第二章 质点动力学习题答案
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第二章 质点动力学习题答案
2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向
与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道.
解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v
方向为X 轴，平行
斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1.
图2-1
X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ②
0=t 时 0=y 0=y v
2
sin 2
1t g y α=
由①、②式消去t ，得
2
2
sin 21x g v y ⋅=
α
2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为
常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m
⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律：
合力：f P F
+=
a m f P =+
y 分量：dt
dV m
KV mg =--
dt KV
mg mdV -=+⇒
即
dt m
KV mg dV 1-
=+
⎰
⎰
-
=
+t
v
v dt m
KV
mg dV
10
dt m
KV mg KV mg K
1ln
10
-
=++
)(0KV mg e
KV mg t
m K +⋅=+- mg K
e
KV mg K
V t
m K 1)(10-
+=
⇒- ①
0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为
)1ln(ln
00
0mg
KV K
m mg KV mg K
m t +
=
+=
②
∵ dt
dy V =
∴ Vdt dy =
dt mg K e KV mg K Vdt
dy t
t m
K t
y
⎰
⎰⎰
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=
=
-0
1)(1 mgt K
e KV mg K
m y t m
K 11)(02
-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-
=-
021()1K
t m m
mg KV e mgt K K
-+--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ③ 0t t = 时，max y y =，
)1ln(11)(0)1ln(02
max 0mg KV K m mg K e KV mg K
m y mg
KV K m
m K +⋅-
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+=
+⋅- )1ln(11)(0
2
2
002
mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡
+-+= )1ln()
(02
20
002
mg
KV g K
m KV mg KV KV mg K
m +
-
++=
)1ln(02
20mg
KV g K
m K
mV +
-
=
2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一
段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度.
解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同，沿链条方向，受力为
m xg l
，
根据牛顿定律，有
m F xg m a l
=
=
图2-4
通过变量替换有 m dv xg m v
l
dx
=
0,0x v ==，积分0
l v m xg m vdv l
=
⎰
⎰
由上式可得链条刚离开桌面时的速度为v =2-5 升降机内有两物体，质量分别为1m 和2m ，且2m ＝21m ．用细绳连接，跨过滑轮,绳子
不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a ＝
12
g 上升时，求：
(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察1m 和2m 的加速度各为多少? 解: 分别以1m ,2m 为研究对象，其受力图如图所示．
(1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a '，则2m 对地加速度a a a -'=2；因绳不可伸长，故1m 对滑轮的加速度亦为a '，又1m 在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以1m 在水平方向对地加速度亦为a '，由牛顿定律，有
)(22a a m T g m -'=-
a m T '=1
题2-5图
联立，解得g a ='方向向下 (2) 2m 对地加速度为
2
2g a a a =
-'= 方向向上