
K rb K ra
G f
⋅
K dr
=
1 2
mVb2
−
1 2
§2.4 动量定理和动量守恒定律
一、质点的动量定理 二、动量定理的应用 三、质点系的动量定理 四、质心运动定理 五、质点系的动量守恒定律 六、变质量物体的运动方程
§2.5 动能定理和功能原理
一、动能及功的定义 二、动能定理
三、功率
四、功的计算举例
五、保守力和非保守力
六、质点的功能原理 七、质点系的动能定理和功能原理
force.
G 质点的质量不变时：F
=
m
G dv
=
G ma
dt
对应单位： N
kg m / s2
讨论：
(1)质量的理解：质量是惯性的量度。不受外力保 持运动状态不变；一定外力作用时，质量越大，加 速度越小，运动状态越难改变；质量越小，加速度 越大，运动状态容易改变。因此，这里的质量叫做
惯性质量。（物体的质量m 是物体惯性大小的量度）
K
N
(2)拉力(张力)
G F
拉力
G −F
当绳索、琴弦等弹性体被拉伸时,要 恢复因拉长而发生的形变,对拉伸它 的物体产生一种弹力作用, 这种弹 力称为拉力, 如图所示.
大小：取决于绳的收紧程度。
方向：沿着绳指向绳收紧的方向。
G T
张力
G −T
当弦、索产生拉力时,其内部各部分 之间也有相互弹力作用, 这种内部的 弹力, 称作张力. 如果在讨论的问题 中, 绳索的质量小到可以忽略的程 度,这时就认为其内部张力处处相等, 而且等于外力.
三、弹力（正压力、拉力或张力、恢复力等）
弹性力：两个相互接触并产生形变的物体企图恢复原
状而彼此互施作用力。
条 件：物体间接触、物体的形变。
方 向: 始终与使物体发生形变的外力方向相反。
三种表现形式：
(1)正压力-两个物体通过一定接触面相互挤压
G N′
大小:取决于挤压程度。
方向:垂直于接触面指向受力物体。
若 M =0
角动量定理
G 则 dL = 0
G L = 常矢量
（条件）
dt
角动量守恒定律
牛顿的生平与主要科学活动
1642-1727
牛顿简介
少年时代的牛顿，天资平常，但很喜欢制 作各种机械模型，他有一种把自然现象、语言 等进行分类、整理、归纳的强烈嗜好，对自然 现象极感兴趣。
青年牛顿
1661年考入剑桥大学三一学院 1665年获学士学位 1666年6月22日至1667年3月25日， 两度回到乡间的老家
由于地球半径R≈6400km,因此在地球表面附近,不同 高度处的重力加速度可以视为常量. 重力与重力加速度的方向都是竖直向下。
应当明确,地球并不是严格的圆球,而是椭球, 而且地球 上各部分的质量也不是均匀分布的,这些因素使得不同 地区的地球引力产生差异,进而使测得的重力加速度也 略有差异. 因而,同质量的物体在不同地区的重量可能不同. 如果 某一地区测得的重力加速度值出现异常, 则说明地球 在该地域部分的质量分布存在着特异性. 重力探矿法 就是根据这一道理进行矿藏勘探的.
ω
m G F
G R 地心 W
M
在一些精确度要求不太高的计算中,可 W: 重力 忽略地球自转的影响，认为重力约等 于地球对地球表面附近的物体的引力。 F: 地球的引力
设地球的质量为M, 地球的半径为R,物体的质量为m, 物体距地面的高度为h, 即物体到地心的距离为 r=R+h, 则物体受到地球的引力的大小为
地面系: 坐标轴固定在地面上的参考系.
太阳系
Z
地面系
Y
X 地心系
5. 相互作用力
O
静止在光滑水平地面上的小球，保持速度值为零的静平衡 状态。如果让可绕点转动的细棒撞击小球，棒与小球将发 生短暂的相互作用，使小球的速度由零变为某个不等于零 的值，即产生加速度。 若小球是完美无缺的，水平地面是完全光滑的，则小球与 棒分开后将保持作匀速直线运动的状态。
¾此定律也称惯性定律，它是理想化抽象思维的产物，不 能用实验严格验证；此定律的核心是指存在一个惯性系。
¾惯性系是整个牛顿力学的基础.
然而,从实验和测量的角度,我们至今还没有找到严格的 惯性系，只找到了近似的惯性系.
实用的近似的惯性系有:
FK4系: 以1535颗恒星平均静止位形作为基准的参考系. 太阳系:以太阳中心为原点, 坐标轴指向恒星的参考系. 地心系:以地心为原点, 坐标轴指向恒星的参考系.
当两个质点相互作用时,作用在一个质点上的力与它反
作用于另一个质点上的K 力K, 大小K 相等而方向相反.
A
f′ f =−f′ B
When two particles interact, the force on one particle is equal and opposite to the force on the other.
牛顿简介
全面丰收的时期
1667年牛顿返1669年由于巴洛的推荐，接受了“卢卡斯数 学讲座”的职务
1669年发明了二项式定理 1672年，由于制造反射望远镜的成就被接 纳为伦敦皇家学会会员 1672年进行了光谱色分析试验
1680年前后提出万有引力理论 1687年出版了《自然哲学的数学原理》
方向：与物体相对运动或相对运动趋势的方向相反。
（1）滑动摩擦力： fk = μk N
（2）最大静摩擦力： fs = μs N
G
K
N
f
G mg
其中μs为静摩擦系数，μk为滑动摩擦系数。它们与 接触面的材料和表面粗糙程度有关。 μk < μs < 1
摩擦在实际中的意义
¾ 害处: 消耗大量有用的能量, 使机器运转部分发热等. ¾ 减少摩擦的主要方法:
自然坐标系
⎪ ⎪ Fx =
⎩K
maz =
G
m
dVz
dt
G
F = Ftet + Fnen
=
m
d 2z dt 2
aK
=
G at et
+
G anen
Ft
=
mat
=
m
dv dt
=
mrα
Fn
=
man
=
m v2 r
=
mrω2
2. 牛顿第二定律的微分形式
牛顿第二定律原文意思：运动的变化与所加的 动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上。
mVa2
五、质点系的功能原理和机械能守恒定律
Ekb + E pb − (Eka + Epa ) = W外 + W非保守内力 功能原理
若外力和非保守内力都不作功或所作的总功为零（条件）
则： E kb + E pb = E ka + E pa
机械能守恒定律
六、角动量定理和角动量守恒定律
K M
=
K dL
G dt
说明：
G a
GM G G
G
T2
a T1′
T1
G F
G a
G F
①、若绳子的质量可略去不计时,绳中各处张力相等。
②、如果a = 0 ,则绳子内各点处的张力相等。
③、对于滑轮两边绳子的张力，若要相等必须同时满足： A 绳子轻质 B 无阻力 C 滑轮质量不计
(3)恢复力----弹簧的弹力
弹性限度内，弹性 力满足胡克定律：
二、牛顿第二定律
1、定律的表述：
在惯性系中一个质点G的“动量”
G p
=
G mv
的变化率等于作
用在该质点上的力GF ，即：G dp = d (mv)
=
G F
dt dt
The rate of change of momentum of a body is equal to the
impressed force and takes place in the direction of that
化滑动摩擦为滚动摩擦, 化干摩擦为湿摩擦. ¾ 摩擦的必要性:
人行走, 车辆启动与制动, 机器转动（皮带轮）, 弦乐器演奏等.
失重状态下悬浮在飞船舱内的宇航员, 因几乎受 不到摩擦力将遇到许多问题. 若他去拧紧螺丝钉, 自 己会向相反的方向旋转, 所以必须先将自己固定才行.